Toán học - Ánh xạ tuyến tính
Định lý 5.1 Nếu v1; v2; : : : ; vn là n vector riêng ứng với n trị riêng phân biệt λ1; λ2; : : : ; λn của Axtt T thì v1; v2; : : : ; vn là đltt. Định lý 5.2 Cho dim(V) = n và Axtt T : V ! V. Khi đó, Nếu T có n trị riêng phân biệt thì n vector riêng ứng với n trị riêng trên là một cơ sở R của V và MTT=R là ma trận chéo
Bạn đang xem trước 20 trang tài liệu Toán học - Ánh xạ tuyến tính, để xem tài liệu hoàn chỉnh bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên
nh.
Thật vậy:
T(x+ y) = a(x+ y) = ax+ ay = Tx+ Ty.
T(kx) = a(kx) = k(ax) = kTx.
Phan Đức Tuấn (Khoa Toán - ĐHSP- ĐHĐN) Ánh xạ tuyến tính Đà Nẵng, tháng 12 năm 2011 4 / 66
Bài 1: Định nghĩa và tính chất
Ví dụ 1.1
Cho T : R→ R xác định bởi Tx = ax, với a là hằng số
cho trước là ánh xạ tuyến tính.
Thật vậy:
T(x+ y) = a(x+ y) = ax+ ay = Tx+ Ty.
T(kx) = a(kx) = k(ax) = kTx.
Phan Đức Tuấn (Khoa Toán - ĐHSP- ĐHĐN) Ánh xạ tuyến tính Đà Nẵng, tháng 12 năm 2011 4 / 66
Bài 1: Định nghĩa và tính chất
Ví dụ 1.1
Cho T : R→ R xác định bởi Tx = ax, với a là hằng số
cho trước là ánh xạ tuyến tính.
Thật vậy:
T(x+ y) = a(x+ y) = ax+ ay = Tx+ Ty.
T(kx) = a(kx) = k(ax) = kTx.
Phan Đức Tuấn (Khoa Toán - ĐHSP- ĐHĐN) Ánh xạ tuyến tính Đà Nẵng, tháng 12 năm 2011 4 / 66
Bài 1: Định nghĩa và tính chất
Ví dụ 1.1
Cho T : R→ R xác định bởi Tx = ax, với a là hằng số
cho trước là ánh xạ tuyến tính.
Thật vậy:
T(x+ y) = a(x+ y) = ax+ ay = Tx+ Ty.
T(kx) = a(kx) = k(ax) = kTx.
Phan Đức Tuấn (Khoa Toán - ĐHSP- ĐHĐN) Ánh xạ tuyến tính Đà Nẵng, tháng 12 năm 2011 4 / 66
Bài 1: Định nghĩa và tính chất
Ví dụ 1.2
Cho T : P2[t]→ P1[t] xác định bởi Tp(t) = p′(t), là ánh
xạ tuyến tính.
Thật vậy:
T[p(t) + q(t)] = [p(t) + q(t)]′ = p′(t) + q′(t) =
Tp(t) + Tq(t).
Tkp(t) = [kp(t)]′ = k.p′(t) = kTp(t).
Phan Đức Tuấn (Khoa Toán - ĐHSP- ĐHĐN) Ánh xạ tuyến tính Đà Nẵng, tháng 12 năm 2011 5 / 66
Bài 1: Định nghĩa và tính chất
Ví dụ 1.2
Cho T : P2[t]→ P1[t] xác định bởi Tp(t) = p′(t), là ánh
xạ tuyến tính.
Thật vậy:
T[p(t) + q(t)] = [p(t) + q(t)]′ = p′(t) + q′(t) =
Tp(t) + Tq(t).
Tkp(t) = [kp(t)]′ = k.p′(t) = kTp(t).
Phan Đức Tuấn (Khoa Toán - ĐHSP- ĐHĐN) Ánh xạ tuyến tính Đà Nẵng, tháng 12 năm 2011 5 / 66
Bài 1: Định nghĩa và tính chất
Ví dụ 1.2
Cho T : P2[t]→ P1[t] xác định bởi Tp(t) = p′(t), là ánh
xạ tuyến tính.
Thật vậy:
T[p(t) + q(t)] = [p(t) + q(t)]′ = p′(t) + q′(t) =
Tp(t) + Tq(t).
Tkp(t) = [kp(t)]′ = k.p′(t) = kTp(t).
Phan Đức Tuấn (Khoa Toán - ĐHSP- ĐHĐN) Ánh xạ tuyến tính Đà Nẵng, tháng 12 năm 2011 5 / 66
Bài 1: Định nghĩa và tính chất
Ví dụ 1.2
Cho T : P2[t]→ P1[t] xác định bởi Tp(t) = p′(t), là ánh
xạ tuyến tính.
Thật vậy:
T[p(t) + q(t)] = [p(t) + q(t)]′ = p′(t) + q′(t) =
Tp(t) + Tq(t).
Tkp(t) = [kp(t)]′ = k.p′(t) = kTp(t).
Phan Đức Tuấn (Khoa Toán - ĐHSP- ĐHĐN) Ánh xạ tuyến tính Đà Nẵng, tháng 12 năm 2011 5 / 66
Bài 1: Định nghĩa và tính chất
Ví dụ 1.3
Cho T : R2 → R2 xác định bởi
Tu = T(x, y) = (x+ 3y, 2x− y), là ánh xạ tuyến tính.
Thật vậy:
T(u1 + u2) = T(x1 + x2, y1 + y2)
= ((x1 + x2) + 3(y1 + y2), 2(x1 + x2)− (y1 + y2))
= (x1 + 3y1 + x2 + 3y2, 2x1 − y1 + 2x2 − y2)
= (x1 + 3y1, 2x1 − y1) + (x2 + 3y2, 2x2 − y2)
= Tu1 + Tu2.
Phan Đức Tuấn (Khoa Toán - ĐHSP- ĐHĐN) Ánh xạ tuyến tính Đà Nẵng, tháng 12 năm 2011 6 / 66
Bài 1: Định nghĩa và tính chất
Ví dụ 1.3
Cho T : R2 → R2 xác định bởi
Tu = T(x, y) = (x+ 3y, 2x− y), là ánh xạ tuyến tính.
Thật vậy:
T(u1 + u2) = T(x1 + x2, y1 + y2)
= ((x1 + x2) + 3(y1 + y2), 2(x1 + x2)− (y1 + y2))
= (x1 + 3y1 + x2 + 3y2, 2x1 − y1 + 2x2 − y2)
= (x1 + 3y1, 2x1 − y1) + (x2 + 3y2, 2x2 − y2)
= Tu1 + Tu2.
Phan Đức Tuấn (Khoa Toán - ĐHSP- ĐHĐN) Ánh xạ tuyến tính Đà Nẵng, tháng 12 năm 2011 6 / 66
Bài 1: Định nghĩa và tính chất
Ví dụ 1.3
Cho T : R2 → R2 xác định bởi
Tu = T(x, y) = (x+ 3y, 2x− y), là ánh xạ tuyến tính.
Thật vậy:
T(u1 + u2) = T(x1 + x2, y1 + y2)
= ((x1 + x2) + 3(y1 + y2), 2(x1 + x2)− (y1 + y2))
= (x1 + 3y1 + x2 + 3y2, 2x1 − y1 + 2x2 − y2)
= (x1 + 3y1, 2x1 − y1) + (x2 + 3y2, 2x2 − y2)
= Tu1 + Tu2.
Phan Đức Tuấn (Khoa Toán - ĐHSP- ĐHĐN) Ánh xạ tuyến tính Đà Nẵng, tháng 12 năm 2011 6 / 66
Bài 1: Định nghĩa và tính chất
Ví dụ 1.3
Cho T : R2 → R2 xác định bởi
Tu = T(x, y) = (x+ 3y, 2x− y), là ánh xạ tuyến tính.
Thật vậy:
T(u1 + u2) = T(x1 + x2, y1 + y2)
= ((x1 + x2) + 3(y1 + y2), 2(x1 + x2)− (y1 + y2))
= (x1 + 3y1 + x2 + 3y2, 2x1 − y1 + 2x2 − y2)
= (x1 + 3y1, 2x1 − y1) + (x2 + 3y2, 2x2 − y2)
= Tu1 + Tu2.
Phan Đức Tuấn (Khoa Toán - ĐHSP- ĐHĐN) Ánh xạ tuyến tính Đà Nẵng, tháng 12 năm 2011 6 / 66
Bài 1: Định nghĩa và tính chất
Ví dụ 1.3
Cho T : R2 → R2 xác định bởi
Tu = T(x, y) = (x+ 3y, 2x− y), là ánh xạ tuyến tính.
Thật vậy:
T(u1 + u2) = T(x1 + x2, y1 + y2)
= ((x1 + x2) + 3(y1 + y2), 2(x1 + x2)− (y1 + y2))
= (x1 + 3y1 + x2 + 3y2, 2x1 − y1 + 2x2 − y2)
= (x1 + 3y1, 2x1 − y1) + (x2 + 3y2, 2x2 − y2)
= Tu1 + Tu2.
Phan Đức Tuấn (Khoa Toán - ĐHSP- ĐHĐN) Ánh xạ tuyến tính Đà Nẵng, tháng 12 năm 2011 6 / 66
Bài 1: Định nghĩa và tính chất
Ví dụ 1.3
Cho T : R2 → R2 xác định bởi
Tu = T(x, y) = (x+ 3y, 2x− y), là ánh xạ tuyến tính.
Thật vậy:
T(u1 + u2) = T(x1 + x2, y1 + y2)
= ((x1 + x2) + 3(y1 + y2), 2(x1 + x2)− (y1 + y2))
= (x1 + 3y1 + x2 + 3y2, 2x1 − y1 + 2x2 − y2)
= (x1 + 3y1, 2x1 − y1) + (x2 + 3y2, 2x2 − y2)
= Tu1 + Tu2.
Phan Đức Tuấn (Khoa Toán - ĐHSP- ĐHĐN) Ánh xạ tuyến tính Đà Nẵng, tháng 12 năm 2011 6 / 66
Bài 1: Định nghĩa và tính chất
Ví dụ 1.3
Cho T : R2 → R2 xác định bởi
Tu = T(x, y) = (x+ 3y, 2x− y), là ánh xạ tuyến tính.
Thật vậy:
T(u1 + u2) = T(x1 + x2, y1 + y2)
= ((x1 + x2) + 3(y1 + y2), 2(x1 + x2)− (y1 + y2))
= (x1 + 3y1 + x2 + 3y2, 2x1 − y1 + 2x2 − y2)
= (x1 + 3y1, 2x1 − y1) + (x2 + 3y2, 2x2 − y2)
= Tu1 + Tu2.
Phan Đức Tuấn (Khoa Toán - ĐHSP- ĐHĐN) Ánh xạ tuyến tính Đà Nẵng, tháng 12 năm 2011 6 / 66
Bài 1: Định nghĩa và tính chất
Ví dụ 1.4
Cho T : R2 → R2 xác định bởi
Tu = T(x, y) = (x+ 3y, 2x− y), là ánh xạ tuyến tính.
Thật vậy:
T(ku) = T(kx, ky)
= (kx+ 3ky, 2kx− ky)
= k(x+ 3y, 2x− y) = kTu
Phan Đức Tuấn (Khoa Toán - ĐHSP- ĐHĐN) Ánh xạ tuyến tính Đà Nẵng, tháng 12 năm 2011 7 / 66
Bài 1: Định nghĩa và tính chất
Ví dụ 1.4
Cho T : R2 → R2 xác định bởi
Tu = T(x, y) = (x+ 3y, 2x− y), là ánh xạ tuyến tính.
Thật vậy:
T(ku) = T(kx, ky)
= (kx+ 3ky, 2kx− ky)
= k(x+ 3y, 2x− y) = kTu
Phan Đức Tuấn (Khoa Toán - ĐHSP- ĐHĐN) Ánh xạ tuyến tính Đà Nẵng, tháng 12 năm 2011 7 / 66
Bài 1: Định nghĩa và tính chất
Ví dụ 1.4
Cho T : R2 → R2 xác định bởi
Tu = T(x, y) = (x+ 3y, 2x− y), là ánh xạ tuyến tính.
Thật vậy:
T(ku) = T(kx, ky)
= (kx+ 3ky, 2kx− ky)
= k(x+ 3y, 2x− y) = kTu
Phan Đức Tuấn (Khoa Toán - ĐHSP- ĐHĐN) Ánh xạ tuyến tính Đà Nẵng, tháng 12 năm 2011 7 / 66
Bài 1: Định nghĩa và tính chất
Bài tập
Các ánh xạ sau có là ánh xạ tuyến tính không? vì sao?
T : R2 → R xác định bởi Tu = T(x, y) = 2x+ 5y.
T : R2 → R2 xác định bởi Tu = T(x, y) = (x2, y− x).
T : R→ R2 xác định bởi Tx = (x, 3x).
Phan Đức Tuấn (Khoa Toán - ĐHSP- ĐHĐN) Ánh xạ tuyến tính Đà Nẵng, tháng 12 năm 2011 8 / 66
Bài 1: Định nghĩa và tính chất
Bài tập
Các ánh xạ sau có là ánh xạ tuyến tính không? vì sao?
T : R2 → R xác định bởi Tu = T(x, y) = 2x+ 5y.
T : R2 → R2 xác định bởi Tu = T(x, y) = (x2, y− x).
T : R→ R2 xác định bởi Tx = (x, 3x).
Phan Đức Tuấn (Khoa Toán - ĐHSP- ĐHĐN) Ánh xạ tuyến tính Đà Nẵng, tháng 12 năm 2011 8 / 66
Bài 1: Định nghĩa và tính chất
Bài tập
Các ánh xạ sau có là ánh xạ tuyến tính không? vì sao?
T : R2 → R xác định bởi Tu = T(x, y) = 2x+ 5y.
T : R2 → R2 xác định bởi Tu = T(x, y) = (x2, y− x).
T : R→ R2 xác định bởi Tx = (x, 3x).
Phan Đức Tuấn (Khoa Toán - ĐHSP- ĐHĐN) Ánh xạ tuyến tính Đà Nẵng, tháng 12 năm 2011 8 / 66
Bài 1: Định nghĩa và tính chất
Bài tập
Các ánh xạ sau có là ánh xạ tuyến tính không? vì sao?
T : R2 → R xác định bởi Tu = T(x, y) = 2x+ 5y.
T : R2 → R2 xác định bởi Tu = T(x, y) = (x2, y− x).
T : R→ R2 xác định bởi Tx = (x, 3x).
Phan Đức Tuấn (Khoa Toán - ĐHSP- ĐHĐN) Ánh xạ tuyến tính Đà Nẵng, tháng 12 năm 2011 8 / 66
Bài 1: Định nghĩa và tính chất
Định nghĩa 1.2
Cho T : U → V là ánh xạ tuyến tính.
{Tu : u ∈ U} = ImT gọi là ảnh của T .
{u ∈ U : Tu = θV} = KerT gọi là nhân của T .
dim(ImT) gọi là hạng của ánh xạ tuyến tính T .
Phan Đức Tuấn (Khoa Toán - ĐHSP- ĐHĐN) Ánh xạ tuyến tính Đà Nẵng, tháng 12 năm 2011 9 / 66
Bài 1: Định nghĩa và tính chất
Định nghĩa 1.2
Cho T : U → V là ánh xạ tuyến tính.
{Tu : u ∈ U} = ImT gọi là ảnh của T .
{u ∈ U : Tu = θV} = KerT gọi là nhân của T .
dim(ImT) gọi là hạng của ánh xạ tuyến tính T .
Phan Đức Tuấn (Khoa Toán - ĐHSP- ĐHĐN) Ánh xạ tuyến tính Đà Nẵng, tháng 12 năm 2011 9 / 66
Bài 1: Định nghĩa và tính chất
Định nghĩa 1.2
Cho T : U → V là ánh xạ tuyến tính.
{Tu : u ∈ U} = ImT gọi là ảnh của T .
{u ∈ U : Tu = θV} = KerT gọi là nhân của T .
dim(ImT) gọi là hạng của ánh xạ tuyến tính T .
Phan Đức Tuấn (Khoa Toán - ĐHSP- ĐHĐN) Ánh xạ tuyến tính Đà Nẵng, tháng 12 năm 2011 9 / 66
Bài 1: Định nghĩa và tính chất
Tính chất 1
i. TθU → θV .
ii. T(α1u1 + α2u2 + · · ·+ αnun)
= α1Tu1 + α2Tu2 + · · ·+ αnTun.
iii. Im T là không gian vector con của V.
iv. Ker T là không gian vector con của U.
Phan Đức Tuấn (Khoa Toán - ĐHSP- ĐHĐN) Ánh xạ tuyến tính Đà Nẵng, tháng 12 năm 2011 10 / 66
Bài 1: Định nghĩa và tính chất
Tính chất 1
i. TθU → θV .
ii. T(α1u1 + α2u2 + · · ·+ αnun)
= α1Tu1 + α2Tu2 + · · ·+ αnTun.
iii. Im T là không gian vector con của V.
iv. Ker T là không gian vector con của U.
Phan Đức Tuấn (Khoa Toán - ĐHSP- ĐHĐN) Ánh xạ tuyến tính Đà Nẵng, tháng 12 năm 2011 10 / 66
Bài 1: Định nghĩa và tính chất
Tính chất 1
i. TθU → θV .
ii. T(α1u1 + α2u2 + · · ·+ αnun)
= α1Tu1 + α2Tu2 + · · ·+ αnTun.
iii. Im T là không gian vector con của V.
iv. Ker T là không gian vector con của U.
Phan Đức Tuấn (Khoa Toán - ĐHSP- ĐHĐN) Ánh xạ tuyến tính Đà Nẵng, tháng 12 năm 2011 10 / 66
Bài 1: Định nghĩa và tính chất
Tính chất 1
i. TθU → θV .
ii. T(α1u1 + α2u2 + · · ·+ αnun)
= α1Tu1 + α2Tu2 + · · ·+ αnTun.
iii. Im T là không gian vector con của V.
iv. Ker T là không gian vector con của U.
Phan Đức Tuấn (Khoa Toán - ĐHSP- ĐHĐN) Ánh xạ tuyến tính Đà Nẵng, tháng 12 năm 2011 10 / 66
Bài 1: Định nghĩa và tính chất
Chứng minh.
i. TθU = T(0u) = 0Tu = θV .
iii. Cho u, v ∈ ImT ⇒ ∃x, y ∈ U : Tx = u,Ty = v. Khi
đó
u+ v = Tx+ Ty = T(x+ y) ∈ ImT .
λu = λTx = T(λx) ∈ ImT .
iv. Cho x, y ∈ KerT ⇒ Tx = Ty = θV .
T(x+ y) = Tx+ Ty = θV + θV = θV ⇒ x+ y ∈ KerT .
T(λx) = λTx = λθV = θV ⇒ λx ∈ KerT .
Phan Đức Tuấn (Khoa Toán - ĐHSP- ĐHĐN) Ánh xạ tuyến tính Đà Nẵng, tháng 12 năm 2011 11 / 66
Bài 1: Định nghĩa và tính chất
Chứng minh.
i. TθU = T(0u) = 0Tu = θV .
iii. Cho u, v ∈ ImT ⇒ ∃x, y ∈ U : Tx = u,Ty = v. Khi
đó
u+ v = Tx+ Ty = T(x+ y) ∈ ImT .
λu = λTx = T(λx) ∈ ImT .
iv. Cho x, y ∈ KerT ⇒ Tx = Ty = θV .
T(x+ y) = Tx+ Ty = θV + θV = θV ⇒ x+ y ∈ KerT .
T(λx) = λTx = λθV = θV ⇒ λx ∈ KerT .
Phan Đức Tuấn (Khoa Toán - ĐHSP- ĐHĐN) Ánh xạ tuyến tính Đà Nẵng, tháng 12 năm 2011 11 / 66
Bài 1: Định nghĩa và tính chất
Chứng minh.
i. TθU = T(0u) = 0Tu = θV .
iii. Cho u, v ∈ ImT ⇒ ∃x, y ∈ U : Tx = u,Ty = v. Khi
đó
u+ v = Tx+ Ty = T(x+ y) ∈ ImT .
λu = λTx = T(λx) ∈ ImT .
iv. Cho x, y ∈ KerT ⇒ Tx = Ty = θV .
T(x+ y) = Tx+ Ty = θV + θV = θV ⇒ x+ y ∈ KerT .
T(λx) = λTx = λθV = θV ⇒ λx ∈ KerT .
Phan Đức Tuấn (Khoa Toán - ĐHSP- ĐHĐN) Ánh xạ tuyến tính Đà Nẵng, tháng 12 năm 2011 11 / 66
Bài 1: Định nghĩa và tính chất
Chứng minh.
i. TθU = T(0u) = 0Tu = θV .
iii. Cho u, v ∈ ImT ⇒ ∃x, y ∈ U : Tx = u,Ty = v. Khi
đó
u+ v = Tx+ Ty = T(x+ y) ∈ ImT .
λu = λTx = T(λx) ∈ ImT .
iv. Cho x, y ∈ KerT ⇒ Tx = Ty = θV .
T(x+ y) = Tx+ Ty = θV + θV = θV ⇒ x+ y ∈ KerT .
T(λx) = λTx = λθV = θV ⇒ λx ∈ KerT .
Phan Đức Tuấn (Khoa Toán - ĐHSP- ĐHĐN) Ánh xạ tuyến tính Đà Nẵng, tháng 12 năm 2011 11 / 66
Bài 1: Định nghĩa và tính chất
Chứng minh.
i. TθU = T(0u) = 0Tu = θV .
iii. Cho u, v ∈ ImT ⇒ ∃x, y ∈ U : Tx = u,Ty = v. Khi
đó
u+ v = Tx+ Ty = T(x+ y) ∈ ImT .
λu = λTx = T(λx) ∈ ImT .
iv. Cho x, y ∈ KerT ⇒ Tx = Ty = θV .
T(x+ y) = Tx+ Ty = θV + θV = θV ⇒ x+ y ∈ KerT .
T(λx) = λTx = λθV = θV ⇒ λx ∈ KerT .
Phan Đức Tuấn (Khoa Toán - ĐHSP- ĐHĐN) Ánh xạ tuyến tính Đà Nẵng, tháng 12 năm 2011 11 / 66
Bài 1: Định nghĩa và tính chất
Chứng minh.
i. TθU = T(0u) = 0Tu = θV .
iii. Cho u, v ∈ ImT ⇒ ∃x, y ∈ U : Tx = u,Ty = v. Khi
đó
u+ v = Tx+ Ty = T(x+ y) ∈ ImT .
λu = λTx = T(λx) ∈ ImT .
iv. Cho x, y ∈ KerT ⇒ Tx = Ty = θV .
T(x+ y) = Tx+ Ty = θV + θV = θV ⇒ x+ y ∈ KerT .
T(λx) = λTx = λθV = θV ⇒ λx ∈ KerT .
Phan Đức Tuấn (Khoa Toán - ĐHSP- ĐHĐN) Ánh xạ tuyến tính Đà Nẵng, tháng 12 năm 2011 11 / 66
Bài 1: Định nghĩa và tính chất
Chứng minh.
i. TθU = T(0u) = 0Tu = θV .
iii. Cho u, v ∈ ImT ⇒ ∃x, y ∈ U : Tx = u,Ty = v. Khi
đó
u+ v = Tx+ Ty = T(x+ y) ∈ ImT .
λu = λTx = T(λx) ∈ ImT .
iv. Cho x, y ∈ KerT ⇒ Tx = Ty = θV .
T(x+ y) = Tx+ Ty = θV + θV = θV ⇒ x+ y ∈ KerT .
T(λx) = λTx = λθV = θV ⇒ λx ∈ KerT .
Phan Đức Tuấn (Khoa Toán - ĐHSP- ĐHĐN) Ánh xạ tuyến tính Đà Nẵng, tháng 12 năm 2011 11 / 66
Bài 1: Định nghĩa và tính chất
Nhận xét 1.3
Nếu W là không gian con của không gian vector U thì
T(W) là không gian vector con của V .
Phan Đức Tuấn (Khoa Toán - ĐHSP- ĐHĐN) Ánh xạ tuyến tính Đà Nẵng, tháng 12 năm 2011 12 / 66
Bài 1: Định nghĩa và tính chất
Ví dụ 1.5
Cho ánh xạ tuyến tính
T : R3 → R3,Tu = T(x, y, z) = (x+2y−z, y+z, x+y−2z).
Xác định cơ sở, số chiều của ImT , KerT .
Tìm ImT:
Ta có T(x, y, z) = x(1, 0, 1)+y(2, 1, 1)+ z(−1, 1,−2) suy
ra ImT là không gian con sinh bởi hệ vector
{(1, 0, 1); (2, 1, 1); (−1, 1,−2)}.
Phan Đức Tuấn (Khoa Toán - ĐHSP- ĐHĐN) Ánh xạ tuyến tính Đà Nẵng, tháng 12 năm 2011 13 / 66
Bài 1: Định nghĩa và tính chất
Ví dụ 1.5
Cho ánh xạ tuyến tính
T : R3 → R3,Tu = T(x, y, z) = (x+2y−z, y+z, x+y−2z).
Xác định cơ sở, số chiều của ImT , KerT .
Tìm ImT:
Ta có T(x, y, z) = x(1, 0, 1)+y(2, 1, 1)+ z(−1, 1,−2) suy
ra ImT là không gian con sinh bởi hệ vector
{(1, 0, 1); (2, 1, 1); (−1, 1,−2)}.
Phan Đức Tuấn (Khoa Toán - ĐHSP- ĐHĐN) Ánh xạ tuyến tính Đà Nẵng, tháng 12 năm 2011 13 / 66
Bài 1: Định nghĩa và tính chất
Hay ImT = 〈(1, 0, 1); (2, 1, 1); (−1, 1,−2)〉.
Ta có
1 0 1
2 1 1
−1 1 −2
→
1 0 1
0 1 −1
0 1 −1
→
1 0 1
0 1 −1
0 0 0
Vậy ImT có cơ sở {(1, 0, 1); (0, 1,−1)} suy ra dim(ImT)=2.
Phan Đức Tuấn (Khoa Toán - ĐHSP- ĐHĐN) Ánh xạ tuyến tính Đà Nẵng, tháng 12 năm 2011 14 / 66
Bài 1: Định nghĩa và tính chất
Hay ImT = 〈(1, 0, 1); (2, 1, 1); (−1, 1,−2)〉.
Ta có
1 0 1
2 1 1
−1 1 −2
→
1 0 1
0 1 −1
0 1 −1
→
1 0 1
0 1 −1
0 0 0
Vậy ImT có cơ sở {(1, 0, 1); (0, 1,−1)} suy ra dim(ImT)=2.
Phan Đức Tuấn (Khoa Toán - ĐHSP- ĐHĐN) Ánh xạ tuyến tính Đà Nẵng, tháng 12 năm 2011 14 / 66
Bài 1: Định nghĩa và tính chất
Hay ImT = 〈(1, 0, 1); (2, 1, 1); (−1, 1,−2)〉.
Ta có
1 0 1
2 1 1
−1 1 −2
→
1 0 1
0 1 −1
0 1 −1
→
1 0 1
0 1 −1
0 0 0
Vậy ImT có cơ sở {(1, 0, 1); (0, 1,−1)} suy ra dim(ImT)=2.
Phan Đức Tuấn (Khoa Toán - ĐHSP- ĐHĐN) Ánh xạ tuyến tính Đà Nẵng, tháng 12 năm 2011 14 / 66
Bài 1: Định nghĩa và tính chất
Ví dụ 1.6
Cho ánh xạ tuyến tính
T : R3 → R3,Tu = T(x, y, z) = (x+2y−z, y+z, x+y−2z).
Xác định cơ sở, số chiều của ImT , KerT .
Tìm KerT: Ta có T(x, y, z) = θ = (0, 0, 0) tương đương
(∗)
x+ 2y− z = 0
y+ z = 0
x+ y− 2z = 0
Phan Đức Tuấn (Khoa Toán - ĐHSP- ĐHĐN) Ánh xạ tuyến tính Đà Nẵng, tháng 12 năm 2011 15 / 66
Bài 1: Định nghĩa và tính chất
Ta có ma trận của hệ phương trình là:
1 2 −1
0 1 1
1 1 −2
→
1 2 −1
0 1 1
0 −1 −1
→
1 2 −1
0 1 1
0 0 0
Nghiệm tổng quát của hệ (*) là (3m,−m,m) = m(3,−1, 1).
Vậy KerT có cơ sở {(3,−1, 1)} suy ra dim(KerT)=1.
Phan Đức Tuấn (Khoa Toán - ĐHSP- ĐHĐN) Ánh xạ tuyến tính Đà Nẵng, tháng 12 năm 2011 16 / 66
Bài 1: Định nghĩa và tính chất
Ta có ma trận của hệ phương trình là:
1 2 −1
0 1 1
1 1 −2
→
1 2 −1
0 1 1
0 −1 −1
→
1 2 −1
0 1 1
0 0 0
Nghiệm tổng quát của hệ (*) là (3m,−m,m) = m(3,−1, 1).
Vậy KerT có cơ sở {(3,−1, 1)} suy ra dim(KerT)=1.
Phan Đức Tuấn (Khoa Toán - ĐHSP- ĐHĐN) Ánh xạ tuyến tính Đà Nẵng, tháng 12 năm 2011 16 / 66
Bài 1: Định nghĩa và tính chất
Ta có ma trận của hệ phương trình là:
1 2 −1
0 1 1
1 1 −2
→
1 2 −1
0 1 1
0 −1 −1
→
1 2 −1
0 1 1
0 0 0
Nghiệm tổng quát của hệ (*) là (3m,−m,m) = m(3,−1, 1).
Vậy KerT có cơ sở {(3,−1, 1)} suy ra dim(KerT)=1.
Phan Đức Tuấn (Khoa Toán - ĐHSP- ĐHĐN) Ánh xạ tuyến tính Đà Nẵng, tháng 12 năm 2011 16 / 66
Bài 1: Định nghĩa và tính chất
Bài tập
Tìm cơ sở, số chiều của ImT , KerT với:
T : R3 → R3,Tu = T(x, y, z) =
(x+ y+ z, x+ y+ z, x+ y+ z).
T : P2[t]→ P1[t],Tp(t) = p′(t).
Phan Đức Tuấn (Khoa Toán - ĐHSP- ĐHĐN) Ánh xạ tuyến tính Đà Nẵng, tháng 12 năm 2011 17 / 66
Bài 1: Định nghĩa và tính chất
Tính chất 2
Cho T : U → V là ánh xạ tuyến tính. Khi đó
i. Nếu u1, u2, . . . , um là hệ phụ thuộc tuyến tính thì hệ
Tu1,Tu2, . . . ,Tum phụ thuộc tuyến tính.
ii. Nếu Tu1,Tu2, . . . ,Tum là hệ độc lập tuyến tính thì hệ
u1, u2, . . . , um độc lập tuyến tính.
iii. Nếu u1, u2, . . . , um là hệ sinh của U thì
Tu1,Tu2, . . . ,Tum là hệ sinh của V.
iv. Nếu W là không gian con của U thì
dim(TW) ≤ dim(W).
Phan Đức Tuấn (Khoa Toán - ĐHSP- ĐHĐN) Ánh xạ tuyến tính Đà Nẵng, tháng 12 năm 2011 18 / 66
Bài 1: Định nghĩa và tính chất
Tính chất 2
Cho T : U → V là ánh xạ tuyến tính. Khi đó
i. Nếu u1, u2, . . . , um là hệ phụ thuộc tuyến tính thì hệ
Tu1,Tu2, . . . ,Tum phụ thuộc tuyến tính.
ii. Nếu Tu1,Tu2, . . . ,Tum là hệ độc lập tuyến tính thì hệ
u1, u2, . . . , um độc lập tuyến tính.
iii. Nếu u1, u2, . . . , um là hệ sinh của U thì
Tu1,Tu2, . . . ,Tum là hệ sinh của V.
iv. Nếu W là không gian con của U thì
dim(TW) ≤ dim(W).
Phan Đức Tuấn (Khoa Toán - ĐHSP- ĐHĐN) Ánh xạ tuyến tính Đà Nẵng, tháng 12 năm 2011 18 / 66
Bài 1: Định nghĩa và tính chất
Tính chất 2
Cho T : U → V là ánh xạ tuyến tính. Khi đó
i. Nếu u1, u2, . . . , um là hệ phụ thuộc tuyến tính thì hệ
Tu1,Tu2, . . . ,Tum phụ thuộc tuyến tính.
ii. Nếu Tu1,Tu2, . . . ,Tum là hệ độc lập tuyến tính thì hệ
u1, u2, . . . , um độc lập tuyến tính.
iii. Nếu u1, u2, . . . , um là hệ sinh của U thì
Tu1,Tu2, . . . ,Tum là hệ sinh của V.
iv. Nếu W là không gian con của U thì
dim(TW) ≤ dim(W).
Phan Đức Tuấn (Khoa Toán - ĐHSP- ĐHĐN) Ánh xạ tuyến tính Đà Nẵng, tháng 12 năm 2011 18 / 66
Bài 1: Định nghĩa và tính chất
Tính chất 2
Cho T : U → V là ánh xạ tuyến tính. Khi đó
i. Nếu u1, u2, . . . , um là hệ phụ thuộc tuyến tính thì hệ
Tu1,Tu2, . . . ,Tum phụ thuộc tuyến tính.
ii. Nếu Tu1,Tu2, . . . ,Tum là hệ độc lập tuyến tính thì hệ
u1, u2, . . . , um độc lập tuyến tính.
iii. Nếu u1, u2, . . . , um là hệ sinh của U thì
Tu1,Tu2, . . . ,Tum là hệ sinh của V.
iv. Nếu W là không gian con của U thì
dim(TW) ≤ dim(W).
Phan Đức Tuấn (Khoa Toán - ĐHSP- ĐHĐN) Ánh xạ tuyến tính Đà Nẵng, tháng 12 năm 2011 18 / 66
Bài 2: Ma trận của ánh xạ tuyến tính
Ma trận của ánh xạ tuyến tính
Định nghĩa 2.1
Cho T : U → V là ánh tuyến tính. E = {e1, e2, . . . , en} là
cơ sở của U, F = {f1, f2, . . . , fm} là cơ sở của V . Ta có:
V 3 Te1 = a11f1 + a21f2 + · · ·+ am1fm
V 3 Te2 = a12f1 + a22f2 + · · ·+ am2fm
. . .
V 3 Ten = a1nf1 + a2nf2 + · · ·+ amnfm
Phan Đức Tuấn (Khoa Toán - ĐHSP- ĐHĐN) Ánh xạ tuyến tính Đà Nẵng, tháng 12 năm 2011 19 / 66
Bài 2: Ma trận của ánh xạ tuyến tính
Định nghĩa 2.2
Khi đó: ma trận A = [aij]mn gọi là ma trận của ánh xạ T
đối với 2 cơ sở E,F và ký hiệu: MTT/EF.
Chú ý 2.1
1 Ma trận MTT/EF, có cột thứ j là [Tej]/F.
2 Khi U = V và E = F thì ma trận MTT/EE gọi là ma
trận của phép biến đổi tuyến tính T đối với cơ sở E.
Ta ký hiệu: MTT/E.
Phan Đức Tuấn (Khoa Toán - ĐHSP- ĐHĐN) Ánh xạ tuyến tính Đà Nẵng, tháng 12 năm 2011 20 / 66
Bài 2: Ma trận của ánh xạ tuyến tính
Định nghĩa 2.2
Khi đó: ma trận A = [aij]mn gọi là ma trận của ánh xạ T
đối với 2 cơ sở E,F và ký hiệu: MTT/EF.
Chú ý 2.1
1 Ma trận MTT/EF, có cột thứ j là [Tej]/F.
2 Khi U = V và E = F thì ma trận MTT/EE gọi là ma
trận của phép biến đổi tuyến tính T đối với cơ sở E.
Ta ký hiệu: MTT/E.
Phan Đức Tuấn (Khoa Toán - ĐHSP- ĐHĐN) Ánh xạ tuyến tính Đà Nẵng, tháng 12 năm 2011 20 / 66
Bài 2: Ma trận của ánh xạ tuyến tính
Ví dụ 2.1
Cho ánh xạ tuyến tính T : R2 → R3 xác định bởi:
T(x, y) = (x+ 2y, 3x− y, 5x+ 6y).
a. Tìm ma trận của T đối với hai cơ sở chính tắc E,F
của R2,R3.
b. Tìm ma trận của T đối với hai cơ sở
E′ = {e′1 = (2, 3); e′2 = (−1, 4)} và cơ sở chính tắc F.
Phan Đức Tuấn (Khoa Toán - ĐHSP- ĐHĐN) Ánh xạ tuyến tính Đà Nẵng, tháng 12 năm 2011 21 / 66
Bài 2: Ma trận của ánh xạ tuyến tính
Giải:
a. Ta có:
Te1 = T(1, 0) = (1, 3, 5) =
(1, 0, 0) + 3(0, 1, 0) + 5(0, 0, 1)
Te2 = T(0, 1) = (2,−1, 6) =
2(1, 0, 0)− (0, 1, 0) + 6(0, 0, 1)
Suy ra (Te1)/F = (1, 3, 5); (Te2)/F = (2,−1, 6) nên
MTT/EF =
1 2
3 −1
5 6
Phan Đức Tuấn (Khoa Toán - ĐHSP- ĐHĐN) Ánh xạ tuyến tính Đà Nẵng, tháng 12 năm 2011 22 / 66
Bài 2: Ma trận của ánh xạ tuyến tính
b. Ta có:
Te′1 = T(2, 3) = (8, 3, 28) =
8(1, 0, 0) + 3(0, 1, 0) + 28(0, 0, 1)
Te′2 = T(−1, 4) = (7,−7, 19) =
7(1, 0, 0)− 7(0, 1, 0) + 19(0, 0, 1)
Suy ra (Te′1)/F = (8, 3, 28); (Te
′
2)/F = (7,−7, 19) nên
MTT/EF =
8 7
3 −7
28 19
Phan Đức Tuấn (Khoa Toán - ĐHSP- ĐHĐN) Ánh xạ tuyến tính Đà Nẵng, tháng 12 năm 2011 23 / 66
Bài 2: Ma trận của ánh xạ tuyến tính
Bài tập 2.1
Cho ánh xạ tuyến tính T : R3 → R2 xác định bởi:
T(x, y, z) = (3x+ 2y− 4z, x− 5y+ 3z).
a. Tìm ma trận của T đối với hai cơ sở
E = {e1 = (1, 0, 1); e2 = (1, 1, 0); e3 = (0, 1, 1)} và
cơ sở chính tắc.
b. Tìm ma trận của T đối với hai cơ sở
E = {e1 = (1, 1, 1); e2 = (1, 1, 0); e3 = (1, 0, 0)} và
F = {f1 = (1, 3); f2 = (2, 5)}.
Phan Đức Tuấn (Khoa Toán - ĐHSP- ĐHĐN) Ánh xạ tuyến tính Đà Nẵng, tháng 12 năm 2011 24 / 66
Bài 2: Ma trận của ánh xạ tuyến tính
Ví dụ 2.2
Cho Axtt T : R2 → R3, có
T(1,−3) = (1, 2, 0);T(0, 2) = (0, 4, 6). Tìm ma trận của
T đối với hai cơ sở chính tắc.
Giải: Ta có
s1 = (1,−3) = (1, 0)− 3(0, 1) = e1 − 3e2,
s2 = (0, 2) = 2(0, 1) = 2e2,
suy ra
Ts1 = Te1 − 3Te2 = (1, 2, 0);Ts2 = 2Te2 = (0, 4, 6),
Phan Đức Tuấn (Khoa Toán - ĐHSP- ĐHĐN) Ánh xạ tuyến tính Đà Nẵng, tháng 12 năm 2011 25 / 66
Bài 2: Ma trận của ánh xạ tuyến tính
Ví dụ 2.2
Cho Axtt T : R2 → R3, có
T(1,−3) = (1, 2, 0);T(0, 2) = (0, 4, 6). Tìm ma trận của
T đối với hai cơ sở chính tắc.
Giải: Ta có
s1 = (1,−3) = (1, 0)− 3(0, 1) = e1 − 3e2,
s2 = (0, 2) = 2(0, 1) = 2e2,
suy ra
Ts1 = Te1 − 3Te2 = (1, 2, 0);Ts2 = 2Te2 = (0, 4, 6),
Phan Đức Tuấn (Khoa Toán - ĐHSP- ĐHĐN) Ánh xạ tuyến tính Đà Nẵng, tháng 12 năm 2011 25 / 66
Bài 2: Ma trận của ánh xạ tuyến tính
Ví dụ 2.2
Cho Axtt T : R2 → R3, có
T(1,−3) = (1, 2, 0);T(0, 2) = (0, 4, 6). Tìm ma trận của
T đối với hai cơ sở chính tắc.
Giải: Ta có
s1 = (1,−3) = (1, 0)− 3(0, 1) = e1 − 3e2,
s2 = (0, 2) = 2(0, 1) = 2e2,
suy ra
Ts1 = Te1 − 3Te2 = (1, 2, 0);Ts2 = 2Te2 = (0, 4, 6),
Phan Đức Tuấn (Khoa Toán - ĐHSP- ĐHĐN) Ánh xạ tuyến tính Đà Nẵng, tháng 12 năm 2011 25 / 66
Bài 2: Ma trận của ánh xạ tuyến tính
Ts1 = Te1 − 3Te2 = (1, 2, 0),
Ts2 = 2Te2 = (0, 4, 6),
suy ra
Te2 = (0, 2, 3);Te1 = (1, 8, 9).
Vậy
MTT/ctct =
1 0
8 2
9 3
.
Phan Đức Tuấn (Khoa Toán - ĐHSP- ĐHĐN) Ánh xạ tuyến tính Đà Nẵng, tháng 12 năm 2011 26 / 66
Bài 2: Ma trận của ánh xạ tuyến tính
Bài tập 2.2
Cho Axtt T : R2 → R2, có
T(1, 2) = (3, 5);T(2,−1) = (4, 6). Tìm ma trận của T
đối với hai cơ sở chính tắc và T(x, y).
Bài tập 2.3
Cho Axtt T : R3 → R3, có T(1, 1, 0) = (0, 3, 5);
T(1, 0, 1) = (2, 4, 6);T(0, 1, 1) = (3, 0, 1). Tìm ma trận
của T đối với hai cơ sở chính tắc và T(x, y).
Phan Đức Tuấn (Khoa Toán - ĐHSP- ĐHĐN) Ánh xạ tuyến tính Đà Nẵng, tháng 12 năm 2011 27 / 66
Bài 2: Ma trận của ánh xạ tuyến tính
Bài tập 2.2
Cho Axtt T : R2 → R2, có
T(1, 2) = (3, 5);T(2,−1) = (4, 6). Tìm ma trận của T
đối với hai cơ sở chính tắc và T(x, y).
Bài tập 2.3
Cho Axtt T : R3 → R3, có T(1, 1, 0) = (0, 3, 5);
T(1, 0, 1) = (2, 4, 6);T(0, 1, 1) = (3, 0, 1). Tìm ma trận
của T đối với hai cơ sở chính tắc và T(x, y).
Phan Đức Tuấn (Khoa Toán - ĐHSP- ĐHĐN) Ánh xạ tuyến tính Đà Nẵng, tháng 12 năm 2011 27 / 66
Bài 2: Ma trận của ánh xạ tuyến tính
Tính chất 3
Cho T : U → V là Axtt, E,F là các cơ sở của U,V và
A = MTT/E,F. Khi đó
[Tv]/F = A[v]/E.
Phan Đức Tuấn (Khoa Toán - ĐHSP- ĐHĐN) Ánh xạ tuyến tính Đà Nẵng, tháng 12 năm 2011 28 / 66
Bài 2: Ma trận của ánh xạ tuyến tính
Ví dụ 2.3
Cho T : R3 → R2 là Axtt có ma trận đối với hai cơ sở
chính tắc là
A = MTT/CT,CT =
[
1 2 3
2 3 5
]
Xác định Tu = T(x, y, z) ?
Phan Đức Tuấn (Khoa Toán - ĐHSP- ĐHĐN) Ánh xạ tuyến tính Đà Nẵng, tháng 12 năm 2011 29 / 66
Bài 2: Ma trận của ánh xạ tuyến tính
Ta có
u = (x, y, z)→ (u)/CT = (x, y, z)
[Tu]/CT = A[u]/CT =
[
1 2 3
2 3 5
]
x
y
z
=
[
x+ 2y+ 3z
2x+ 3y+ 5z
]
Tu = T(x, y, z) = (x+ 2y+ 3z, 2x+ 3y+ 5z)
Phan Đức Tuấn (Khoa Toán - ĐHSP- ĐHĐN) Ánh xạ tuyến tính Đà Nẵng, tháng 12 năm 2011 30 / 66
Bài 3: Chuyển cơ sở
Chuyển cơ sở
Bài toán
Cho phép biến đổi tuyến tính T : V → V và
E = {e1, . . . , en};E′ = {e′1, . . . , e′n} là hai cơ sở của V .
Tìm mối liên hệ giữa:
1 (v)/E và (v)/E′
2 MTT/E và MTT/E′ ?
Phan Đức Tuấn (Khoa Toán - ĐHSP- ĐHĐN) Ánh xạ tuyến tính Đà Nẵng, tháng 12 năm 2011 31 / 66
Bài 3: Chuyển cơ sở
Định lý 3.1
Cho E = {e1, . . . , en};E′ = {e′1, . . . , e′n} là hai cơ sở của
V và
e′1 = a11e1 + · · ·+ an1en, (3.1)
. = . . . , (3.2)
e′n = a1ne1 + · · ·+ annen. (3.3)
Khi đó: [v]/E = P[v]/E′, trong đó, P là ma trận[
[e′1]/E . . . [e
′
n]/E
]
= MT/E,E′ gọi là ma trận chuyển từ cơ
sở E sang cơ sở E′.
Phan Đức Tuấn (Khoa Toán - ĐHSP- ĐHĐN) Ánh xạ tuyến tính Đà Nẵng, tháng 12 năm 2011 32 / 66
Bài 3: Chuyển cơ sở
Ví dụ 3.1
Trong R2 cho E là cơ sở chính tắc và
E′ = {e′1 = (1, 1); e′2 = (2, 0)}. Tìm MT/E,E′ và MT/E′,E.
Phan Đức Tuấn (Khoa Toán - ĐHSP- ĐHĐN) Ánh xạ tuyến tính Đà Nẵng, tháng 12 năm 2011 33 / 66
Bài 3: Chuyển cơ sở
Ta có (e′1)/E = (1, 1); (e
′
2)/E = (2, 0) suy ra
P = MT/E,E′ =
[
1 2
1 0
]
.
Phan Đức Tuấn (Khoa Toán - ĐHSP- ĐHĐN) Ánh xạ tuyến tính Đà Nẵng, tháng 12 năm 2011 34 / 66
Bài 3: Chuyển cơ sở
Ta có:
e1 = (1, 0) = 0(1, 1) + 12(2, 0)
→ (e1)/E′ = (0, 12);
e2 = (0, 1) = 1(1, 1)− 12(2, 0)
→ (e2)/E′ = (1,−12)
Q = MTE′,E =
[
0 1
1
2 −12
]
Phan Đức Tuấn (Khoa Toán - ĐHSP- ĐHĐN) Ánh xạ tuyến tính Đà Nẵng, tháng 12 năm 2011 35 / 66
Bài 3: Chuyển cơ sở
Nhận xét 3.1
Nếu P = MT/E,E′ thì P−1 = MT/E′,E.
[v]/E = P[v]/E′ → [v]/E′ = P−1[v]/E.
Phan Đức Tuấn (Khoa Toán - ĐHSP- ĐHĐN) Ánh xạ tuyến tính Đà Nẵng, tháng 12 năm 2011 36 / 66
Bài 3: Chuyển cơ sở
Nhận xét 3.1
Nếu P = MT/E,E′ thì P−1 = MT/E′,E.
[v]/E = P[v]/E′ → [v]/E′ = P−1[v]/E.
Phan Đức Tuấn (Khoa Toán - ĐHSP- ĐHĐN) Ánh xạ tuyến tính Đà Nẵng, tháng 12 năm 2011 36 / 66
Bài 3: Chuyển cơ sở
Định lý 3.2
Cho phép biến đổi tuyến tính T : V → V và E,E′ là hai
cơ sở của V. Khi đó:
A = MTT/E = MT/E,E′MTT/E′MT/E′,E = PBP
−1
hay B = P−1AP
E
A=MTT/E−−−−−→ E
P ↓ ↑ P−1
E′
B=MTT/F−−−−−→ E′
Phan Đức Tuấn (Khoa Toán - ĐHSP- ĐHĐN) Ánh xạ tuyến tính Đà Nẵng, tháng 12 năm 2011 37 / 66
Bài 3: Chuyển cơ sở
Định lý 3.2
Cho phép biến đổi tuyến tính T : V → V và E,E′ là hai
cơ sở của V. Khi đó:
A = MTT/E = MT/E,E′MTT/E′MT/E′,E = PBP
−1
hay B = P−1AP
E
A=MTT/E−−−−−→ E
P ↓ ↑ P−1
E′
B=MTT/F−−−−−→ E′
Phan Đức Tuấn (Khoa Toán - ĐHSP- ĐHĐN) Ánh xạ tuyến tính Đà Nẵng, tháng 12 năm 2011 37 / 66
Bài 3: Chuyển cơ sở
Định nghĩa 3.2
Cho A,B là hai ma trận vuông cấp n. Hai ma trận này gọi
là đồng dạng với nhau nếu tồn tại ma trận P sao cho
B = P−1AP.
Phan Đức Tuấn (Khoa Toán - ĐHSP- ĐHĐN) Ánh xạ tuyến tính Đà Nẵng, tháng 12 năm 2011 38 / 66
Bài 3: Chuyển cơ sở
Ví dụ 3.2
Cho axtt T : R2 → R2;Tu = T(x, y) = (2x− 3y, 5x+ y),
E là cơ sở chính tắc và cơ sở
E′ = {e′1 = (1, 3); e′2 = (0, 2)}. Tìm MTT/E;MTT/E′.
Phan Đức Tuấn (Khoa Toán - ĐHSP- ĐHĐN) Ánh xạ tuyến tính Đà Nẵng, tháng 12 năm 2011 39 / 66
Bài 3: Chuyển cơ sở
Ta có
A = MTT/E =
[
2 −3
5 1
]
Tìm B = MTT/E′.
Dùng định nghĩa:
Dùng công thức chuyển cơ sở:
Phan Đức Tuấn (Khoa Toán - ĐHSP- ĐHĐN) Ánh xạ tuyến tính Đà Nẵng, tháng 12 năm 2011 40 / 66
Bài 3: Chuyển cơ sở
Ta có
A = MTT/E =
[
2 −3
5 1
]
Tìm B = MTT/E′.
Dùng định nghĩa:
Dùng công thức chuyển cơ sở:
Phan Đức Tuấn (Khoa Toán - ĐHSP- ĐHĐN) Ánh xạ tuyến tính Đà Nẵng, tháng 12 năm 2011 40 / 66
Bài 3: Chuyển cơ sở
Ta có
A = MTT/E =
[
2 −3
5 1
]
Tìm B = MTT/E′.
Dùng định nghĩa:
Dùng công thức chuyển cơ sở:
Phan Đức Tuấn (Khoa Toán - ĐHSP- ĐHĐN) Ánh xạ tuyến tính Đà Nẵng, tháng 12 năm 2011 40 / 66
Bài 3: Chuyển cơ sở
Ta có
A = MTT/E =
[
2 −3
5 1
]
Tìm B = MTT/E′.
Dùng định nghĩa:
Dùng công thức chuyển cơ sở:
Phan Đức Tuấn (Khoa Toán - ĐHSP- ĐHĐN) Ánh xạ tuyến tính Đà Nẵng, tháng 12 năm 2011 40 / 66
Bài 4: Trị riêng và vector riêng
Trị riêng và vector riêng của ánh xạ tuyến tính
Định nghĩa 4.1
Cho T là phép biến đổi tuyến tuyến tính từ V → V .
Vector v ∈ V(v 6= θ) gọi là vector riêng của T nếu
Tv = λv. Số λ gọi là trị riêng ứng với vector riêng v.
Phan Đức Tuấn (Khoa Toán - ĐHSP- ĐHĐN) Ánh xạ tuyến tính Đà Nẵng, tháng 12 năm 2011 41 / 66
Bài 4: Trị riêng và vector riêng
Nhận xét 4.2
Nếu v là vector riêng ứng với trị riêng λ thì kv cũng là
vector riêng ứng với trị riêng λ.
Thật vậy, T(kv) = kTv = k(λv) = λ(kv).
Phan Đức Tuấn (Khoa Toán - ĐHSP- ĐHĐN) Ánh xạ tuyến tính Đà Nẵng, tháng 12 năm 2011 42 / 66
Bài 4: Trị riêng và vector riêng
Nhận xét 4.2
Nếu v là vector riêng ứng với trị riêng λ thì kv cũng là
vector riêng ứng với trị riêng λ.
Thật vậy, T(kv) = kTv = k(λv) = λ(kv).
Phan Đức Tuấn (Khoa Toán - ĐHSP- ĐHĐN) Ánh xạ tuyến tính Đà Nẵng, tháng 12 năm 2011 42 / 66
Bài 4: Trị riêng và vector riêng
Ví dụ 4.1
Tìm trị riêng và vector riêng của ánh xạ tuyến tính sau:
T : R2 → R2,T(x, y) = (2x+ y, 6x+ 3y).
Ta có
T(x, y) = λ(x, y)⇔ (2x+ y, 6x+ 3y) = λ(x, y)
(∗)
2x+ y = λx6x+ 3y = λy ⇔
(2− λ)x+ y = 06x+ (3− λ)y = 0
có nghiệm không tầm thường det(A) = 0.
Phan Đức Tuấn (Khoa Toán - ĐHSP- ĐHĐN) Ánh xạ tuyến tính Đà Nẵng, tháng 12 năm 2011 43 / 66
Bài 4: Trị riêng và vector riêng
Ví dụ 4.1
Tìm trị riêng và vector riêng của ánh xạ tuyến tính sau:
T : R2 → R2,T(x, y) = (2x+ y, 6x+ 3y).
Ta có
T(x, y) = λ(x, y)⇔ (2x+ y, 6x+ 3y) = λ(x, y)
(∗)
2x+ y = λx6x+ 3y = λy ⇔
(2− λ)x+ y = 06x+ (3− λ)y = 0
có nghiệm không tầm thường
det(A) = 0.
Phan Đức Tuấn (Khoa Toán - ĐHSP- ĐHĐN) Ánh xạ tuyến tính Đà Nẵng, tháng 12 năm 2011 43 / 66
Bài 4: Trị riêng và vector riêng
Ví dụ 4.1
Tìm trị riêng và vector riêng của ánh xạ tuyến tính sau:
T : R2 → R2,T(x, y) = (2x+ y, 6x+ 3y).
Ta có
T(x, y) = λ(x, y)⇔ (2x+ y, 6x+ 3y) = λ(x, y)
(∗)
2x+ y = λx6x+ 3y = λy ⇔
(2− λ)x+ y = 06x+ (3− λ)y = 0
có nghiệm không tầm thường det(A) = 0.
Phan Đức Tuấn (Khoa Toán - ĐHSP- ĐHĐN) Ánh xạ tuyến tính Đà Nẵng, tháng 12 năm 2011 43 / 66
Bài 4: Trị riêng và vector riêng
det(A) =
∣∣∣∣∣2− λ 16 3− λ
∣∣∣∣∣ = λ2 − 5λ = 0
Vậy ta có 2 trị riêng λ = 0, λ = 5.
Phan Đức Tuấn (Khoa Toán - ĐHSP- ĐHĐN) Ánh xạ tuyến tính Đà Nẵng, tháng 12 năm 2011 44 / 66
Bài 4: Trị riêng và vector riêng
det(A) =
∣∣∣∣∣2− λ 16 3− λ
∣∣∣∣∣ = λ2 − 5λ = 0
Vậy ta có 2 trị riêng λ = 0, λ = 5.
Phan Đức Tuấn (Khoa Toán - ĐHSP- ĐHĐN) Ánh xạ tuyến tính Đà Nẵng, tháng 12 năm 2011 44 / 66
Bài 4: Trị riêng và vector riêng
Với trị riêng λ = 0. Khi đó hệ phương trình (*) viết lại2x+ y = 06x+ 3y = 0 ⇔ y = −2x.
Suy ra (x,−2x) = x(1,−2). Vậy v = (1,−2) là vector
riêng ứng với trị riêng λ = 0.
Phan Đức Tuấn (Khoa Toán - ĐHSP- ĐHĐN) Ánh xạ tuyến tính Đà Nẵng, tháng 12 năm 2011 45 / 66
Bài 4: Trị riêng và vector riêng
Với trị riêng λ = 0. Khi đó hệ phương trình (*) viết lại2x+ y = 06x+ 3y = 0 ⇔ y = −2x.
Suy ra (x,−2x) = x(1,−2). Vậy v = (1,−2) là vector
riêng ứng với trị riêng λ = 0.
Phan Đức Tuấn (Khoa Toán - ĐHSP- ĐHĐN) Ánh xạ tuyến tính Đà Nẵng, tháng 12 năm 2011 45 / 66
Bài 4: Trị riêng và vector riêng
Với trị riêng λ = 5. Khi đó hệ phương trình (*) viết lại−3x+ y = 06x− 2y = 0 ⇔ y = 3x.
Suy ra v = (x, 3x) = x(1, 3). Vậy v = (1, 3) là vector
riêng ứng với trị riêng λ = 5
Phan Đức Tuấn (Khoa Toán - ĐHSP- ĐHĐN) Ánh xạ tuyến tính Đà Nẵng, tháng 12 năm 2011 46 / 66
Bài 4: Trị riêng và vector riêng
Với trị riêng λ = 5. Khi đó hệ phương trình (*) viết lại−3x+ y = 06x− 2y = 0 ⇔ y = 3x.
Suy ra v = (x, 3x) = x(1, 3). Vậy v = (1, 3) là vector
riêng ứng với trị riêng λ = 5
Phan Đức Tuấn (Khoa Toán - ĐHSP- ĐHĐN) Ánh xạ tuyến tính Đà Nẵng, tháng 12 năm 2011 46 / 66
Bài 4: Trị riêng và vector riêng
Tìm trị riêng và vector của ánh xạ tuyến tính
T : R3 → R3;T(x, y, z) = (2x+ y− 2z,−2x+ y+ 2z, y).
Phan Đức Tuấn (Khoa Toán - ĐHSP- ĐHĐN) Ánh xạ tuyến tính Đà Nẵng, tháng 12 năm 2011 47 / 66
Bài 4: Trị riêng và vector riêng
Tv = λv⇔ (∗)
(2− λ)x+ y− 2z = 0
−2x+ (1− λ)y+ 2z = 0
y− λz = 0
det(A) =
∣∣∣∣∣∣∣∣
2− λ 1 −2
−2 1− λ 2
0 1 −λ
∣∣∣∣∣∣∣∣ = −λ
3 + 3λ2 − 2λ = 0.
Vậy T có 3 trị riêng λ = 0, λ = 1, λ = 2.
Phan Đức Tuấn (Khoa Toán - ĐHSP- ĐHĐN) Ánh xạ tuyến tính Đà Nẵng, tháng 12 năm 2011 48 / 66
Bài 4: Trị riêng và vector riêng
Tv = λv⇔ (∗)
(2− λ)x+ y− 2z = 0
−2x+ (1− λ)y+ 2z = 0
y− λz = 0
det(A) =
∣∣∣∣∣∣∣∣
2− λ 1 −2
−2 1− λ 2
0 1 −λ
∣∣∣∣∣∣∣∣ = −λ
3 + 3λ2 − 2λ = 0.
Vậy T có 3 trị riêng λ = 0, λ = 1, λ = 2.
Phan Đức Tuấn (Khoa Toán - ĐHSP- ĐHĐN) Ánh xạ tuyến tính Đà Nẵng, tháng 12 năm 2011 48 / 66
Bài 4: Trị riêng và vector riêng
Tv = λv⇔ (∗)
(2− λ)x+ y− 2z = 0
−2x+ (1− λ)y+ 2z = 0
y− λz = 0
det(A) =
∣∣∣∣∣∣∣∣
2− λ 1 −2
−2 1− λ 2
0 1 −λ
∣∣∣∣∣∣∣∣ = −λ
3 + 3λ2 − 2λ = 0.
Vậy T có 3 trị riêng λ = 0, λ = 1, λ = 2.
Phan Đức Tuấn (Khoa Toán - ĐHSP- ĐHĐN) Ánh xạ tuyến tính Đà Nẵng, tháng 12 năm 2011 48 / 66
Bài 4: Trị riêng và vector riêng
Với trị riêng λ = 0. Hệ phương trình (*) viết lại
2x+ y− 2z = 0
−2x+ y+ 2z = 0
y = 0
⇔
x = m
y = 0
z = m
Suy ra v = (m, 0,m) = m(1, 0, 1). Vậy v = (1, 0, 1) là
vector riêng ứng với trị riêng λ = 0.
Phan Đức Tuấn (Khoa Toán - ĐHSP- ĐHĐN) Ánh xạ tuyến tính Đà Nẵng, tháng 12 năm 2011 49 / 66
Bài 4: Trị riêng và vector riêng
Trị riêng và vector riêng của ma trận
Định nghĩa 4.3
Cho A là ma trận vuông cấp n. Số λ gọi là trị riêng của
ma trận A nếu phương trình ma trận
AX = λX, (X ∈Mn1)
có nghiệm X 6= O và v = (x1, x2, . . . , xn) gọi là vector
riêng ứng với trị riêng λ.
Phan Đức Tuấn (Khoa Toán - ĐHSP- ĐHĐN) Ánh xạ tuyến tính Đà Nẵng, tháng 12 năm 2011 50 / 66
Bài 4: Trị riêng và vector riêng
Ví dụ 4.2
Tìm trị riêng và vector của ma trận[
1 2
3 2
]
Ta có
AX = λX ⇔
[
1 2
3 2
][
x1
x2
]
= λ
[
x1
x2
]
x1 + 2x2 = λx13x1 + 2x2 = λx2 ⇔ (∗)
(1− λ)x1 + 2x2 = 03x1 + (2− λ)x2 = 0
Phan Đức Tuấn (Khoa Toán - ĐHSP- ĐHĐN) Ánh xạ tuyến tính Đà Nẵng, tháng 12 năm 2011 51 / 66
Bài 4: Trị riêng và vector riêng
Ví dụ 4.2
Tìm trị riêng và vector của ma trận[
1 2
3 2
]
Ta có
AX = λX ⇔
[
1 2
3 2
][
x1
x2
]
= λ
[
x1
x2
]
x1 + 2x2 = λx13x1 + 2x2 = λx2 ⇔ (∗)
(1− λ)x1 + 2x2 = 03x1 + (2− λ)x2 = 0
Phan Đức Tuấn (Khoa Toán - ĐHSP- ĐHĐN) Ánh xạ tuyến tính Đà Nẵng, tháng 12 năm 2011 51 / 66
Bài 4: Trị riêng và vector riêng
Ví dụ 4.2
Tìm trị riêng và vector của ma trận[
1 2
3 2
]
Ta có
AX = λX ⇔
[
1 2
3 2
][
x1
x2
]
= λ
[
x1
x2
]
x1 + 2x2 = λx13x1 + 2x2 = λx2 ⇔ (∗)
(1− λ)x1 + 2x2 = 03x1 + (2− λ)x2 = 0
Phan Đức Tuấn (Khoa Toán - ĐHSP- ĐHĐN) Ánh xạ tuyến tính Đà Nẵng, tháng 12 năm 2011 51 / 66
Bài 4: Trị riêng và vector riêng
Để hệ (*) có nghiệm không tầm thường thì∣∣∣∣∣1− λ 23 2− λ
∣∣∣∣∣
= λ2 − 3λ− 4 = 0
Vậy A có hai trị riêng λ = −1 và λ = 4.
Với λ = −1 hệ (*) có nghiệm (m,−m) suy ra vector riêng
v = (1,−1).
Với λ = 4 hệ (*) suy ra vector riêng v = (2, 3).
Phan Đức Tuấn (Khoa Toán - ĐHSP- ĐHĐN) Ánh xạ tuyến tính Đà Nẵng, tháng 12 năm 2011 52 / 66
Bài 4: Trị riêng và vector riêng
Để hệ (*) có nghiệm không tầm thường thì∣∣∣∣∣1− λ 23 2− λ
∣∣∣∣∣ = λ2 − 3λ− 4 = 0
Vậy A có hai trị riêng λ = −1 và λ = 4.
Với λ = −1 hệ (*) có nghiệm (m,−m) suy ra vector riêng
v = (1,−1).
Với λ = 4 hệ (*) suy ra vector riêng v = (2, 3).
Phan Đức Tuấn (Khoa Toán - ĐHSP- ĐHĐN) Ánh xạ tuyến tính Đà Nẵng, tháng 12 năm 2011 52 / 66
Bài 4: Trị riêng và vector riêng
Để hệ (*) có nghiệm không tầm thường thì∣∣∣∣∣1− λ 23 2− λ
∣∣∣∣∣ = λ2 − 3λ− 4 = 0
Vậy A có hai trị riêng λ = −1 và λ = 4.
Với λ = −1 hệ (*) có nghiệm (m,−m) suy ra vector riêng
v = (1,−1).
Với λ = 4 hệ (*) suy ra vector riêng v = (2, 3).
Phan Đức Tuấn (Khoa Toán - ĐHSP- ĐHĐN) Ánh xạ tuyến tính Đà Nẵng, tháng 12 năm 2011 52 / 66
Bài 4: Trị riêng và vector riêng
Để hệ (*) có nghiệm không tầm thường thì∣∣∣∣∣1− λ 23 2− λ
∣∣∣∣∣ = λ2 − 3λ− 4 = 0
Vậy A có hai trị riêng λ = −1 và λ = 4.
Với λ = −1 hệ (*) có nghiệm (m,−m) suy ra vector riêng
v = (1,−1).
Với λ = 4 hệ (*) suy ra vector riêng v = (2, 3).
Phan Đức Tuấn (Khoa Toán - ĐHSP- ĐHĐN) Ánh xạ tuyến tính Đà Nẵng, tháng 12 năm 2011 52 / 66
Bài 4: Trị riêng và vector riêng
Để hệ (*) có nghiệm không tầm thường thì∣∣∣∣∣1− λ 23 2− λ
∣∣∣∣∣ = λ2 − 3λ− 4 = 0
Vậy A có hai trị riêng λ = −1 và λ = 4.
Với λ = −1 hệ (*) có nghiệm (m,−m) suy ra vector riêng
v = (1,−1).
Với λ = 4 hệ (*) suy ra vector riêng v = (2, 3).
Phan Đức Tuấn (Khoa Toán - ĐHSP- ĐHĐN) Ánh xạ tuyến tính Đà Nẵng, tháng 12 năm 2011 52 / 66
Bài 4: Trị riêng và vector riêng
Nhận xét 4.4
Phương trình ma trận AX = λX ⇔ (A− λI)X = O có
nghiệm X 6= O nếu det(A− λI) = 0.
Định nghĩa 4.5
Giả sử A là ma trận vuông cấp n. Phương trình
det(A− λI) = 0
gọi là phương trình đặc trưng của ma trận vuông A và
PA(t) = det(A− λI) gọi là đa thức đặc trưng của ma trận
A.
Phan Đức Tuấn (Khoa Toán - ĐHSP- ĐHĐN) Ánh xạ tuyến tính Đà Nẵng, tháng 12 năm 2011 53 / 66
Bài 4: Trị riêng và vector riêng
Nhận xét 4.4
Phương trình ma trận AX = λX ⇔ (A− λI)X = O có
nghiệm X 6= O nếu det(A− λI) = 0.
Định nghĩa 4.5
Giả sử A là ma trận vuông cấp n. Phương trình
det(A− λI) = 0
gọi là phương trình đặc trưng của ma trận vuông A và
PA(t) = det(A− λI) gọi là đa thức đặc trưng của ma trận
A.
Phan Đức Tuấn (Khoa Toán - ĐHSP- ĐHĐN) Ánh xạ tuyến tính Đà Nẵng, tháng 12 năm 2011 53 / 66
Bài 4: Trị riêng và vector riêng
Ví dụ 4.3
Phương trình đặc trưng của ma trận[
1 2
3 3
]
là ∣∣∣∣∣1− λ 23 2− λ
∣∣∣∣∣ = λ2 − 3λ− 4 = 0.
Phan Đức Tuấn (Khoa Toán - ĐHSP- ĐHĐN) Ánh xạ tuyến tính Đà Nẵng, tháng 12 năm 2011 54 / 66
Bài 4: Trị riêng và vector riêng
Ví dụ 4.4
Phương trình đặc trưng của ma trận
2 1 0
0 1 −1
0 2 4
là
det(A−λI) =
∣∣∣∣∣∣∣∣
2− λ 1 0
0 1− λ −1
0 2 4− λ
∣∣∣∣∣∣∣∣ = (λ−2)
2(3−λ) = 0.
Phan Đức Tuấn (Khoa Toán - ĐHSP- ĐHĐN) Ánh xạ tuyến tính Đà Nẵng, tháng 12 năm 2011 55 / 66
Bài 4: Trị riêng và vector riêng
Ví dụ 4.4
Phương trình đặc trưng của ma trận
2 1 0
0 1 −1
0 2 4
là
det(A−λI) =
∣∣∣∣∣∣∣∣
2− λ 1 0
0 1− λ −1
0 2 4− λ
∣∣∣∣∣∣∣∣ =
(λ−2)2(3−λ) = 0.
Phan Đức Tuấn (Khoa Toán - ĐHSP- ĐHĐN) Ánh xạ tuyến tính Đà Nẵng, tháng 12 năm 2011 55 / 66
Bài 4: Trị riêng và vector riêng
Ví dụ 4.4
Phương trình đặc trưng của ma trận
2 1 0
0 1 −1
0 2 4
là
det(A−λI) =
∣∣∣∣∣∣∣∣
2− λ 1 0
0 1− λ −1
0 2 4− λ
∣∣∣∣∣∣∣∣ = (λ−2)
2(3−λ) = 0.
Phan Đức Tuấn (Khoa Toán - ĐHSP- ĐHĐN) Ánh xạ tuyến tính Đà Nẵng, tháng 12 năm 2011 55 / 66
Bài 4: Trị riêng và vector riêng
Định lý 4.1
Giả sử T là một phép biến đổi tuyến tính trên V, và
A = MTT/E. Khi đó
1 Trị riêng của T là trị riêng của A và ngược lại
2 v là vector riêng của T ứng với trị riêng λ khi và chỉ
khi (v)/E là vector riêng của ma trận A đối với trị
riêng λ.
Phan Đức Tuấn (Khoa Toán - ĐHSP- ĐHĐN) Ánh xạ tuyến tính Đà Nẵng, tháng 12 năm 2011 56 / 66
Bài 4: Trị riêng và vector riêng
Ví dụ 4.5
Cho Axtt T : P2[t]→ P2[t] xác định bởi
Tp(t) = T(at2+ bt+ c) = (2a+ b)t2+(b− c)t+ 2b+ 4c.
Tìm trị riêng và vector riêng của T .
Ta có,
A = MTT/CT =
2 1 0
0 1 −1
0 2 4
theo Ví dụ 4.4 trị riêng của ma trận A là λ = 2, λ = 3.
Phan Đức Tuấn (Khoa Toán - ĐHSP- ĐHĐN) Ánh xạ tuyến tính Đà Nẵng, tháng 12 năm 2011 57 / 66
Bài 4: Trị riêng và vector riêng
Ví dụ 4.5
Cho Axtt T : P2[t]→ P2[t] xác định bởi
Tp(t) = T(at2+ bt+ c) = (2a+ b)t2+(b− c)t+ 2b+ 4c.
Tìm trị riêng và vector riêng của T .
Ta có,
A = MTT/CT =
2 1 0
0 1 −1
0 2 4
theo Ví dụ 4.4 trị riêng của ma trận A là λ = 2, λ = 3.
Phan Đức Tuấn (Khoa Toán - ĐHSP- ĐHĐN) Ánh xạ tuyến tính Đà Nẵng, tháng 12 năm 2011 57 / 66
Bài 4: Trị riêng và vector riêng
Ứng với trị riêng λ = 2 ta có vector của ma trận A là
u = (1, 0, 0)
= (p(t))/CT suy ra vector riêng của T là
p(t) = t2.
Ứng với trị riêng λ = 3 ta có vector của ma trận A là
u = (1, 1,−2) = (p(t))/CT suy ra vector riêng của T là
p(t) = t2 + t − 2.
Phan Đức Tuấn (Khoa Toán - ĐHSP- ĐHĐN) Ánh xạ tuyến tính Đà Nẵng, tháng 12 năm 2011 58 / 66
Bài 4: Trị riêng và vector riêng
Ứng với trị riêng λ = 2 ta có vector của ma trận A là
u = (1, 0, 0) = (p(t))/CT suy ra vector riêng của T là
p(t) = t2.
Ứng với trị riêng λ = 3 ta có vector của ma trận A là
u = (1, 1,−2) = (p(t))/CT suy ra vector riêng của T là
p(t) = t2 + t − 2.
Phan Đức Tuấn (Khoa Toán - ĐHSP- ĐHĐN) Ánh xạ tuyến tính Đà Nẵng, tháng 12 năm 2011 58 / 66
Bài 4: Trị riêng và vector riêng
Ứng với trị riêng λ = 2 ta có vector của ma trận A là
u = (1, 0, 0) = (p(t))/CT suy ra vector riêng của T là
p(t) = t2.
Ứng với trị riêng λ = 3 ta có vector của ma trận A là
u = (1, 1,−2) = (p(t))/CT suy ra vector riêng của T là
p(t) = t2 + t − 2.
Phan Đức Tuấn (Khoa Toán - ĐHSP- ĐHĐN) Ánh xạ tuyến tính Đà Nẵng, tháng 12 năm 2011 58 / 66
Bài 4: Trị riêng và vector riêng
Ví dụ 4.6
Cho Axtt
Tu = T(x, y, z) = (2x+ 2y+ z, x+ 3y+ z, x+ 2y+ 2z).
Tìm trị riêng và vector riêng của T .
Đáp số:
det(A− λI) = −λ3 + 7λ2 − 11λ+ 5 = 0
Ứng với λ = 5 ta có một vector riêng v = (1, 1, 1)
Ứng với λ = 1 ta có hai vector riêng
v = (1, 0,−1); u = (0, 1,−2).
Phan Đức Tuấn (Khoa Toán - ĐHSP- ĐHĐN) Ánh xạ tuyến tính Đà Nẵng, tháng 12 năm 2011 59 / 66
Bài 4: Trị riêng và vector riêng
Ví dụ 4.6
Cho Axtt
Tu = T(x, y, z) = (2x+ 2y+ z, x+ 3y+ z, x+ 2y+ 2z).
Tìm trị riêng và vector riêng của T .
Đáp số:
det(A− λI) = −λ3 + 7λ2 − 11λ+ 5 = 0
Ứng với λ = 5 ta có một vector riêng v = (1, 1, 1)
Ứng với λ = 1 ta có hai vector riêng
v = (1, 0,−1); u = (0, 1,−2).
Phan Đức Tuấn (Khoa Toán - ĐHSP- ĐHĐN) Ánh xạ tuyến tính Đà Nẵng, tháng 12 năm 2011 59 / 66
Bài 4: Trị riêng và vector riêng
Ví dụ 4.6
Cho Axtt
Tu = T(x, y, z) = (2x+ 2y+ z, x+ 3y+ z, x+ 2y+ 2z).
Tìm trị riêng và vector riêng của T .
Đáp số:
det(A− λI) = −λ3 + 7λ2 − 11λ+ 5 = 0
Ứng với λ = 5 ta có một vector riêng v = (1, 1, 1)
Ứng với λ = 1 ta có hai vector riêng
v = (1, 0,−1); u = (0, 1,−2).
Phan Đức Tuấn (Khoa Toán - ĐHSP- ĐHĐN) Ánh xạ tuyến tính Đà Nẵng, tháng 12 năm 2011 59 / 66
Bài 4: Trị riêng và vector riêng
Nhận xét 4.6
Ma trận của một phép biến đổi tuyến tính T sẽ thay đổi
nếu ta chọn các cơ sở khác nhau,
MTT/E′ = MT
−1
/EE′MTT/EMT/EE′.
Vấn đề là trị riêng và vector riêng của hai ma trận này có
giống nhau không ? (vì cũng là trị riêng, vector của phép
biến đổi tuyến tính T)
Phan Đức Tuấn (Khoa Toán - ĐHSP- ĐHĐN) Ánh xạ tuyến tính Đà Nẵng, tháng 12 năm 2011 60 / 66
Bài 4: Trị riêng và vector riêng
Nhận xét 4.6
Ma trận của một phép biến đổi tuyến tính T sẽ thay đổi
nếu ta chọn các cơ sở khác nhau,
MTT/E′ = MT
−1
/EE′MTT/EMT/EE′.
Vấn đề là trị riêng và vector riêng của hai ma trận này có
giống nhau không ? (vì cũng là trị riêng, vector của phép
biến đổi tuyến tính T)
Phan Đức Tuấn (Khoa Toán - ĐHSP- ĐHĐN) Ánh xạ tuyến tính Đà Nẵng, tháng 12 năm 2011 60 / 66
Bài 4: Trị riêng và vector riêng
Nhận xét 4.6
Ma trận của một phép biến đổi tuyến tính T sẽ thay đổi
nếu ta chọn các cơ sở khác nhau,
MTT/E′ = MT
−1
/EE′MTT/EMT/EE′.
Vấn đề là trị riêng và vector riêng của hai ma trận này có
giống nhau không ? (vì cũng là trị riêng, vector của phép
biến đổi tuyến tính T)
Phan Đức Tuấn (Khoa Toán - ĐHSP- ĐHĐN) Ánh xạ tuyến tính Đà Nẵng, tháng 12 năm 2011 60 / 66
Bài 4: Trị riêng và vector riêng
Định lý 4.2
Giả sử A,B là ma trận của cùng phép biến đổi tuyến tính
T đối với hai cơ sở khác nhau. Khi đó,
nếu λ là trị riêng của ma trận A thì λ cũng là trị riêng
của ma trận B và ngược lại.
Thật vậy, do A,B là ma trận của cùng một phép biến đổi
nên A,B là hai ma trận đồng dạng (nghĩa là tồn tại ma
trận P : B = P−1AP).Ta có
PB(t) = det(B− λI) = det(P−1AP− λP−1P)
= det(P−1(A−λI)P) = det(P−1) det(A−λI) det(P) = PA(t).
Phan Đức Tuấn (Khoa Toán - ĐHSP- ĐHĐN) Ánh xạ tuyến tính Đà Nẵng, tháng 12 năm 2011 61 / 66
Bài 4: Trị riêng và vector riêng
Định lý 4.2
Giả sử A,B là ma trận của cùng phép biến đổi tuyến tính
T đối với hai cơ sở khác nhau. Khi đó,
nếu λ là trị riêng của ma trận A thì λ cũng là trị riêng
của ma trận B và ngược lại.
Thật vậy, do A,B là ma trận của cùng một phép biến đổi
nên A,B là hai ma trận đồng dạng (nghĩa là tồn tại ma
trận P : B = P−1AP).
Ta có
PB(t) = det(B− λI) = det(P−1AP− λP−1P)
= det(P−1(A−λI)P) = det(P−1) det(A−λI) det(P) = PA(t).
Phan Đức Tuấn (Khoa Toán - ĐHSP- ĐHĐN) Ánh xạ tuyến tính Đà Nẵng, tháng 12 năm 2011 61 / 66
Bài 4: Trị riêng và vector riêng
Định lý 4.2
Giả sử A,B là ma trận của cùng phép biến đổi tuyến tính
T đối với hai cơ sở khác nhau. Khi đó,
nếu λ là trị riêng của ma trận A thì λ cũng là trị riêng
của ma trận B và ngược lại.
Thật vậy, do A,B là ma trận của cùng một phép biến đổi
nên A,B là hai ma trận đồng dạng (nghĩa là tồn tại ma
trận P : B = P−1AP).Ta có
PB(t) = det(B− λI) = det(P−1AP− λP−1P)
= det(P−1(A−λI)P) = det(P−1) det(A−λI) det(P) = PA(t).Phan Đức Tuấn (Khoa Toán - ĐHSP- ĐHĐN) Ánh xạ tuyến tính Đà Nẵng, tháng 12 năm 2011 61 / 66
Bài 4: Trị riêng và vector riêng
Nhận xét 4.7
Từ Định lý 4.2, ta có trị riêng của phép biến đổi tuyến
tính không phụ thuộc vào việc chọn cơ sở.
Cho ma trận chéo
A =
2 0 0
0 3 0
0 0 5
;An =
2n 0 0
0 3n 0
0 0 5n
Ta tìm một cơ sở F để MTT/F = B là ma trận chéo.
Khi đó, MTT/E = A = PBP−1
suy ra An = (PBP−1)n = PBnP−1.
Phan Đức Tuấn (Khoa Toán - ĐHSP- ĐHĐN) Ánh xạ tuyến tính Đà Nẵng, tháng 12 năm 2011 62 / 66
Bài 4: Trị riêng và vector riêng
Nhận xét 4.7
Từ Định lý 4.2, ta có trị riêng của phép biến đổi tuyến
tính không phụ thuộc vào việc chọn cơ sở.
Cho ma trận chéo
A =
2 0 0
0 3 0
0 0 5
;An =
2n 0 0
0 3n 0
0 0 5n
Ta tìm một cơ sở F để MTT/F = B là ma trận chéo.
Khi đó, MTT/E = A = PBP−1
suy ra An = (PBP−1)n = PBnP−1.
Phan Đức Tuấn (Khoa Toán - ĐHSP- ĐHĐN) Ánh xạ tuyến tính Đà Nẵng, tháng 12 năm 2011 62 / 66
Bài 4: Trị riêng và vector riêng
Nhận xét 4.7
Từ Định lý 4.2, ta có trị riêng của phép biến đổi tuyến
tính không phụ thuộc vào việc chọn cơ sở.
Cho ma trận chéo
A =
2 0 0
0 3 0
0 0 5
;An =
2n 0 0
0 3n 0
0 0 5n
Ta tìm một cơ sở F để MTT/F = B là ma trận chéo.
Khi đó, MTT/E = A = PBP−1
suy ra An = (PBP−1)n = PBnP−1.
Phan Đức Tuấn (Khoa Toán - ĐHSP- ĐHĐN) Ánh xạ tuyến tính Đà Nẵng, tháng 12 năm 2011 62 / 66
Bài 4: Trị riêng và vector riêng
Nhận xét 4.7
Từ Định lý 4.2, ta có trị riêng của phép biến đổi tuyến
tính không phụ thuộc vào việc chọn cơ sở.
Cho ma trận chéo
A =
2 0 0
0 3 0
0 0 5
;An =
2n 0 0
0 3n 0
0 0 5n
Ta tìm một cơ sở F để MTT/F = B là ma trận chéo.
Khi đó, MTT/E = A = PBP−1
suy ra An = (PBP−1)n = PBnP−1.
Phan Đức Tuấn (Khoa Toán - ĐHSP- ĐHĐN) Ánh xạ tuyến tính Đà Nẵng, tháng 12 năm 2011 62 / 66
Bài 4: Trị riêng và vector riêng
Nhận xét 4.7
Từ Định lý 4.2, ta có trị riêng của phép biến đổi tuyến
tính không phụ thuộc vào việc chọn cơ sở.
Cho ma trận chéo
A =
2 0 0
0 3 0
0 0 5
;An =
2n 0 0
0 3n 0
0 0 5n
Ta tìm một cơ sở F để MTT/F = B là ma trận chéo.
Khi đó, MTT/E = A = PBP−1
suy ra An = (PBP−1)n = PBnP−1.
Phan Đức Tuấn (Khoa Toán - ĐHSP- ĐHĐN) Ánh xạ tuyến tính Đà Nẵng, tháng 12 năm 2011 62 / 66
Bài 4: Trị riêng và vector riêng
Bài tập
Cho phép biến đổi
T : R3 → R3;T(x, y, z) = (x+y−2z,−2x+2y+2z, y−z)
1 Chứng minh T là ánh xạ tuyến tính
2 Tìm ma trận của T đối với cơ sở chính tắc
3 Tìm cơ sở, số chiều của ImT và KerT
4 Tìm trị riêng và vector riêng của T
Phan Đức Tuấn (Khoa Toán - ĐHSP- ĐHĐN) Ánh xạ tuyến tính Đà Nẵng, tháng 12 năm 2011 63 / 66
Chéo hóa ma trận
Chéo hóa ma trận
Định lý 5.1
Nếu v1, v2, . . . , vn là n vector riêng ứng với n trị riêng
phân biệt λ1, λ2, . . . , λn của Axtt T thì v1, v2, . . . , vn là
đltt.
Định lý 5.2
Cho dim(V) = n và Axtt T : V → V. Khi đó,
Nếu T có n trị riêng phân biệt thì n vector riêng ứng với
n trị riêng trên là một cơ sở R của V và MTT/R là ma
trận chéo.
Phan Đức Tuấn (Khoa Toán - ĐHSP- ĐHĐN) Ánh xạ tuyến tính Đà Nẵng, tháng 12 năm 2011 64 / 66
Chéo hóa ma trận
Chéo hóa ma trận
Định lý 5.1
Nếu v1, v2, . . . , vn là n vector riêng ứng với n trị riêng
phân biệt λ1, λ2, . . . , λn của Axtt T thì v1, v2, . . . , vn là
đltt.
Định lý 5.2
Cho dim(V) = n và Axtt T : V → V. Khi đó,
Nếu T có n trị riêng phân biệt thì n vector riêng ứng với
n trị riêng trên là một cơ sở R của V và MTT/R là ma
trận chéo.
Phan Đức Tuấn (Khoa Toán - ĐHSP- ĐHĐN) Ánh xạ tuyến tính Đà Nẵng, tháng 12 năm 2011 64 / 66
Chéo hóa ma trận
Bài tập
Cho Axtt T : R3 → R3 có
MTT/CT =
1 −3 3
3 −5 3
6 −6 4
Tìm cơ sở E để MTT/E là ma trận chéo.
Đáp số: PA(t) = (λ+ 2)2(4− λ);
v1 = (1, 1, 0); v2 = (1, 0,−1); v3 = (1, 1, 2)
Phan Đức Tuấn (Khoa Toán - ĐHSP- ĐHĐN) Ánh xạ tuyến tính Đà Nẵng, tháng 12 năm 2011 65 / 66
Chéo hóa ma trận
Bài tập
Cho Axtt T : R3 → R3 có
MTT/CT =
1 −3 3
3 −5 3
6 −6 4
Tìm cơ sở E để MTT/E là ma trận chéo.
Đáp số: PA(t) = (λ+ 2)2(4− λ);
v1 = (1, 1, 0); v2 = (1, 0,−1); v3 = (1, 1, 2)
Phan Đức Tuấn (Khoa Toán - ĐHSP- ĐHĐN) Ánh xạ tuyến tính Đà Nẵng, tháng 12 năm 2011 65 / 66
Chéo hóa ma trận
Bài tập
Cho Axtt T : R3 → R3 có
MTT/CT =
1 −3 3
3 −5 3
6 −6 4
Tìm cơ sở E để MTT/E là ma trận chéo.
Đáp số: PA(t) = (λ+ 2)2(4− λ);
v1 = (1, 1, 0); v2 = (1, 0,−1); v3 = (1, 1, 2)
Phan Đức Tuấn (Khoa Toán - ĐHSP- ĐHĐN) Ánh xạ tuyến tính Đà Nẵng, tháng 12 năm 2011 65 / 66
Chéo hóa ma trận
bài tập
Tính An, biết
A =
3 1 −1
1 1 1
1 1 1
Phan Đức Tuấn (Khoa Toán - ĐHSP- ĐHĐN) Ánh xạ tuyến tính Đà Nẵng, tháng 12 năm 2011 66 / 66
Các file đính kèm theo tài liệu này:
07anhxatuyentinh_5385.pdf
