Giải tích 1 - Chương 7: Máy turing (turing machine)

Máy Turing (Turing Machine) Nội dung: • Mô hình TM • TM nhận dạng ngôn ngữ • TM tính toán hàm số nguyên • Các kỹ thuật xây dựng TM Chương 7: 1 Mô hình TM Định nghĩa: TM là một hệ thống gồm 7 thành phần M (Q, Σ, Γ, δ, q0, B, F) ● Q : tập hữu hạn các trạng thái ● Σ : bộ ký hiệu nhập ● Γ : tập hữu hạn các ký hiệu được viết trên băng ● δ : hàm chuyển Q x Γ → Q x Γ x {L, R, Ø} ● q0 : trạng thái khởi đầu ● B : ký hiệu dùng để chỉ khoảng trống trên băng ● F  Q : tập các trạng thái kết thúc Hình thái: α1qα2 với q là trạng thái hiện hành của TM, α1α2 là nội dung của băng tính từ đầu băng cho đến ký hiệu khác Blank bên phải nhất 2 3 Phép chuyển Định nghĩa: Đặt X1X2...Xi-1qXi...Xn là một hình thái (ID) Giả sử : δ(q, Xi) = (p, Y, L) • Nếu i - 1 = n thì Xi là B • Nếu i = 1 thì không có ID kế tiếp (đầu đọc không được phép vượt qua cận trái của băng. • Nếu i > 1 ta viết: X1X2...Xi-1qXi...Xn ⊢ X1X2...Xi-2pXi-1YXi+1...Xn Tương tự : δ(q, Xi) = (p, Y, R) X1X2...Xi-1qXi...Xn ⊢ X1X2...Xi-2Xi-1YpXi+1...Xn Và với : δ(q, Xi) = (p, Y, Ø) X1X2...Xi-1qXi...Xn ⊢ X1X2...Xi-2Xi-1pYXi+1...Xn 4 TM nhận dạng ngôn ngữ Định nghĩa: ngôn ngữ được chấp nhận bởi TM M là L(M) = {w | w Γ* và q0w ⊢ α1pα2 với p F} Xét chuỗi 0011 ta có: q 0 0011 ⊢ Xq 1 011 ⊢ X0q 1 11 ⊢ X q 2 0Y1 ⊢ q 2 X0Y1 ⊢ X q 0 0Y1 ⊢ XXq 1 Y1 ⊢ XXY q 1 1 ⊢ XX q 2 YY ⊢ X q 2 XYY ⊢ XX q 0 YY ⊢ XXYq 3 Y ⊢ XXYYq 3 ⊢ XXYYq 4 Ví dụ: thiết kế TM chấp nhận L = {0n1n | n > 0} Đặt TM M(Q, Σ, Γ, δ, q0, B, F) với Q = {q0, q1, q2, q3, q4}, Γ = {0, 1, X, Y, B}, F = {q4} 5 TM nhận dạng ngôn ngữ q 0 q 3 q 1 q 2 start (0,X,R) (Y,Y,R) (0,0,R) (Y,Y,R) (1,Y,L) (X,X,R) (0,0,L) (Y,Y,L) (Y,Y,R) q 4 (B,B,Ø) 6 TM như là máy tính hàm số nguyên Ví dụ: thiết kế TM tính toán phép trừ riêng • Nếu m < n thì m \ n = 0 • Ngược lại thì m \ n = m – n • Input: 0m10nB Output: 0m\nB Đặt TM M(Q, Σ, Γ, δ, q0, B, F) với • Q = {q0, q1, q2, q3, q4, q5, q6}, Γ = {0, 1, B}, F = {q6} Quy ước: một số nguyên trong TM được viết dưới dạng nhất phân là một chuỗi số 0, cách nhau bởi 1 số 1. 000001001000B = 5, 2, 3 7 TM như là máy tính hàm số nguyên Xét chuỗi nhập 0100 (1-2) ta có: q 0 0100 ⊢ Bq 1 100 ⊢ B1q 2 00 ⊢ Bq 3 110 ⊢ q 3 B110 ⊢ Bq 0 110 ⊢ BBq 5 10 ⊢ BBBq 5 0 ⊢ BBBBq 5 ⊢ BBBBq6 Xét chuỗi nhập 0010 (2-1)ta có: q 0 0010 ⊢ B q 1 010 ⊢ B0q 1 10 ⊢ B01q 2 0 ⊢ B0q 3 11 ⊢ Bq 3 011 ⊢ q 3 B011 ⊢ Bq 0 011 ⊢ BBq 1 11 ⊢ BB1q 2 1 ⊢ BB11q 2 ⊢ BB1q 4 1 ⊢ BBq 4 1 ⊢ Bq 4 ⊢ Bq60 q 0 start q 1 q 2 q 4 q 3 q 5 q 6 (0,B,R) (1,B,R) (0,0,R) (1,1,R) (1,1,R) (0,1,L) (0,0,L) (1,1,L) (B,B,L) (B,B,R) (1,B,L) (0,0,L) (B,0,Ø) (0,B,R) (1,B,R) (B,B,Ø) 8 Kỹ thuật lưu trữ trong bộ điều khiển Ví dụ: thiết kế TM kiểm tra ký tự đầu tiên của một chuỗi không xuất hiện ở bất kỳ vị trí nào khác trong chuỗi. Xây dựng: TM M(Q, {0, 1}, {0, 1, B}, δ, [q0, B], B, F) trong đó các trạng thái thuộc Q là một cặp {q0, q1} x {0, 1, B} F = {[q1, B]} Phép chuyển: δ([q0, B], 0) = ([q1, 0], 0, R) δ([q1, 0], 0) = ([q1, 0], 0, R) δ([q1, 0], B) = ([q1, B], B, Ø) δ([q0, B], 1) = ([q1, 1], 1, R) δ([q1, 1], 1) = ([q1, 1], 1, R) δ([q1, 1], B) = ([q1, B], B, Ø) 9 Kỹ thuật dịch qua (Shifting over) Ví dụ: thiết kế máy Turing để dịch một chuỗi các ký hiệu khác B sang phải 2 ô Xây dựng: TM M(Q, Σ, Γ, δ, q0, B, F) trong đó Q chứa các phần tử dạng [q, A1, A2] với q = q1 hoặc q2; A1 và A2 thuộc Γ. Trạng thái bắt đầu là [q1, B, B] Phép chuyển: δ([q1, B, B], A1) = ([q1, B, A1], X, R) (X là ký hiệu đặc biệt nào đó) δ([q1, B, A1], A2) = ([q1, A1, A2], X, R) δ([q1, A1, A2], A3) = ([q1, A2, A3], A1, R) ... δ([q1, Ai-2, Ai-1], Ai) = ([q1, Ai-1, Ai], Ai-2, R) ... δ([q1, An-1, An], B) = ([q2, An, B], An-1, R) δ([q2, An, B], B) = ([q2, B, B], An, L) 10 Kỹ thuật chương trình con Ví dụ: thiết kế TM thực hiện phép nhân 2 số nguyên dương m và n • Input: 0m10nB • Output: 0m*nB • Ý tưởng: đặt số 1 sau 0m10n (0m10n1), sau đó chép n số 0 sang phải m lần, mỗi lần xóa đi 1 số 0 bên trái của m • Sau khi m đã được xóa, phép nhân đã được thực hiện xong, xóa tiếp 10n1. Kếu quả còn lại sẽ là B0m*nB Phân tích: • Xóa 1 số 0 bên trái của m, dịch đầu đọc sang số n để chuẩn bị cho việc copy n số 0: q00 m10n1 ⊢ B0m-11q10 n1 • Copy n số 0 sang phải: B0m-11q10 n1 ⊢ B0m-11q50 n10n • Quay lại trạng thái bắt đầu: B0m-11q50 n10n ⊢ Bq00 m-110n10n • Chuẩn bị cho việc copy kế tiếp: B0m-11q50 n10n ⊢ B20m-21q10 n10n • Copy n số 0 sang phải ... 11 Kỹ thuật chương trình con Thủ tục copy n số 0: Biến đổi hình thái q00 m10n1 ⊢ B0m-11q10 n1: (q 0 , 0) = (q 6 , B, R) (q 6 , 0) = (q 6 , 0, R) (q 6 , 1) = (q 1 , 1, R) Biến đổi hình thái Bi0m-i1q50 n10n*i ⊢ Bi+10m-i-11q10 n10n*i: 12 Kỹ thuật chương trình con q 0 start q 6 (0,B,R) (0,0,R) q 1 (1,1,R) q 2 q 3 (0,2,R) (0,0,R) (1,1,R) (B,0,L) (0,0,L) (1,1,L) (2,2,R) q 4 q 5 (1,1,L) (2,0,L) (1,1,R) q 7 q 8 q 9 (0,0,L) (1,1,L) (0,0,L) (0,0,L) q10 (B,B,R) (B,B,R) q11 q12 (1,B,R) (1,B,Ø) (0,B,R)