Một số bài tập lí thuyết truyền thông

Bài 1.1: Các biến ngẫu nhiên X , i = 1,2, ldots ,n có hàm mật độ phân bố xác suất đồng thời ( joint pdf ) là p(x ,x , ,x ) . Chứng tỏ rằng : p(x ,x , ,x ) = p(x | x , , x ).p(x | x , ,x ) p(x | x ).p(x ) Giải : Trước hết ta chứng minh các kết quả sau: - p(x ,x ) = p(x | x ).p(x ) - p(x ,x , ,x ) = p(x ,x , ,x | x , ,x ) Hai biến ngẫu nhiên X , X có hàm mật độ phân bố xác suất đồng thời p(x ,x ) Giả sử ta muốn xác định xác suất để biến ngẫu nhiên X  x với điều kiện : x - x < X  x ( trong đó x dương ) tức là ta muốn xác định xác suất của sự kiện : X  x | x - x < X  x Ta có : P(X  x |x -x <X  x ) = = Giả sử các hàm mật độ phân bố xác suất p(x ,x ) và p(x ) là các hàm liên tục trong khoảng (x - x , x ) . Chia cả tử và mẫu đẳng thức trên cho x và lấy giới hạn khi x -> 0 ta nhận được P(X  x | X =x ) = F(x | x ) = = đó chính là hàm phân bố xác suất của biến ngẫu nhiên X trong điều kiện biến X đã xác định . Do F(- | x )=0 và F( | x )=1. Lấy đạo hàm biểu thức trên theo x ta được p(x ,x ) = p(x | x ).p(x ) Mở rộng cho các biến ngẫu nhiên nhiều chiều , hàm mật độ phân bố xác suất đồng thời của các biến ngẫu nhiên X , i=1,2, ,n như sau : p(x ,x , ,x ) = p(x ,x , ,x | x , ,x ).p(x ,x , ,x ) Sử dụng kết quả trên để chứng minh bài toán Ta có : p(x ,x ) = p(x | x ).p(x )  p(x | x ,x ). p(x ,x ) = p(x | x ,x ). p(x | x ).p(x )  p(x ,x ,x ) = p(x | x ,x ). p(x | x ).p(x ) . .  p(x | x , ,x ).p(x ,x , ,x ) = p(x | x , ,x ) p(x | x ).p(x )  p(x ,x , ,x ) = p(x | x , ,x ) p(x | x ).p(x ) . .  p(x | x , ,x ).p(x ,x , ,x ) = p(x | x , ,x ) p(x | x ).p(x )  p(x ,x , ,x ) = p(x | x , , x ).p(x | x , ,x ) p(x | x ).p(x ) Bài 1.5 : Biến ngẫu nhiên Y được định nghĩa là :

doc6 trang | Chia sẻ: tlsuongmuoi | Ngày: 26/06/2013 | Lượt xem: 1289 | Lượt tải: 0download
Bạn đang xem nội dung tài liệu Một số bài tập lí thuyết truyền thông, để tải tài liệu về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên
Bµi 1.1: C¸c biÕn ngÉu nhiªn X, i = 1,2, ldots ,ncã hµm mËt ®é ph©n bè x¸c suÊt ®ång thêi ( joint pdf ) lµ p(x,x,…,x) . Chøng tá r»ng : p(x,x,…,x) = p(x| x,…, x).p(x| x,…,x)…p(x| x).p(x) Gi¶i : Tr­íc hÕt ta chøng minh c¸c kÕt qu¶ sau: - p(x,x) = p(x| x).p(x) - p(x,x,…,x) = p(x,x,…,x| x,…,x) Hai biÕn ngÉu nhiªn X, X cã hµm mËt ®é ph©n bè x¸c suÊt ®ång thêi p(x,x) Gi¶ sö ta muèn x¸c ®Þnh x¸c suÊt ®Ó biÕn ngÉu nhiªn X £ x víi ®iÒu kiÖn : x- Dx< X £ x ( trong ®ã Dxd­¬ng ) tøc lµ ta muèn x¸c ®Þnh x¸c suÊt cña sù kiÖn : X £ x| x- Dx< X £ x Ta cã : P(X£ x|x-Dx<X£ x) = = Gi¶ sö c¸c hµm mËt ®é ph©n bè x¸c suÊt p(x,x) vµ p(x) lµ c¸c hµm liªn tôc trong kho¶ng (x- Dx, x) . Chia c¶ tö vµ mÉu ®¼ng thøc trªn cho Dx vµ lÊy giíi h¹n khi Dx -> 0 ta nhËn ®­îc P(X£ x| X=x) = F(x| x) = = ®ã chÝnh lµ hµm ph©n bè x¸c suÊt cña biÕn ngÉu nhiªn X trong ®iÒu kiÖn biÕn X ®· x¸c ®Þnh . Do F(-¥ | x)=0 vµ F(¥ | x)=1. LÊy ®¹o hµm biÓu thøc trªn theo x ta ®­îc p(x,x) = p(x| x).p(x) Më réng cho c¸c biÕn ngÉu nhiªn nhiÒu chiÒu , hµm mËt ®é ph©n bè x¸c suÊt ®ång thêi cña c¸c biÕn ngÉu nhiªn X, i=1,2,…,n nh­ sau : p(x,x,…,x) = p(x,x,…,x| x,…,x).p(x,x,…,x) Sö dông kÕt qu¶ trªn ®Ó chøng minh bµi to¸n Ta cã : p(x,x) = p(x| x).p(x) Þ p(x| x,x). p(x,x) = p(x| x,x). p(x| x).p(x) Þ p(x,x,x) = p(x| x,x). p(x| x).p(x) . . p(x| x,…,x).p(x,x,…,x) = p(x| x,…,x)…p(x| x).p(x) Þ p(x,x,…,x) = p(x| x,…,x)…p(x| x).p(x) . . p(x| x,…,x).p(x,x,…,x) = p(x| x,…,x)…p(x| x).p(x) p(x,x,…,x) = p(x| x,…, x).p(x| x,…,x)…p(x| x).p(x) Bµi 1.5 : BiÕn ngÉu nhiªn Y ®­îc ®Þnh nghÜa lµ : Y = víi Xi lµ c¸c biÕn ngÉu nhiªn ®éc lËp thèng kª vµ sds Xi = 1 víi x¸c suÊt p 0 víi x¸c suÊt 1-p a. X¸c ®Þnh hµm ®Æc tÝnh cña Y b. X¸c ®Þnh momen bËc 1 vµ bËc 2 cña Y Gi¶i : a. X¸c ®Þnh hµm ®Æc tÝnh cña Y : Ta cã nhËn xÐt Y lµ tËp sè nguyªn tõ 0 ... n. VËy x¸c suÊt Y = k chÝnh lµ x¸c suÊt sao cho k biÕn Xi = 1 vµ n-k biÕn Xi = 0 Tõ trªn ta cã : P(y = k) = pk(1-p)n-k Theo ®Þnh nghÜa hµm mËt ®é ph©n bè x¸c suÊt cho hµm rêi r¹c : p(y) = P(Y = k)(y-k) = pk(1-p)n-k(y-k) Hµm ®Æc tÝnh cña biÕn ngÉu nhiªn Y : E(ejvY) (jv) = ejvYp(y)dy = ejvY( pk(1-p)n-k(y-k))dy = pk(1-p)n-k ejvY(y-k)dy XÐt phÇn tö thø k cña tæng trªn : pk(1-p)n-k ejvY(y-k)dy ta cã khi ®ã biÕn ngÉu nhiªn Y mang gi¸ trÞ k Mµ hµm (y-k) cã biÕn ®æi Furie : = 1 khi y-k 0 vµ y-k nguyªn = 0 trong c¸c tr­êng hîp cßn l¹i V× vËy ta cã : (jv) = pk(1-p)n-k ejvY(y-k)dy = pk(1-p)n-k ejvk = (1 - p + pejv)n b. X¸c ®Þnh momen bËc 1 vµ bËc 2 cña Y : Tõ hµm ®Æc tÝnh ta tÝnh ®­îc momen cÊp 1 : E(Y) = -j v=0 = -jn(1-p+pejv)n-1.jpejv v=0 = np Ta cã momen cÊp 2 ®­îc tÝnh : E(Y2) = - v=0 = - v=0 = - (n(n-1)jpejv.jpejv(1-p+pejv)n-2 + n(1-p+pejv)n-1.j2pejv v=0 = n(n-1)p2e2jv(1-p+pejv)n-2 + n(1-p+pejv)n-1pejv v=0 = n(n-1)p2 + np = np(1-p) + n2p2 = E(Y2) - E(Y)2 = np(1-p) Bµi 1.6 : Bèn biÕn ngÉu nhiªn X1, X2, X3, X4 lµ c¸c biÕn ngÉu nhiªn gaussian ®ång thêi cã gi¸ trÞ trung b×nh b»ng 0 víi hiÖp biÕn = E(XiXj) vµ hµm ®Æc tÝnh lµ (jv1,jv2,jv3,jv4). Chøng tá r»ng : E(X1X2X3X4) = Gi¶i: Hµm ®Æc tÝnh lµ : (jv1,jv2,jv3,jv4) = exp(jmx'v - v'Mv) Theo gi¶ thiÕt 4 biÕn ngÉu nhiªn cã gi¸ trÞ trung b×nh b»ng 0 nªn ta cã hµm ®Æc tÝnh lµ : (jv1,jv2,jv3,jv4) = exp(- v'Mv) Ta ®i tÝnh v'Mv trong ®ã v lµ vecto n chiÒu víi c¸c thµnh phÇn vi , i=1,2,... n M lµ ma trËn hiÖp biÕn. v'Mv = v1,v2,v3,v4 v1 v2 v3 v4 =v12+v1v2+v1v3+v1v4+v1v2+v22+v2v3+v2v4+ v1v3+v2v3+v32+v3v4+v1v4+v2v4+v3v4+v42 Ta cã : E(X1,X2,X3,X4) = (-j)4 v1=v2=v3=v4=0 TÝnh ®¹o hµm riªng víi v1 råi cho v1=0 ta ®­îc : v1=0 = - [v2 + v3 + v4].exp [-(v22 + v32 + v42 + 2v2v3 + 2v2v4 + 2v3v4)] TÝnh ®¹o hµm riªng víi v2 råi cho v2=0 ta ®­îc : v1=v2=0 = - [exp [-(v32 + v42 + 2v3v4)] - [v3+v4][2v3+2v4].exp[-(v32 + v42 + 2v3v4)]] TÝnh ®¹o hµm riªng víi v3 råi cho v3=0 ta ®­îc : v1=v2=v3=0 = - [-v4.exp[-(v42)] - 2v4.exp[-(v42)] - v4[2+2v4].exp [-(v42)] + v42v42v4exp [-(v42)] TÝnh ®¹o hµm riªng víi v4 råi cho v4=0 ta ®­îc : v1=v2=v3=v4=0 = - [- - - ] = + + VËy ta cã ®iÒu ph¶i chøng minh. Bµi1.9: BiÕn ngÉu nhiªn Xi ®éc lËp thèng kª cã ph©n bè gièng nhau vµ cã pfd Cauhy: P(x)= <x< Y= a, Tacã: = E(e) = (exp() = = [] (1-1) Theo bµi 1.8 ta cã hµm ®Æc tÝnh cña biÕn ngÉu nhiªn cã ph©n bè Cauchy ( p(x)= - < x < ) lµ =p(x)dx =*dx = e T­¬ng tù nh­ vËy ta cã: = dx = e Thay vµo (1-1) ta cã = [] = e b, Muèn tÝnh hµm mËt ®é ph©n bè x¸c suÊt ta biÕn ®æi Furiª ng­îc p(y)=dv = =dv= ®Æt m = + jX ta cã: p(y) = *e( e-e) (1-2) (®ã lµ gi¸ trÞ cÇn t×m) lim t c, Khi n th× tõ (1-2) ta suy ra p(y) = n Ta cã: E(Y) =m = =m ®é lªch trung b×nh b×nh ph­¬ng cña Y lµ : =E(Y)- m = E(XX) = E(X) + E(XX) - m = ( + m) + n(n-1) m - m = Khi n th× 0 do ®ã kh«ng thÓ ¸p dông ®­îc ®Þnh lý giíi h¹n trung t©m CÊu tróc thu tèi ­u trªn kªnh cã nhiÔu céng gauusian

Các file đính kèm theo tài liệu này:

  • docCSTT1.DOC
  • docCSTT2.DOC
  • docCSTT3.DOC
  • docCSTT4.DOC
  • docCSTT7.DOC
Tài liệu liên quan