Giải tích hàm nhiều biến - Chương 6: Tích phân mặt

Trường Đại học Bách khoa tp. Hồ Chí Minh Bộ môn Toán Ứng dụng ------------------------------------------------------------------------------------- Giải tích hàm nhiều biến Chương 6: Tích phân mặt • Giảng viên Ts. Đặng Văn Vinh (4/2008) dangvvinh@hcmut.edu.vn z x y O z=z(x,y) S Töông töï ta coù theå chieáu xuoáng caùc maët phaúng coøn laïi Chuù yù : Neáu hình chieáu cuûa S xuoáng maët phaúng Oxy chæ laø moät ñöôøng cong (tröôøng hôïp naøy xaûy ra khi S laø moät maët truï song song vôùi truïc Oz ) thì phaûi chieáu S xuoáng caùc maët phaúng toïa ñoä khaùc , khoâng ñöôïc chieáu xuoáng Oxy Z=0 Z=3 2                22 1 y z x z dxdy y z x z 22 1                222 yxRz  Dxy 0z x y z                22 1 y z x z A B C O x+y+z=1 Dxy S z=1-x-y Dxy A B O I1 I2 I3 I2 I3 I4 A B C O S1 S4 S3 S2 z=0 z=1 2 I. Định nghĩa, cách tính tích phân mặt loại hai ------------------------------------------------------------------------------------------------------ Định nghĩa mặt hai phía Cho mặt cong S có biên là đường cong kín C. Di chuyển pháp vécto của S từ một điểm A nào đó theo một đường cong tùy ý không cắt biên C. Nếu khi quay lại vị trí xuất phát, pháp vécto không đổi chiều thì mặt cong S được gọi là mặt hai phía Trong trường hợp ngược lại, pháp vectơ đổi chiều thì mặt cong S được gọi là mặt một phía Các ví dụ Mặt tờ giấy, mặt quả cầu, mặt bàn, mặt nón,... là những ví dụ về mặt hai phía I. Định nghĩa, cách tính tích phân mặt loại hai ------------------------------------------------------------------------------------------------------ Định nghĩa mặt định hướng S là mặt cong hai phía. Nếu trên mặt S ta qui ước một phía là dương, phía còn lại là âm thì mặt S được gọi là mặt định hướng. Chú ý. Pháp véctơ của mặt định hướng luôn được chọn theo qui tắc sau: Khi đứng lên phía dương của mặt định hướng thì pháp véctơ đi từ chân lên đầu. Ví dụ Tìm pháp véctơ của mặt nón tại biết mặt nón được định hướng phía dưới nhìn theo hướng của trục 0z. Phương trình mặt nón: 2 2z x y   1,1, 2A 2 2( , , ) 0F x y z z x y    Pháp véctơ  ' ' ' 2 2 2 2 , , , ,1x y z x y n F F F x y x y            S định hướng phía dưới nên: 2 2 2 2 , , 1 x y n x y x y           Pháp véctơ tại điểm A: 1 1 , , 1 2 2 n         Ví dụ Tìm pháp véctơ của tại biết mặt cầu được định hướng phía ngoài. Phương trình : 2 2 2 4x y z    1,0, 3A 2 2 2( , , ) 4 0F x y z x y z     Pháp véctơ    ' ' ', , 2 , 2 , 2x y zn F F F x y z      S định hướng phía ngoài nên:  2 ,2 ,2n x y z  Pháp véctơ tại điểm A:  2,0,2 3n   Phía ngoaøi Phía trong I. Định nghĩa, cách tính tích phân mặt loại hai ------------------------------------------------------------------------------------------------------ Định nghĩa tích phân mặt loại hai P(x,y,z), Q(x,y,z), R(x,y,z) xác định trên mặt định hướng S. Pháp vécto đơn vị của mặt S là: Tích phân mặt loại một (cos ,cos ,cos )n      cos cos cos S I P Q R ds     được gọi là tích phân mặt loại hai của P, Q, R trên mặt định hướng S, ký hiệu: S I Pdydz Qdxdz Rdxdy   I. Định nghĩa, cách tính tích phân mặt loại hai ------------------------------------------------------------------------------------------------------ Cách tính Vì tích phân mặt loại hai là tích phân mặt loại một nên ta có thể sử dụng cách tính tích phân mặt loại một. Pháp véctơ đơn vị phức tạp, ta có cách tính sau: S I Pdydz Qdxdz Rdxdy   S S S Pdydz Qdxdz Rdxdy     1 2 3I I I I   Dấu cộng nếu pháp véctơ tạo với chiều dương 0z một góc nhọn, ngược lại dấu trừ. Chuù yù : Neáu hình chieáu cuûa S xuoáng moät maët phaúng toïa ñoä naøo ñoù (ví duï maët phaúng Oxy) chæ laø moät ñöôøng cong (tröôøng hôïp naøy xaûy ra khi S laø moät maët truï song song vôùi truïc Oz ) thì tích phaân töông öùng vôùi caùc bieán vi phaân cuûa maët phaúng ñoù baèng khoâng Ví dụ Tính trong đó S là phần mặt phẳng nằm trong hình trụ x2 + y2 = 2x, phía dưới theo hướng trục 0z. (2 ) (2 ) (2 ) S I x y dydz y z dxdz z x dxdy      3x y z   Pháp véctơ đơn vị: 0 1 1 1 , , 3 3 3 n           1 1 1 (2 ) (2 ) (2 ) 3 3 3S I dsx y y z z x                 3 3 S I x y dz s         2 2 2 2' ' 2 3 ( 3 ) 1 x y x y x x y x y z z dxdy           9 hình troønS   9  Ví dụ Tính trong đó S là phần mặt z = x2 + y2, bị cắt bởi mặt phẳng x + z = 2, phía dưới theo hướng trục 0z. ( ) S I x z dxdy  Pháp véctơ tạo với 0z một góc luôn tù. Phương trình: z = x2 + y2 Hình chiếu của S xuống 0xy: 2 2 2x y x   2 2( 1/ 2) 9 / 4x y   ( ) S I x z dxdy  2 2( 1/ 2) 9 / 4 ( (2 )) x y x x dxdy       Dấu – vì góc tù  2 2( 1/ 2) 9 / 4 2 x y I dxdy       9 2 2 4 hình troønS       tích phaân maët loaïi 2 tích phaân boäi 3 z x y 1 z=4-y2 tích phaân ñöôøng loaïi 2 tích phaân maët loaïi 2 Ví dụ Tính trong đó C là giao của mặt phẳng và mặt paraboloid z = x2 + y2 ngược chiều kim đồng hồ theo hướng của trục 0z. 2 2 2(3 ) (3 ) (3 ) C I x y dx y z dy z x dz      2 2x z  Chọn S là phần mặt 2x + z = 2 nằm trong paraboloid. Chọn phía trên của mặt S. 0 2 1 ,0, 5 5 n         Pháp véctơ đơn vị của S Chuyển về tích phân mặt loại hai 2 2 2(3 ) (3 ) (3 ) C I x y dx y z dy z x dz      S R Q P R Q P dydz dxdz dxdy y z z x x y                               2 2 2 S zdydz xdxdz ydxdy   Chuyển về tích phân mặt loại một 2 1 2 2 0 2 5 5S I z x y ds               ' 2 ' 2 2 2 (2 2 ) 1 ( ) ( ) 5 x y D I x y z z dxdy      Ví dụ Tính trong đó S là giao của mặt phẳng và mặt paraboloid x2 + y2 = 1 ngược kim đồng hồ theo hướng của trục 0z. ( ) (2 ) C I x y dx x z dy ydz     2z y Chọn S là phần mặt z = y2 nằm trong hình trụ. Chọn phía trên Pháp véctơ đơn vị 0 2 2 2 1 0, , 4 1 4 1 y n y y          Chuyển về tích phân mặt loại hai ( ) (2 ) C I x y dx x z dy ydz     S R Q P R Q P dydz dxdz dxdy y z z x x y                               2 0 1 S dydz dxdz dxdy   Vì hình chiếu S xuống 0yz có diện tích bằng 0, nên 2 0 1 S S dydz I dxdy    2 2 1 1 x y I dxdy      S là biên của vật thể nên S kín.  ' ' 'x x x S V I xzdydz yzdxdz xdxdy P Q R dxdydz       (1 2 ) V I z dxdydz  Sử dụng tọa độ cầu   / 2 2 8 2 0 0 0 1 2 cos sinI d d d               Thêm mặt S1 là phần mặt phẳng trong paraboloid Chọn phía dưới của mặt S1 theo hướng trục oz. Nội dung ôn thi học kỳ năm 2007-2008 1. Đạo hàm riêng và ứng dụng: Cách tìm ĐHR cấp 1, cấp 2 của hàm f = f(x,y), hàm hợp, hàm ẩn, đạo hàm theo hướng, véctơ Gradient. 2. Ứng dụng của ĐHR: Taylor, cực trị tự do, cực trị có điều kiện, giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất, mặt phẳng tiếp diện, pháp véctơ 3. Tích phân kép: cách tính, tọa độ cực, tọa độ cực mở rộng. Ứng dụng hình học: diện tích, thể tích, diện tích mặt cong. 4. Tích phân bội ba: cách tính, tọa độ trụ, tọa độ cầu. Ứng dụng hình học: thể tích. 5. Tích phân đường loại một: cách tính, tích phân đường loại một trong không gian: chú ý cách tham số hóa đường cong trong không gian. 6. Tích phân đường loại hai: cách tính, công thức Green, tích phân không phụ thuộc đường đi. Chú ý: điều kiện của định lý Green, điều kiện tích phân không phụ thuộc đường đi. 7. Tích phân mặt loại một: cách tính, ứng dụng tính diện tích mặt cong S. 8. Tích phân mặt loại hai: cách tìm pháp véctơ mặt định hướng. Cách tính: 1/ chuyển về mặt loại một (nếu pháp véctơ đơn giản: mặt phẳng); 2/ dùng công thức Gauss – Ostrogradski): mặt kín Công thức Stokes: điều kiện sử dụng, dùng tính tích phân đường loại hai trong không gian khi mà pt tham số khó viết.