Phương trình toán tử đặt không chỉnh

Mục lục Mục lục 0 Chương 1. Phương trình toán tử đặt không chỉnh 6 1.1. Bài toán đặt không chỉnh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.1.1. Khái niệm về bài toán đặt không chỉnh . . . . . . . . . 6 1.1.2. Ví dụ về bài toán đặt không chỉnh . . . . . . . . . . . 7 1.2. Phương trình toán tử đơn điệu . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.2.1. Toán tử đơn điệu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.2.2. Phương trình với toán tử đơn điệu . . . . . . . . . . . 13 Chương 2. Hiệu chỉnh phương trình toán tử đơn điệu 16 2.1. Hiệu chỉnh phương trình toán tử trong trường hợp toán tử nhiễu đơn điệu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 2.1.1. Sự hội tụ của nghiệm hiệu chỉnh . . . . . . . . . . . . 16 2.1.2. Tốc độ hội tụ của nghiệm hiệu chỉnh . . . . . . . . . . 20 2.2. Hiệu chỉnh phương trình toán tử với toán tử nhiễu không đơn điệu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 2.2.1. Bài toán hiệu chỉnh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 2.2.2. Sự hội tụ của nghiệm hiệu chỉnh . . . . . . . . . . . . 23 2.3. Ví dụ số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 0 Tóm tắt công trình Xét một bài toán ở dạng phương trình toán tử A(x) = f , ở đây A : X −→ X∗ là một toán tử đơn điệu, h-liên tục từ không gian Banach phản xạ thực X vào không gian liên hợp X∗ của X , f là phần tử thuộc X∗. Nếu toán tử A không có tính chất đơn điệu đều hoặc đơn điệu mạnh thì phương trình toán tử A(x) = f nói chung là một bài toán đặt không chỉnh. Trong đề tài này chúng tôi trình bày phương pháp hiệu chỉnh phương trình toán tử đặt không chỉnh A(x) = f trong trường hợp toán tử nhiễu Ah : X −→ X∗ đơn điệu và không đơn điệu thoả mãn ||A(x)−Ah(x)|| ≤ hg(||x||) trong đó g(t) là một hàm liên tục, không âm, giới nội, ∀t > 0. Chúng tôi cũng đưa ra một ví dụ số minh hoạ, chương trình thực nghiệm được viết bằng ngôn ngữ MATLAB. 1 Mở đầu Rất nhiều bài toán của thực tiễn, khoa học, công nghệ dẫn tới bài toán đặt không chỉnh (ill-posed) theo nghĩa Hadamard, nghĩa là bài toán (khi dữ kiện thay đổi nhỏ) hoặc không tồn tại nghiệm, hoặc nghiệm không duy nhất, hoặc nghiệm không phụ thuộc liên tục vào dữ kiện ban đầu. Do tính không ổn định này của bài toán đặt không chỉnh nên việc giải số của nó gặp khó khăn. Lý do là một sai số nhỏ trong dữ kiện của bài toán có thể dẫn đến một sai số bất kỳ trong lời giải. Trong đề tài này chúng tôi nghiên cứu bài toán đặt không chỉnh dưới dạng phương trình toán tử Ax = f, (1) trong đó A : X −→ X∗ là một toán tử đơn điệu đơn trị h-liên tục (hemicon- tinuous) từ không gian Banach phản xạ X vào không gian liên hợp X∗ của X . Để giải loại bài toán này, ta phải sử dụng những phương pháp ổn định sao cho khi sai số của các dữ kiện càng nhỏ thì nghiệm xấp xỉ tìm được càng gần với nghiệm đúng của bài toán xuất phát. Năm 1963, A. N. Tikhonov [9] đưa ra phương pháp hiệu chỉnh nổi tiếng và kể từ đó lý thuyết các bài toán đặt không chỉnh được phát triển hết sức sôi động và có mặt ở hầu hết các bài toán thực tế. Nội dung chủ yếu của phương pháp này là xây dựng nghiệm hiệu chỉnh cho phương trình toán tử (1) trong không gian Hilbert thực H dựa trên việc tìm phần tử cực tiểu xh,δα của phiếm hàm Tikhonov F h,δα (x) = ‖Ah(x)− fδ‖2 + α‖x− x∗‖2 (2) 2 trong đó α > 0 là tham số hiệu chỉnh phụ thuộc vào h và δ, x∗ là phần tử cho trước đóng vai trò là tiêu chuẩn chọn và (Ah, fδ) là xấp xỉ của (A, f). Hai vấn đề cần được giải quyết ở đây là tìm phần tử cực tiểu của phiếm hàm Tikhonov và chọn tham số hiệu chỉnh α = α(h, δ) thích hợp để phần tử cực tiểu xh,δα(h,δ) dần tới nghiệm chính xác của bài toán (1) khi h và δ dần tới không. Việc tìm phần tử cực tiểu của phiếm hàm Tikhonov sẽ gặp nhiều khó khăn trong trường hợp bài toán phi tuyến. Đối với lớp bài toán phi tuyến với toán tử đơn điệu A : X → X∗, F. Browder [7] đưa ra một dạng khác của phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov. Tư tưởng chủ yếu của phương pháp do F. Browder đề xuất là sử dụng một toán tử M : X → X∗ có tính chất h-liên tục, đơn điệu mạnh làm thành phần hiệu chỉnh. U s, ánh xạ đối ngẫu tổng quát của X , là một toán tử có tính chất như vậy. Bằng phương pháp này, Ya. I. Alber [3] nghiên cứu phương trình hiệu chỉnh Ah(x) + αU s(x− x∗) = fδ (3) cho bài toán (1) khi Ah : X → X∗ là toán tử đơn điệu. Việc chọn tham số hiệu chỉnh α = α(δ) thích hợp cho phương trình hiệu chỉnh (3) khi Ah ≡ A đã được nghiên cứu trong [4]. ở đó người ta chỉ ra rằng tham số α phụ thuộc vào δ được đánh giá bởi đẳng thức ρ(α) = K˜δp, 0 < p < 1, K˜ ≥ 1, với ρ(α) = α‖xδα‖. Phương trình hiệu chỉnh (3) cùng cách chọn tham số α = α(δ) như trên là một thuật toán hiệu chỉnh Tikhonov cho phương trình toán tử không chỉnh (1). Năm 2005, Nguyễn Bường [6] đã nghiên cứu việc chọn giá trị của tham số hiệu chỉnh theo nguyên lí độ lệch suy rộng trên cơ sở giải phương trình ρ(α) = δpα−q, 0 < p ≤ q 3 cho bài toán (1) khi xét phương trình hiệu chỉnh (3) trong trường hợpAh ≡ A. Trong trường hợp toán tử nhiễu Ah không đơn điệu thì phương trình (3) có thể không giải được. Do đó O. A. Liskovets [8] đã xây dựng nghiệm hiệu chỉnh xτα trên cơ sở giải bài toán bất đẳng thức biến phân: tìm x τ α ∈ X sao cho: 〈Ah(xτα) + αU s(xτα − x∗)− fδ, x− xτα〉+ εg(||xτα||)||x− xτα|| ≥ 0, ∀x ∈ X, (4) ở đây ε ≥ h, τ = (h, δ). Mục đích của đề tài nhằm trình bày phương pháp giải ổn định phương trình toán đơn điệu (1) trong trường hợp toán tử nhiễu đơn điệu và không đơn điệu với các nội dung sau: 1. Trình bày phương pháp hiệu chỉnh Browder-Tikhonov hiệu chỉnh phương trình toán tử đơn điệu trong không gian Banach phản xạ thực X . Nêu sự hội tụ của nghiệm hiệu chỉnh và đánh giá tốc độ hội tụ của nghiệm hiệu chỉnh ứng với tham số hiệu chỉnh chọn tiên nghiệm. 2. Đưa ra một ví dụ số minh họa. Nội dung của đề tài được trình bày trong hai chương. Chương 1 giới thiệu một số kiến thức cơ bản nhất về bài toán đặt không chỉnh và phương trình toán tử đơn điệu. Trong chương 2 sẽ trình bày phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov cho phương trình toán tử đơn điệu với toán tử nhiễu đơn điệu và không đơn điệu đồng thời đánh giá tốc độ hội tụ của nghiệm hiệu chỉnh này. ở phần cuối của chương là một kết quả số có tính chất minh hoạ. Em xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành sâu sắc tới cô giáo Ts Nguyễn Thị Thu Thủy đã tận tình hướng dẫn, chỉ bảo em trong suốt quá trình thực hiện đề tài. Em xin gửi lời cảm ơn chân thành tới các thầy giáo, cô giáo trong khoa Toán-Tin, trường Đại Học Khoa Học những người đã tận tình giảng dạy và 4 trang bị cho em nhiều kiến thức cơ bản trong suốt thời gian em học tập tại trường. Em xin gửi lời cảm ơn tới chị Vũ Thị Ngọc nguyên sinh viên lớp CN Toán K4 đã giúp đỡ em rất nhiều trong thời gian em làm đề tài. Cuối cùng tôi xin gửi lời cảm ơn đến gia đình, bạn bè đã động viên và cổ vũ tôi rất nhiều trong suốt thời gian vừa qua. Thái Nguyên, tháng 6 năm 2010 Sinh viên Dương Thị Việt An 5 Chương 1 Phương trình toán tử đặt không chỉnh 1.1. Bài toán đặt không chỉnh 1.1.1. Khái niệm về bài toán đặt không chỉnh Chúng tôi trình bày khái niệm về bài toán đặt không chỉnh trên cơ sở xét một bài toán ở dạng phương trình toán tử A(x) = f, (1.1) ở đây A : X → Y là một toán tử từ không gian Banach X vào không gian Banach Y , f là phần tử thuộc Y . Sau đây là một định nghĩa của Hadamard (xem [1]). Định nghĩa 1.1 Cho A là một toán tử từ không gian X vào không gian Y . Bài toán (1.1) được gọi là bài toán đặt chỉnh (well-posed) nếu 1) phương trình A(x) = f có nghiệm với mọi f ∈ Y ; 2) nghiệm này duy nhất; 3) và nghiệm phụ thuộc liên tục vào dữ kiện ban đầu. Nếu ít nhất một trong các điều kiện trên không thoả mãn thì bài toán (1.1) được gọi là bài toán đặt không chỉnh (ill-posed). Đối với các bài toán phi tuyến thì điều kiện thứ hai hầu như không thoả mãn. Do vậy hầu hết các bài toán phi tuyến đều là bài toán đặt không chỉnh. Hơn nữa điều kiện cuối cùng cũng khó thực hiện được, vì vậy ta có định nghĩa sau đây. Định nghĩa 1.2 Cho A là một toán tử từ không gian X vào không gian Y . Bài toán (1.1) được gọi là bài toán đặt không chỉnh nếu nghiệm của phương trình (1.1) không phụ thuộc liên tục vào dữ kiện ban đầu. 6 Bài toán tìm nghiệm x phụ thuộc vào dữ kiện f , nghĩa là x = R(f), được gọi là ổn định trên cặp không gian (X, Y ) nếu với mỗi ε > 0 tồn tại một số δ(ε) > 0 sao cho từ ρY (f1, f2) ≤ δ(ε) cho ta ρX(x1, x2) ≤ ε, ở đây xi = R(fi), xi ∈ X, fi ∈ Y, i = 1, 2. Chú ý 1.1 Một bài toán có thể đặt chỉnh trên cặp không gian này nhưng lại đặt không chỉnh trên cặp không gian khác. Trong nhiều ứng dụng thì vế phải của (1.1) thường được cho bởi đo đạc, nghĩa là thay cho giá trị chính xác f , ta chỉ biết xấp xỉ fδ của nó thoả mãn ‖fδ− f‖ ≤ δ. Giả sử xδ là nghiệm của (1.1) với f thay bởi fδ (giả thiết rằng nghiệm tồn tại). Khi δ → 0 thì fδ → f nhưng với bài toán đặt không chỉnh thì xδ nói chung không hội tụ đến x. 1.1.2. Ví dụ về bài toán đặt không chỉnh Sau đây là một số ví dụ về bài toán đặt không chỉnh. Ví dụ 1.1 (xem [1]) Xét phương trình tích phân Fredholm loại I∫ b a K(x, s)ϕ(s)ds = f0(x), x ∈ [a, b], (1.2) ở đây nghiệm là một hàm ϕ(x), vế phải f0(x) là một hàm cho trước, K(x, s) là hạch của tích phân. Giả thiết hạchK(x, s) cùng với ∂K(x, s) ∂x liên tục trên hình vuông [a, b]ì [a, b]. Ta xét hai trường hợp sau: • Trường hợp 1 A : C[a, b]→ L2[a, b] ϕ(x) 7→ f0(x) = ∫ b a K(x, s)ϕ(s)ds. Sự thay đổi của vế phải được đo bằng độ lệch trong không gian L2[a, b], tức là khoảng cách giữa hai hàm f0(x) và f1(x) trong L 2[a, b] được cho bởi ρL2[a,b](f0, f1) = (∫ b a |f0(x)− f1(x)|2dx ) 1 2 . 7 Giả sử phương trình (1.2) có nghiệm là ϕ0(x). Khi đó với vế phải f1(x) = f0(x) +N ∫ b a K(x, s)sin(ωs)ds thì phương trình này có nghiệm ϕ1(x) = ϕ0(x) +Nsin(ωx). Với N bất kì và ω đủ lớn thì khoảng cách giữa hai hàm f0 và f1 trong không gian L2[a, b] là ρL2[a,b](f0, f1) = |N | [ ∫ b a (∫ b a K(x, s)sin(ωs)ds )2 dx ] 1 2 có thể làm nhỏ tuỳ ý. Thật vậy, đặt Kmax = max x∈[a,b],s∈[a,b] |K(x, s)|, ta tính được ρL2[a,b](f0, f1) ≤ |N | [ ∫ d c ( Kmax 1 ω cos(ωs) ∣∣b a )2 dx ] 1 2 ≤ |N |Kmaxc0 ω , ở đây c0 là một hằng số dương. Ta chọn N và ω lớn tuỳ ý nhưng N ω lại nhỏ. Trong khi đó ρC[a,b](ϕ0, ϕ1) = max x∈[a,b] |ϕ0(x)− ϕ1(x)| = |N | có thể lớn bất kì. • Trường hợp 2 A : L2[a, b]→ L2[a, b] ϕ(x) 7→ f0(x) = ∫ b a K(x, s)ϕ(s)ds. 8 Tương tự, ta cũng chỉ ra khoảng cách giữa hai nghiệm ϕ0 và ϕ1 trong không gian L2[a, b] có thể lớn bất kì. Thật vậy, ρL2[a,b](ϕ0, ϕ1) = (∫ b a |ϕ0(x)− ϕ1(x)|2dx ) 1 2 = |N | (∫ b a sin2(ωx)dx ) 1 2 = |N | √ b− a 2 − 1 2ω sin(ω(b− a))cos(ω(b+ a)). Dễ dàng nhận thấy rằng hai số N và ω có thể chọn sao cho ρL2[a,b](f0, f1) rất nhỏ nhưng ρL2[a,b](ϕ0, ϕ1) lại rất lớn. Vì tính không duy nhất của nghiệm của bài toán (1.1) nên người ta thường có một tiêu chuẩn cho sự lựa chọn của nghiệm. Ta sẽ sử dụng nghiệm x0 có x∗-chuẩn nhỏ nhất, nghĩa là ta tìm nghiệm thoả mãn A(x0) = f, và ‖x0 − x∗‖ = min{‖x− x∗‖ : A(x) = f}. Bằng cách chọn x∗ ta có thể có được nghiệm mà ta muốn xấp xỉ. 1.2. Phương trình toán tử đơn điệu 1.2.1. Toán tử đơn điệu Cho X là không gian Banach thực, A : X → X∗ là một toán tử với miền xác định là D(A) = X và miền ảnh R(A) nằm trong X∗. Các khái niệm trong mục này được tham khảo trong các tài liệu [1], [2] và [4]. • Toán tử đơn điệu: Toán tử A được gọi là đơn điệu (monotone) nếu 〈A(x)− A(y), x− y〉 ≥ 0, ∀x, y ∈ D(A). (1.3) Toán tử A được gọi là đơn điệu chặt (strictly monotone) nếu dấu bằng chỉ xảy ra khi x = y. Trong trường hợp A là toán tử tuyến tính thì tính đơn điệu tương đương với tính không âm của toán tử. 9 Toán tử A được gọi là đơn điệu đều nếu tồn tại một hàm không âm δ(t) không giảm với t ≥ 0, δ(0) = 0 và 〈A(x)− A(y), x− y〉 ≥ δ(‖x− y‖), ∀x, y ∈ D(A). Nếu δ(t) = cAt 2 với cA là một hằng số dương thì toán tử A được gọi là đơn điệu mạnh. Ví dụ 1.2 Toán tử tuyến tính A : RM → RM được xác định bởi A = BTB, với B là một ma trận vuông cấp M , là một toán tử đơn điệu. • Toán tử h-liên tục, d-liên tục: Toán tử A được gọi là h-liên tục (hemicon- tinuous) trên X nếu A(x+ ty) ⇀ Ax khi t→ 0 với mọi x, y ∈ X và A được gọi là d-liên tục (demicontinuous) trên X nếu từ xn → x suy ra Axn ⇀ Ax khi n→∞. Ví dụ 1.3 Hàm hai biến: ϕ(x, y) =  xy (x2 + y2) nếu (x, y) 6= (0, 0) 0 nếu (x, y) = (0, 0) liên tục theo từng biến riêng biệt tại (0, 0) nhưng không liên tục tại (0, 0). Do đó nó h-liên tục tại (0, 0). • Toán tử bức: Toán tử A được gọi là toán tử bức (coercive) nếu lim ||x||→+∞ 〈 Ax, x 〉 ||x|| = +∞, ∀x ∈ X. • Không gian E-S (Ephimov Stechkin): Không gian Banach X được gọi là không gian Ephimov Stechkin (hay không gian có tính chất E-S) nếuX phản xạ và trong X sự hội tụ yếu các phần tử (xn ⇀ x) và sự hội tụ chuẩn (‖xn‖ → ‖x‖) luôn kéo theo sự hội tụ mạnh (‖xn − x‖ → 0). Ví dụ 1.4 Không gian Hilbert có tính chất E-S. 10 Sự tồn tại nghiệm của phương trình toán tử (1.1) được cho trong định lý sau. Định lí 1.1 (xem [1]) Cho A là một toán tử h-liên tục, đơn điệu và bức từ không gian Banach phản xạ X vào X∗. Khi đó phương trình A(x) = f có nghiệm với mọi f ∈ X∗. Chứng minh: Do A là toán tử bức, cho nên tồn tại một hàm thực không âm δ(t) : δ(t)→ +∞ khi t→ +∞ và 〈A(x), x〉 ≥ ||x||δ(||x||). Xét ánh xạ af(x) = A(x) − f , ở đây f ∈ X∗ là một phần tử bất kì. Khi đó af cũng là ánh xạ liên tục và đơn điệu. Hơn thế nữa 〈af(x), x〉 = 〈A(x), x〉 − 〈f, x〉 ≥ ||x||(δ(||x||)− ||f ||). Suy ra tồn tại một số dương Mf sao cho với ||x|| ≥ Mf thì 〈af(x), x〉 ≥ 0. Vì vậy tồn tại một phần tử x0 sao cho A(x0) = f. 2 • ánh xạ đối ngẫu: Cho s ≥ 2. ánh xạ U s : X −→ X∗ (nói chung là đa trị) được định nghĩa bởi: U s(x) = {x∗ ∈ X∗ : 〈x∗, x〉 = ||x∗||s−1||x|| = ||x||s} được gọi là ánh xạ đối ngẫu tổng quát của không gian X . Khi s = 2 thì U s được viết là U và được gọi là ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc của không gian X . Tính đơn trị của ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc được cho trong mệnh đề sau. Mệnh đề 1.1 (xem [1]) Giả sử X là một không gian Banach. Khi đó, 1) U(x) là tập lồi, U(λx) = λU(x) với mọi λ ∈ R; 2) U là ánh xạ đơn trị khi và chỉ khi X∗ là không gian lồi chặt. Trong trường hợp X là không gian Hilbert thì U = I-toán tử đơn vị trong X . ánh xạ đối ngẫu là một trong những ví dụ về toán tử đơn điệu, nó tồn tại trong mọi không gian Banach. 11 Định lí 1.2 (xem [3]) Nếu X∗ là không gian Banach lồi chặt thì ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc U : X → X∗ là toán tử đơn điệu, bức và d-liên tục. Hơn nữa, nếu X là không gian Banach lồi chặt thì U là toán tử đơn điệu chặt. Sau đây là một kết quả của lý thuyết toán tử đơn điệu được sử dụng trong phần sau. Bổ đề 1.1 (xem [1]) Cho X là không gian Banach thực. X∗ là không gian liên hợp của X, f ∈ X∗ và A : X −→ X∗ là một toán tử h-liên tục. Khi đó tồn tại x0 ∈ X thoả mãn bất đẳng thức: 〈A(x)− f, x− x0〉 ≥ 0, ∀x ∈ X thì x0 là nghiệm của phương trình A(x) = f . Đặc biệt nếu A là một toán tử đơn điệu trên X thì điều kiện trên tương đương với: 〈A(x0)− f, x− x0〉 ≥ 0, ∀x ∈ X. Bổ đề 1.1 có tên là bổ đề Minty, tên một nhà toán học Mỹ, người đã chứng minh kết quả trên trong trường hợp không gian Hilbert và sau này chính ông và Browder đã chứng minh một cách độc lập trong không gian Banach. Khái niệm toán tử đơn điệu còn được mô tả trên đồ thịGr(A) trong không gian tích X ìX∗, Gr(A) = {(x,Ax) : x ∈ X}. • Toán tử đơn điệu cực đại: Toán tử A được gọi là đơn điệu nếu 〈x∗ − y∗, x− y〉 ≥ 0, ∀x, y ∈ X, ∀x∗ ∈ A(x), ∀y∗ ∈ A(y). Tập Gr(A) được gọi là đơn điệu nếu nó thoả mãn bất đẳng thức trên. Nếu Gr(A) không chứa trong một tập đơn điệu nào khác trong X ìX∗ thì toán tử A được gọi là toán tử đơn điệu cực đại. Định lí 1.3 (xem [3]) Mọi toán tử đơn điệu, h-liên tục A : X −→ X∗ là toán tử đơn điệu cực đại. 12 Định lí 1.4 (xem [3]) Bất kì một toán tử h-liên tục A : X −→ X∗ với D(A) = X đều là toán tử đơn điệu cực đại. Định nghĩa 1.3 Cho X là không gian Banach thực phản xạ, X∗ là không gian liên hợp của X , ϕ : X → R ∪ {+∞} là một phiếm hàm trên X . • ϕ được gọi là lồi trên X nếu ϕ(λx+ (1− λ)y) ≤ λϕ(x) + (1− λ)ϕ(y), ∀x, y ∈ X, λ ∈ [0, 1]. • ϕ được gọi là khả vi Fréchet nếu tồn tại F ∈ L(X,R) sao cho ϕ(x+ h) = ϕ(x) + F (h) + o(‖ h ‖), h→ 0, với h thuộc lân cận của điểm không. Nếu F tồn tại thì nó được gọi là đạo hàm Fréchet của ϕ tại x và kí hiệu là ϕ′(x) = F . 1.2.2. Phương trình với toán tử đơn điệu Cho X là một không gian Banach phản xạ thực, X∗ là không gian liên hợp của X . Với f ∈ X∗ cho trước, phương trình (1.1) được gọi là phương trình toán tử. Nếu A : X → X∗ là một toán tử đơn điệu thì phương trình toán tử (1.1) nói chung là bài toán đặt không chỉnh. Ví dụ 1.5 Xét phương trình toán tử (1.1) với A là một ma trận vuông cấp M = 7 được xác định bởi A =  2 2 2 2 2 2 2 2 2.0001 2 2 2 2 2 2 2 2.0001 2 2 2 2 2 2 2 2.0001 2 2 2 2 2 2 2 2.0001 2 2 2 2 2 2 2 2.0001 2 2 2 2 2 2 2 2.0001  13 và vế phải f = ( 14 14.0001 14.0001 14.0001 14.0001 14.0001 14.0001 )T ∈ R7 Khi đó phương trình có duy nhất nghiệm x = ( 1 1 1 1 1 1 1 )T ∈ R7 Nếu A = Ah1 =  2 2 2 2 2 2 2 2 2.0001 2 2 2 2 2 2 2 2.0001 2 2 2 2 2 2 2 2.0001 2 2 2 2 2 2 2 2.0001 2 2 2 2 2 2 2 2.0001 2 2 2 2 2 2 2 2  và f = ( 14 14.0001 14.0001 14.0001 14.0001 14.0001 14 )T ∈ R7 thì phương trình có vô số nghiệm. Nếu A = Ah1 =  2 2 2 2 2 2 2 2 2.0001 2 2 2 2 2 2 2 2.0001 2 2 2 2 2 2 2 2.0001 2 2 2 2 2 2 2 2.0001 2 2 2 2 2 2 2 2.0001 2 2 2 2 2 2 2 2  và f = ( 14 14.0001 14.0001 14.0001 14.0001 14.0001 14.0001 )T ∈ R7 14 thì phương trình vô nghiệm. Ta thấy một thay đổi nhỏ của hệ số trong phương trình ban đầu đã kéo theo những thay đổi đáng kể của nghiệm. Ký hiệu S0 là tập nghiệm của phương trình (1.1), giả thiết nghiệm tồn tại. Ta có định lý sau (xem [3]). Định lí 1.5 Cho toán tử A : X −→ X∗ là toán tử đơn điệu cực đại. Gọi S0 là tập tất cả các phần tử x0 ∈ X sao cho x0 là nghiệm của phương trình Ax = f . Khi đó S0 là tập lồi và đóng trong X ∗. Chứng minh: Lấy f1, f2 ∈ Ax. Vì A là toán tử đơn điệu nên ta có: 〈f1 − g, x− y〉 ≥ 0, (1.4) và 〈f2 − g, x− y〉 ≥ 0, (1.5) ∀(y, g) ∈ GrA. Đặt f = tf1+(1− t)f2 với t ∈ [0, 1]. Nhân (1.4) với t, (1.5) với (1− t) rồi cộng lại ta được: t〈f1 − g, x− y〉+ (1− t)〈f2 − g, x− y〉 ≥ 0, ∀(y, g) ∈ GrA ⇔ 〈f − g, x− y〉 ≥ 0, ∀(y, g) ∈ GrA. Vậy f ∈ Ax hay S0 là tập lồi. Lấy fn ∈ Ax, fn → f ∗. Ta chứng minh f ∗ ∈ Ax. Thật vậy, 〈fn − g, x− y〉 ≥ 0, ∀(y, g) ∈ GrA. Cho n→∞ ta được 〈f ∗ − g, x− y〉 ≥ 0. Suy ra f ∗ ∈ Ax. Vậy S0 là tập đóng. 2 15 Chương 2 Hiệu chỉnh phương trình toán tử đơn điệu 2.1. Hiệu chỉnh phương trình toán tử trong trường hợp toán tử nhiễu đơn điệu 2.1.1. Sự hội tụ của nghiệm hiệu chỉnh Cho X là một không gian Banach thực, X∗ là không gian liên hợp của X . Xét phương trình toán tử A(x) = f, (2.1) ở đây f ∈ X∗ là phần tử cho trước, A : X → X∗ là một toán tử đơn điệu, đơn trị, h-liên tục. Trong toàn bộ chương này ta luôn giả thiết X là không gian Banach phản xạ, có tính chất E-S, X và X∗ là các không gian lồi chặt. Nếu toán tử A không có tính chất đơn điệu đều hoặc đơn điệu mạnh thì bài toán (2.1) nói chung là bài toán đặt không chỉnh. Ký hiệu S0 là tập nghiệm của bài toán (2.1). Giả thiết rằng S0 6= ∅, khi đó S0 là một tập đóng và lồi trong X (xem Định lý 1.5). Xét phương trình Ah(x) + αU s(x− x∗) = fδ, (2.2) ở đây (Ah, fδ) là xấp xỉ của (A, f) thỏa mãn ‖f − fδ‖ ≤ δ, δ → 0, (2.3) ‖Ah(x)− A(x)‖ ≤ hg(‖x‖), h→ 0, (2.4) trong đó g(t) là một hàm giới nội và Ah là toán tử đơn điệu và h-liên tục từ X vào X∗, x∗ là một phần tử bất kỳ trong X . Giả thiết rằng ánh xạ đối ngẫu 16 tổng quát U s thoả mãn:〈 U s(x)− U s(y), x− y〉 ≥ mU‖x− y‖s, mU > 0, (2.5) ta có kết quả sau (xem [1]). Định lí 2.1 Cho Ah : X → X∗ là toán tử đơn điệu bị chặn, h-liên tục với mọi h > 0, U s : X → X∗ là ánh xạ đối ngẫu tổng quát của X thỏa mãn (2.5), fδ ∈ X∗ với mọi δ > 0. Giả thiết rằng các điều kiện (2.3) và (2.4) thỏa mãn. Khi đó: 1) Với mỗi α > 0 phương trình (2.2) có duy nhất nghiệm xτα, τ = (h, δ). 2) Ngoài ra nếu h+ δ α → 0 khi α→ 0, (2.6) thì dãy nghiệm {xτα} hội tụ đến một phần tử x0 ∈ S0 thỏa mãn ‖x0 − x∗‖ = min x∈S0 ‖x− x∗‖. (2.7) Chứng minh: 1) Do X∗ lồi chặt nên U s là một ánh xạ h-liên tục. Vì vậy, A+ αU s là một toán tử đơn điệu h-liên tục từ X vào X∗. Mặt khác, do U s là toán tử bức nên với mỗi α > 0 toán tử A+ αU s cũng là một toán tử bức. Thật vậy, ta xét〈 (A+ αU s)(x), x 〉 = 〈 A(x) + αU s(x), x 〉 = 〈 A(x)− A(θ) + A(θ) + αU s(x), x− θ〉 = 〈 A(x)− A(θ), x− θ〉+ 〈A(θ), x− θ〉 + α 〈 U s(x), x− θ〉. Vì A là toán tử đơn điệu nên〈 A(x)− A(θ), x− θ〉 ≥ 0, ∀x ∈ X. Mặt khác, theo định nghĩa ánh xạ đối ngẫu tổng quát của X ta có α 〈 U s(x), x− θ〉 = α〈U s(x), x〉 = α‖x‖s. 17 Do đó 〈 (A+ αU s)(x), x 〉 ≥ α‖x‖s − ‖A(θ)‖‖x‖. Từ bất đẳng thức này suy ra〈 (A+ αU s)(x), x 〉 ‖x‖ ≥ α‖x‖s − ‖A(θ)‖‖x‖ ‖x‖ = α‖x‖s−1 − ‖A(θ)‖. Vì s ≥ 2 nên lim ‖x‖→+∞ 〈 (A+ αU s)(x), x 〉 ‖x‖ = +∞. Bây giờ ta sẽ chỉ ra A+αU s là toán tử đơn điệu mạnh. Thật vậy, từ tính chất đơn điệu của toán tử A và U s và (2.5) ta có 〈(A+ αU s)(x)− (A+ αU s)(y), x− y〉 = 〈A(x)− A(y), x− y〉+ α〈U s(x)− U s(y), x− y〉 ≥ αmU‖x− y‖s, s ≥ 2. Vậy phương trình (2.2), với mỗi α > 0, có duy nhất nghiệm xτα và ta có Ah(x τ α) + αU s(xτα − x∗) = fδ, (2.8) 2) Bây giờ, ta chứng minh dãy nghiệm {xτα} hội tụ đến nghiệm x0 ∈ S0 thỏa mãn (2.7). Thật vậy, từ (2.1) và (2.8) ta có 〈Ah(xτα)− A(x) + f − fδ, xτα − x〉 + α〈U s(xτα − x∗)− U s(x− x∗), xτα − x〉 =α〈U s(x− x∗), x− xτα〉, ∀x ∈ S0. (2.9) Do A là toán tử đơn điệu và U s thỏa mãn (2.5) nên từ (2.9) suy ra αmU‖xτα − x‖s ≤ α〈U s(x− x∗), x− xτα〉 + 〈Ah(xτα)− Ah(x) + Ah(x) − A(x) + f0 − fδ, x− xτα〉. (2.10) 18 Do A và Ah là các toán tử đơn điệu nên từ bất đẳng thức (2.10) ta nhận được αmU‖xτα − x‖s ≤ α〈U s(x− x∗), x− xτα〉 + ( hg(‖x‖) + δ)‖x− xτα‖. (2.11) Chia cả hai vế của bất đẳng thức (2.11) cho α ta được mU‖xτα − x‖s ≤ 〈 U s(x− x∗), x− xτα 〉 + hg(‖x‖) + δ α ‖x− xτα‖. (2.12) Từ (2.6) và (2.12) suy ra dãy {xτα} bị chặn trong không gian Banach phản xạ X . Do đó tồn tại một dãy con của dãy {xτα} hội tụ yếu đến một phần tử x1 nào đó củaX . Không giảm tổng quát, ta có thể coi xτα ⇀ x1, khi h+ δ α → 0. Mặt khác từ (2.8) ta có 〈Ah(xτα) + αU s(xτα − x∗)− fδ, x− xτα〉 = 0, ∀x ∈ X. Do tính đơn điệu của toán tử Ah + αU s nên đẳng thức trên được viết thành 〈Ah(x) + αU s(x− x∗)− fδ, x− xτα〉 ≥ 0, ∀x ∈ X. (2.13) Trong bất đẳng thức (2.13) cho α, h+ δ α → 0, với xδα ⇀ x1 ta được〈 A(x)− f0, x− x1 〉 ≥ 0, ∀x ∈ X. Theo Bổ đề Milty ta suy ra x1 ∈ S0, tức là x1 là một nghiệm của phương trình (2.1). Bây giờ ta sẽ chứng minh x1 thỏa mãn (2.7). Thật vậy từ (2.11) cho h+ δ α , α→ 0 ta được 0 ≤ mU‖x− x1‖s ≤ 〈U s(x− x∗), x− x1〉, ∀x ∈ S0. Vì S0 là tập lồi, nên tx1 + (1− t)x ∈ S0, 0 < t < 1. Do đó, 〈U s[(tx1 + (1− t)x)− x∗], tx1 + (1− t)x− x1〉 = 〈U s(tx1 + (1− t)x− x∗), (1− t)(x− x1)〉 ≥ 0, ∀x ∈ S0 19 hay (1− t)〈U s(tx1 + (1− t)x− x∗), x− x1〉 ≥ 0, ∀x ∈ S0. Chia cả hai vế cho (1− t), rồi cho t→ 1 ta nhận được 〈U s(x1 − x∗), x− x1〉 ≥ 0. Bất đẳng thức này tương đương với ‖x1 − x∗‖ ≤ ‖x− x∗‖, ∀x ∈ S0. Do phần tử x1 ∈ S0 thỏa mãn (2.7) là duy nhất, nên cả dãy {xτα} hội tụ mạnh đến x1 = x0. 2 Nhờ kết quả này, ta có thể xác định được một toán tử hiệu chỉnh T (f, α) dựa vào việc giải phương trình (2.2) và một sự phụ thuộc α = α(τ) để nghiệm phương trình này hội tụ tới nghiệm của phương trình toán tử đặt không chỉnh (2.1). Vì lẽ đó mà phương trình (2.2) được gọi là phương trình hiệu chỉnh cho phương trình (2.1). 2.1.2. Tốc độ hội tụ của nghiệm hiệu chỉnh Trong mục này chúng tôi trình bày kết quả về tốc độ hội tụ của nghiệm hiệu chỉnh với điều kiện toán tử A thoả mãn ‖A(y)− A(x)− A′(x)(y − x)‖ ≤ τ˜‖y − x‖‖A′(x)(y − x)‖ (2.14) với mọi y thuộc một lân cận nào đó của S0 và x ∈ S0, ở đây τ˜ > 0 là một hằng số (xem [4]). Định lí 2.2 Giả sử các điều kiện sau được thoả mãn: i) A khả vi Fréchet tại một lân cận nào đó của S0 với (2.14) khi x = x0; 20 ii) Tồn tại một phần tử z ∈ X sao cho A ′ (x0) ∗z = U s(x0 − x∗); iii) Tham số hiệu chỉnh α được chọn sao cho α ∼ δp, 0 < p < 1. Khi đó, ‖xτα − x0‖ = O(δθ1), θ1 = min { 1− p s− 1 , p s } . Chứng minh: Từ (2.3), (2.4), (2.5) và điều kiện ii) của định lý suy ra mU‖xτα − x0‖s ≤ 〈 U s(xτα − x∗)− U s(x0 − x∗), xτα − x0 〉 ≤ 1 α 〈 fδ − f, xτα − x0 〉 + 〈 U s(x0 − x∗), x0 − xτα 〉 ≤ δ α ‖xτα − x0‖+ 〈 z, A ′ (x0)(x0 − xτα) 〉 . (2.15) Mặt khác, ∣∣〈z, A′(x0)(x0 − xτα)〉∣∣ ≤ ‖z‖‖A′(x0)(x0 − xτα)‖, ở đây, ‖A′(x0)(xτα − x0)‖ ≤ ‖A(xτα)− A(x0)‖+ τ˜‖xτα − x0‖‖A ′ (x0)(x τ α − x0)‖ ≤ ‖A(xτα)− fδ‖+ δ + τ˜‖xτα − x0‖‖A ′ (x0)(x τ α − x0)‖. Khi α, τ đủ nhỏ thì τ˜‖xτα − x0‖ ≤ 12 , nên ‖A′(x0)(xτα − x0)‖ ≤ 2 ( α‖xτα − x∗‖s−1 + δ ) . (2.16) Vì vậy, từ (2.15), (2.16), điều kiện iii) và δp < δ khi δ < 1 ta có mU‖xτα − x0‖s ≤ C1δ1−p‖xτα − x0‖+ C2δp ở đây Ci, i = 1, 2 là các hằng số dương. Sử dụng hệ thức a, b, c ≥ 0, p > q, ap ≤ baq + c⇒ ap = O(bp/(p−q) + c) ta thu được ‖xτα − x0‖ = O(δθ1), định lý được chứng minh. 2 21 2.2. Hiệu chỉnh phương trình toán tử với toán tử nhiễu không đơn điệu 2.2.1. Bài toán hiệu chỉnh Nếu Ah không có tính chất đơn điệu thì phương trình hiệu chỉnh (2.2) có thể không có nghiệm. Do đó O. A. Liskovets đã xây dựng nghiệm hiệu chỉnh xτα dựa vào bài toán bất đẳng thức biến phân: Tìm x τ α sao cho: 〈Ah(xτα) + αU s(xτα − x∗)− fδ, x− xτα〉+ εg(||xτα||)||x− xτα|| ≥ 0 (2.17) với ∀x ∈ X , ε > h, τ = (h, δ). Trong đó: A : X −→ X∗ là toán tử đơn điệu, h-liên tục với D(A) = X , còn Ah : X −→ X∗ là toán tử h-liên tục với D(Ah) = X và thoả mãn (2.4). Phần tử x τ α thoả mãn (2.17) được gọi là nghiệm hiệu chỉnh của bài toán (2.1) trong trường hợp toán tử nhiễu Ah không đơn điệu. Ta kí hiệu S4 là tập tất cả các xτα thoả mãn (2.17). Khi đó ta có các kết quả sau (xem [3]). Bổ đề 2.1 Bất phương trình (2.17) có tập nghiệm S4 khác rỗng, với ∀α > 0 và fδ ∈ X∗. Chứng minh: Do xτα thoả mãn (2.2) A(xτα) + αU s(xτα − x∗) = fδ, ||fδ − f0|| ≤ δ là duy nhất nên ta có 〈A(xτα) + αU s(xτα − x∗)− fδ, x− xτα〉 = 0. Suy ra 0 = 〈A(xτα)− Ah(xτα), x− xτα〉+ 〈Ah(xτα) + αU s(xτα − x∗)− fδ, x− xτα〉 ≤ hg(||xτα||)||x− xτα||+ 〈Ah(xτα) + αU s(xτα − x∗)− fδ, x− xτα〉, ∀x ∈ X. 22 Vì ε ≥ h nên ta có: 0 ≤ εg(||xτα||)||x− xτα||+ 〈Ah(xτα) + αU s(xτα − x∗)− fδ, x− xτα〉,∀x ∈ X. Điều đó có nghĩa là xτα thoả mãn (2.17). 2 2.2.2. Sự hội tụ của nghiệm hiệu chỉnh Định lí 2.3 Nếu lim α→0 δ + ε α = 0 thì xτα → x0 với x0 ∈ S4 là phần tử có chuẩn nhỏ nhất. Chứng minh: Với α > 0, lấy một phần tử bất kì xτα ∈ S4. Ta chứng minh dãy {xτα} là một tập giới nội với giả thiết g(t) ≤M1 +N1ts−1, ở đâyM1 và N1 là các hằng số không âm và t ≥ 0. Từ (2.1) và (2.17) ta có: 〈Ah(xτα)− A(x) + f0 − fδ, x− xτα〉 + α〈U s(xτα − x∗)− U s(x− x∗), x− xτα〉 = −εg(||xτα||)||x− xτα|| − α〈U s(x− x∗), x− xτα〉. Từ tính chất đơn điệu của A và đơn điệu mạnh của U s ta có: αmU ||x− xτα||s ≤α〈U s(x− x∗)− U s(x− x∗), x− xτα〉 ≤〈Ah(xτα)− A(x) + f0 − fδ, x− xτα〉+ εg(||xτα||)||x− xτα|| + α〈U s(x− x∗), x− xτα〉 ≤〈Ah(xτα)− A(xτα) + A(xτα)− A(x) + f0 − fδ, x− xτα〉 + εg(||xτα||)||x− xτα||+ α〈U s(x− x∗), x− xτα〉 ≤hg(||xτα||)||x− xτα||+ δ(||x− xτα||) + εg(||xτα||)||x− xτα|| + α〈U s(x− x∗), x− xτα〉, ∀x ∈ S4. 23 Chia cả hai vế cho α ta được: mU ||x− xτα||s ≤ 〈U s(x− x∗), x− xτα〉 + δ + (h+ ε)g(||xτα||) α ||x− xτα||. (2.18) Từ tính chất của hàm g(t) và α, δ + ε α → 0 ta có {xτα} giới nội trong không gian Banach phản xạ, nên tồn tại một dãy con của {xτα} hội tụ yếu đến phần tử x˜ ∈ X . Không giảm tổng quát ta có thể coi xτα ⇀ x˜ ∈ X . Ta chứng minh x˜ là nghiệm x0 của bài toán (2.1) thoả mãn (2.7). Với ∀x ∈ X, ε ≥ h, α > 0, từ (2.17) ta có: 〈Ah(xτα) + αU s(xτα − x∗)− fδ, x− xτα〉 + ε(||xτα||)||x− xτα|| ≥ 0 ⇔〈A(xτα) + αU s(xτα − x∗)− fδ, x− xτα〉 + (h+ ε)g(||xτα||)||x− xτα|| ≥ 0. Do tính đơn điệu của A và U s ta có: 〈A(xτα) + αU s(xτα − x∗)− fδ, x− xτα〉 + (h+ ε)g(||xτα||)||x− xτα|| ≥ 0 ⇔〈A(x)− f0, x− xτα〉+ 〈αU s(xτα − x∗)− fδ, x− xτα〉 + δ(||x− xτα||) + (h+ ε)g(||xτα||)||x− xτα|| ≥ 0. Khi cho δ, ε, α→ 0 ở bất đẳng thức cuối cùng ta được: 〈A(x)− f0, x− x˜〉 ≥ 0. Theo bổ đề Minty thì x˜ ∈ S0. Từ (2.18) cho α, δ + ε α → 0 ta nhận được 0 ≤ mU ||x− x˜||s ≤ 〈U s(x− x∗), x− x˜〉. Thay x bằng tx+ (1− t)x˜, t ∈ (0, 1) vào bất đẳng thức trên ta có 0 ≤ mU ||tx+ (1− t)x˜− x˜||s ≤ 〈U s(tx+ (1− t)x˜− x∗), tx+ (1− t)x˜− x˜〉. 24 Chia cả hai vế cho t rồi cho t→ 0 ta được: 〈U s(x˜− x∗), x− x˜〉 ≥ 0, ∀x ∈ S0. Có nghĩa là 〈U s(x˜− x∗), x− x∗〉 ≥ 〈U s(x˜− x∗), x˜− x∗〉 = ||x˜− x∗||s. Như vậy: ||x− x∗|| ≥ ||x˜− x∗||, ∀x ∈ S0. Từ đó suy ra x˜ là một nghiệm của bài toán (2.1) thoả mãn (2.7). Vì phần tử x˜ thoả mãn (2.7) là duy nhất cho nên cả dãy {xτα} hội tụ mạnh đến x˜ = x0. 2 2.3. Ví dụ số Trong mục này chúng tôi trình bày một kết quả số áp dụng phương pháp hiệu chỉnh để xấp xỉ nghiệm cho hệ phương trình đại số tuyến tính trong không gian Rn. Xét bài toán tìm phần tử x0 ∈ Rn sao cho A(x0) = f0 (2.19) ở đây A là một ma trận vuông cấp n, đối xứng, xác định không âm và có định thức bằng 0, f0 = θ ∈ Rn. Khi đó (2.19) là bài toán đặt không chỉnh, và x0 = 0 là nghiệm có chuẩn nhỏ nhất của (2.19). Phương trình hiệu chỉnh của (2.19) có dạng: Ah(x) + αx = fδ (2.20) 25 Cụ thể, với n = 10, ma trận A được cho bởi A = BTB với B =  1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 0 0 1 0 2 1 0 1 1 1 2 1 0 1 2 1 1 0 0 1 1 1 1 0 0 1 0 0 1 1 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 1 1 1 0 0 1 1 1 1 0 0 2 1 1 1 3 0 1 1 1 2 1 1 1 1 0 0 0 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1  Xấp xỉ vế phải f0 = ( 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 )T ∈ R10. bởi fδ = ( 10−4 10−4 10−4 10−4 10−4 10−4 10−4 10−4 10−4 10−4 )T , fδ ∈ R10. và xấp xỉ A bởi Ah = A+ hI, h = 10 −4 (I là ma trận đơn vị cấp 10). Sau đây là kết quả tính toán nghiệm xấp xỉ xδα bằng phương pháp lặp trong [10] với tiêu chuẩn dừng của dãy lặp là max1≤j≤10 |x(m+1)j − x(m)j | ≤ ε, ε là sai số cho trước. • Với tham số δ = 0.001, nghiệm xấp xỉ là: x[1] = −0.00030469 x[2] = 0.0017003 x[3] = 0.00098672 x[4] = 0.0020198 x[5] = −0.00030469 26 x[6] = 0.0021193 x[7] = 0.001759 x[8] = 0.00054565 x[9] = 0.0011027 x[10] = 0.00090733 với 121 lần lặp, sai số ε = 9.6152ì 10−6. • Với tham số δ = 0.0001, nghiệm xấp xỉ là: x[1] = −0.00023102 x[2] = 0.0003717 x[3] = 9.9281ì 10−5 x[4] = 0.0049177 x[5] = −0.00023102 x[6] = 0.00044036 x[7] = 0.0048207 x[8] = −9.3607ì 10−5 x[9] = 0.00020608 x[10] = 0.00010467 với 126 lần lặp, sai số ε = 9.838ì 10−6. 27 Kết luận Trong đề tài này chúng tôi đã thu được một số kết quả sau: 1) Trình bày phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov hiệu chỉnh phương trình toán tử đặt không chỉnh trong trường hợp toán tử nhiễu đơn điệu và nhiễu không đơn điệu. Nêu tốc độ hội tụ nghiệm hiệu chỉnh. 2) Đưa ra ví dụ và kết quả số minh hoạ. Mặc dù đã có sự cố gắng và nỗ lực nhưng đề tài không tránh khỏi những hạn chế và thiếu sót. Em rất mong nhận được sự góp ý quí báu của các thầy giáo, cô giáo và các bạn sinh viên để đề tài được hoàn thiện hơn. Xin chân thành cảm ơn! 28 Tài liệu tham khảo [1] Phạm Kì Anh và Nguyễn Bường, Bài toán đặt không chỉnh, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội, 2005. [2] Hoàng Tuỵ, Hàm thực và giải tích hàm, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội, 2003. [3] Y. Alber and I. Ryazantseva, Nonlinear ill-posed problems of monotone type, Springer, 2006. [4] Y. Alber (1975), ''On solving nonlinear equations involving monotone operators in Banach space'', Sibirian mathematics Journal, 26, pp.3-11. [5] V. Barbu, Nonlinear semigroups and differential equations in Banach spaces, Editura Academiei, Romania, 1976. [6] Ng. Buong (2005), ''On monotone ill-posed problems'', Acta Mathemat- ica Sinica, 21 (5), pp. 1001-1004. [7] F. Browder (1966), ''Existence and approximation of solutions of non- linear variational inequalities'', Proc. Nat. Acad. Sci.USA, 56 (4), pp. 1080-1086. [8] O. A. Liskovets, ''Solution of equations of the first kind with monotone operator under nonmonotone perturbations'' Dokl. AN BSSR, 27 (1983), pp. 101-104. 29 [9] A. N. Tikhonov (1963), ''On the solution of ill-posed problems and the method of regularization'' Dokl. Akad. Nauk SSSA, 151, pp. 501-504 (Russian). [10] Ng. T. T. Thuy and Ng. Buong (2007), ''Iterative regularization method of zero order for unconstrained vector optimization of convex function- als'', Kỷ yếu hội nghị khoa học kỉ niệm 30 năm thành lập Viện Công nghệ Thông tin 27-28/12/2006, NXB Khoa học Tự nhiên và Công nghệ Hà Nội, pp. 168-173. 30