Giáo trình Đại số tuyến tính - Chương 4: Chéo hóa ma trận - Dạng toàn phương

Chương 4. Chéo hóa ma trận – Dạng toàn phương §1. TRỊ RIÊNG VÀ VÉCTƠ RIÊNG CỦA MA TRẬN 1.1. Định nghĩa. Cho ma trËn vu«ng A cÊp n. Sè ®ưîc gäi lµ trÞ riªng cña A nÕu tån t¹i vÐct¬ sao cho Khi đó vÐct¬ ®ưîc gäi lµ vÐct¬ riªng cña A øng víi trÞ riªng Chó ý. NÕu x lµ vÐct¬ riªng cña A øng víi trÞ riªng th× víi mäi sè vÐct¬ còng lµ vÐct¬ riªng cña A øng víi trÞ riªng λ nx , x∈ ≠ θℝ Ax x= λ ≠ θx λ λ 0α ≠ xα λ ▪ §Ó t×m c¸c trÞ riªng cña ma trËn vu«ng A cÊp n, ta viÕt thµnh ; I lµ ma trËn ®¬n vÞ cÊp n : lµ hÖ phư¬ng tr×nh tuyÕn tÝnh thuÇn nhÊt. §Ó lµ trÞ riªng cña A th× hÖ trªn ph¶i cã nghiÖm : ®©y lµ phư¬ng tr×nh ®Ó x¸c ®Þnh c¸c trÞ riªng cña A vµ ®ưîc gäi lµ phư¬ng tr×nh ®Æc trưng cña A. §a thøc : ®ưîc gäi lµ ®a thøc ®Æc trưng cña A. Ax x= λ Ax Ix= λ ( )A I x O⇒ −λ = λ x ≠ θ A I 0⇔ −λ = ( )AP A Iλ = − λ ▪ C¸ch t×m trÞ riªng vµ vÐct¬ riªng cña ma trËn vu«ng A: B1. Gi¶i phư¬ng tr×nh ®Æc trưng (víi Èn lµ ) ®Ó t×m c¸c trÞ riªng cña A. B2. Gi¶i hÖ phư¬ng tr×nh tuyÕn tÝnh thuÇn nhÊt . NghiÖm kh«ng tÇm thưêng cña hÖ chÝnh lµ vÐct¬ riªng cÇn t×m. A I 0− λ = λ ( )A I x O− λ = §Þnh nghÜa 1. §Æt : lµ kh«ng gian nghiÖm cña hÖ vµ ®ưîc gäi lµ kh«ng gian riªng cña A øng víi trÞ riªng §Þnh nghÜa 2. ▪ Béi ®¹i sè (B§S) cña trÞ riªng lµ béi cña trÞ riªng trong phư¬ng tr×nh ®Æc trưng. ▪ Béi h×nh häc (BHH) cña trÞ riªng lµ sè chiÒu cña kh«ng gian riªng øng víi trÞ riªng ®ã (tøc ). §Þnh lý 1. BHH cña mét trÞ riªng lu«n bé hơn hoặc bằng B§S cña nã. Chó ý. BHH cña trÞ riªng lu«n lín h¬n hoÆc b»ng 1. §Þnh lý 2. C¸c vÐct¬ riªng øng víi c¸c trÞ riªng kh¸c nhau th× ®ltt. ( ) ( ){ }nE x A I x Oλ = ∈ − λ =ℝ ( )A I x O− λ = λ λ λ λ dim E( )λ VD. H·y t×m c¸c c¬ së cña kh«ng gian riªng cña ma trËn 1.2. Ma trËn ®ång d¹ng §Þnh nghÜa. Cho A, B lµ hai ma trËn vu«ng cÊp n. Ma trËn B ®ưîc gäi lµ ®ång d¹ng víi ma trËn A, ký hiÖu , nÕu tån t¹i ma trËn vu«ng P cÊp n kh«ng suy biÕn sao cho B = P-1AP. Chó ý. NÕu th× §Þnh lý. Hai ma trËn ®ång d¹ng cã cïng ®a thøc ®Æc trưng (tøc cã chung tËp trÞ riªng). 3 2 0 A 2 3 0 0 0 5  −    = −     B A∼ B A∼ A B∼ §2. CHÉO HÓA MA TRẬN 2.1. §Þnh nghÜa. Ma trËn vu«ng A cÊp n gäi lµ chÐo hãa ®ưîc nÕu A ®ång d¹ng víi ma trËn chÐo, tøc tån t¹i ma trËn kh¶ nghÞch P cÊp n sao cho P-1AP = D lµ ma trËn chÐo. Khi ®ã ta nãi ma trËn P lµm chÐo hãa ma trËn A. (Như vËy chÐo hãa ma trËn A lµ t×m ra ma trËn kh¶ nghÞch P vµ ma trËn chÐo D). §Þnh lý. (§iÒu kiÖn cÇn vµ ®ñ ®Ó ma trËn chÐo hãa ®ưîc) §iÒu kiÖn cÇn vµ ®ñ ®Ó ma trËn vu«ng A cÊp n chÐo hãa ®ưîc lµ A cã n vÐct¬ riªng ®ltt. Chøng minh. Xem [1] ViÖc chøng minh §Þnh lý trªn ®· chøng tá r»ng:
Ma trËn P cã c¸c cét lµ c¸c vÐct¬ riªng ®ltt cña A.
Ma trËn D cã c¸c phÇn tö n»m trªn ®ưêng chÐo chÝnh lÇn lưît lµ c¸c trÞ riªng tư¬ng øng víi c¸c vÐct¬ riªng t¹o nªn P. HÖ qu¶ 1. NÕu ma trËn vu«ng A cÊp n cã n trÞ riªng ph©n biÖt th× A chÐo hãa ®ưîc. HÖ qu¶ 2. Ma trËn vu«ng A cÊp n chÐo hãa ®ưîc khi vµ chØ khi BHH cña mäi trÞ riªng b»ng B§S cña chóng. 2.2. C¸c bưíc chÐo hãa mét ma trËn vu«ng A cÊp n B1. Gi¶i phư¬ng tr×nh ®Æc trưng ®Ó t×m c¸c trÞ riªng cña A. X¸c ®Þnh B§S cña tõng trÞ riªng. B2. Gi¶i c¸c hÖ phư¬ng tr×nh tư¬ng øng víi tõng trÞ riªng. T×m c¬ së cña c¸c kh«ng gian riªng ®Ó tõ ®ã x¸c ®Þnh BHH cña tõng trÞ riªng. B3. ▪ NÕu BHH cña mét trÞ riªng nµo ®ã bÐ h¬n B§S cña nã th× A kh«ng chÐo hãa ®ưîc. ▪ NÕu HÖ qu¶ 2 tháa m·n th× A chÐo hãa ®ưîc. Ma trËn P cã c¸c cét lµ c¸c vÐct¬ riªng c¬ së cña c¸c kh«ng gian riªng. C¸c phÇn tö trªn ®ưêng chÐo chÝnh cña D lÇn lưît lµ c¸c trÞ riªng øng víi c¸c vÐct¬ riªng t¹o nªn P. (Cã thÓ thay ®æi thø tù c¸c cét cña P miÔn sao trÞ riªng cña ma trËn D øng víi c¸c vÐct¬ riªng t¹o nªn P) A I 0− λ = VD. XÐt xem ma trËn A cã chÐo hãa ®ưîc kh«ng? NÕu ®ưîc h·y t×m ma trËn P lµm chÐo hãa A, viÕt d¹ng chÐo cña A vµ tÝnh An. 3 2 0 3 3 2 1) A 2 3 0 ; 2) A 1 1 2 0 0 5 3 1 0 3 1 1 1 2 3 3) A 7 5 1 ; 4) A 0 2 3 6 6 2 0 0 3    −        = − = −        − −       − −        = − − =        − −    3.1. §Þnh nghÜa. ▪ Ma trËn vu«ng A cÊp n ®ưîc gäi lµ ma trËn trùc giao nÕu: ATA = I ( hay A-1 = AT ) ▪ Ma trËn vu«ng A cÊp n ®ưîc gäi lµ chÐo hãa trùc giao ®ưîc nÕu tån t¹i ma trËn trùc giao P cÊp n sao cho P-1AP = D lµ ma trËn chÐo. Khi ®ã ta nãi ma trËn P lµm chÐo hãa trùc giao ma trËn A. §Þnh lý. (§iÒu kiÖn cÇn vµ ®ñ ®Ó ma trËn chÐo hãa trùc giao ®ưîc) §iÒu kiÖn cÇn vµ ®ñ ®Ó ma trËn vu«ng A cÊp n chÐo hãa trùc giao ®ưîc lµ A cã mét hÖ trùc chuÈn gåm n vÐct¬ riªng. 3.2. ChÐo hãa trùc giao ma trËn ®èi xøng §Þnh lý 1. §iÒu kiÖn cÇn vµ ®ñ ®Ó ma trËn vu«ng A cÊp n chÐo hãa trùc giao ®ưîc lµ A ®èi xøng. §3. CHÉO HÓA TRỰC GIAO §Þnh lý 2. Cho ma trËn vu«ng A ®èi xøng. Khi ®ã c¸c vÐct¬ riªng øng víi c¸c trÞ riªng kh¸c nhau sÏ trùc giao. 3.3. Quy tr×nh chÐo hãa trùc giao ma trËn ®èi xøng A B1. Gi¶i phư¬ng tr×nh ®Æc trưng ®Ó t×m c¸c trÞ riªng cña A. B2. T×m mét c¬ së cho mçi kh«ng gian riªng cña A. B3. Sö dông qu¸ tr×nh trùc giao hãa Gram-Schmidt vµo mçi c¬ së ®ã ®Ó ®ưîc mét c¬ së trùc chuÈn cho mçi kh«ng gian riªng. B4. LËp ma trËn P cã c¸c cét lµ c¸c vÐct¬ c¬ së trùc chuÈn x©y dùng ë B3. Ma trËn P nµy sÏ lµm chÐo hãa trùc giao ma trËn A vµ D = P-1AP lµ ma trËn chÐo víi c¸c phÇn tö trªn ®ưêng chÐo chÝnh lÇn lưît lµ c¸c trÞ riªng øng víi c¸c vÐct¬ riªng t¹o nªn P. A I 0− λ = VD. H·y chÐo hãa trùc giao ma trËn A vµ tÝnh An, víi 2 1 1 A 1 2 1 1 1 2  − −    = − −   − −  §5. DẠNG TOÀN PHƯƠNG 5.1. §Þnh nghÜa. Dạng toàn phương trong không gian véctơ n chiều V được ký hiệu là đa thức đẳng cấp bậc hai theo các biến xi. Nghĩa là VD. là dạng toµn phư¬ng trong ( )ω = + − + +2 2 21 2 3 1 2 3 1 2 2 3x , x , x x 2x x x x 3x x ( )1 nx , ..., xω ( ) ( ) n n 1 n ij i j ij ij ji i 1 j 1 x ,..., x a x x ; a , a a , i 1, n, j 1, n = = ω = ∈ = = =∑∑ ℝ ℝ 3 5.2. Ma trËn cña d¹ng toµn phư¬ng Ký hiệu: và là ma trận vuông thực cấp n với các phần tử aij ; Khi đó dạng toàn phương có thể được viết dưới dạng ma trận: ( )= ijA a ω ( )ω = Tx x Ax ( )= T 1 2 nx x x ... x Nhận xét. A là ma trận đối xứng thực. VD 1. Dạng toàn phương có ma trận là         =       −    1 1 0 2 1 3 A 2 2 2 3 0 1 2 ( )ω = + − + +2 2 21 2 3 1 2 3 1 2 2 3x , x , x x 2x x x x 3x x VD 2. Dạng toàn phương có ma trận là ( )ω = − + + − +2 2 21 2 3 1 2 3 1 2 1 3 2 3x , x , x 2x 2x x 2x x x x 4x x   −      = −     −   1 2 1 2 A 1 2 2 1 2 1 2 5.3. Dạng chính tắc của dạng toàn phương 5.3.1. Định nghĩa. Giả sử ω là một dạng toàn phương trên không gian véctơ n chiều V. Nếu trong một cơ sở nào đó của V, dạng toàn phương ω có dạng thì (*) được gọi là dạng chính tắc của ω. Ma trận của dạng chính tắc này trong cơ sở E là ma trận chéo { }iE e ; i 1, n= = 1 2 n 0 0 0 0 A 0 0  λ    λ  =      λ  ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ ( ) ( )2 21 n 1 1 n nx ,..., x x ... x ω = λ + + λ ∗ VD. ( )ω = + −2 2 21 2 3 1 2 3x , x , x 2x x 5x 5.3.2. Đưa dạng toàn phương về dạng chính tắc bằng phương pháp Lagrange. Giả sử là một cơ sở của V và dạng toàn phương ω trên V có dạng TH1. Tồn tại một hệ số a) Nếu ta nhóm các số hạng chứa x1 Trong đó: không chứa x1 { }iE e ; i 1, n= = ( ) ( ) n n 1 n ij i j i 1 j 1 x x , ..., x a x x = = ω = ω = ∑ ∑ iia 0≠ 11a 0≠ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 1 n 11 1 12 1 2 1n 1 n 2 n 2 11 1 12 2 1n n 2 n 11 x ,..., x a x 2a x x ... 2a x x ... x ,..., x 1 a x a x ... a x x ,..., x a ′ω = + + + + +ω ′′= + + + +ω ′′ω Đặt Ta có: trong đó: là dạng toàn phương của n – 1 biến y2, ..., yn. Lặp lại quá trình trên với dạng toàn phương . Sau một số hữu hạn bước ta thu được dạng chính tắc của VD. Đưa dạng toàn phương sau về dạng chính tắc bằng phép biến đổi Lagrange và tìm cơ sở ứng với dạng chính tắc đó 1) 2) 3) 1 11 1 12 2 1n n k k y a x a x ... a x y x ; k 2, n = + + + = = ( ) ( ) ( )21 n 1 n 1 1 2 n 11 1 x ,..., x y ,..., y y y ,..., y a ω = ω = +ω ( )1 2 ny ,..., yω 1ω ω ( ) 2 2 21 2 3 1 2 3 1 2 1 3x , x , x x 5x 4x 2x x 4x xω = + − + − ( ) 2 2 21 2 3 1 2 3 1 3 2 3x , x , x 5x 8x 7x 6x x 14x xω = + − + − ( ) 2 2 21 2 3 1 1 2 1 3 2 2 3 3x , x , x 3x 12x x 6x x 9x 6x x 5xω = − − + + + b) Nếu với i > 1 và ta làm tương tự như trên với chú ý xi đóng vai trò x1. Tức là ta đặt iia 0∃ ≠ Khi đó: Trong đó: là dạng toàn phương của n – 1 biến Lặp lại quá trình trên với dạng toàn phương . Sau một số hữu hạn bước ta thu được dạng chính tắc của . i i1 1 i2 2 in n k k y a x a x ... a x y x ; k i = + + + = ≠ ( ) ( ) ( )21 n 1 n i 2 1 i 1 i 1 n i1 1 x ,..., x y ,..., y y y ,..., y , y ,..., y a − +ω = ω = +ω 11a 0= 2ω 1 i 1 i 1 ny ,..., y , y ,..., y− + 2ω ω VD. Đưa dạng toàn phương sau về dạng chính tắc bằng phép biến đổi Lagrange ( ) 2 21 2 3 1 2 1 3 2 3x , x , x 2x x 4x x x 8xω = + − − TH2. Mọi hệ số và tồn tại một hệ số Ta đặt: Khi đó ta có: . Nghĩa là trong biểu thức của dạng toàn phương đã xuất hiện các số hạng bình phương với hệ số khác 0. Ta tiếp tục thực hiện như trong trường hợp 1. iia 0= ( )ija 0; i j≠ ≠ i i j j i j k k x y y x y y x y ; k i, j = + = − = ≠ ( )2 2ij i j ij i j2a x x 2a y y= − VD. Đưa dạng toàn phương sau về dạng chính tắc bằng phép biến đổi Lagrange ( )1 2 3 1 2 1 3 2 3x , x , x x x x x x xω = + + 5.3.3. Đưa dạng toàn phương về dạng chính tắc bằng phép biến đổi trực giao Trong không gian véctơ n chiều V, cho dạng toàn phương Vì A là ma trận đối xứng thực nên A chéo hóa được bởi ma trận trực giao P và dạng chéo hóa của A là: ( ) Tx x Axω = 1D P AP−= (do P trực giao nên ). Khi đó Đặt Ta được dạng chính tắc: ; với là các trị riêng của A Như vậy, dạng toàn phương luôn luôn có thể đưa về dạng chính tắc bằng cách chéo hóa trực giao ma trận A của dạng toàn phương. 1 TA PDP PDP−⇒ = = 1 TP P− = ( ) ( ) ( ) TT T T T x x PDP x P x D P xω = = ( )Ty P x x Py = ⇔ = ∗ ( ) ( ) 1 1 2 2T 1 2 n n n 2 2 2 1 1 2 2 n n 0 0 y 0 0 y y y Dy y y y 0 0 y y y ... y   λ        λ    ω = = =            λ   = λ +λ + +λ ⋯ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ ⋮ i ; i 1, nλ = ( ) Tx x Axω = ( ) Ty y Dyω = Phép đổi biến (*) có ma trận chuyển cơ sở là ma trận trực giao P nên phương pháp này gọi là phép biến đổi trực giao. Phương pháp này dựa vào quy trình chéo hóa trực giao ma trận đối xứng A nên cũng được gọi là phương pháp chéo hóa trực giao ma trận. B1. Viết ma trận A của dạng toàn phương trong cơ sở chính tắc. B2. Chéo hóa trực giao A bởi ma trận trực giao P và có được dạng chéo của A là ma trận D. B3. Kết luận: Dạng chính tắc cần tìm là ( ) ( ) 1 1 2 2T 1 2 n n n 2 2 2 1 1 2 2 n n 0 0 y 0 0 y y y Dy y y y 0 0 y y y ... y   λ        λ    ω = = =            λ   = λ +λ + +λ ⋯ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ ⋮ 1 2 n; , , ...,λ λ λ ; với D là ma trận của dạng toàn phương trong cơ sở trực chuẩn tạo nên từ các cột của ma trận trực giao P lần lượt là các phần tử trên đường chéo chính của D. Phép biến đổi cần tìm là: x = Py VD. Đưa dạng toàn phương sau về dạng chính tắc bằng phép biến đổi trực giao. Nêu rõ phép biến đổi. ω ( ) 2 2 21 2 3 1 2 3 1 2 1 3 2 3x , x , x 2x 2x 2x 2x x 2x x 2x xω = + + − − − 5.4. Luật quán tính Tồn tại nhiều phương pháp để đưa một dạng toàn phương về dạng chính tắc. Các dạng chính tắc này thường khác nhau nhưng các hệ số trong dạng chính tắc tuân theo một luật mà được gọi là Định luật quán tính. Định lý. (Định luật quán tính) Số các hệ số dương, hệ số âm và hệ số bằng 0 trong dạng chính tắc của một dạng toàn phương trên một không gian véctơ không phụ thuộc vào cơ sở của không gian véctơ đó (tức là không phụ thuộc vào cách đưa dạng toàn phương về dạng chính tắc). Định nghĩa. Số các hệ số dương, hệ số âm và hệ số bằng 0 trong dạng chính tắc của một dạng toàn phương được gọi là các chỉ số quán tính của . ω ω §6. DẠNG TOÀN PHƯƠNG XÁC ĐỊNH 6.1. Định nghĩa. Giả sử là một dạng toàn phương trên không gian véctơ V. Dạng toàn phương được gọi là xác định nếu 6.2. Định nghĩa. Giả sử là một dạng toàn phương xác định • Nếu > thì được gọi là xác định dương • Nếu < thì được gọi là xác định âm ω ω ( )x 0 xω = ⇔ = θ ω ( )x 0; xω ∀ ≠ θ ( )x 0; xω ∀ ≠ θ ω ω 6.3. Định lý. • Điều kiện cần và đủ để dạng toàn phương xác định dương là tất cả các hệ số trong dạng chính tắc của nó đều dương. • Điều kiện cần và đủ để dạng toàn phương xác định âm là tất cả các hệ số trong dạng chính tắc của nó đều âm. Hệ quả. • Dạng toàn phương xác định dương khi và chỉ khi ma trận của nó có tất cả các trị riêng dương. • Dạng toàn phương xác định âm khi và chỉ khi ma trận của nó có tất cả các trị riêng âm. ω ω ω ω 6.4. Định nghĩa. Cho ma trận . Các định thức: được gọi là các định thức con chính của A ij nA a  =    1 11 11 12 2 21 22 11 12 1n 21 22 2n n n1 n2 nn a a a a a .............. a a a a a a a a a ∆ = ∆ = ∆ = ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ 6.5. Định lý. (Tiêu chuẩn Sylvester) • Dạng toàn phương là xác định dương khi và chỉ khi tất cả các định thức con chính của ma trận đều dương. Tức là > • Dạng toàn phương xác định âm khi và chỉ khi A có các định thức con chính cấp chẵn dương, cấp lẻ âm. Tức là: > VD. Tìm m để dạng toàn phương sau xác định dương ( ) n 1 n ij i j i , j 1 x , ..., x a x x = ω = ∑ ij nA a  =    i 0; i 1, n∆ = ω ( ) i i1 0; i 1, n− ∆ = ( ) 2 2 21 2 3 1 2 1 3x 2x x 3x 2mx x 2x xω = + + + +