Giáo trình Cơ học thủy khí ứng dụng - Chương 6 Dòng chảy trong ống

Chương 6. DÒNG CHẢY TRONG ỐNG 1. Hai trạng thái chuyển ñộng 1.1 Hai trạng thái chuyển ñộng của chất lỏng thực trong ống a. Thí nghiệm Reynolds. Năm 1883, Reynolds bằng thực nghiệm ñã phát hiện ra sự tồn tại của hai trạng thái chảy khác biệt của chất lỏng và chứng minh rằng chúng có liên quan mật thiết với tổn thất năng lượng của nó. Hình 1. Thí nghiệm Reynolds Thí nghiệm của Reynolds gồm một bình nước lớn A, một bình màu B, một ống thủy tinh trong suốt (hình 1). ðiều chỉnh khóa ñể nước màu chảy thành một sợi chỉ ñỏ căng xuyên suốt ống thủy tinh, nghĩa là lớp chất lỏng chảy thành tầng riêng rẽ, ñó là trạng thái chảy tầng. Tăng vận tốc dòng chảy, ñầu tiên sợi chỉ ñỏ bị ñứt ñoạn – chảy quá ñộ, sau ñó chúng hòa trộn hỗn loạn vào nhau, ñó là chảy rối. Tiến hành thí nghiệm ngược lại, giảm vận tốc dòng chảy thì trạng thái chảy của chất lỏng biến ñổi ngược chiều lại: từ rối sang tầng. Qua thí nghiệm với nhiều ống có ñường kính khác nhau và với nhiều loại chất lỏng. Người ta nhận thấy, hai trạng thái chảy phụ thuộc vào vận tốc V, ñộ nhớt ν và ñường kính ống d. b. Hai trạng thái chuyển ñộng Chuyển ñộng của chất lỏng nhớt trong ống thường thực hiện ở 2 trạng thái: - Chảy tầng: các phần tử chất lỏng chuyển ñộng theo những tầng lớp, không xáo trộn vào nhau. Chuyển ñộng mang tính chất ổn ñịnh – ở thời ñiểm khảo sát, các ñại lượng ñặc trưng thay ñổi rất ít so với vị trí lân cận. Hay các phần tử chất lỏng chuyển ñộng trên các ñường dòng riêng biệt thành từng lớp song song với nhau. - Chảy rối: các phần tử chất lỏng chuyển ñộng vô trật tự, hỗn loạn. - Trạng thái chảy quá ñộ từ tầng sang rối hay từ rối sang tầng gọi là trạng thái chảy phân giới. 1.2 Tiêu chuẩn phân biệt hai trạng thái Dựa vào kết quả thí nghiệm, Reynold ñã dùng một ñại lượng không thứ nguyên ñể ñặc trưng cho hai dòng chảy, ñó là số Reynold: Re tb V d ν = trong ñó: - Vtb là vận tốc trung bình theo mặt cắt ướt của dòng. - ν hệ số nhớt ñộng học của chất lỏng. - d là ñường kính ống . • Nếu Re <2300 thì dòng chảy trong ống là chảy tầng. • Nếu Re >2300 thì dòng chảy trong ống là chảy rối. 2. Phương trình Becnuli cho toàn dòng biến ñổi dần trong ống Xét dòng chảy trong một ñoạn ống: ðối với dòng chảy biến ñổi dần nói chung, dòng chảy trong ống nói riêng, ta có phương trình Becnuli cho toàn dòng: 2 2 1 1 2 21 2 1 22 2 tb tb w V Vp p z z h g g α α γ γ   + + − + + =    trong ñó wh là ñộ tổn thất năng lượng trung bình theo mặt cắt ướt của một ñơn vị trọng lượng chất lỏng chuyển dịch từ mặt cắt ướt 1-1 ñến mặt cắt ướt 2-2. 1 2,α α là hệ số ñộng năng ñược xác ñịnh từ biều thức: 3 3 1 tb V d Vω α ω ω = ∫∫ với ω là mặt cắt ướt – trị số mắt cắt ướt. tbV là lưu tốc – vận tốc trung bình, ñược xác ñịnh bằng phương trình liên tục. 3. Dòng chảy tầng trong ống tròn Trong thực tế rất ít gặp dòng chảy tầng. Nó chỉ xuất hiện trong ống dẫn dầu của máy móc, trong nước ngầm dưới ñất 3.1 Sự phân bố vận tốc trong dòng chảy tầng Chọn hệ trục tọa ñộ như hình vẽ: trục x trùng trục ống, mặt phẳng Oxz’ song song với mặt cắt ướt trong ống. Vận tốc của dòng chảy: ( ), 0 0 u u y z V v w =  = =  =
Phương trình chuyển ñộng Navier – Stokes cho dòng chảy tầng trong ống: x z’ y 2 2 2 2 1 0 sin 1 0 1 0 cos p u u g x y z p y p g z α ν ρ ρ α ρ   ∂ ∂ ∂ = − + +  ∂ ∂ ∂   ∂ = − ∂  ∂ = − − ∂ Từ phương trình (2) và (3) của hệ trên ta có: - Trên cùng một mặt cắt ướt. Áp suất tuân theo quy luật áp suất thủy tĩnh - Với ñiều kiện biên: u=0 khi y2+z2=ro. Từ phương trình (1) của hệ, ta có sự phân bố vận tốc của dòng chảy tầng trong ống: ( )2 2 201 1sin4 p u g y z r x α ν ρ  ∂ = − − + − ∂  Vậy khi trọng lực thắng ñộ giảm áp theo phương của dòng chảy thì dòng chảy mới ñược duy trì. Vận tốc trên mặt cắt ướt của dòng chảy tầng trong ống có dạng Parabol. Giá trị vận tốc cực ñại tại trục ống: 2 0 max 1 sin 4 r p u g x α ν ρ  ∂ = − ∂  Lưu lượng của dòng chảy tầng: 4 0 1sin 8 r p Q g x π α ν ρ  ∂ = − − ∂  Vận tốc trung bình theo mặt cắt ướt: max 2tb u u = 3.2 Hệ số α trong dòng chảy tầng Thế ( )2 20 , 24 J u r r d rdrγ ω π µ   = − =    , ta ñược 2α = Thí nghiệm cho biết, trong dòng chảy rối, 1,05 1,10α = ÷ , thực tế lấy α =1. Từ ñây ta thấy rằng, trong dòng chảy tầng, sự phân bố lưu tốc trên mặt cắt không ñều so với dòng chảy rối. 4. Trạng thái chảy rối trong ống 4.1 Phân bố vận tốc trong dòng chảy rối ðối với dòng chảy rối trong ống, ứng suất tiếp phụ thuộc chủ yếu vào ñộ chuyển ñộng hỗn loạn của các phần tử chất lỏng, do ñó: Xác ñịnh ứng suất tiếp như sau: roi du dy τ ε= Theo giả thuyết của Prandtl. ε phụ thuộc vào chiều dài xáo trộn và gradient vận tốc, gọi là ứng suất rối và tính bằng: ε ρ= 2 du l dy , trong y là khoảng cách từ thành ñến lớp chất lỏng ñang xét, l là chiều dài xáo trộn. Do ñó: τ ρ   =     2 2 dul dy Nhận xét: Theo Prandtl: ứng suất nhớt rối không phụ thuộc và tính nhớt của chất lưu. Từ thí nghiệm, Nikudrase cho rằng chiều dài xáo trộn l trong ống:   = −    1/ 2 0 1 y l ky r , với k là hằng số Karman (k=0.4). ⇒ τ ρ τ ρ          = − ⇒ = −                  2 2 2 2 2 2 max 0 0 0 1 1 y du r y du k y k y r dy r r dy Nếu ñặt gốc tọa ñộ ở thành ống (hình vẽ trên), ta có: ( ) τ ρ τ τ ρ ρ τ ρ     − − =            ⇒ = ⇒ =    ⇒ = 2 2 20 0 max 0 0 2 2 22 2 max max 2 2 max 1 r y r y du k y r r dy du dy k y du dy k y dy du k y ðặt τ ρ = ⇒ = ⇒ = + * * max ln u dy u u du u y C k y k (u* : vận tốc ma sát) Tại tâm ống = = ⇒ = − * 0 max max 0, ln u r r u u C u r k ⇒ = − * 0 max ln ru u u k y Như vậy sự phân bố lưu tốc trong trường hợp dòng chảy rối có dạng ñường Logarit Nhận xét: Sự phân bố vận tốc trong trường hợp chảy rối tương ñối ñồng ñều, gần với vận tốc trung bình hơn so với trường hợp chảy tầng. Do cũng là lý do tại sao số hiệu chỉnh ñộng năng (α) hay hệ số hiệu chỉnh ñộng lượng (α0) có thể lấy bằng 1. 4.2 Lớp mỏng chảy tầng, thành nhám và thành trơn thủy lực Trạng thái chảy rối ñược ñặc trưng bởi sự xáo trộn các phần tử chất lỏng, số Re càng lớn thì sự xáo trộn càng tăng, nhưng sự xáo trộn ñó không ñều trên mặt cắt ngang của ống. Gần sát thành, chuyển ñộng ngang của các phần tử chất lỏng càng vấp phải những ranh giới nên gặp nhiều khó khăn, vì thế càng gần sát thành rắn dòng chảy càng có xu thế chảy thành tầng lớp không xáo trộn, do ñó hình thành dòng chảy tầng trong một lớp mỏng gọi là lớp mỏng chảy tầng. Khu vực chảy rổi gọi là lõi rối. Một vật liệu bất kỳ luôn luôn có bề mặt nhám nếu không ñược tinh chế cẩn thận. Gọi chiều cao trung bình các mấu nhám là ñộ nhám tuyệt ñối, ∆. Khi lớp mỏng chảy tầng che khín hoàn toàn những mấu ghồ ghề tδ > ∆ , dòng chảy rối không có tác dụng quay lại trực tiếp với mặt nhám của thành rắn, tổn thất cột nước không phụ thuộc vào ñộ nhám của thành. Trường hợp này gọi là thành trơn thủy lực. Chiều dày lớp mỏng chảy tầng tính theo công thức 0,875 34, 2 Ret d d δ = Trường hợp còn lại gọi là thành nhám thủy lực. Với thành nhám thủy lực sức cản sẽ lớn hơn thành trơn thủy lực. 5. Tổn thất cột nước trong dòng chảy Nhìn lại phương trình Bernulli cho toàn dòng chảy: 2 2 1 1 2 21 2 1 22 2 tb tb w V Vp p z z h g g α α γ γ   + + − + + =    trong ñó wh là tổn thất cột nước. Tổn thất cột nước ñược chia làm hai dạng: - Tổn thất dọc ñường: sinh ra trên toàn bộ chiều dài dòng chảy do sức cản ma sát giữa các phần tử chất lỏng, do tính nhớt và sự xáo trộn rối tạo nên, dh . Tính chất trơn nhám của thành nhám và mức ñộ rối của dòng chảy là hai yếu tố có ảnh hưởng lớn nhất ñến sức cản ñối với dòng chảy. Loại sức cản này gọi là sức cản bề mặt. - Tổn thất cục bộ: sinh ra tại những nơi cá biệt, ở ñó dòng chảy bị biến dạng ñột ngột (ống bị uốn cong, mở rộng hoặc co hẹp ñột ngột, có van, lưới chắn, vòi), ch . w d ch h h= +∑ ∑ (6.4.1) 5.1 Ảnh hưởng của trạng thái chảy ñối với quy luật tổn thất cột nước Trạng thái chảy rất quan trọng ñối với quy luật tổn thất cột nước. Khi tốc ñộ chảy càng tăng, sự xáo trọn của các phần tử chất lỏng càng mạnh, do ñó, chuyển ñộng của chất lỏng gặp nhiều trở lực hơn. Vì vậy, trong dòng chảy rối, tổn thất năng lượng lớn hơn trong dòng chảy tầng và càng tăng khi tốc ñộ càng lớn. 5.2 Tổn thất dọc ñường ðược xác ñịnh qua công thức Darcy: 2 2 tb d Vl h d g λ= (6.4.2) trong ñó λ là hệ số ma sát. ðối với mặt cắt ướt không phải là hình tròn, ta thay bán kính thủy lực cho ñường kính : d=4R, công thức Darcy trở thành : 2 4 2 tb d Vl h R g λ= (6.4.3) • ðối với dòng chảy tầng hệ số ma sátλ ñược xác ñịnh theo công thức Poadơ: 64 Re λ = (6.4.4) • ðối với dòng chảy rối: Re,λ ∆ =     f d Hệ số ma sát học ñường của Darcy phụ thuộc vào số Re và ñộ nhám tương ñối. Sau ñây là những công thức xác ñịnh hệ số ma sát λ . - Chảy rối trong thành trơn (δ > ∆t ) Công thức Boladiuyt (khi Re < 105): 0,25 0,3164 Retr λ = Công thức Canacop (khi Re > 105): ( )2 1 1,81.log Re 1,5 λ = − tr d - Khu vực thành nhám (δ < ∆t ) và 0,85 0,85 0 0r316 <Re<4160 r       ∆ ∆    Công thức Antosun 0,25 1,46. 100 0,1 Re λ ∆ = +   d - Khu vực bình phương sức cản ( 0,85 0rRe>4160    ∆  ) Công thức Prăng – Nicurát 2 0 1 2lg 1,74 r λ =  ∆ +    5.3 Tổn thất cục bộ - những ñặc ñiểm chung a. Trường hợp dòng chảy mở rộng ñột ngột Khi dòng chảy mở rộng ñột ngột hình thành khu xoáy làm mạch ñộng áp suất và vận tốc tăng lên ñột ngột do phân bố lưu tốc trung bình thời gian biến ñộng mạnh. Khi dòng chảy tách rời thành rắn, ta cũng có hiện tượng tương tự. b. Dòng chảy co hẹp ñột ngột Ở các vùng thu hẹp ñột ngột, các vùng xoáy nhỏ hơn, lưu tốc tăng lên nên có hiện tượng hạ thấp áp suất, có thể gây ra chân không. ðể tiện tính toán, người ta giả thiết rằng tổn thất cột nước cục bộ coi như xảy ra tập trung ở một mặt ñiển hình nhất, chọn trong ñoạn dài có những ñặc trưng của tổn thất cục bộ. c. Tính toán tổn thất cục bộ Tổn thất cục bộ tính theo công thức thực nghiệm của Weisbach: ξ= 2 2 tb c c V h g () ξc là hệ số tổn thất cục bộ, phụ thuộc vào từng dạng tổn thất Thông thường Vtb là vận tốc dòng chảy tại vị trí sau khi xảy ra tổn thất, trừ hai trường hợp sau ñây: - Mở rộng ñột ngột: có hai hệ số ứng với hai mặt cắt 1-1 và 2-2 như hình vẽ 2 1 1 2 1 ω ξ ω   = −    với V=V1. 22 1 1 1 ω ξ ω   = −    với V=V2. - Ở miệng ra của ống: ξ= 2 2 tb c c V h g với 1cξ = và Vtb là vận tốc của ñường ống ra (vận tốc tại mặt cắt trước khi xảy ra tổn thất) d. Một số dạng tổn thất cục bộ trong ống 1. Co hẹp ñột ngột 0.5 1ch ω ξ  = − Ω  2. Miệng vào ống - Sắc mép: 0.50ξ = - Mép tròn, thuận: 0.20ξ = - Mép vào rất thuận: 0.05ξ = 3. Miệng ra của ống (dùng lưu tốc trước chỗ mở rộng) 2 1ra ω ξ  = − Ω  Nếu Ω khá lớn thì, raξ = 1 4. Nơi ống tròn uốn cong a. Uốn ñột ngột thành góc α, khi d1=d2 (ñúng với d<50mm) b. Uốn ñột ngột thành góc 900. c. Uốn dần thành góc 900. Cửa van phẳng trong ống tròn d h f d ξ − =     ξ Van một chiều hút của bơm, kèm theo lưới ngăn rác Có thể dùng trị số ξ tùy thuộc và ñường kính d của ống hút như sau: Nếu không có van một chiều mà chỉ có lưới rác: 5 6ξ = ÷ Khóa nước. Hệ số ξ phụ thuộc vào góc mở α cho bởi bảng sau 6. Tính toán ống ñơn giản ðường ống gọi là ñơn giản nếu ống ñược cấu tạo bằng các ống nối tiếp nhau, không có chỗ rẽ nhánh hoặc vòng kín. Ngược lại gọi là ống phức tạp. • Ống ngắn: 5%c wh h> • Ống dài: 5%c wh h< a. Ống ngắn ñơn giản w d ch h h= +∑ ∑ b. Ống dài ñơn giản Tổn thất cục bộ 5%c wh h< , nên trong tính toán ống, ta tính: ( ) 2 5 10% 2w d d l V h h h d g λ= = + ÷ Trong trường hợp dòng chảy trong ống là dòng chảy rối ở khu vực bình phương sức cản – Khu vực hoàn toán nhám (Re>4.106 ): hệ thống dẫn nước, dẫn nhiên liệu lỏng Ta thường dùng công thức Chezy ñể tính dh . Bảng trị số hệ số lưu lượng các ống thường dùng d(mm) 50 75 100 125 150 200 250 300 2 1 k 14472 1629.7 347.95 105.43 39.85 8.61 2.63 1.00 c. ðường ống mắc nối tiếp Theo 3. Ống mắc song song Nhiều ống ñơn giản có ñường kính khác nhau và nối với nhau, có chung một nút vào và một nút ra gọi là ñường ống nối song song. Như ở hình dưới, tại hai ñiểm A, B của một ñường ống chung ta bắt vào ba ống nhánh 1, 2, 3; ở mỗi ống lưu lượng có thể khác nhau nhưng ñộ chênh cột nước H từ A ñến B ñều giống nhau cho các ống; HAB = HA – HB. Chú ý rằng trong hệ thống ñường ống nối song song thì tổn thất cột nước của cả hệ thống những ñường ống nối song song bằng tổn thất cột nước của bất kỳ một ống ñơn giản nào của hệ thống ấy. Vì mỗi ống là một ống ñơn giản nên có thể dùng công thức cơ bản về ống ñơn giản, ta viết ñược n phương trình sau ñây: 2 1 1 2 1 2 2 2 2 2 2 2 ................ n n n l H Q K l H Q K l H Q K =    =     =   Lại thêm tổng số lưu lượng qua các ống bằng lưu lượng ở ống chính: 1 2 nQ Q Q Q= + + +⋯ Như vậy ta có cả thảy (n+1) phương trình, có thể giải (n+1) ẩn số. Thường thường (n+1) ẩn số ấy là lưu lượng Qi của mỗi ống rẽ và cột nước H. Ví dụ (Bỏ qua tổn thất cục bộ) d. Tính toán ống dài phức tạp Ống mắc rẽ nhánh Cần ñưa chất lỏng từ ñiểm A ñến các ñiểm 1, 2, , n với các ống: ống chính AO với chiều dài Al , hệ số lưu lượng Ak , các ống rẽ nhánh tại O ñến các ñiểm i, i=1, 2, , n có chiều dài il , hệ số lưu lượng ik . Gọi ,i ip z và iQ lần lượt là áp suất, ñộ cao vị trí và lưu lượng các ống rẽ nhánh thứ i. Áp dụng phương trình Bernulli cho từng ống chính và ống rẽ nhánh Ta có: V C RJ= trong ñó: • C hệ số Chezy • R là bán kính thủy lực • J ñộ dốc thủy lực ðặt 2 2 2k C RS= - hệ số lưu lượng, với S – diện tích mặt cắt ướt. Ta có, công thức Chezy: 2 2d l h Q k = Do ñó, tổn thất năng lượng trong ống dài ñơn giản: 2 2 i w d i i l h h Q k = =∑ ∑