Tính toán hệ thanh

Chương 4. Tính toán hệ thanh 4-1 Chương 4 TÍNH TOÁN HỆ THANH Tích toán hệ thanh theo phương pháp PTHH với mô hình tương thích giống như các bước trong chương trước. Vấn đề còn lại là tuỳ thuộc vào đặc tính của từng loại bài toán mà áp dụng. 4.1 Hệ thanh giàn Như đã biết giàn là một hệ gồm các thanh chỉ chịu lực kéo nén dọc trục (đúng tâm) hay nói cách khác là chỉ chịu biến dạng dọc trục. Để đưa ra cách tính của giàn trước hết ta xét thanh chỉ chịu biến dạng dọc trục. 4.1.1 Phần tử thanh chịu biến dạng dọc trục P1 P2 u(x) l, EF y u1=q1 u2=q2 q(x) x Hình 4-1. Phần tử chịu biến dạng dọc trục Xét phần tử thanh có hai đầu mút, trên thanh có tải trọng phân bố q(x)dọc trục. Khi đó thanh chỉ chịu biến dạng dọc trục và mỗi đầu mút có một chuyển vị, phần tử thanh có 2 bậc tự do đó là chuyển vị u1 và u2 của nút đầu và cuối. Hàm chuyển vị xấp xỉ tại một vị trí bất kỳ của thanh u(x) có dạng: xxu 21)( αα += ( 4-1) Suy ra: [ ]{ }α)()( xPxu = ; [ ] [ ]xxP 1)( = Nếu cho x = 0 và x= l ta có 2 chuyển vị tại nút: 211 .0αα +=u ; 212 .αα lu += { } ⎭⎬ ⎫ ⎩⎨ ⎧⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡= 2 1 1 01 α α l u e ( 4-2) Hay: { } [ ]{ }αAu e = Trong đó: [ ] ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡= l A 1 01 Tính véc tơ { } [ ] { }euA 1−=α với [ ] ⎥⎥⎦ ⎤ ⎢⎢⎣ ⎡ −= − ll A 11 01 1 Thay vào hàm chuyển vị được: Chương 4. Tính toán hệ thanh 4-2 [ ] [ ] { }euAxPxu 1)()( −⋅= = [ ]{ }euN = [ ]{ }eqN Hay: [ ] [ ] [ ] ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ −=⋅= − l x l xAxPN 1)( 1 ( 4-3) Với thanh chịu biến dạng dọc trục ta có: { } { }xεε = ; { } { }xσσ = ; [ ] [ ]ED = Hay: xx E εσ .= ; [ ] ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡=∂ dx d Khi đó ma trận [ ]B sẽ là: [ ] [ ][ ] ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ −⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡=∂= l x l x dx dNB 1 ( 4-4) Suy ra: [ ] ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡−= ll B 11 Ma trận độ cứng được xác định như sau: [ ] [ ] [ ][ ] == ∫ dvBDBK T V e [ ]FdllEl l 111 1 11 0 −⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡−∫ = ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ − − 11 11 l EF ( 4-5) Trong đó: F - là diện tích mặt cắt ngang; E - là môđun đàn hồi. Véc tơ tải trọng tại nút được xác định theo công thức: { } [ ] { } { }dxxp l x l x dxxpNP lTl e )( 1 )( 00 ∫∫ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎣ ⎡ ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ − == ( 4-6) Trường hợp p(x) = p0 = const, ta có: { } ⎭⎬ ⎫ ⎩⎨ ⎧= ⎥⎥ ⎥⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎣ ⎡ ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ − = ∫ 112 1 0 0 0 lPdx l x l x pp l e ( 4-7) Nếu có tải trọng nhiệt độ thì tải trọng nút được xác định như sau: { } [ ] [ ]{ } { } ⎭⎬ ⎫ ⎩⎨ ⎧−=⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡−== ∫∫ 1111100 TEFFdxTEldvDBp l T Ve i e ααε ( 4-8) Trong đó: Chương 4. Tính toán hệ thanh 4-3 T - Độ biến thiên nhiệt độ. Sau khi xác định được chuyển vị của hệ ta xác định được chuyển vị nút của phần tử trong hệ toạ độ cục bộ, nội lực trên phần tử được xác định như sau: Ne = Np + Ncv Trong đó: Ne - Nội lực của phần tử; Np- Nội lực do lực trên phần tử; Ncv- Nội lực do chuyển vị nút. Đối với thanh chịu kéo nén nội lực do chuyển vị được xác định là: [ ]{ }exxcv uBFEFEFN === εσ . ⎭⎬ ⎫ ⎩⎨ ⎧ ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡−= 2 111 u u ll FENcv ( 4-9) Nội lực Np xác định theo công thức của sức bền vật liệu. 4.1.2 Giàn phẳng: l u1 v1 v2 u2 x y Hình 4-2. Phần tử giàn phẳng. Ma trận độ cứng của giàn phẳng được lập dựa trên ma trận độ cứng của thanh kéo nén dọc trục. Với phần tử giàn phẳng, tại một nút ta có 2 chuyển vị. Khi đó phần tử sẽ có 4 bậc tự do: { } ⎪⎪⎭ ⎪⎪⎬ ⎫ ⎪⎪⎩ ⎪⎪⎨ ⎧ = 2 2 1 1 v u v u u e Chính vì vậy ma trận độ cứng của giàn là ma trận kích thước 4 x 4, các thành phần của nó được lấy từ ma trận độ cứng của phần tử chịu biến dạng dọc trục. [ ] ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ − −= 11 11 l EFK e Ma trận của giàn phẳng như sau: [ ] ⎥⎥ ⎥⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎣ ⎡ − − = 0000 0101 0000 0101 l EFK ( 4-10) Chương 4. Tính toán hệ thanh 4-4 Mỗi phần tử giàn phẳng có một hệ toạ độ cục bộ riêng do đó cần có ma trận chuyển hệ trục toạ độ từ cục bộ về tổng thể. y x Y X Y X α Hình 4-3. Phần tử giàn phẳng trong hệ toạ độ tổng thể. Đặt giả thiết có một phần tử giàn nằm trong mặt phẳng nghiêng với trục x của hệ toạ độ tổng thể một góc α . Theo hình học giải tích thì toạ độ cục bộ được chuyển về tổng thể theo công thức sau: [ ] ⎭⎬ ⎫ ⎩⎨ ⎧⋅′=⎭⎬ ⎫ ⎩⎨ ⎧ y x T Y X ( 4-11) Trong đó: [ ] ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡=′ yx yx mm ll T ( 4-12) Các đại lượng lx, ly, mx, my được xác định như sau: lx = cos(x,X) ; ly = cos(y,X); mx = cos(x,Y); my = cos(y,Y) Nếu cho trước toạ độ nút đầu và nút cuối của phần tử giàn là (X1, Y1) và (X2, Y2) ta sẽ tính được các giá trị lx, ly. Ta có: cos(x,X) = l XX 12 − ; cos(x,Y) = l YY 12 − ; 2 12 2 12 )()( YYXXl −+−= ( 4-13) Hoặc có thể viết như sau: cos(x,X) = cosα ; cos(x,Y) = sinα Tương tự có: cos(y,X) = -sinα ; cos(y,Y) = cosα Vậy ma trận chuyển hệ toạ độ có dạng: [ ] ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ −=′ αα αα cossin sincos T ( 4-14) Ma trận [ ]′T hoàn toàn xác định. Dựa vào [ ]′T , ta có thể xác định ma trận [ ]T như sau: [ ] [ ] [ ] ⎥⎥⎦ ⎤ ⎢⎢⎣ ⎡ ′ ′ = T TT 0 0 ( 4-15) Chương 4. Tính toán hệ thanh 4-5 4.1.3 Giàn không gian Phần tử giàn không gian cũng chỉ chịu lực dọc trục, ma trận độ cứng của phần tử giàn không gian dựa trên ma trận độ cứng của phần tử kéo nén dọc trục. [ ] =eK ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎣ ⎡ − − 000000 000000 001001 000000 000000 001001 l EF ( 4-16) w1 v1 u1 w2 v2 u2 Hình 4-4. Phần tử giàn không gian Việc xác định ma trận chuyển hệ trục tọa độ phức tạp hơn so với giàn phẳng. Xét một thanh nằm trong không gian có hệ tọa độ cục bộ xyz. Trong đó trục x luôn hướng theo trục phần tử, trục y, z tạo với trục x thành một tam diện thuận. y x z l A B x z y P A(X1, Y1, Z1) B(X2, Y2, Z2) Hình 4-5. Phần tử giàn không gian trong hệ toạ độ tổng thể. Dựa vào tọa độ của nút đầu và nút cuối phương trục x luôn xác định. Người sử dụng cần khai báo hướng của một trong hai trục còn lại thông thường là trục z, hướng của trục y còn lại được xác định dựa vào 2 trục đã biết x, z. Trục z được xác định bằng cách khai báo thêm điểm p là điểm nằm trong mặt xy, do z vuông góc với mặt xp nên: pxz rrr ×= Hướng của y được xác định theo x và z: xzy rrr ×= . Tích có hướng của 2 véctơ được định nghĩa như sau ( bac rrr ×= ): Về mặt hình học véctơ cr có phương vuông góc với mặt phẳng được tạo bởi hai véctơ ar và b r , độ lớn của cr bằng diện tích của hình bình hành do ar và b r tạo ra. Về mặt giải tích: nếu ⎪⎭ ⎪⎬ ⎫ ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ = z y x a a a ar ; ⎪⎭ ⎪⎬ ⎫ ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ = z y x b b b b r thì véctơ cr được xác định như sau: Chương 4. Tính toán hệ thanh 4-6 ( ) ⎪⎭ ⎪⎬ ⎫ ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ − −− − = ⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = ⎪⎭ ⎪⎬ ⎫ ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ = xyyx xzzx yzzy zyx zyx z y x baba baba baba bbb aaa kji c c c c rrr r det Chiều dài phần tử được xác định theo công thức: l= ( ) ( ) ( )212212212 ZZYYXX −+−+− ( 4-17) Phương của một trục bất kỳ được xác định bởi các cosin chỉ phương: { }ZYX vvvv ,,=r ; 222 ZYX vvvv ++=r ( ) v vXv Xr=,cos ; ( ) v vYv Yr=,cos ; ( ) v vZv Zr=,cos Dựa vào 3 véc tơ của hệ tọa độ cục bộ zyx rrr ,, ta có ma trận chuyển hệ trục tọa độ như sau: [ ] ⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ =′ zyx zyx zyx nnn mmm lll T ( 4-18) Trong đó: lx = cos(x,X); mx = cos(x,Y): nx = cos(x,Z) ly = cos(y,X); my = cos(y,Y); ny = cos(y,Z) lz = cos(z,X); mz = cos(z,Y); nz = cos(z,Z) Ma trận chuyển hệ tọa độ [ ]T có dạng: [ ] [ ] [ ] ⎥⎥⎦ ⎤ ⎢⎢⎣ ⎡ ′ ′ = T TT 0 0 ( 4-19) 4.2 Khung phẳng không có kéo nén dọc trục 4.2.1 Ma trận độ cứng Xét một phần tử khung phẳng không bị kéo nén dọc trục. Khi đó phần tử khung có 4 bậc tự do, hàm chuyển vị theo phương thẳng đứng được chọn như sau: 3 4 2 321)( xxxxv αααα +++= ( 4-20) [ ] ⎪⎪⎭ ⎪⎪⎬ ⎫ ⎪⎪⎩ ⎪⎪⎨ ⎧ = 4 3 2 1 321)( α α α α xxxxv ( )[ ] [ ]321 xxxxP = ( 4-21) Gọi l là chiều dài phần tử, ta xác định các giá trị chuyển vị tại nút. Trong đó: Chương 4. Tính toán hệ thanh 4-7 dx dv=θ , hoặc: [ ] ⎪⎪⎭ ⎪⎪⎬ ⎫ ⎪⎪⎩ ⎪⎪⎨ ⎧ =++== 4 3 2 1 22 432 321032)( α α α α αααθ xxxx dx dvx Tại các nút chuyển vị có giá trị như sau: 1011 )( α=== =xxvvq 2 0 22 αθ === =xdx dvq 3 4 2 32123 )( lllxvvq lx αααα +++=== = 3 43224 32 lldx dvq lx αααθ ++=== = Viết dưới dạng ma trận: ⎪⎪⎭ ⎪⎪⎬ ⎫ ⎪⎪⎩ ⎪⎪⎨ ⎧ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎣ ⎡ = ⎪⎪⎭ ⎪⎪⎬ ⎫ ⎪⎪⎩ ⎪⎪⎨ ⎧ 4 3 2 1 2 32 4 3 2 1 3210 1 0010 0001 α α α α ll lll q q q q { } [ ] { }eqA 1−=α , trong đó: [ ] ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎣ ⎡ − −−−=− 2323 22 1 1212 1323 0010 0001 llll llll A ( 4-22) Ma trận hàm dạng được xác định như sau: [ ] [ ]{ } [ ] ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎣ ⎡ − −−−⋅== − 2323 22 321 1212 1323 0010 0001 1 llll llll xxxAPN = [ ]4321 NNNN 3 3 2 2 1 231 l x l xN +−= 2 32 2 2 l x l xxN +−= ( 4-23) 3 3 2 2 3 23 l x l xN −= Chương 4. Tính toán hệ thanh 4-8 2 32 4 l x l xN +−= Theo sức bền vật liệu, chuyển vị dọc trục u và độ võng v có quan hệ dx dvyyu −=⋅−= θ , trong đó y là khoảng cách từ trục trung hòa đến một điểm nào đó trong thanh. Biến dạng dọc trục được xác định theo công thức: 2 2 dx vdy dx du x −==ε ⇒ [ ]{ }ex uNdx dy 2 2 −=ε = [ ]{ }euB Trong đó: [ ]B = [ ]N dx dy 2 2 − Khai triển ta có: [ ] ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ +−⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ −⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ +−⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ +−−= 232232 6212664126 l x ll x ll x ll x l yB ( 4-24) Ứng suất tại một điểm của dầm chịu uốn: xx Eεσ = hay [ ] ED = Sử dụng công thức của ma trận độ cứng ta có: [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]∫ ∫∫ =⋅= l F T V T e dfdxBBEdvBDBK Sau khi tích phân ta có: [ ] ⎥⎥ ⎥⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎣ ⎡ − −−− − − = 22 22 3 4626 612612 2646 612612 llll ll llll ll l EJK ze ( 4-25) Trong đó ∫= F z dfyJ 2 là mômen quán tính của mặt cắt ngang so với trục Z. 4.2.2 Quy tải trọng về nút: Tải trọng trên phần tử được quy về nút theo công thức: { } [ ] ( )[ ] ( ) im i T Mii l n i T Qi T e Mxdx dNQxNdxxqNF ∑∫ ∑ == ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡++= 11 )( ( 4-26) Trong đó: q(x)- lực phân bố trên chiều dài phần tử; iQ và xQi- giá trị lực tập trung và tọa độ các điểm đặt lực; iM và xMi- giá trị của mômen tập trung và tọa độ điểm đặt; n và m - số lực tập trung và mômen tập trung. 4.2.2.1 Trường hợp lực phân bố đều: Chương 4. Tính toán hệ thanh 4-9 y x p1 p3 p2 p4 l q0 Hình IV-6. Quy lực phân bố đều về tải trọng nút Ta có: { } ⎪⎪ ⎪⎪ ⎭ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎬ ⎫ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎨ ⎧ − = ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ +− − +− +− = ⎪⎪⎭ ⎪⎪⎬ ⎫ ⎪⎪⎩ ⎪⎪⎨ ⎧ = ∫ 12 2 12 2 23 2 231 2 0 0 2 0 0 0 2 32 3 3 2 2 2 32 3 3 2 2 0 4 3 2 1 lq lq lq lq dx l x l x l x l x l x l xx l x l x q F F F F F l e ( 4-27) 4.2.2.2 Lực tập trung p 2 a p 4 x p 1 p 3 P Hình IV-7. Quy tải trọng tập trung về nút { } ( )[ ] PaN F F F F F Te = ⎪⎪⎭ ⎪⎪⎬ ⎫ ⎪⎪⎩ ⎪⎪⎨ ⎧ = 4 3 2 1 = ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ +− − +− +− 2 32 3 3 2 2 2 32 3 3 2 2 23 2 231 l a l a l a l a l a l aa l a l a P ( 4-28) 4.2.2.3 Moment tập trung x a p2 p1 p4 p3M Hình IV-8. Quy mômen tập trung về nút. Chương 4. Tính toán hệ thanh 4-10 { } M dx dN F F F F F T ax e = ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡= ⎪⎪⎭ ⎪⎪⎬ ⎫ ⎪⎪⎩ ⎪⎪⎨ ⎧ = 4 3 2 1 = ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ +− − +− +− 2 2 3 2 2 2 2 3 2 2 32 66 341 66 l a l a l a l a l a l a l a l a M ( 4-29) 4.2.2.4 Phân bố dạng hình thang Đặt giả thiết thanh chịu tác dụng của tải trọng phân bố hình thang trong khoảng a,b (a<b) với giá trị lực phân bố tương ứng p1, p2. Khi đó giá trị tải trọng p tại tọa độ x bất kỳ được biểu diển bằng hàm tải trọng: ( ) ( ) ab aqbqx ab qqax ab qqqxq − −+− −=−− −+= 2112121 Nếu đặt: ab qqC − −= 12 ; ab aqbqD − −= 21 Ta có: ( ) DCxxq += Véctơ tải trọng nút được xác định như sau: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎭ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎨ ⎧ = ⎪⎪⎭ ⎪⎪⎬ ⎫ ⎪⎪⎩ ⎪⎪⎨ ⎧ ∫ ∫ ∫ ∫ b a b a b a b a dxxqxN dxxqxN dxxqxN dxxqxN F F F F 4 3 2 1 4 3 2 1 Sau khi thực hiện phép tích phân ta được kết quả: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ⎪⎪ ⎪⎪ ⎭ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎬ ⎫ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎨ ⎧ −−−⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ +−+− −+−⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ −+−− −+−⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ −+−⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ +−+− −+−+−−−⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ +−+− = ⎪⎪⎭ ⎪⎪⎬ ⎫ ⎪⎪⎩ ⎪⎪⎨ ⎧ 33 2 44 2 55 2 33 2 44 32 55 3 223344 2 55 2 2233 2 44 32 55 3 4 3 2 1 34 1 5 23 4 1 5 2 2 2 3 12 4 1 5 2 23 4 1 5 2 ab l Dab l D l Cab l C ab l Dab l D l Cab l C abDab l DCab l D l Cab l C abDabCab l Dab l D l Cab l C F F F F 4.2.3 Nội lực trên phần tử Nội lực của phần tử dầm chịu uốn xác định như sau: qcv MMM += ( 4-30) Chương 4. Tính toán hệ thanh 4-11 qcv QQQ += M và Q - Mômen, lực cắt nội lực; Mcv và Qcv- Mômen, lực cắt do chuyển vị gây ra; Mq và Qq- Mômen, lực cắt do lực trên phần tử gây ra. Trong đó: [ ]{ } [ ]{ }eecv uNNNNEJqNdxdEJdxvdEJM ''4''3''2''12 2 2 2 === ( 4-31) 32 '' 1 126 l x l N +−= 2 '' 2 64 l x l N +−= 32 '' 3 126 l x l N −= 2 '' 4 62 l x l N +−= { }ecv ul x ll x ll x ll x l EJM ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ +−⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ −⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ +−⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ +−= 232232 6212664126 ( 4-32) dx dM Q cvcv −= ( 4-33) [ ]{ }ecv uNNNNEJQ '''4'''3'''2'''1−= 3 ''' 1 12 l N = ; 2'''2 6lN = ; 3 ''' 3 12 l N −= ; 2'''4 6lN = { }ecv ullllEJQ ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ −−= 2323 612612 ( 4-34) Mq và Qq xác định theo sức bền vật liệu. 4.3 Phần tử khung có kéo nén dọc trục q3 q2 y q5 q6 xq1 q4 Hình 4-6. Phần tử thanh chịu kéo nén dọc trục. Phần tử thanh có kéo nén dọc trục là tổ hợp của 2 loại phân tử: Khung + Kéo nén dọc trục. Do đó ma trận độ cứng của phần tử này được tạo nên từ 2 ma trận độ cứng của phần tử khung và phần tử kéo nén dọc trục 4.3.2 Kéo nén dọc trục 1 4 Chương 4. Tính toán hệ thanh 4-12 [ ] 4 1 11 11 ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ − −= l EFK c 4.3.3 Phần tử khung 2 3 5 6 [ ] 6 5 3 2 4626 612612 2646 612612 22 22 3 ⎥⎥ ⎥⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎣ ⎡ − −−− − − = llll ll llll ll l EJK c Từ các chỉ số của các phân tử của 2 ma trận độ cứng trên ta thiết lập được ma trận độ cứng của phần tử khung có kéo nén dọc trục: 1 2 3 4 5 6 [ ] 6 5 4 3 2 1 460260 61206120 0000 260460 61206120 0000 22 22 22 22 3 ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − −−− − − − − = llll ll J Fl J Fl llll ll J Fl J Fl l EJK e ( 4-35) Ma trận chuyển hệ trục tọa độ được xác định dựa vào ma trận chuyển hệ trục toạ độ của giàn phẳng có dạng sau: [ ] ⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = 100 0 0 ' yx yx mm ll T ( 4-36) [ ] [ ] [ ] ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡= ' ' 0 0 T TT Góc xoay khi chuyển hệ trục tọa độ thì không đổi. 4.4 Khung phẳng có liên kết khớp Để thành lập ma trận độ cứng của phần tử khung có liên kết hai đầu khác nhau ta dựa vào hệ phương trình sau: ( ) ( ) ( ) ( ) ( )jijii jijii jii l EJvv l EJM l EJvv l EJQ uu l EFN θθ θθ ++−= ++−= −= 226 612 2 23 Chương 4. Tính toán hệ thanh 4-13 ( ) ( ) ( ) ( ) ( )jijij jijij jij l EJvv l EJM l EJvv l EJQ uu l EFN θθ θθ 226 612 2 23 ++−= +−−−= −−= Trong đó: i, j - chỉ số nút đầu và nút cuối của thanh; u, v, θ - là chuyển vị dọc trục, đứng, góc xoay; N, Q, M - nội lực tại đầu thanh. Dựa vào hệ phương trình này cũng có thể xây dựng được ma trận độ cứng của khung có hai đầu ngàm, trong trường hợp liên kết đầu thanh không phải là ngàm ta có các trường hợp sau: - Khớp tại đầu i; - Khớp tại đầu j; - Khớp tại hai đầu. 4.4.1 Khớp tại đầu i Khi đó đễ thấy: Mi=0, dựa vào phương trình thứ 3 suy ra: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ⎥⎦⎤⎢⎣⎡ −−= =++− =++− jiji jiji jiji vv l vv l l EJvv l EJ θθ θθ θθ 3 2 1 023 0226 2 Thay giá trị của iθ vào các phương trình còn lại ta được hệ phương trình ( ) ( ) 0 33 23 = +−= −= i jjii jii M l EJvv l EJQ uu l EFN θ ( ) ( ) ( ) jjij jjij jij l EJvv l EJM l EJvv l EJQ uu l EFN θ θ 33 33 2 23 +−= −−−= −−= Ma trận độ cứng trong trường hợp này là: Chương 4. Tính toán hệ thanh 4-14 [ ] ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − −− − − − = 2 22 22 3 330030 330030 0000 000000 330030 0000 lll l J Fl J Fl l J Fl J Fl l EJK e 4.4.2 Khớp tại đầu j Khi đó đễ thấy: Mj=0, dựa vào phương trình thứ 6 suy ra: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ⎥⎦⎤⎢⎣⎡ −−= =++− =++− iijj jiji jiji vv l vv l l EJvv l EJ θθ θθ θθ 3 2 1 023 0226 2 Thay giá trị của jθ vào các phương trình còn lại ta được hệ phương trình ( ) ( ) ( ) ijii ijii jii l EJvv l EJM l EJvv l EJQ uu l EFN θ θ 33 33 2 23 +−= +−= −= ( ) ( ) 0 33 23 = −−−= −−= j ijij jij M l EJvv l EJQ uu l EFN θ Ma trận độ cứng trong trường hợp này là: [ ] ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ −− − − − − = 000000 030330 0000 030330 030330 0000 22 2 22 3 l J Fl J Fl lll l J Fl J Fl l EJK e 4.4.3 Khớp tại đầu i và j Khi đó ta có hệ phương trình: Chương 4. Tính toán hệ thanh 4-15 ( ) ( ) ( ) 0 612 23 = ++−= −= i jijii jii M l EJvv l EJQ uu l EFN θθ ( ) ( ) ( ) 0 612 23 = +−−−= −−= j jijij jij M l EJvv l EJQ uu l EFN θθ Dựa vào phương trình 3 và 6 suy ra: ( ) l vv ij ji −== θθ Thay vào phương trình 2 và 4 ta được: 0== ji QQ Vậy ma trận độ cứng trong trường hợp này là: [ ] ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − = 000000 000000 0000 000000 000000 0000 22 22 3 J Fl J Fl J Fl J Fl l EJK e 4.4.4 Quy tảI trọng về nút khi có liên kết khớp Để xác định véctơ tải trọng nút trong trường hợp này ta sử dụng phương trình cân bằng của một phân tử khung phẳng độc lập không kéo nén dọc trục với liên kết bất kỳ. ⎪⎪⎭ ⎪⎪⎬ ⎫ ⎪⎪⎩ ⎪⎪⎨ ⎧ − ⎪⎪⎭ ⎪⎪⎬ ⎫ ⎪⎪⎩ ⎪⎪⎨ ⎧ = ⎪⎪⎭ ⎪⎪⎬ ⎫ ⎪⎪⎩ ⎪⎪⎨ ⎧ ⋅ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎣ ⎡ − −−− − − j j i i j j i i M Q M Q P P P P v v l EJ l EJ l EJ l EJ l EJ l EJ l EJ l EJ l EJ l EJ l EJ l EJ l EJ l EJ l EJ l EJ 4 3 2 1 22 2323 22 2323 4626 612612 2646 612612 θ θ Trong đó: P1, P2, P3, P4 – là các lực quy về nút trong trường hợp ngàm hai đầu; Qi, Mi, Qj, Mj – là các nội lực hai đầu có giá trị ngược chiều với phản lực, đây đồng thời cũng là lực quy về nút khi có các liên kết khớp. Trong từng trường hợp cụ thể ta luôn có 4 đại lượng đã biết và 4 đại lượng phải tìm trong 8 biến: 4 chuyển vị, 4 nội lực. Chương 4. Tính toán hệ thanh 4-16 4.4.4.1 Trường hợp đầu i có khớp Khi đó: vi=0; Mi=0; vj=0; 0=jθ Thay vào hệ phương trình ta tìm được: ⎪⎪ ⎪⎪ ⎭ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎬ ⎫ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎨ ⎧ − + − = ⎪⎪⎭ ⎪⎪⎬ ⎫ ⎪⎪⎩ ⎪⎪⎨ ⎧ 2 2 3 4 2 3 2 4 2 3 2 2 1 PP l PP EJ lP l PP M Q Q j j i i θ 4.4.4.2 Trường hợp đầu j có khớp Khi đó: vi=0; 0=iθ ; vj=0; Mj=0 Thay vào hệ phương trình ta tìm được: ⎪⎪ ⎪⎪ ⎭ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎬ ⎫ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎨ ⎧ + − − = ⎪⎪⎭ ⎪⎪⎬ ⎫ ⎪⎪⎩ ⎪⎪⎨ ⎧ EJ lP l PP PP l PP Q M Q j j i i 4 2 3 2 2 3 4 4 3 4 2 4 1 θ 4.4.4.3 Trường hợp đầu i, j có khớp Khi đó: vi=0; Mi=0; vj=0; Mj=0 Thay vào hệ phương trình ta tìm được: ( ) ( ) ⎪⎪ ⎪⎪ ⎭ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎬ ⎫ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎨ ⎧ − ++ −− +− = ⎪⎪⎭ ⎪⎪⎬ ⎫ ⎪⎪⎩ ⎪⎪⎨ ⎧ EJ PPl l PPP EJ PPl l PPP Q Q j j i i 6 2 6 2 24 42 3 24 42 1 θ θ 4.4.5 Xử lý liên kết khớp 4.4.5.1 Sử lý ma trận độ cứng của hệ Với ma trận độ cứng của hệ việc sử lý khớp giống như sử lý điều kiện biên, có nghĩa là ta cần xoá các dòng và cột có chỉ số chuyển vị là khớp. 4.4.5.2 Sử lý véctơ tải trọng hệ Xoá bỏ các dòng có chỉ số chuyển vị là liên kết khớp. 4.4.6 Xác định phản lực gối tại các chuyển vị bị chặn (có điều kiện biên) Chương 4. Tính toán hệ thanh 4-17 Việc xác định phản lực gối tại các chuyển vị bị chặn được xác định theo các bước sau: - Xoá các dòng có khớp và các chuyển vị không có điều kiện biên của hệ phương trình cân bằng; - Xóa tiếp các cột có liên kết khớp và các chuyển vị bị chặn; - Xác định các phản lực gối tại các chuyển vị bị chặn. 4.4.7 Xác định chuyển vị nút của phần tử Chuyển vị nút của phần tử trong hệ tọa độ tổng thể được lấy từ chuyển vị nút của hệ, nếu có khớp thì chuyển vị tại khớp sẽ bằng 0; Trong hệ tọa độ cục bộ chuyển vị tại khớp được xác định theo các chuyển vị khác của phần tử theo công thức sau: 4.4.7.1 Khớp tại đầu i ( ) ⎥⎦⎤⎢⎣⎡ −−= jiji vvl θθ 321 4.4.7.2 Khớp tại đầu j ( ) ⎥⎦⎤⎢⎣⎡ −−= iijj vvl θθ 321 4.4.7.3 Khớp tại đầu i, j ( ) l vv ij ji −== θθ 4.5 Khung không gian q1q2 q6 q5 q3 q4 z y q12 q11 q9 q10 q7 q8 x Hình 4-7. Phần tử khung không gian. Xét một phần tử khung không gian, trên phần tử này có gắn một hệ tọa độ địa phương xyz. Trục x nằm dọc theo phần tử, gốc của hệ tọa độ đặt tại nút đầu. Khi đó tại mỗi nút sẽ có 6 chuyển vị: 3 chuyển vị thẳng, 3 chuyển vị xoay. Như vậy phần tử có 12 bậc tự do. Gọi các chuyển vị của phần tử ứng với nút và thành phần chuyển vị như sau: q1 - chuyển vị thẳng theo x của nút đầu; q2 - chuyển vị thẳng theo y của nút đầu; q3 - chuyển vị thẳng theo z của nút đầu; q4 - chuyển vị xoay theo x của nút đầu; q5 - chuyển vị xoay theo y của nút đầu; Chương 4. Tính toán hệ thanh 4-18 q6 - chuyển vị xoay theo z của nút đầu; q7 - chuyển vị thẳng theo x của nút cuối; q8 - chuyển vị thẳng theo y của nút cuối; q9 - chuyển vị thẳng theo z của nút cuối; q10 - chuyển vị xoay theo x của nút cuối; q11 - chuyển vị xoay theo y của nút cuối; q12 - chuyển vị xoay theo z của nút cuối; Dựa vào các chuyển vị trên ta thấy phần tử khung không gian là tổng hợp của các trạng thái làm việc sau: - Biến dạng dọc trục; - Biến dạng xoắn; - Trạng thái khung trong mặt phẳng xy; - Trạng thái khung trong mặt phẳng xz. Có thể viết như sau: PT khung không gian = PT dọc trục + PT khung xy + PT khung xz+ PT xoắn Đối với các phần tử chịu biến dạng dọc trục và khung trong mặt phẳng xy ta sửdụng kết quả đã được đề cập ở các mục trước. Ta chỉ xét đến các phần tử chịu xoắn và phần tử khung trong mặt phẳng xz. 4.5.2 Phần tử chịu xoắn: y x zq4 q10 Hình 4-8. Phần tử thanh chịu xoắn. Phần tử chịu xoắn chỉ có 2 chuyển vị xoay ở nút đầu và nút cuối tương ứng với chỉ số chuyển vị của khung không gian là q4 và q10. Do chịu lực xoắn thuần túy nên phân tử chỉ có 2 bậc tự do, góc xoắn tại một vị trí bất kỳ được xấp xỉ như sau: ( ) xxx 21 ααθ += Theo nội dung của phương pháp PTHH ta có: ( ) [ ] ⎭⎬ ⎫ ⎩⎨ ⎧= 10 4 q q Nxxθ ( 4-37) [ ]N - ma trận hàm dạng, có công thức giống như hàm dạng của phần tử chịu biến dạng dọc trục: [ ] ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ −= l x l xN 1 ; l - Chiều dài phần tử. Chương 4. Tính toán hệ thanh 4-19 Theo sức bền vật liệu, đối với một thanh tròn thì tại một điểm bất kỳ trên mặt cắt ngang ta có biến dạng góc: dx d r xyz θε = ; ứng suất tiếp: yzyz G εσ .= Từ đây ta có: { } [ ]{ }qB=ε Trong đó: [ ] ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡= l r l rB ; r - khoảng cách từ trục phần tử đến điểm đang xét; [ ] GD = - môdul đàn hồi trượt của vật liệu. Ma trận độ cứng của phần tử chịu xoắn có dạng: [ ] [ ] [ ] [ ] ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡− ⎪⎭ ⎪⎬ ⎫ ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧− =⋅= ∫ ∫ ∫ ∫ ll l ldFrdxGdvBDBK V l F T e 11 1 1 0 2 [ ] ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ − −= 11 11 l GJK xe ( 4-38) Jx- Mô men quán tính độc cực của mặt cắt ngang. Trong trường hợp mặt cắt ngang là hình chữ nhật a x b thì Jx = cab3, trong đó c là hệ số phụ thuộc tỷ số b a (a>b) Bảng 4-1. Bảng tra hệ số c b a 1 1,5 2,0 3,0 5,0 10,0 c 0.11 0,196 0,229 0,263 0,291 0,312 4.5.3 Phần tử khung trong mặt phẳng xz: y q1 q3 x q2 q4 MÆt ph¼ng xy q2 q4 MÆt ph¼ng xz x z q1 q3 Hình 4-9. Phần tử khung trong mặt phẳng xz. Do các trục x, y, z tạo thành góc tam diện thuận nên khi so sánh chuyển vị của khung xy và khung xz ta thấy chiều của chuyển vị xoay ngược nhau, chiều của chuyển vị thẳng vẫn giữ nguyên. Như vậy ma trận độ cứng của phần tử khung xz có thể dựa trên ma trận của khung xy và đổi dấu mọt số số hạng, kết quả ta có: Chương 4. Tính toán hệ thanh 4-20 q3 q5 q9 q11 [ ] 11 9 5 3 22 22 3 4626 612612 2646 612612 q q q q llll ll llll ll l EJ K ye ⎥⎥ ⎥⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎣ ⎡ − − − −−− = ( 4-39) Việc thành lập véc tơ tải trọng nút của khung xz cũng dựa trên công thức của khung xy và đổi dấu một số số hạng. - Tải trọng phân bố: { } ⎪⎪ ⎪⎪ ⎭ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎬ ⎫ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎨ ⎧ − = ⎪⎪⎭ ⎪⎪⎬ ⎫ ⎪⎪⎩ ⎪⎪⎨ ⎧ = 12 2 12 2 2 0 0 2 0 0 11 9 5 3 lq lq lq lq F F F F F e ( 4-40) - Tải trọng tập trung: { } ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎭ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎨ ⎧ ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ +−− − ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ +−− +− = ⎪⎪⎭ ⎪⎪⎬ ⎫ ⎪⎪⎩ ⎪⎪⎨ ⎧ = 2 32 3 3 2 2 2 32 3 3 2 2 11 9 5 3 23 2 231 l a l a l a l a l a l aa l a l a Q F F F F F e ( 4-41) - Momen tập trung { } ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎭ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎨ ⎧ +− ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ −− +− ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ +−− = ⎪⎪⎭ ⎪⎪⎬ ⎫ ⎪⎪⎩ ⎪⎪⎨ ⎧ = 2 2 3 2 2 2 2 3 2 2 11 9 5 3 32 66 341 66 l a l a l a l a l a l a l a l a M F F F F F e ( 4-42) Trong đó: l - Chiều dài phần tử; a - Khoảng cách từ điểm đầu đến đến điểm đặt lực hoặc momel tập trung; Q - Lực tập trung; M - Mômen tập trung. 4.5.4 Ma trận độ cứng của phần tử khung không gian Chương 4. Tính toán hệ thanh 4-21 Phần tử khung không gian là phần tử chịu tác dụng cả 4 trạng thái làm việc độc lập nhau do đó ma trận độ cứng của nó được thành lập bằng cách sắp xếp 4 ma trận độ cứng của 4 loại phần tử: - Phần tử biến dạng dọc trục 1q 7q [ ] ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ − −= 11 11 l EFK e 7 1 q q - Phần tử kéo nén dọc trục 4q 10q [ ] ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ − −= 11 11 l GJK xe 10 4 q q - Phần tử khung phẳng xy: 2q 6q 8q 12q [ ] 12 8 6 2 22 22 3 4626 612612 2646 612612 q q q q llll ll llll ll l EJK ze ⎥⎥ ⎥⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎣ ⎡ − −−− − − = - Phần tử khung phẳng xz: 3q 5q 9q 11q [ ] 11 9 5 3 22 22 3 4626 612612 2646 612612 q q q q llll ll llll ll l EJ K ye ⎥⎥ ⎥⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎣ ⎡ − − − −−− = Lấy từng phần tử trong mỗi ma trận, theo chỉ số ta đặt vào vị trí của ma trận cứng khung không gian. Kết quả ma trận độ cứng của khung không gian có dạng sau: Chương 4. Tính toán hệ thanh 4-22 Ma trận độ cứng của phần tử không gian q1 q2 q3 q4 q5 q6 q7 q8 q9 q10 q11 q12 [ ] ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − − − −−− − − − − −−− − − = l EJ l EJ l EJ l EJ l EJ l EJ l EJ l EJ l GJ l GJ l EJ l EJ l EJ l EJ l EJ l EJ l EJ l EJ l EF l EF l EJ l EJ l EJ l EJ l EJ l EJ l EJ l EJ l GJ l GJ l EJ l EJ l EJ l EJ l EJ l EJ l EJ l EJ l EF l EF K zzzz yyyy xx yyyy zzzz zzzz yyyz xx yyzy zzzz e 400060200060 0 4 0 6 000 2 0 6 00 0000000000 0 6 0 12 000 6 0 12 00 60001206000120 0000000000 200060400060 0 2 0 6 000 4 000 0000000000 0 6 0 12 0000 12 00 60001206000120 0000000000 22 22 2323 2323 22 22 2323 2323 Chương 4. Tính toán hệ thanh 4-23 4.5.5 Ma trận chuyển hệ trục tọa độ: Hệ trục tọa độ cục bộ của phần tử khung không gian được xác định giống như đối với phần tử giàn không gian. Ma trận chuyển hệ trục tọa độ có dạng: [ ] ⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = zyx zyx zyx nnn mmm lll T ' Các đại lượng l,m,n lần lượt là các cosin chỉ phương của các trục x, y, z của hệ trục tọa độ cục bộ, được xác định giống phần giàn không gian. Khi đó ma trận chuyển hệ trục tọa độ của phần tử không gian sẽ là: [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = ' ' ' ' 000 000 000 000 T T T T T ( 4-43) Ma trận này có kích thước 12 x 12. 4.5.6 Nội lực của phần tử khung không gian Nội lực của khung không gian được tính độc lập cho 4 trạng thái làm việc: - Chịu biến dạng dọc trục; - Chịu xoắn dọc trục; - Trạng thái khung trong mặt phẳng xy; - Trạng thái khung trong mặt phẳng xz. Nội lực của khung không gian được tính cho trường hợp chuyển vị nút và do tải trọng trên phần tử: Nội lực = Nội lực CV + Nội lực P Trong đó: Nội lựcCV - nội lực do chuyển vị; Nội lựcP - nội lực do tải trọng trên phần tử. 4.5.7 Nội lực do chuyển vị nút của phần tử gây ra Do nội lực của thanh chịu biến dạng dọc trục và khung phẳng xy đã được xét ở các mục trước nên ở đây chỉ xét nội lực cho thanh chịu xoắn và khung phẳng xz. 4.5.7.1 Thanh chịu xoắn (do chuyển vị) Mx = Mxoắn = [ ] { }ex qBJG ′. ( 4-44) Trong đó: G - môđun đàn hồi trượt của vật liệu; Jx - mômen độc cực của trục x. [ ] ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡−=′ ll B 11 Chương 4. Tính toán hệ thanh 4-24 { } ⎭⎬ ⎫ ⎩⎨ ⎧= 10 4 q q q e 4.5.7.2 Nội lực của khung phẳng xz (do chuyển vị) Momen của khung phẳng xz hoàn toàn dựa trên công thức của khung phẳng xy, nhưng cần chú ý đến chiều của momen My. Ta có: [ ]{ }eyy uAJEM .= ( 4-45) Trong đó: My - mômen nội lực theo y; E - mođun đàn hồi của vật liệu; Jy- mômen quán tính theo y. [ ] ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ +−⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ +−⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ +−⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ −= 232232 6212664126 l x ll x ll x ll x l A ( 4-46) l - chiều dài phần tử; x - khoảng cách từ nút đến mặt cắt cần tính. { } ⎪⎪⎭ ⎪⎪⎬ ⎫ ⎪⎪⎩ ⎪⎪⎨ ⎧ = 11 9 5 3 u u u u u e Lực cắt được xác định theo công thức sau: dx dM Q yz = suy ra: [ ]{ }eyz uAJEQ ..= ( 4-47) Trong đó: [ ] ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡−= 2323 612612 llllA ( 4-48) Tập hợp các thành phần nội lực của 4 trạng thái làm việc ta có 6 thành phần nội lực của khung không gian do chuyển vị: Mx, My, Mz, N, Qy, Qz Nội lực do tải trọng trên phần tử gây ra cho mỗi trạng thái được xác định giống như trong sức bền vật liệu 4.5.8 Xác định nội lực do lực trên phần tử gây ra: Để xác định được nội lực do lực gây ra ta cần xác định theo từng loại lực: 4.5.8.1 Nội lực do lực phân bố dọc trục qx: Chương 4. Tính toán hệ thanh 4-25 x L qx x y Hình 4-10. Nội lực do lực phân bố dọc trục Dưới tác dụng của lực phân bố dọc trục chỉ xuất hiện nội lực dọc trục là Px (N): x x x qx Lq PN . 2 . −== qx- Giá trị lực phân bố; x- Khoảng cách từ nút đầu đến mặt cắt tính nội lực; L- Chiều dài phần tử; 4.5.8.2 Nội lực do lực phân bố qy trong mặt phẳng xy: xx qy Hình 4-11. Nội lực do lực phân bố qy 22 . 12 . 22 xqx LqLq M y yy z +−= xq Lq Q y y y .2 . −= Trong đó: qy- Giá trị của tải trọng phân bố; L- Chiều dài phần tử; x- Khoảng cách từ nút đầu đến mặt cắt tính nội lực; 4.5.8.3 Nội lực do lực phân bố qz trong mặt phẳng xz: x x qz Hình 4-12. Nội lực do lực phân bố qz Chương 4. Tính toán hệ thanh 4-26 2 .. 2 . 12 . 22 xqxLqLqM zzzy −+−= xqLqQ zzz .2 . −= Trong đó: qz- Giá trị của tải trọng phân bố; L- Chiều dài phần tử; x- Khoảng cách từ nút đầu đến mặt cắt tính nội lực; 4.5.8.4 Nội lực do tải trọng tập trung dọc trục Px: x Px x a L Hình 4-13. Nội lực do lực tập trung Px Giả sử có lực tập trung Px dọc trục đặt cách nút đầu một khoảng là a. Khi đó nội lực dọc trục xác định như sau: Nếu x≤a: ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ −= L aPN x 1 Nếu x>a: xx PL aPN −⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ −= 1 4.5.8.5 Nội lực do lực tập trung Py trong mặt phẳng xy: x x L yP a Hình 4-14. Nội lực do lực Py Lực Py sẽ tạo ra hai nội lực là Qy và Mz. Nếu x≤a: ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ +−−⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ +−= 3 3 2 2 2 32 231.2 L a L aPx L a L aaPM yyz ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ +−= 3 3 2 2 231 L a L aPQ yy Chương 4. Tính toán hệ thanh 4-27 Nếu x>a: ( )axP L a L aPx L a L aaPM yyyz −+⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ +−−⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ +−= .231.2 3 3 2 2 2 32 ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ +−= 3 3 2 2 23 L a L aPQ yy Trong đó: Khoảng cách từ nút đầu đến điểm đặt lực; x- Khoảng cách từ nút đầu đến mặt cắt tính nội lực; L- Chiều dài phần tử; 4.5.8.6 Nội lực do lực tập trung Pz trong mặt phẳng xz: x x L P a z Hình 4-15. Nội lực do lực Pz Lực Pz sẽ tạo ra hai nội lực là Qz và My. Nếu x≤a: ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ +−+⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ +−−= 3 3 2 2 2 32 231.2 L a L aPx L a L aaPM yzy ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ +−= 3 3 2 2 231 L a L aPQ zz Nếu x>a: ( )axP L a L aPx L a L aaPM zzzy −−⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ +−+⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ +−−= .231.2 3 3 2 2 2 32 ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ +−= 3 3 2 2 23 L a L aPQ zz Trong đó: Khoảng cách từ nút đầu đến điểm đặt lực; x- Khoảng cách từ nút đầu đến mặt cắt tính nội lực; L- Chiều dài phần tử; 4.5.8.7 Nội lực do mô men tập trung mx: Chương 4. Tính toán hệ thanh 4-28 x x L a mx y Hình 4-16. Nội lực do mô men my Nếu x≤a: ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ −= L amM xx 1. Nếu x>a: xxx mL amM −⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ −= 1. 4.5.8.8 Nội lực do mô men tập trung my trong mặt phẳng xz: x x L a m y y Hình 4-17. Nội lực do mô men my Nếu x≤a: ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ +−−⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ +−= 3 2 22 2 66.341. L a L axm L a L amM yyy ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ +−−= 3 2 2 66 L a L amQ yz Nếu x>a: yyyy mL a L axm L a L amM −⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ +−−⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ +−= 3 2 22 2 66.341. ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ +−−= 3 2 2 66 L a L amQ yz 4.5.8.9 Nội lực do mô men tập trung mz trong mặt phẳng xy: x L a x y m z Hình 4-18. Nội lực do mô men mz Chương 4. Tính toán hệ thanh 4-29 Nếu x≤a: ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ +−−⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ +−= 3 2 22 2 66.341. L a L axm L a L amM zzz ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ +−= 3 2 2 66 L a L amQ zy Nếu x>a: zzzz mL a L axm L a L amM −⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ +−−⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ +−= 3 2 22 2 66.341. ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ +−= 3 2 2 66 L a L amQ zy Sau khi xác định được nội lực do từng loại lực ta xác định được nội lực phần tử do lực gây ra cộng với nội lực của phần tử do chuyển vị ta có nội lực toàn phần của phần tử tại vị trí x bất kỳ. 4.5.9 Nội lực trên phần tử do tải trọng khi có liên kết khớp Khi đã xác định được nội lực tại các đầu j, j việc xác định nội lực trên phẩn tử do tải trọng gây ra hoàn toàn dễ xác định bằng cách áp dụng các công thức của thanh ngàm hai đầu: 4.5.9.1 Nội lực do tải trọng phân bố đều ( ) 2 2xqxQMxM ii +−= ( ) xqQxQ i ⋅−= 4.5.9.2 Nội lực do lực tập trung Nếu x ≤ a : ( ) ii QxMxM .−= ( ) iQxQ = Nếu x > a thì : ( ) ( )axPQxMxM ii −+−= . ( ) PQxQ i −= 4.5.9.3 Nội lực do momen tập trung Nếu x ≤ a : ( ) ii QxMxM .−= ( ) iQxQ = Nếu x > a thì : ( ) MQxMxM ii −−= . Chương 4. Tính toán hệ thanh 4-30 ( ) iQxQ = 4.5.9.4 Nội lực do lực phân bố hình thang Nếu x ≤ a ( ) ii QxMxM ⋅−= ( ) iQxQ −= Nếu b> x > a ( ) ( )( )∫ −+⋅−= x a ii dzzxzqQxMxM ( ) ( )∫−= x a i dzzqQxQ Nếu x > b ( ) ( )( )∫ −+⋅−= b a ii dzzxzqQxMxM ( ) ( )∫−= b a i dzzqQxQ Trong đó Qi, Mi là các nội lực (tải trọng quy về nút) được xác định trong mục 4. 4.6 Dầm trực giao Hệ dầm trực giao là hệ dầm cùng nằm trên một mặt phẳng, các trục của dàm vuông góc với nhau và chịu lực tác dụng trong mặt phẳng của dầm. Như vậy phần tử thanh trong hệ dầm trực giao là phần tử khung phẳng không kéo nén dọc trục, chịu xoắn. Dựa và các đặc trưng của phần tử khung không kéo nén dọc trục và chịu xoắn ta xây dựng các đặc trưng của phần tử khung trong hệ dầm trực giao. 4.6.1 Ma trận độ cứng Nếu coi mặt phẳng của hệ dầm trực dao trùng với mặt phẳng xy thì trục z sẽ vuông góc với mặt phẳng dầm trực giao khi đó ta có các chuyển vị z, xθ , yθ . Các mômen quán tính sẽ là: Jx, Jy. Ta có ma trận độ cứng của phần tử khung không kéo nén dọc trục trong mặt phẳng xz: [ ] ⎥⎥ ⎥⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎣ ⎡ − −−− − − = 22 22 3 4626 612612 2646 612612 llll ll llll ll l EJ K yc Ma trận độ cứng của phần tử khung chịu xoắn: [ ] ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ − −= 11 11 l GJK xe Ma trận độ cứng của phần tử dầm trực giao: Chương 4. Tính toán hệ thanh 4-31 [ ] ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎣ ⎡ − −−− − − − − = 22 22 22 22 3 460260 61206120 0000 260460 61206120 0000 llll ll EJ lGJ EJ lGJ llll ll EJ lGJ EJ lGJ l EJ K y x y x y x y x y e 4.6.2 Ma trận chuyển hệ trục tọa độ Dễ thấy mỗi nút của phần tử dầm trực giao có 3 chuyển vị: chuyển vị vuông góc với mặt phẳng hệ dầm, chuyển vị xoay trong mặt phẳng xz, chuyển vị xoay trong mặt phẳng yz. Dễ thấy tại các vị trí khác nhau trong hệ tọa độ tổng thể chuyển vị thẳng đứng không thay đổi. Đặt giả thiết có một phần tử giàn nằm trong mặt phẳng nghiêng với trục x của hệ toạ độ tổng thể một góc α . y x Y X Y X α Hình 4-19. Phần tử dầm trực giao trong hệ toạ độ tổng thể. Theo hình học giải tích thì toạ độ cục bộ được chuyển về tổng thể theo công thức sau: [ ] ⎭⎬ ⎫ ⎩⎨ ⎧⋅′=⎭⎬ ⎫ ⎩⎨ ⎧ y x T Y X Trong đó: [ ] ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡=′ yx yx mm ll T Các đại lượng lx, ly, mx, my được xác định như sau: lx = cos(x,X) ; ly = cos(y,X); mx = cos(x,Y); my = cos(y,Y) Nếu cho trước toạ độ nút đầu và nút cuối của phần tử giàn là (X1, Y1) và (X2, Y2) ta sẽ tính được các giá trị lx, ly. Ta có: cos(x,X) = l XX 12 − ; cos(x,Y) = l YY 12 − ; 2 12 2 12 )()( YYXXl −+−= ( 4-49) Chương 4. Tính toán hệ thanh 4-32 Hoặc có thể viết như sau: cos(x,X) = cosα ; cos(x,Y) = sinα Tương tự có: cos(y,X) = -sinα ; cos(y,Y) = cosα Vậy ma trận chuyển hệ toạ độ có dạng: [ ] ⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ =′ yx yx mm ll T 0 010 0 [ ] [ ] [ ] ⎥⎥⎦ ⎤ ⎢⎢⎣ ⎡ ′ ′ = T TT 0 0 4.6.3 Tải trọng nút Tải trọng nút bao gồm: - Lực theo phương z; - Mômen Mx; - Mômen My. Các tải trọng nút được cộng trực tiếp vào véctơ tải trọng của hệ theo chỉ số chuyển vị tương ứng.