Nguyên hàm và tích phân

Bài 1. Bài t p s d ng cụng th c nguyờn hàm, tớch phõnậ ử ụ ứ CH NG II. NGUYấN HÀM VÀ TÍCH PHÂNƯƠ BÀI 1. BÀI T P Ậ S D NG CễNG TH C NGUYấN HÀM, TÍCH PHÂN Ử Ụ Ứ I. NGUYấN HÀM VÀ TÍCH PHÂN B T Ấ Đ NHỊ 1. Đ nh nghĩa:ị • Giả sử y = f(x) liờn t c trờn kho ng (ụ ả a, b), khi đú hàm s ố y = F(x) là m tộ nguyờn hàm c a hàm s ủ ố y = f(x) khi và ch khi Fỉ ′ (x) = f(x), ∀x∈(a, b). • N u ế y = F(x) là m t nguyờn hàm c a hàm s ộ ủ ố y = f(x) thỡ t p h p t t c cỏcậ ợ ấ ả nguyờn hàm c a hàm s ủ ố y = f(x) là t p h p I ậ ợ = { }+ ∈F( x ) c c R và tập hợp này cũn đ c kớ hi u d i d u tớch phõn b t đ nh ượ ệ ướ ấ ấ ị = = +∫I f ( x )dx F( x ) c 2. Vi phõn: 2.1 Giả sử y = f(x) xỏc đ nh trờn kho ng (ị ả a, b) và cú đ o hàmạ t i đi m ạ ể x∈(a,b). Cho x m t s gia ộ ố ∆x sao cho (x + ∆x) ∈ (a,b), khi đú ta cú: • Cụng thức vi phõn theo s giaố : ( ) ( ) ( ) ′ = ∆ ′= ∆ dy y x x df x f x x • Cụng th c bi n đ i vi phõn: ứ ế ổ Ch n hàm s ọ ố y = x ⇒ dy = dx = x’.∆x = ∆x ⇒ dx = ∆x. V y ta cú: ậ ( ) ( ) ( ) ′ = ∆ ′= ∆ dy y x x df x f x x ⇔ ( ) ( ) ( ) ′ = ′= dy y x dx df x f x dx • N u hàm s ế ố f(x) cú vi phõn t i đi m ạ ể x thỡ ta núi f(x) kh vi t i đi m ả ạ ể x. Do ( ) ( )df x f x x′= ∆ nờn f(x) kh vi t i đi m ả ạ ể x ⇔ f(x) cú đ o hàm t i đi m ạ ạ ể x 2.2. Tớnh chất: Gi s u và v là 2 hàm s cựng kh vi t i đi m ả ử ố ả ạ ể x. Khi đú: ( ) ( ) ( ) −± = ± = + = 2udv vduud u v du dv ; d uv udv vdu ; d v v 2.3 Vi phõn của hàm hợp Nếu = = y f ( u ) u g( x ) và f, g kh vi thỡ ả ( ) ( ) ( )′′= =dy f u du f u u x dx 1 Ch ng II. Nguyờn hàm và tớch ươ phõn − Tr n Ph ngầ ươ 3. Quan h gi a đ o hàm ệ ữ ạ − nguyờn hàm và vi phõn: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )′= + ⇔ = ⇔ =∫ f x dx F x c F x f x dF x f x dx 4. Cỏc tớnh ch t c a nguyờn hàm và tớch phõnấ ủ 4.1. N u ế f(x) là hàm s cú nguyờn hàm thỡ ố ( )( ) ( )′ =∫ f x dx f x ; ( )( ) ( )=∫d f x dx f x dx 4.2. N u F(ế x) cú đ o hàm thỡ: ạ ( )( ) ( )= +∫ d F x F x c 4.3. Phộp cộng: N u ế f(x) và g(x) cú nguyờn hàm thỡ: ( ) ( ) ( ) ( ) + = + ∫ ∫ ∫f x g x dx f x dx g x dx 4.4. Phộp trừ: N u ế f(x) và g(x) cú nguyờn hàm thỡ: ( ) ( ) ( ) ( ) − = − ∫ ∫ ∫f x g x dx f x dx g x dx 4.5. Phộp nhõn với một hằng số thực khỏc 0:  ( ) ( )=∫ ∫kf x dx k f x dx , ∀k ≠ 0 4.6. Cụng thức đổi biến số: Cho y = f(u) và u = g(x). N u ế ( ) ( )= +∫ f x dx F x c thỡ ( )( ) ( ) ( ) ( )′ = = +∫ ∫f g x g x dx f u du F u c 5. Nh n xột:ậ N u ế ( ) ( )= +∫ f x dx F x c v i F(ớ x) là hàm s c p thỡ ta núi tớchơ ấ phõn b t đ nh ấ ị ( )∫ f x dx bi u di n đ c d i d ng h u h n. Ta cú nh n xột:ể ễ ượ ướ ạ ữ ạ ậ N u m t tớch phõn b t đ nh bi u di n đ c d i d ng h u h n thỡ hàm sế ộ ấ ị ể ễ ượ ướ ạ ữ ạ ố d i d u tớch phõn là hàm s c p và đi u ng c l i khụng đỳng, t c là cúướ ấ ơ ấ ề ượ ạ ứ nhi u hàm s d i d u tớch phõn là hàm s c p nh ng tớch phõn b t đ nhề ố ướ ấ ơ ấ ư ấ ị khụng bi u di n đ c d i d ng h u h n m c dự nú t n t i. Ch ng h nể ễ ượ ướ ạ ữ ạ ặ ồ ạ ẳ ạ cỏc tớch phõn b t đ nh sau t n t iấ ị ồ ạ 2 Bài 1. Bài t p s d ng cụng th c nguyờn hàm, tớch phõnậ ử ụ ứ −∫ ∫ ∫ ∫ ∫2x dx sin x cos xe dx ; ; sin x dx ; dx ; dxln x x x nh ng chỳng khụng th bi u di n đ c d i d ng h u h n.ư ể ể ễ ượ ướ ạ ữ ạ 3 Ch ng II. Nguyờn hàm và tớch ươ phõn − Tr n Ph ngầ ươ II. TÍCH PHÂN XÁC Đ NHỊ 1. Đ nh nghĩa:ị Gi s hàm s ả ử ố f(x) xỏc đ nh và b ch n trờn đo n [ị ị ặ ạ a, b]. Xột m t phõn ho chộ ạ pi b t kỡ c a đo n [ấ ủ ạ a, b], t c là chia đo n [ứ ạ a, b] thành n ph n tuỳ ý b i cỏcầ ở đi m chia: ể − = < < < < =0 1 n 1 na x x ... x x b . Trờn m i đo n ỗ ạ [ ]−k 1 kx ,x l y b t kỡấ ấ đi m ể [ ]1k k kx ,x−ξ ∈ và g i ọ 1k k kx x −∆ = − là đ dài c a ộ ủ [ ]1k kx ,x− . Khi đú: ( ) ( ) ( ) ( ) = = + + +∑n k k 1 1 2 2 n n k 1 f f f ... fξ ∆ ξ ∆ ξ ∆ ξ ∆ g i là t ng tớch phõn c a hàmọ ổ ủ f(x) trờn đo n [ạ a, b]. T ng tớch phõn này ph thu c vào phõn ho ch ổ ụ ộ ạ pi, số kho ng chia n và ph thu c vào cỏch ch n đi m ả ụ ộ ọ ể ξ k. N u t n t i ế ồ ạ ( ) → = ∑ k n k kMax 0 k 1 lim f ∆ ξ ∆ (là m t s xỏc đ nh) thỡ gi i h n này g i làộ ố ị ớ ạ ọ tớch phõn xỏc đ nh c a hàm s ị ủ ố f(x) trờn đo n [ạ a, b] và kớ hi u là: ệ ( )∫b a f x dx Khi đú hàm s ố y = f(x) đ c g i là kh tớch trờn đo n [ượ ọ ả ạ a, b] 2. Đi u ki n kh tớch:ề ệ ả Cỏc hàm liờn t c trờn [ụ a, b], cỏc hàm b ch n cú h u h n đi m giỏn đo n trờnị ặ ữ ạ ể ạ [a, b] và cỏc hàm đ n đi u b ch n trờn [ơ ệ ị ặ a, b] đ u kh tớch trờn [ề ả a, b]. 3. í nghĩa hỡnh h c:ọ N u ế f(x) > 0 trờn đo n [ạ a, b] thỡ ( )∫b a f x dx là di n tớch c a hỡnh thang congệ ủ gi i h n b i cỏc đ ng: ớ ạ ở ườ y = f(x), x = a, x = b, y = 0 4 O y x 0a=x 1ξ 1x 2ξ x2 ...... kư1x xk xnxnư1 =b... ...kư1ξ ξk nư1ξ ξn C 1 2C 3C kư1N kN nư1C nC nN N 1 C k B1 2B Bk BnBk+1 ...... Bài 1. Bài t p s d ng cụng th c nguyờn hàm, tớch phõnậ ử ụ ứ 4. Cỏc đ nh lý, tớnh ch t và cụng th c c a tớch phõn xỏc đ nh:ị ấ ứ ủ ị 4.1. Định lý 1: N u ế f(x) liờn t c trờn đo n [ụ ạ a, b] thỡ nú kh tớch trờn đo n [ả ạ a, b] 4.2. Định lý 2: N u ế f(x), g(x) liờn t c trờn ụ đo n [ạ a, b] và f(x) ≤ g(x),∀x∈[a, b] thỡ ( ) ( )≤∫ ∫b b a a f x dx g x dx . D u b ng x y ra ấ ằ ả ⇔ f(x) ≡ g(x), ∀x∈[a, b] 4.3. Cụng thức Newton ư Leipnitz: N u ế ( ) ( )= +∫ f x dx F x c thỡ ( ) ( ) ( ) ( )= = −∫b ba a f x dx F x F b F a 4.4. Phộp cộng: ( ) ( ) ( ) ( ) + = + ∫ ∫ ∫b b b a a a f x g x dx f x dx g x dx 4.5. Phộp trừ: ( ) ( ) ( ) ( ) − = − ∫ ∫ ∫b b b a a a f x g x dx f x dx g x dx 4.6. Phộp nhõn với một hằng số khỏc 0:  ( ) ( )=∫ ∫b b a a kf x dx k f x dx , ∀k ≠ 0 4.7. Cụng thức đảo cận tớch phõn:  ( ) ( )= −∫ ∫b a a b f x dx f x dx ; ( ) =∫a a f x dx 0 4.8. Cụng thức tỏch cận tớch phõn: ( ) ( ) ( )= +∫ ∫ ∫b c b a a c f x dx f x dx f x dx 4.9. Cụng thức đổi biến số: Cho y = f(x) liờn t c trờn đo n [ụ ạ a, b] và hàm x = ϕ(t) kh vi, liờn t c trờnả ụ đo n [ạ m, M] và [ ] ( ) [ ] ( )∈ ∈= =t m,M t m,MMin t a; Max t bϕ ϕ ; ( ) ( )= =m a; M bϕ ϕ . Khi đú ta cú: ( ) ( )[ ] ( )′=∫ ∫b M a m f x dx f t t dtϕ ϕ 4.10. Cụng thức tớch phõn từng phần: Gi s hàm s ả ử ố u(x), v(x) kh vi, liờn t c trờn [ả ụ a, b], khi đú: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )′ ′= −∫ ∫b bba a a u x v x dx u x v x v x u x dx 5 Ch ng II. Nguyờn hàm và tớch ươ phõn − Tr n Ph ngầ ươ Iii. Bảng công thức nguyên hàm mở rộng ( ) 11 1 1 ax bax b dx c , a α + α +  + = + α ≠ −  α + ∫ ( ) ( )1cos ax b dx sin ax ba+ = +∫ + c 1dx ln ax b c ax b a = + + +∫ + c ( ) ( )1sin ax b dx cos ax b ca−+ = + +∫ 1ax b ax be dx e c a + + = +∫ ( ) ( )1tg ax b dx ln cos ax b ca+ = − + +∫ 1ax b ax bm dx m c a ln m + + = +∫ ( ) ( )1cotg ax b dx ln sin ax b ca+ = + +∫ 2 2 1dx xarctg c a aa x = + +∫ ( ) ( )2 1dx cotg ax b casin ax b −= + ++∫ 2 2 1 2 dx a xln c a a xa x + = + − − ∫ ( ) ( )2 1dx tg ax b cacos ax b = + ++∫ ( )2 2 2 2 dx ln x x a c x a = + + + + ∫ 2 2x xarcsin dx x arcsin a x ca a= + − +∫ 2 2 dx xarcsin c aa x = + − ∫ 2 2x xarccos dx x arccos a x ca a= − − +∫ 2 2 1dx xarccos c a ax x a = + − ∫ ( )2 22x x aarctg dx x arctg ln a x ca a= − + +∫ 2 2 2 2 1dx a x aln c a xx x a + + = − + + ∫ ( )2 22x x aarc cotg dx x arc cotg ln a x ca a= + + +∫ ( ) ( )bln ax b dx x ln ax b x c a   + = + + − +  ∫ ( ) 1 2dx ax bln tg csin ax b a += ++∫ 2 2 2 2 2 2 2 x a x a xa x dx arcsin c a − − = + +∫ ( ) 1 2dx ax bln tg csin ax b a += ++∫ ( ) 2 2 ax ax e a sinbx b cos bxe sinbx dx c a b − = + +∫ ( )2 2 ax ax e a cos bx b sinbxe cos bx dx c a b + = + +∫ 6 Bài 1. Bài t p s d ng cụng th c nguyờn hàm, tớch phõnậ ử ụ ứ IV. NHỮNG CHÚ í KHI S D NG CễNG TH C KHễNG Cể TRONG SGK 12Ử Ụ Ứ Cỏc cụng th c cú m t trong II. mà khụng cú trong SGK 12 khi s d ng ph iứ ặ ử ụ ả ch ng minh l i b ng cỏch trỡnh bày d i d ng b đ . Cú nhi u cỏch ch ngứ ạ ằ ướ ạ ổ ề ề ứ minh b đ nh ng cỏch đ n gi n nh t là ch ng minh b ng cỏch l y đ o hàmổ ề ư ơ ả ấ ứ ằ ấ ạ 1. Vớ dụ 1: Ch ng minh: ứ 2 2 dx 1 x aln c 2a x ax a − = + + − ∫ ; 2 2dx 1 a xln c2a a xa x += +−−∫ Chứng minh: 2 2 dx 1 1 1 1 dx dx 1 x adx ln c 2a x a x a 2a x a x a 2a x ax a −    = − = − = +    − + − + +    − ∫ ∫ ∫ ∫ ( ) 2 2 dx 1 1 1 1 dx d a x 1 a xdx ln c 2a a x a x 2a a x a x 2a a xa x  − +  = + = − = +    + − + − −    − ∫ ∫ ∫ ∫ 2. Vớ dụ 2: Ch ng minh r ng: ứ ằ ( )2 2 2 2 dx ln x x a x a = + + + ∫ + c Chứng minh: L y đ o hàm ta cú: ấ ạ ( ) ( )2 22 2 2 2 1 x aln x x a c x x a ′ ′ + + + + + =  + + = 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 x 1 x x a 11 x x a x a x x a x a x a + +  = + = ⋅ =  + + + + + + +  3. Vớ dụ 3: Ch ng minh r ng:ứ ằ 2 2 dx 1 u c aa x = + +∫ (v i ớ xtg u a= ) Đ t ặ xtg u a = , ( )u ,2 2pi pi∈ − ⇒ ( )( )2 2 2 2d a tg udx 1 1du u ca aa x a 1 tg u= = = ++ +∫ ∫ ∫ 4. Vớ dụ 4: Ch ng minh r ng: ứ ằ 2 2 dx u c a x = + − ∫ (v i ớ xsin u a= , a > 0) Đ t ặ xsin u a = ,u∈ ,2 2 pi pi  −   ⇒ ( ) ( )2 2 2 2 dx d a sin u du u c a x a 1 sin u = = = + − − ∫ ∫ ∫ Bỡnh luận: Tr c năm 2001, SGK12 cú cho s d ng cụng th c nguyờn hàm ướ ử ụ ứ 2 2 dx 1 xarctg c a aa x = + +∫ và 2 2dx xarcsin caa x = +−∫ (a > 0) nh ng sau đú khụngư gi ng b t c n c nào trờn th gi i, h l i c m khụng cho s d ng khỏi ni mố ấ ứ ướ ế ớ ọ ạ ấ ử ụ ệ hàm ng c arctg ượ x, arcsin x. Cỏch trỡnh bày trờn đ kh cể ắ ph c l nh c m này.ụ ệ ấ 7 Ch ng II. Nguyờn hàm và tớch ươ phõn − Tr n Ph ngầ ươ V. CÁC D NG TÍCH PHÂN Đ N GI NẠ Ơ Ả V.1. CÁC K NĂNG C B N:Ỹ Ơ Ả 1. Bi u di n lu th a d ng chớnh t c: ể ễ ỹ ừ ạ ắ = 1 n nx x ; = = m m nn km mn nkx x ; x x − − = = 1 n n n n 1 1x ; x x x ; − = m n n m 1 x x ; − = m nk n k m 1 x x 2. Bi n đ i vi phõn: ế ổ dx = d(x ± 1) = d(x ± 2) = … = d(x ± p) adx = d(ax ± 1) = d(ax ± 2) = … = d(ax ± p) ( ) ( ) x p1 x 1 x 2dx d d da a aa ± ± ±= = = =   L V.2. CÁC BÀI T P M U MINH HOẬ Ẫ Ạ 1. 3 dx 1 x x −∫ ( )3 21 1 1dx 1 dx 1 1 x x x x x − +   = = + + +  − − ∫ ∫ = ( ) ( )2 3 21 1 11 dx ln 11 3 2 d x x x x x x x c x − + + + = + + + − + − ∫ ∫ 2. ( )14 7 dx = 4 7 7 4 7 dx 4 x x x x+  + −  + ∫ ∫ ( ) ( ) ( ) ( ) ( )3 5 312 2 2 21 1 2 24 7 7 4 7 4 7 4 7 7 4 7 16 16 5 3 x x d x x x c  = + − + + = + − ⋅ + +    ∫ 3. ( ) ( ) ( )17 2 2 2 d 2d 1 2 5 2 2 5 xxI x x = = + + ∫ ∫ 1 10arctg 510 x c   = +   4. ( ) ( ) ( )xdx 1 2 1 1 1 1 22 lnln 2 5ln 2 5ln 22 + 5 2 2 5 2 52 2 5 x x x x x xx x d d c = = − = +  + + +∫ ∫ ∫ 5. ( ) ( )5 3 2 3cos cos 1 sin 1 sin cos cos sin dx 1 sin x dx x x dx x x x x x  = + = − +  − ∫ ∫ ∫ ( ) ( ) ( ) 3 42 3 sin cos1 sin sin cos cos sin 3 4 x xx d x xd x x c= − − = − − +∫ ∫ 8 Bài 1. Bài t p s d ng cụng th c nguyờn hàm, tớch phõnậ ử ụ ứ V.3. CÁC BÀI T P DÀNH CHO B N Đ C T GI IẬ Ạ Ọ Ự Ả ( ) ( ) ( ) ( ) 1 x 1 x 2 x 3 x 4 J dx x x + + + + = ∫ ; 2 7x 3J dx2x 5−= +∫ ; 2 3 3x 7x 5J dx x 2 − + = − ∫ ( ) 3 2 2 2 4 5 6 10 2x 5x 7x 10 4x 9x 10 2x 3x 9J dx ;J dx ; J dx x 1 2x 1 x 1 − + − − + − + = = = − − − ∫ ∫ ∫ ( ) ( ) 3 2 3 2 7 815 30 x 3x 4x 9 2x 5x 11x 4J dx ; J dx x 2 x 1 − + − + − + = = − + ∫ ∫ ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )∫∫∫ −−+=+−=−+= dx1x25x3xJ;dx2x51xJ;dx1x3xJ 332111521031009 ( ) ( ) ( ) ( ) 2 432 4 55 9 12 13 1447 x 3x 5J 2x 3 . x 1 dx ; J dx ; J x . 2x 3 dx 2x 1 − + = + − = = + + ∫ ∫ ∫ ( ) 9 3 15 16 174 2 2105 x x xJ dx ; J dx ; J dx x x 1 x x 12 3x = = = + − − − − ∫ ∫ ∫ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )18 19 202 2 2 2 dx dx dxJ ; J ; J x 2 x 5 x 2 x 6 x 2 x 3 = = = − + + + − + ∫ ∫ ∫ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )21 22 232 2 2 2 2 2 x dx dx dxJ ; J ; J x 3 x 7 3x 7 x 2 2x 5 x 3 = = = − − + + + − ∫ ∫ ∫ ln 2 ln 2 ln 2 ln 22x x x 24 25 26 27 xx x 1 0 0 0 dx e dx 1 eJ ; J ; J e 1dx ; J dx 1 ee 1 e 1 − = = = + = + − + ∫ ∫ ∫ ∫ ( ) ( )2 2x x1 1 1 1x 28 29 30 31x 2x 2x x 3x 0 0 0 0 1 e dx 1 ee dx dxJ ; J ; J ; J dx 1 e 1 e e e e − − + + = = = = + + +∫ ∫ ∫ ∫ ln 2 ln 4 1 e3x 32 33 34 35x 3 x x x 0 0 0 1 dx dx e dx 1 ln xJ ; J ; J ; J dx xe e 4e 1 e − + − − + = = = = − +∫ ∫ ∫ ∫ ( )3 1 165 2 5 3 3 236 37 38 0 0 0 J x 1 x dx ; J x 1 x dx ; J x 1 x dx= + = − = −∫ ∫ ∫ ( ) 2x1 1 1 1 2x x 39 40 41 42x x x x 0 0 0 0 2 1 dxdx dxJ ; J ; J ; J e 1 e dx 4 3 4 2 4− − + = = = = + + +∫ ∫ ∫ ∫ 9