Sự hội tụ của tổng có trọng số các phần tử ngẫu nhiên trong không gian NPC toàn cục

TẠP CHÍ KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ ĐẠI HỌC QUẢNG BÌNH, SỐ 02 SỰ HỘI TỤ CỦA TỔNG CÓ TRỌNG SỐ CÁC PHẦN TỬ NGẪU NHIÊN TRONG KHÔNG GIAN NPC TOÀN CỤC Nguyễn Văn Quảng Đại học Vinh Hoàng Thị Duyên Trường Đại học Quảng Bình Tóm tắt. Bài báo đưa ra định nghĩa tổng có trọng số các phần tử ngẫu nhiên, sau đó thiết lập luật yếu số lớn và luật mạnh số lớn cho tổng có trọng số các phần tử ngẫu nhiên độc lập trên không gian NPC toàn cục. Các kết quả này là mở rộng một kết quả đã biết của Karl - Theodor Sturm trong [5] về tổng các phần tử ngẫu nhiên độc lập, cùng phân phối. 1. MỞ ĐẦU Các định lý giới hạn nói chung và luật số lớn nói riêng đóng vai trò quan trọng trong lý thuyết xác suất và thống kê. Luật số lớn có nhiều ứng dụng trong thống kê, kinh tế, y học và một số ngành khoa học thực nghiệm khác. Chính vì thế, việc nghiên cứu về luật số lớn không chỉ có ý nghĩa về mặt lý thuyết mà còn có ý nghĩa to lớn về mặt thực tiễn. Từ kết quả của Karl - Theodor Sturm về tổng các phần tử ngẫu nhiên độc lập, cùng phân phối [5], chúng tôi đưa ra định nghĩa tổng có trọng số các phần tử ngẫu nhiên nhận giá trị trên không gian NPC toàn cục, sau đó thiết lập luật yếu số lớn và luật mạnh số lớn cho tổng có trọng số các phần tử ngẫu nhiên độc lập trên không gian đó. Trước hết, chúng tôi xin giới thiệu khái niệm về không gian NPC toàn cục theo nghĩa của Alexandrov được sử dụng trong các bài báo [5] và [7]. Định nghĩa 1.1. Cho ( , )N d là không gian mêtric. i) Đường cong (liên tục) :[0,1] Nγ → được gọi là trắc địa nếu 0 1( , ) ( ),dd lγ γ γ= trong đó 1 1 0 1 0 ( ) : sup{ ( , ) | 0 1}. k k n t t nd k l d t t tγ γ γ + − = = = < < < =∑ L Ta còn ký hiệu trắc địa là , [0,1].tt tγ ∈a ii) ( , )N d được gọi là không gian trắc địa nếu với bất kỳ 0 1 ,, Nγ γ ∈ luôn tồn tại trắc địa nối hai điểm đó. Định nghĩa 1.2. Không gian mêtric đủ ( , )N d được gọi là không gian NPC (nonpositive curvature) toàn cục nếu : TẠP CHÍ KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ ĐẠI HỌC QUẢNG BÌNH, SỐ 02 i) Nó là không gian trắc địa, ii) Với bất kỳ trắc địa , [0,1],tt tγ ∈a với bất kỳ ,z N∈ ta có bất đẳng thức sau 2 2 2 2 0 1 0 1( , ) (1 ) ( , ) ( , ) (1 ) ( , ).td z t d z td z t t dγ γ γ γ γ≤ − + − − (1) Không gian NPC toàn cục cũng được gọi là không gian Hadamard. Điều kiện (1) có nhiều ứng dụng quan trọng. Một trong những ứng dụng của (1) là với hai điểm bất kỳ 0 1,γ γ trong không gian NPC toàn cục N, trắc địa :[0,1] Nγ → nối hai điểm đó là duy nhất. Dưới đây là một số ví dụ về không gian NPC toàn cục. Ví dụ 1) Không gian Hilbert là không gian NPC toàn cục. Một không gian Banach là không gian NPC toàn cục khi và chỉ khi nó là không gian Hilbert. Ví dụ 2) Không gian 2 ( , , )L M N µ gồm các ánh xạ đo được :f M N→ từ không gian độ đo (M, M , µ ) bất kỳ vào không gian NPC toàn cục ( , )N d là không gian NPC toàn cục với khoảng cách là 1 2 2 2 ( , ) : ( ( ), ( )) ( ) M f g d f x g x dxd µ=      ∫ . Ví dụ 3) Không gian mêtric 2( , )pd với 1 2 1 2 1 1 2 2(( , ), ( , )) | | | | , 1 , 2pp p pd x x y y x y x y p p= − + − < < ∞ ≠ không là không gian NPC toàn cục. Xét (Ω , f, P) là không gian xác suất, g là σ-đại số con của f và ( , )N d là không gian NPC toàn cục. Định nghĩa 1.3. i) Cho , :Y Z NΩ → là các ánh xạ g-đo được. Ta gọi Y và Z là tương đương nếu Y = Z hầu chắc chắn. ii) Đặt ( ) ( ) 1 1 2 22 2 2( , ) : : ( )( , ) ( ), ( )d Y Z d P dEd Y Z Y Z ωω ω Ω = =       ∫ và ( ) ( ), : ess sup ( ), ( )d Y Z d Y Z ω ω ω ∞ ∈Ω = , TẠP CHÍ KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ ĐẠI HỌC QUẢNG BÌNH, SỐ 02 trong đó, ess sup ( ) x f x ∈Ω là cận trên cốt yếu của f theo nghĩa nó là giá trị bé nhất trong số các giá trị chặn trên (hầu khắp nơi) của f. Khi đó, 2d và d∞ là các mêtric trên không gian các ánh xạ g-đo được. Kí hiệu 2L (g) là tập hợp các lớp tương đương của các ánh xạ g-đo được :Z NΩ → sao cho 2( , )d y Z < ∞ , với y N∈ và L∞ (g) là tập hợp các lớp tương đương của các ánh xạ g- đo được :Z NΩ → sao cho ( , )d y Z ∞ < ∞ với y N∈ . Như vậy, mỗi phần tử của 2L (g), L∞ (g) là một lớp tương đương. Từ đây trở về sau, nếu không sợ nhầm lẫn, chúng ta sẽ không phân biệt một ánh xạ đo được với lớp tương đương của nó. Mệnh đề 1.1. ([5, Proposition 1.6 ]) Không gian 2L (g) với mêtric 2d là không gian NPC toàn cục. Định nghĩa 1.4. Cho ánh xạ đo được :Y NΩ → . Ta gọi V gY=inf{ ( )2 , | :Ed Y Z Z NΩ → là g - đo được} là phương sai có điều kiện trung bình của Y đối với g và { }2V(Y): = inf ( , ) |Ed z Y z N∈ là phương sai của Y. Định nghĩa 1.5. Cho ( ), :n nY Y NΩ → là dãy các phần tử ngẫu nhiên. Dãy ( )nY được gọi là hội tụ về Y i) theo xác suất nếu với mọi 0ε > ta có ( )lim ( , ) 0n n P d Y Y ε →∞ > = . Kí hiệu PnY Y→ . ii) hầu chắc chắn nếu ( )lim ( , ) 0 1n n P d Y Y →∞ = = . Kí hiệu . . .n h c cY Y→ . iii) theo trung bình cấp r, ( 0)r > nếu lim ( , ) 0r n n Ed Y Y →∞ = . Kí hiệu r n LY Y→ . Định nghĩa 1.6. Cho ( ), :n nY Y NΩ → là dãy các phần tử ngẫu nhiên. Dãy ( )nY được gọi bị chặn đều h.c.c. nếu tồn tại hằng số 0C > và phần tử z N∈ sao cho TẠP CHÍ KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ ĐẠI HỌC QUẢNG BÌNH, SỐ 02 , ) , . . ., .( n z C h c c nd Y ≤ ∀ ∈ Định lý 1.1. ([5, Theorem 2.1]) Cho 2Y L∈ (f ). Khi đó i) Tồn tại duy nhất 2Z L∈ (g) là điểm mà tại đó hàm ( )2 ,Z d Z Ya đạt giá trị nhỏ nhất. Ta kí hiệu Z là E(Y|g) hay E gY. ii) Với mỗi 2Z L∈ (g), ta có 2 2( , )Ed Z Y Ed≥ (EgY,Y)+ 2Ed (EgY,Z) (2) và Eg 2( , )d Z Y ≥ Eg 2d (Eg Y, Y) + 2d (Eg Y, Z), h.c.c.. (3) 2. CÁC KẾT QUẢ CHÍNH Trong [5], Karl - Theoder Sturm đã định nghĩa tổng các phần tử ngẫu nhiên nhận giá trị trong không gian NPC toàn cục ( , ),N d sau đó thiết lập luật yếu số lớn và luật mạnh số lớn cho tổng các phần tử ngẫu nhiên độc lập, cùng phân phối. Chúng tôi mở rộng các kết quả này cho tổng có trọng số các phần tử ngẫu nhiên độc lập. Định nghĩa 2.1. i) Cho dãy các phần tử ngẫu nhiên ( ), :n nY Y NΩ → và ( )nα là dãy số thực dương. Ta định nghĩa dãy ( )nS các phần tử ngẫu nhiên bằng quy nạp như sau: 1 1 1 1 1 11 1 1 1 ( ) : ( ) ( ) : ( ) ( ) n i i n n n nn n i i i i S Y S S Y ω ω α α ω ω ω α α = + + ++ + = = =    = +   ∑ ∑ ∑ trong đó vế phải kí hiệu cho một điểm trên đường trắc địa 1 1 1 n n i i α α γ + + = ∑ từ ( )nS ω đến 1( )nY ω+ mà có khoảng cách từ điểm này đến ( )nS ω bằng 11 1 n n i i α α + + = ∑ so với chiều dài của đường trắc địa. TẠP CHÍ KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ ĐẠI HỌC QUẢNG BÌNH, SỐ 02 ii) Kí hiệu nS bởi 1 1 1 n i in i i i Yα α = = ∑ ∑ và gọi là tổng có trọng số của các phần tử ngẫu nhiên 1, ... , nY Y . Định lý 2.1. Cho 2( )nY L⊂ (F ) là dãy các phần tử ngẫu nhiên độc lập, có cùng kỳ vọng sao cho 1 1 sup ( ) n i n i V Y C n = ≤∑ , C là hằng số và ( )nα là dãy số thực dương. Khi đó i) 1 ,nS EY n→ → ∞ trong 2L và theo xác suất. ii) Nếu thêm điều kiện ( )nY bị chặn đều h.c.c. và ( )nα là dãy đơn điệu giảm thì 1 . . . , h c c n EY nS → ∞→ . Chứng minh. i) Trước hết, ta chứng minh bằng quy nạp rằng 2 1 2 1 1( , ) ( ), . n n i i Ed EY S V Y n n = ≤ ∀ ∈∑  Ta có 2 2 1 1 1 1 1( , ) ( , ) ( )Ed EY S Ed EY Y V Y= = . Vậy, khẳng định đúng với 1n = . Giả sử khẳng định đúng với n. Ta chứng minh khẳng định đúng với n + 1. Thật vậy, theo định nghĩa ( ), n S 1( )nS ω+ là một điểm thuộc trắc địa nối 2 điểm ( )nS ω và 1( ),nY ω ω+ ∈ Ω nên theo (1) ta có 2 2 2 2 1 1 1 1 1 12 1( , ) ( , ) ( , ) ( , ). 1 1 ( 1)n n n n n n nd EY S d EY S d EY Y d S Y n n n + + +≤ + − + + + Suy ra 2 2 2 2 1 1 1 1 1 12 1( , ) ( , ) ( , ) ( , ). 1 1 ( 1)n n n n n n n Ed EY S Ed EY S Ed EY Y Ed S Y n n n + + +≤ + − + + + Ngoài ra từ (2) ta có 2 2 2 1 1 1 1( , ) ( , ) ( , )n n n n n nEd S Y Ed EY Y Ed EY S+ + + +≥ + nên 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 12 2 2 1 1) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ). 1 1 ( 1) ( 1)( , n nn n n n n n n nS Ed EY S Ed EY Y Ed EY Y Ed EY S n n n n Ed EY + + + + +≤ + − −+ + + + TẠP CHÍ KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ ĐẠI HỌC QUẢNG BÌNH, SỐ 02 Vì 1 1n EYEY + = nên 2 2 2 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ( )1 1 ( ) 1 1( , ) ( , ) ( , )1 1 ( , ) ( , )( 1) ( 1) 1 ( , ) ( , )1( 1) 1 1( ) .1( 1) 1 ( 1) nn n n n n n n n n n V Yn i i V Yi i nE d E Y E d E Y E d n n n nE d E Y Y E d E Y S n n nE d E Y Y E d E Y S nn nV Y nn n n S S E Y Y+ + +               + + + + + ∑+ = = ≤ ++ + − − + + = + ++ ≤ + ++ = + 1n + ∑ Như vậy, ta đã chứng minh 2 1 2 1 1( , ) ( ), . n n i i EY S V Y n n Ed = ≤ ∀ ∈∑  Cho n → ∞ ta được 2 1n L EYS → . Suy ra 1, .n P EY nS → ∞→ ii) Giả sử )( n Y bị chặn đều h.c.c.. Với mỗi 0,ε > đặt 2 1( ( , ) ).n nd S EYA ε= > Vì 2 2 2 2 4 1 1 1 1 2 12 1 1 . 1 1 ( ) ( ) ( ( , ) ) 1 ( , ) n i i n n n n n n n V Y n P A P d S EY S EYEd ε ε ε = ∞ ∞ = = ∞ = ∞ = ≤ < ∞ = > ≤ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ Do đó, theo Bổ đề Borel-Cantelli, ta có (limsup ) 0nP A = . Suy ra P( 2 1( , )nd S EY ε> với hữu hạn n) = 1. Vậy 2 1 . . .( , ) 0, . n h c cd S EY n → ∞→ Vì )( nY bị chặn đều h.c.c. nên có z N∈ và R∈ sao cho ( , ) , . . .nd Y z R h c c≤ với mọi 1n ≥ . Ta có thể chứng minh bằng quy nạp rằng ( , ) , . . . n d S z R h c c≤ với mọi n∈ . Thật vậy, khẳng định đúng với 1n = vì 1 1, ) ( , ) , . . ..( z d Y z R h c cd S = ≤ TẠP CHÍ KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ ĐẠI HỌC QUẢNG BÌNH, SỐ 02 Giả sử khẳng định đúng với n, tức là ( , ) , . . . n d S z R h c c≤ . Do hàm (., )d z lồi trên N nên 1 1 1 1 1( , ) , ( , ) ( , ) , . . .. 1 1 1 1n n n n n n nd S z d S Y z d S z d Y z R h c c n n n n + + += + ≤ + ≤ + + + +       Do đó, khẳng định đúng với 1n + . [ ] 1 1 11 1 1 1 1 1 11 1 1 11 1 1 1 1 . ( , ) , ( , ) ( , ) ( , ) 2 , . . . n i i n nn n i i i i n n n n n n nn i i n n nn i i n n i i Yd S S d S S d S Y d S z d z Y R h c c α α α α α α α α α α = + ++ + = = + + ++ = + ++ = + + = += ≤ + ≤             = ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ Vì thế với mỗi ,k n∈ sao cho 2 2( 1)n k n< < + ta có 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 2 2 2 ( , ) ( , ) ( , ) 2 1 1 2 1 2 4 , . . .. k k kn n n k n k n i i i i d S S d S S d S S R R k n k n R n R h c c n αα α α − + + + = = ≤ + + ≤ + + ≤ + + + − ≤ ≤                   ∑ ∑ L L L Như vậy, 2 2 24 , . . ., , , ( 1) .( , )k n R h c c n k n k nnd S S ∀ ∈ < < +≤  TẠP CHÍ KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ ĐẠI HỌC QUẢNG BÌNH, SỐ 02 Cho ,k → ∞ ta được 1 . . .( , ) 0,k h c cd S EY → điều này có nghĩa là 1 . . . ,k h c c kS EY → ∞→ Định lý đã được chứng minh. Hệ quả 2.1. Cho 2( )nY L⊂ (f ) là dãy các phần tử ngẫu nhiên độc lập, cùng phân phối và ( )nα là dãy số thực dương. i) Khi đó 1,nS EY n→ → ∞ trong 2L và theo xác suất. ii) Nếu thêm điều kiện nY L∞∈ (f ) và ( )nα là dãy đơn điệu giảm thì 1 . . . , h c c n EY nS → ∞→ . Chứng minh. i) Vì 2( )nY L⊂ (f ) và cùng phân phối nên 1( ) ( ) .nV Y V Y= = < +∞L Do đó, 1 1 1 sup ( ) ( ) n i n i V Y V n Y = = < +∞∑ . Ngoài ra, vì ( )nY có cùng phân phối nên có cùng kỳ vọng. Từ đây, ta có khẳng định i). ii) Vì 1Y L∞∈ (f ) nên có z N∈ và R∈ sao cho 1 , ) , . . .( z R h c cd Y ≤ . Ngoài ra, do ( )nY độc lập, cùng phân phối nên ta cũng có , ) , . . .( n z R h c cd Y ≤ với mọi 1,n ≥ tức là ( )nY bị chặn đều h.c.c.. Do đó, theo Định lý trên ta có điều phải chứng minh. Trong trường hợp 1nα = với mọi ,n∈ ta nhận được Định lý 2.6 trong [5]. TÀI LIỆU THAM KHẢO [1 ] Ballmann, W. (1995), Lectures on Spaces of Nonpositive Curvature, Birkh¨auser, Berlin. [2 ] Jost, J. (1994), Nonpositive Curvature: geometric and analytic aspects, Lectures Math. ETH Z¨urich. Birkh¨auser, Basel. [3 ] Jost, J. (1997), Equilibrium maps between metric spaces, Calc. Var. Partial Differential Equations 2 173 -204. [4 ] Korevaar, N. and Schoen, R. (1993), Sobolev spaces and harmonic maps for metric space targets. Comm. Anal. Geom. 1 561 - 569. [5 ] Sturm, K.T. (2002), Nonlinear martingale theory for processes with values in metric spaces of nonpositive curvature, The Annals Probability, Vol. 30, No. 3, 1195 -1222. TẠP CHÍ KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ ĐẠI HỌC QUẢNG BÌNH, SỐ 02 [6 ] Sturm, K.T. (2002), Nonlinear Markov operators, discrete heat flow, and harmonic maps between singular spaces. Potential Anal 16 305-340. [7 ] Sturm, K.T. (2001), Nonlinear Markov operators associated with symmetric Markov kernels and energy minimizing maps between singular spaces. Calc. Var. Partial Differential Equations 12 317-357. CONVERGENCE OF WEIGHTED SUMS OF RANDOM ELEMENTS IN GLOBAL NPC SPACES Nguyen Van Quang Vinh University Hoang Thi Duyen Quang Binh University Abstract. This paper presents the definition of weighted sums of random elements, and then establish the weak and strong law of the large number for weighted sums of independent random elements in global NPC. Our result is the extension based on a result of Karl - Theodor Sturm about the sums of independent, identically distributed random elements in [5].