Giáo trình Thiết kế & Đánh giá thuật toán - Bài giảng 9: Chặn dưới sắp xếp - Lê Nguyên Khôi

Thiết Kế & Đánh Giá Thuật Toán Chặn Dưới Sắp Xếp TS. Lê Nguyên Khôi Trường Đại Học Công Nghệ - ĐHQGHN Nội Dung
Chặn trên (upper bound -
)
Chặn dưới (lower bound - )
Sắp xếp trong thời gian tuyến tính
Sắp xếp đếm (Counting sort)
Sắp xếp cơ số (Radix sort)
Sắp xếp giỏ (Bucket sort) 1 Chặn Trên
Bài toán X: dữ liệu đầu vào  xây dựng thuật toán chạy trong thời gian
(())
(): thể hiện độ phức tạp (hay độ khó) để giải bài toán X
Mục tiêu: xác định   càng nhỏ càng tốt
Chặn trên (
) giúp xác định giải bài toán X khó cỡ nào 2 Chặn Dưới
Giải bài toán X, bất cứ thuật toán nào cũng chạy trong thời gian (())
Mục tiêu: xác định   càng lớn càng tốt
Chặn dưới () giúp xác định thuật toán giải bài toán X đã đủ tốt chưa
Ví dụ:
Thuật toán chạy trong thời gian
( log  )
Chặn dưới ( log ) để giải bài toán
Cải tiến thuật toán để thu hẹp khoảng log  3 Chặn Của Sắp Xếp
Chặn trên
 / dưới ()
Nổi bọt (bubble sort)
Chèn (insertion sort)
Lựa chọn (selection sort)
Chặn trên
 log  / dưới ( log )
Gộp (merge sort)
Cây thứ tự bộ phận (heap sort)
Nhanh (quick sort) – trường hợp trung bình 4 Chặn Dưới Sắp Xếp
Các thuật toán sắp xếp vừa đề cập:
Đều dựa trên so sánh giữa các phần tử
Chặn dưới ( log )
Sắp xếp so sánh (comparison-based sort)
Không khác biệt về độ phức tạp
Khác biệt về thời gian chạy theo một hằng số
Một số thuật toán không dựa trên so sánh giữa các phần tử
Không áp dụng chặn dưới ( log ) 5 Chặn Dưới Sắp Xếp – Chứng Minh
Sử dụng mô hình Cây Quyết Định
Cây nhị phân
Nút trong ứng với phép so sánh 2 phần tử
Nhánh trái ứng với kết quả nhỏ hơn bằng
Nhánh phải ứng với kết quả lớn hơn
Lá ứng với lời giải (thứ tự các phần tử) 6 Cây Quyết Định Sắp xếp 〈, , , 〉 Nút trong :  với ,  ∈ 1, 2, ,  thể hiện so sánh  với  Cây con trái thể hiện các bước so sánh nếu    Cây con phải thể hiện các bước so sánh nếu    Lá thể hiện hoán vị thứ tự 7           Cây Quyết Định – Ví Dụ Sắp xếp , ,   6,8,5 Thăm các nút: 1: 2 , 2: 3 , 1: 3 ⇒ (312) So sánh: 6 % 8 , 8  5 , 6 % 5 ⇒ (5 % 6 % 8) 8           Cây Quyết Định – Ví Dụ Sắp xếp , ,   6,8,5 Mỗi lá là một hoán vị & 1 , & 2 , , &  thể hiện thứ tự '()  '   ⋯  '  Có 3 phần tử, số lượng hoán vị (lá) là 3!  6 lá 9           Cây Quyết Định – Mô Hình Có thể sử dụng cây quyết định để mô phỏng quá trình thực hiện của bất ký thuật toán sắp xếp so sánh nào:
Một cây cho mỗi dữ liệu đầu vào cỡ .
Cây chứa thông tin các bước so sánh.
Thời gian chạy của thuật toán là độ dài đường đi từ gốc đến lá.
Thời gian chạy xấu nhất là độ cao cây 10 Cây Quyết Định – Chặn Dưới Sắp Xếp
Định lý:
Bất cứ cây quyết định có thể sắp xếp  phần tử có độ cao ( log )
Chứng minh:
Cây quyết định độ cao ℎ, với + lá
Mỗi hoán vị của ! nằm tại một lá nào đó
Do đó ! ≤ +
Cây nhị phân độ cao ℎ có nhiều nhất 2, lá.
Do đó ! ≤ + ≤ 2,. ℎ ≥ log ! = ( log ) 11 Cây Quyết Định – Chặn Dưới Sắp Xếp Hệ Quả:
Sắp xếp cây thứ tự bộ phận và sắp xếp gộp là thuật toán sắp xếp so sánh tối ưu 12 Sắp Xếp Trong Thời Gian Tuyến Tính
Sắp xếp không dựa trên so sánh giữa các phần tử
Không áp dụng chặn dưới   log 
Ví dụ
Sắp xếp đếm (Counting sort)
Sắp xếp cơ số (Radix sort)
Sắp xếp giỏ (Bucket sort) 13 Sắp Xếp Đếm (Counting Sort)
Giả thiết
Phần tử là số nguyên trong khoảng [1, /]
Khi / =
 , thời gian chạy 1 
Ý tưởng
Với mỗi phần tử 2, xác định số phần tử < 2
Ví dụ:
có 17 phần tử nhỏ hơn 2
2 sẽ được xếp vào vị trí thứ 18
Nếu có các phần tử trùng nhau, không thể xếp vào cùng vị trí 14 Sắp Xếp Đếm – Mã Giả for  ← 1 to / do 4[] ← 0 for  ← 1 to  do 4[6[]] ← 4[6[]] + 1 for  ← 2 to / do 4[] ← 4[] + 4[– 1] for  ←  downto 1 do 9[4[6[]]] ← 6[] 4[6[]] ← 4[6[]] – 1 15 Sắp Xếp Đếm – Phân Tích for  ← 1 to / do 1(/) 4[] ← 0 for  ← 1 to  do 1() 4[6[]] ← 4[6[]] + 1 for  ← 2 to / do 1(/) 4[] ← 4[] + 4[– 1] for  ←  downto 1 do 1() 9[4[6[]]] ← 6[] 4[6[]] ← 4[6[]] – 1 = 1( + /) 16 Sắp Xếp Đếm – Minh Họa
Input: 6[1 . . ], với 6[] ∈ {1, 2, , /}
Output: 9[1 . . ], được sắp xếp
Bộ nhớ phụ 4 1 . .  đếm số phần tử
4  =  tương ứng phần tử có giá trị  xuất hiện  lần
Minh họa: 6 = 4, 1, 3, 4, 3 17 6 = 4, 1, 3, 4, 3 Sắp Xếp Đếm – Minh Họa 18 Sắp Xếp Đếm – Bài Tập 6  6, 0, 2, 0, 1, 3, 4, 6, 1, 3, 2 19 Sắp Xếp Ổn Định
Đảm bảo thứ tự ban đầu của các phần tử bằng nhau
Sắp xếp đếm là sắp xếp ổn định
Thuật toán sắp xếp nào có tính chất này?
Sắp xếp chèn
Sắp xếp lựa chọn
Sắp xếp gộp
Sắp xếp nhanh 20 Sắp Xếp Cơ Số (Radix Sort)
Sắp xếp theo từng cơ số
Bắt đầu từ cơ số ít quan trọng nhất
Sử dụng sắp xếp ổn định để sắp xếp mỗi cơ số 21 Sắp Xếp Cơ Số – Minh Họa 22 Sắp Xếp Cơ Số – Thời Gian Chạy
Phụ thuộc việc lựa chọn thuật toán nào để sắp xếp cơ số.
Chọn sắp xếp đếm: 1 >  + / 23 Sắp Xếp Giỏ (Bucket Sort)
Giả thiết dữ liệu trong khoảng [0, 1)
Tạo ngẫu nhiên
Phân bố đồng đều
Độc lập với nhau
Ý tưởng
Chia khoảng dữ liệu thành  phần bằng nhau
Phân bố  dữ liệu vào các giỏ
Sắp xếp từng giỏ
Liệt kê phần tử trong giỏ 24 Sắp Xếp Giỏ
Trường hợp tốt nhất, mỗi dữ liệu được phân vào một giỏ
Trường hợp khác, sắp xếp từng giỏ sử dụng sắp xếp chèn
Dữ liệu không phân bố đồng đều
Xác định khoảng của mỗi giỏ
Sau khi phân bố  dữ liệu vào giỏ, cỡ mỗi giỏ tương đương nhau 25