Sử dụng phần mềm Maple giải các bài toán cơ bản trong hình học Affine

SỬ DỤNG PHẦN MỀM MAPLE GIẢI CÁC DẠNG TOÁN CƠ BẢN TRONG HÌNH HỌC AFFINE TRẦN LÊ NAM Trường Đại học Đồng Tháp Tóm tắt: Maple là một hệ thống tính toán trên các biểu thức đại số và minh họa toán học mạnh mẽ do một nhóm các nhà khoa học của Canada thuộc trường đại học Warterloo viết ra. Bài báo giới thiệu các tính toán từng bước, được viết trên Maple 13.0, để giải một số dạng bài tập cơ bản trong hình học Affine. Thông qua đó, sinh viên có phương tiện để kiểm tra lại từng bước tính toán, có nhiều thời gian tìm hiểu các vấn đề bản chất hơn. 1 MỞ ĐẦU Hình học Affine là một môn học tương đối quan trọng trong chương trình đào tạo cử nhân Toán học ngành sư phạm. Nó là môn học giúp sinh viên có cái nhìn tổng quát hình học giải tích ở phổ thông. Hơn nữa, một số nội dung môn học còn là kiến thức cơ sở trong các môn Toán cao cấp của ngành kĩ thuật và kinh tế. Một đặc điểm của môn học là chúng có nhiều bài tập tính toán mang tính thuật toán. Maple là một phần mềm toán học thực hiện được hầu hết các vấn đề của đại số tuyến tính, đa thức và phương trình chứa tham số. Đặc biệt, nó còn là một phần mềm có hỗ trợ ngôn ngữ lập trình. Với các chức năng đó, nó cho phép chúng ta thực hiện các tính toán trong hai môn học theo từng bước. Do đó, nếu khai thác tốt những tính năng của Maple để thiết kế ra các mô-đun tính toán trong môn hình học Affine thì sinh viên sẽ có thêm phương tiện để kiểm tra lại các bước tính toán nhanh chóng và chính xác. Khi đó, người học sẽ tranh thủ được thời gian để nghiên cứu các vấn đề bản chất trong hai môn học hơn. Đồng thời, giảng viên có thể sử dụng chúng để trợ giúp quá trình giảng dạy của mình. Bài báo của chúng tôi giới thiệu đến bạn đọc các mô-đun tính toán, được viết trên Maple 13.0, trong môn học nhằm đáp ứng các mục đích trên. Tạp chí Khoa học và Giáo dục, Trường Đại học Sư phạm Huế ISSN 1859-1612, Số 01(17)/2011: tr. 12-20 SỬ DỤNG MAPLE GIẢI CÁC DẠNG TOÁN CƠ BẢN... 13 2 GIỚI THIỆU NỘI DUNG CỦA CÁC MÔ-ĐUN TÍNH TOÁN 2.1 Sử dụng các mô-đun Các mô-đun tính toán được lập trình trên Maple 13.0 và nén lại thành một tập tin HHAFFINE.rar lưu trữ tại địa chỉ Sau khi download về và giải nén tập tin, chúng ta sẽ thu được một folder chứa 3 folder con, mỗi folder chứa các mô-đun tính toán có trong một chương tương ứng của môn hình học Affine. Mở một file bất kì, các bạn sẽ thấy một hoặc vài dòng có kí tự màu đỏ. Đó là các dữ liệu mà các bạn phải nhập vào để tính toán như: tọa độ của một điểm, phương trình của m-phẳng hay phương trình của siêu mặt bậc hai,. . . Sau khi nhập hoàn tất dữ liệu, chúng ta nhấn phím enter và chờ chương trình chạy ra kết quả của các bước tính toán. Đối với một số file khi các bạn mở không thấy kí tự nào màu đỏ thì chúng ta chỉ việc nhấn phím enter. Khi đó, chương trình sẽ hiện lên 1 textbox yêu cầu nhập dữ liệu. Sau khi các dữ liệu được đưa vào, máy tính sẽ đưa ra kết quả tính toán của các bước trong bài toán. 2.2 Chức năng của các mô-đun Folder chuong1 chứa 8 file sau: - File 1.Muctieu.mw là mô-đun kiểm tra một hệ điểm có phải là mục tiêu Affine hay không. Chúng ta nhập vào tọa độ của n+1 điểm dạng vector. Ví dụ, điểm A1(1, 2, 3) sẽ được nhập theo cú pháp A[1]:=. Sau khi nhấn phím enter, Maple sẽ tính ra ma trận A = ( −−−→ A1Ai), giá trị định thức của A và xác định hệ điểm đã cho có phải mục tiêu Affine hay không. - File 2.Hediemdoclap.mw kiểm tra tính độc lập Affine của hệ điểm. Chúng ta nhập vào số điểm cần kiểm tra (m) và tọa độ của chúng. Maple sẽ tính ra tọa độ của m− 1 vector −−−→A1Ai và hạng của ma trận A = (−−−→A1Ai). Từ đó, nó sẽ đưa ra kết luận về tính độc lập của hệ điểm đó. - File 3.Toadodiem.mw xác định tọa độ Affine của một điểm. Nhập vào tọa độ gốc, các đỉnh của mục tiêu và điểm M cần xác định dưới dạng vector. Maple sẽ lập ra hệ phương trình xác định tọa độ của điểm M và nghiệm tương ứng. - File 4.CTDoimuctieu.mw lập công thức đổi mục tiêu Affine từ {A0;−−→A0Ai} sang {B0;−−→B0Bi}. Chúng ta nhập vào tọa độ của các điểm trong hai mục tiêu dưới 14 TRẦN LÊ NAM dạng vector. Trong trường hợp có một mục tiêu là mục tiêu chính tắc thì chúng ta nhập vào A[0] :=: và A[i] :=: hoặc B[0] :=: và B[i] :=:. Khi đó, Maple sẽ xác định tọa độ của từng điểm trong mục tiêu 2 đối với mục tiêu 1 và viết ra công thức đổi mục tiêu cần tìm. - File 5.PTmphang.mw lập phương trình tham số và tổng quát của m-phẳng. Chúng ta nhập vào số điểm mà cái phẳng (α) đi qua (m) và tọa độ của chúng dưới dạng vector. Khi đó, Maple tính ra ma trận xác định phương của (α). Sau đó, biến đổi nó về ma trận bậc thang. Từ đó, viết ra phương trình tham số của (α) và chuyển nó về phương trình tổng quát. - File 6.Thamsosangtongquat.mw chuyển phương trình tham số củam-phẳng sang phương trình tổng quát. Nhập vào số chiều (n) của không gian, số chiều (m) của cái phẳng và phương trình của nó. Chú ý khi nhập phương trình của (α) chúng ta phải nhập m phương trình độc lập trước. Khi đó, Maple sẽ tính ra giá trị của các t1, t2, . . . , tm và viết ra phương trình tổng quát của cái phẳng. - File 7.Tongquatsangthamso.mw chuyển phương trình tổng quát của m-phẳng sang phương trình tham số. Nhập vào số chiều (m) của cái phẳng và phương trình tổng quát của nó. Khi đó, Maple sẽ chọn ra n−m ẩn tự do làm tham số và viết ra phương trình tham số của m-phẳng đã nhập. - File 8.Tamticu.mw xác định tọa độ tâm tỉ cự và trọng tâm của một hệ điểm. Nhập vào số điểm (m) cần xác định tọa độ tâm tỉ cự, tọa độ và tỉ số tương ứng của chúng. Khi đó, Maple tính ra tọa độ tâm tỉ cự và trọng tâm của hệ điểm đã cho. Folder chuong2 chứa 5 file gồm: - File 1.BTAxafin.mw xác định biểu thức tọa độ của ánh xạ Affine. Nhập vào tọa độ của các điểm tạo ảnh và tọa độ ảnh tương ứng của chúng. Khi đó, chương trình sẽ đưa ra 2 cách xác định biểu thức tọa độ của ánh xạ Affine f . Cách 1. Viết biểu thức tọa độ của f dưới dạng tổng quát, lần lượt thay tọa độ của cặp điểm tạo ảnh và ảnh vào biểu thức tổng quát. Giải hệ thu được để xác định các hệ số trong biểu thức. Cuối cùng, Maple in ra màn hình biểu thức tọa độ của f . SỬ DỤNG MAPLE GIẢI CÁC DẠNG TOÁN CƠ BẢN... 15 Cách 2. Xác định ma trận của phép biến đổi tuyến tính liên kết ~f . Sau đó, dùng giả thuyết f(A1) = A ′ 1 để xác định ma trận [a] của biểu thức tọa độ. Cuối cùng, Maple in ra màn hình biểu thức tọa độ của f . - File 2.AnhvaTaoanhdiem.mw xác định tọa độ ảnh và tạo ảnh của một điểm qua ánh xạ Affine. Nhập vào tọa độ điểm của A và biểu thức tọa độ của ánh xạ Affine f . Khi đó, Maple sẽ tính ra tọa độ của điểm f(A) và f−1(A). - File 3.AnhvaTaoanhvector.mw xác định tọa độ ảnh và tạo ảnh của một vector qua ánh xạ Affine. Nhập vào tọa vector ~v và biểu thức tọa độ của ánh xạ Affine f . Khi đó, Maple sẽ tính ra biểu thức tọa độ của ánh xạ tuyến tính ~f liên kết với f . Từ đó, nó xác định tọa độ của hai vector ~f(~v) và ~f−1(~v). - File 4.Diembatdong.mw tìm phương trình xác định tọa điểm bất đông của phép biến đổi Affine. Nhập vào biểu thức tọa độ của phép biến đổi Affine f dưới dạng danh sách. Ví dụ: bt := {xp[1] = x[1]-2*x[2]+3*x[3]+4, xp[2] = 2*x[1]- 2*x[2]+3*x[3]+2, xp[3] = x[1]-2*x[2]+5*x[3]-4}:. Khi đó, Maple đưa ra hệ phương trình xác định tọa độ điểm bất động và biến đổi nó về hệ phương trình tuyến tính. Cuối cùng, xác định phương trình hoặc tọa độ điểm bất động nếu có. - File 5.DuongThang.mw xác định phương trình ảnh và tạo ảnh của một đường thẳng qua phép biến đổi Affine. Nhập vào phương trình tham số của đường thẳng (d) và biểu thức tọa độ của phép biến đổi Affine f . Khi đó, Maple sẽ tính ra phương trình tham số của hai đường thẳng f(d) và f−1(d). Lưu ý: Chúng ta có thể sử dụng hai file AnhvaTaoanhdiem.mw và AnhvaTaoan- hvector.mw để tìm phương trình ảnh vào tạo ảnh của một đường thẳng qua phép biến đổi Affine. - File 6.Sieuphang.mw xác định phương trình ảnh và tạo ảnh của một siêu phẳng qua phép biến đổi Affine. Nhập vào phương trình tổng quát của siêu thẳng (α) và biểu thức tọa độ của phép biến đổi Affine f . Khi đó, Maple sẽ tính ra phương trình tổng quát của hai siêu phẳng f(α) và f−1(α). Folder chuong3 gồm 5 file. - File 1.Phuongtrinhchinhtac.mw xác định phương trình chính tắc của một siêu mặt Affine bậc hai. Sau khi load file, nhấn phím enter, Maple hiện lên một textbox yêu cầu nhập vào phương trình tổng quát của siêu mặt bậc hai (S). 16 TRẦN LÊ NAM Sau khi nhập hoàn tất và click nút OK, máy tính đưa ra kết quả của các bước biến đổi phương trình của (S) về dạng chính tắc. - File 2.TamDiemkidi.mw xác định phương trình m-phẳng tâm và kì dị của một siêu mặt bậc hai. Tương tự như file trên, chúng ta nhập vào phương trình tổng quát của siêu mặt bậc hai (S). Khi đó, Maple đưa ra hệ phương trình xác định tọa độ tâm của nó. Sau đó, xác định hệ phương trình vừa tìm được có nghiệm hay không. Nếu hệ phương trình có nghiệm thì chương trình tính ra nghiệm tổng quát của hệ. Cuối cùng, Maple xác định tọa độ các điểm kì dị của (S) nếu có. - File 3.Sieuphangkinh.mw xác định phương trình siêu phẳng kính liên hợp của siêu mặt bậc hai. Nhập vào tọa độ của vector ~v và phương trình của siêu mặt bậc hai (S). Khi đó, Maple sẽ đưa ra hai cách xác định phương trình siêu phẳng (α) liên hợp với phương 〈~v〉 của (S). - File 4.Phuongtiemcan.mw xác định tọa độ phương tiệm cận của siêu mặt bậc hai Affine. Nhập vào phương trình của siêu mặt bậc hai (S). Khi đó, Maple tìm ra phương trình xác định tọa độ vector chỉ phương tiệm cận ~v của (S). Sau đó, nó chuyển phương trình vừa thu được về dạng chính tắc và in ra tọa độ của các vector ~v nếu có. - File 5.Sieutiepdien.mw xác định tọa độ tiếp điểm và phương trình siêu tiếp diện của siêu mặt bậc hai. Nhập vào tọa độ điểm M mà siêu tiếp diện (α) đi qua và phương trình của siêu mặt bậc hai (S). Khi đó, Maple thiết lập phương trình tổng quát của (α) và đưa ra hệ phương trình xác định tọa độ tiếp điểm. Cuối cùng, nó viết ra phương trình tổng quát của (α). 2.3 Một số ví dụ minh họa 2.3.1 Ví dụ 1 (Tìm công thức đổi mục tiêu Affine). Mở file 4.CTDoimuctieu.mw trong Folder chuong1 và nhập vào tọa độ của hai mục tiêu như sau. A[0]:= : A[1]:= : A[2]:= : A[3]:= : B[0]:= : B[1]:= : B[2]:= : B[3]:=: Khi đó, Maple sẽ tính được. SỬ DỤNG MAPLE GIẢI CÁC DẠNG TOÁN CƠ BẢN... 17 ”Toa do cua diem B[”,0,”] doi voi muc tieu thu nhat la”, [ 1 4 , 1 4 , 3 4 ] ”Toa do cua diem B[”,1,”] doi voi muc tieu thu nhat la”, [ 17 16 , −3 16 , 47 16 ] ”Toa do cua diem B[”,2,”] doi voi muc tieu thu nhat la”, [ 7 8 , −5 8 , 33 8 ] ”Toa do cua diem B[”,3,”] doi voi muc tieu thu nhat la”, [ 9 4 , −3 4 , 11 4 ] ”Tu do, ta co ma tran doi muc tieu dang”,  13 16 5 8 2 − 7 16 −7 8 −1 35 16 27 8 2  ”Suy ra, cong thuc doi muc tieu can tim dang”  x1 x2 x3  =  13 16 xp1 + 5 8 xp2 + 2 xp3 + 1 4 − 7 16 xp1 − 7 8 xp2 − xp3 + 1 4 35 16 xp1 + 27 8 xp2 + 2 xp3 + 3 4  2.3.2 Ví dụ 2 (Xác định phương trình ảnh và tạo ảnh của một siêu phẳng qua phép biến đổi Affine). Mở file 6.Sieuphang.mw trong Folder chuong2, nhập vào biểu thức tọa độ của phép biến đổi Affine f và phương trình tổng quát của siêu phẳng (α). SP:= x[3] = -x[2]+x[1]+4: bt:= {xp[1] = 3*x[1]+3*x[2]+2*x[3]+1, xp[2] = x[1]-x[2]+x[3]-1, xp[3] = 2*x[1]+2*x[2]+2*x[3]+3}: Khi đó, Maple sẽ tính được. ”Bieu thuc toa do cua anh xa affine” xp1 xp2 xp3  =  3x1 + 3x2 + 2x3 + 1 x1 − x2 + x3 − 1 2x1 + 2x2 + 2x3 + 3  18 TRẦN LÊ NAM ”Phuong trinh cua sieu phang” −x1 + x2 + x3 − 4 = 0 ”Tu bieu thuc toa do cua phep bien doi suy ra”  x1 x2 x3  =  1 2 xp2 − 5 4 xp3 + 13 4 + xp1 1 4 xp3 − 1 2 xp2 − 5 4 −xp1 + 3 2 xp3 − 7 2  ”Do do, chung ta co phuong trinh anh cua sieu phang” −2 xp1 − xp2 + 3 xp3 − 12 = 0 ”Phuong trinh tao anh cua sieu phang” −2x2 + x3 − 3 = 0 2.3.3 Ví dụ 3 (Xác định phương trình chính tắc của siêu mặt bậc hai). Mở file 1.Phuongtrinhchinhtac.mw trong Folder chuong3, nhấn phím Enter và nhập vào phương trình của siêu mặt bậc hai (S) như hình vẽ. Sau khi click vào nút OK, Maple sẽ tính được. ”Phuong trinh cua sieu mat bac hai da cho” x21 + 2x1x2 + x 2 2 + x 2 3 − 2x1 − 2x2 − 2x3 − 1 = 0 ”Phuong trinh tren tuong duong voi” (x1 + x2) 2 + x23 − 2x−2x2 − 2x3 − 1 = 0 ”Dat”,  y1 y2 y3  =  x1 + x2 x3 x2 , ”Suy ra”,  x1 x2 x3  =  y1 − y3 y3 y2  SỬ DỤNG MAPLE GIẢI CÁC DẠNG TOÁN CƠ BẢN... 19 ”Khi do, ta co: ” y21 + y 2 2 − 2y1 − 2y2 − 1 = 0 ”Phuong trinh tren tuong duong voi” (y1 − 1)2 + (y2 − 1)2 − 3 = 0 ”Phuong trinh tren tuong duong voi” 1 3 (y1 − 1)2 + 1 3 (y2 − 1)2 = 1 ”Suy ra, phuong trinh chinh tac cua sieu mat bac hai dang:” Z21 + Z 2 2 = 1 3 KẾT LUẬN Qua bài báo, chúng tôi đã giới thiệu đến bạn đọc 19 file tính toán trên Maple. Chúng hỗ trợ giải từng bước các dạng toán trong môn hình học affine như: kiểm tra một hệ điểm có độc lập, có phải là một mục tiêu Affine hay không; xác định tọa độ Affine của một điểm đối với một mục tiêu; lập công thức đổi mục tiêu Affine; lập phương trình tham số và phương trình tổng quát của m-phẳng; chuyển phương trình tham số của m-phẳng về phương trình tổng quát và ngược lại; xác định tọa độ tâm tỉ cự và trọng tâm của một hệ điểm; lập biểu thức tọa độ, xác định m-phẳng bất động của một phép biến đổi Affine; xác định tọa độ ảnh và tạo ảnh của một điểm, một vector, một đường thẳng, m-phẳng và siêu phẳng qua phép biến đổi Affine; đưa phương trình tổng quát của một siêu phẳng về phương trình chính tắc; xác định tọa độ tâm, điểm kì dị, siêu phẳng liên hợp, phương tiệm cận và tiếp điểm của một siêu mặt bậc hai. Các mô-đun đã khai thác các khả năng tính toán về đại số tuyến tính, đa thức, phương trình và hệ phương trình của phần mềm Maple để lập trình lời giải bài toán theo từng bước biến đổi. Thông qua đó, sinh viên kiểm tra lại các bước tính toán của mình được nhanh chóng, không mất thời gian cho các tính toán không cần thiết. Hơn nữa, nhờ vào khả năng tính toán nhanh chóng và chính xác của Maple, người học có thể dùng các mô-đun để định hướng lời giải cho các bài toán suy luận cũng như tổng quát hóa bài toán. 20 TRẦN LÊ NAM TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Trần Quốc Chiến, Võ Đăng Thể (2009). Sử dụng phần mềm Maple hỗ trợ dạy và học bài toán tìm các điểm cố định của họ đường cong. Tạp chí Khoa học và Công nghệ, Đại học Đà Năng, số 4, tr. 83-88. [2] Corless R. M. (2003). Essential Maple 7, An Introduction for Scientific Programmers. Springer. [3] Văn Như Cương (1998). Hình học afin và hình học Ơclít. NXB ĐHQG Hà Nội. [4] Phạm Huy Điển (2002). Tính toán, lập trình và giảng dạy toán học trên Maple. NXB Khoa học và kỹ thuật. [5] Đoàn Thế Hiếu (2008). Bài giảng môn hình học affine và Euclid. Tài liệu lưu hành nội bộ, ĐHSP Huế. [6] Monagan M. B., Geddes K. O., Heal K. M., Labahn G., Vorkoetter S. M., McCarron J., DeMarco P. (2007). Maple Introductory Programming Guide. Canada. [7] Nguyễn Chánh Tú (2004). Ứng dụng Maple trong đổi mới phương pháp học tập và giảng dạy Toán học. Kỷ yếu Hội thảo khoa học, ĐHSP Huế, tr. 10-16. [8] Waterloo Maple (2009). Maple 13. Learning Guide. Title: USING MAPLE FOR SOLVING BASIC PROBLEMS IN AFFINE GEOMETRY Abstract: Maple is a calculating system about algebraic expressions and effective math- ematical illustrations written by a group of Scientists of Warterloo University, Canada. In this paper, we introduce to readers some computations, written in Maple 13.0, to solve basic problems in Affine geometry. Our purpose is to help students checking all steps of their calculation to have more time to study essential problems. ThS. TRẦN LÊ NAM Khoa Toán, Trường Đại học Đồng Tháp