Dao động của hệ có vô số bậc tự do

Chương 3. Dao động của hệ có vô số bậc tự do 3-1 Chương 3 DAO ĐỘNG CỦA HỆ CÓ VÔ SỐ BẬC TỰ DO (Trong chương này không giảng trực tiếp mà chỉ hướng dẫn trên tài liệu, chỉ ra các phần tính toán đã được lập thành bảng sẵn, đồng thời biết sử dụng 1 số công thức trong chương để làm bài tập lớn) 3.1 Phương trình vi phân tổng quát của dao động ngang của thanh thẳng Ta xét thanh thẳng có khối lượng phân bố, đây là hệ có vô số bậc tự do. Dao động ngang của hệ tại một thời điểm bất kỳ được biểu diễn bằng đường đàn hồi của hệ đó. Phương trình đường đàn hồi này là hàm số của hai biến số: toạ độ z và thời gian t : y = f(z, t) Theo sức bền vật liệu, ta đã biết độ võng và nội lực trong dầm có sự liên hệ vi phân như sau: ),(2 2 tzM z yEJ −=∂ ∂ Ngoài ra giữa nội lực và tải trọng cũng có sự liên hệ như sau: ),(),(2 2 tzp z tzM =∂ ∂ Trong đó p(z, t) là cường độ của tải trọng phân bố; đại lượng này mang dấu dương khi chiều của tải trọng hướng lên. Kết hợp hai biểu thức trên, ta có: ),(2 2 2 2 2 2 tzp z M z yEJ z −=∂ ∂−=⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ ∂ ∂ ∂ ∂ (3-1) Khi dầm dao động, tải trọng tác dụng trên dầm gồm có các lực kích thích, lực quán tính và lực cản (hình 3-1); lực kích thích phân bố có cường độ q(z, t) với chiều hướng lên trên là chiều dương; lực quán tính phân bố hướng theo chiều của chuyển vị , nếu xét tại thời điểm dầm có chuyển vị dương thì lực này có cường độ: 2 2 ),()( t tzyzm ∂ ∂− z y q(z,t) -m(z) r(z,t) δy2 2δt Hình 3-1. Các lực tác dụng Chương 3. Dao động của hệ có vô số bậc tự do 3-2 Lực cản có chiều ngược với chiều của chuyển động và có cường độ r(z, t). Vậy ta có : ),()(),(),( 2 2 tzr t yzmtzqtzp +⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ ∂ ∂−−= , hay )t,z(r t y )z(m)t,z(q)t,z(p 2 2 +∂ ∂+= . (3-2) Thay (3-2) vào (3-1) ta có: ),()(),( 2 2 2 2 2 2 tzr t yzmtzq z yEJ z −∂ ∂−−=⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ ∂ ∂ ∂ ∂ Như vậy phương trình vi phân tổng quát của dao động ngang của dầm có dạng: ),(),()( 2 2 2 2 2 2 tzqtzr t yzm z yEJ z −=+∂ ∂+⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ ∂ ∂ ∂ ∂ (3-3) Đó chính là phương trình vi phân của dao động cưỡng bức. Phương trình vi phân của dao động riêng: 0),()( 2 2 2 2 2 2 =+∂ ∂+⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ ∂ ∂ ∂ ∂ tzr t yzm z yEJ z (3-4) Nếu dầm có độ cứng EJ không đổi thì các phương trình vi phân (3-3) và (3-4) có dạng: EJ )t,z(q )t,z(r t y EJ )z(m z y 2 2 4 4 −=+∂ ∂+∂ ∂ (3-5) 0)t,z(r t y EJ )z(m z y 2 2 4 4 =+∂ ∂+∂ ∂ (3-6) Khi dầm có khối lượng phân bố đều, trong các phương trình trên ta có m(z) = m. 3.2 Dao động cưỡng bức của thanh thẳng không kể lực cản, chịu lực bất kỳ q(z,t) Theo (3-3), phương trình vi phân của dao động cưỡng bức khi không kể lực cản có dạng : ),()()( 2 2 2 2 2 2 tzq t yzm z yzEJ z −=∂ ∂+⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ ∂ ∂ ∂ ∂ (3-7) Giả thử nghiệm tổng quát của (3-7) có dạng : ∑∞ = = 1 )()(),( i ii tFzytzy , (3-8) ứng dụng cách phân tích tải trọng ta có: Chương 3. Dao động của hệ có vô số bậc tự do 3-3 ∑∞ = = 1 )()()(),( i ii tqzyzmtzq (3-9) Thay(3-8), (3-9) vào (3-7) và chỉ xét số hạng thứ i của các tổng trong phương trình này, ta có: [ ] )()()()()()()()()( ,,22 tqzyzmtFzyzmtFzyzEJz iiiii −=+∂∂ && Chia hai vế của phương trình trên cho tích [m(z) yi(z)Fi(t)], sau khi biến đổi, ta được: [ ] )( )( )( )( )()( )()( " tF tq tF tF zyzm zyzEJ i i i i i i += ″ && (3-10) Sau khi cho cả hai vế bằng đại lượng không đổi 2iω− , ta có : )()(2 tqtFF iiii −=+ω&& (3-11) Phương trình này có dạng tương tự phương trình vi phân của hệ có một bậc tự do, nghiệm của phương trình : ∫ −−++= t ii i iiiii duutuqtBtAtF 0 )(sin)(1cossin)( ωωωω hay: ∫ −−++= ∗ t ii i iiii duutuqtAtF 0 )(sin)(1)sin()( ωωλω (3-12) thay (3-12) vào (3-8), ta có nghiệm tổng quát của phương trình vi phân (3-7): ( ) )(.)(sin)(1sin),( 1 0 zyduutuqtAtzy i i t ii i iii∑ ∫∞ = ∗ ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ −−++= ωωλω (3-13) 3.3 Dao động riêng của thanh có khối lượng phân bố đều và tiết diện không đổi Ta xét trường hợp m=const; EJ=const và không kể lực cản [r(z,t)=0]. Theo (3-6) phương trình vi phân của dao động riêng cho trường hợp này có dạng: 02 2 4 4 =∂ ∂+∂ ∂ t y EJ m z y (3-14) Nghiệm của phương trình (3-14) có dạng: ∑ ∑∞ = ∞ = == 1 1 )()(),(),( i i iii tFzytzytzy (3-15) trong đó : ( )iiiiiiii tAtBtAtF λωωω +=+= ∗ sincossin)( Các dạng chính yi(z) được xác định theo phương trình : 0)()( 4 =− zykzy iiIVi (3-16) Chương 3. Dao động của hệ có vô số bậc tự do 3-4 với: EJ m k 2 i4 i ω= (3-17) Nghiệm của phương trình (3-16) có dạng: zkcosdzksincbeae)z(y ii z.ki i z.ki i +++= − Hay cũng có thể viết : zkDzkCzBshkzAchkzy iiii cossin)( +++= (3-18) Phương trình này biểu diễn dạng chính của dao động riêng ứng với tần số dao động iω Để tiện cho việc tính toán sau này ,ta đặt: ( )312 1 CCA += ; ( )422 1 CCB += ( )312 1 CCC −= ; ( )422 1 CCD −= Do đó, phương trình (3-18) có dạng mới : zkzkzkzk iiii DCCCBCACzy 4321)( +++= (3-19) Trong đó : Để cho việc tính toán được dễ dàng, trong phần phụ lục đã thiết lập sẵn bảng giá trị của các hàm Akiz ,Bkiz ,Ckiz ,Dkiz theo các biến số kiz (bảng4). Các hàm số trên có những tính chất sau: a) zkizk ii DkA =, zkizk ii BkC =, zkizk ii AkB =, zkizk ii CkD =, b) A(0)=1 ; B(0)=0 ; C(0)=0; D(0)=0 Muốn xác định C1, C2, C3, C4 trong phương trình (3-19) ta phải dùng các điều kiện biên sau: Tại z=0 ; y(z) = y0 ; ,0, )( yzy = ; EJ)( 0,, Mzy −= ; EJ )( 0,,, Q zy −= . Từ phương trình (3-19) ta suy ra: ( ) ( ) ( )⎪⎪ ⎪ ⎭ ⎪⎪ ⎪ ⎬ ⎫ +++=−= +++=−= +++= zk4zk3zk2zk1 3 i ,,, zk4zk3zk2zk1 2 i ,, zk4zk3zk2zk1i , iiii iiii iiii ACDCCCBCk EJ Q )z(y BCACDCCCk EJ M )z(y CCBCACDCk)z(y (3-20) ( );cos 2 1 zkzchkA iizki += ( );sin2 1 zkzshkB iizki += ( );cos 2 1 zkzchkC iizki −= ( ).sin2 1 zkzshkD iizki −= Chương 3. Dao động của hệ có vô số bậc tự do 3-5 Từ các điều kiện biên ta xác định được : 01 yC = ; ,02 1 ykC i = EJ M k C i 0 23 1−= ; EJ Q k C i 0 34 1−= . Thay những kết quả này vào các phương trình trên , ta có : ⎪⎪⎭ ⎪⎪⎬ ⎫ −−+= −−+= zk i zk i zkzki zk i zk i zk i zk iiii iiii C EJk Q B EJk M AyDkyzy D EJk Q C EJk M B k y Ayzy 2 00, 00 , 3 0 2 0 , 0 0 )( )( ⎪⎭ ⎪⎬ ⎫ ++−−= ++−−= zkzkizkizki zk i zkzkizki iiii iiii AQDkMCkEJyBkEJyzQ B k QAMDkEJyCkEJyzM 00 2, 0 3 0 00 , 0 2 0 )( 1)( (3-21) Các phương trình (3-21) cho phép ta xác định được các đại lượng cần nghiên cứu trong dao động riêng của dầm. Từ điều kiện tồn tại dao động riêng tức là tồn tại các thông số chưa biết ta sẽ lập được phương trình xác địmh thông số ki sau đó thay vào công thức (3-17) ta sẽ tính được tần số dao động riêng. .2 M EJkii =ω (3-22) Vì phương trình để xác định kj là phương trình siêu việt nên ta sẽ giải được vô số nghiệm kj, nghĩa là có vô số tần số iω (i=1,2,3...). Với mỗi tần số riêng iω , hệ sẽ có một dạng chính tương ứng. Tần số thấp nhất iω gọi là tần số cơ bản. Trong trường hợp tổng quát, hệ dao động với tổng của các dạng chính. 3.4 Dao động cưỡng bức của thanh thẳng có khối lượng phân bố đều và tiết diện không đổi, chịu tác dụng của lực q(z,t) = q(z)sinrt Trong trường hợp m=const; EJ=cosnt; lực cản r(z,t) = 0; theo (3-5), phương trình vi phân dao động cưỡng bức có dạng : EJ rtzq t y EJ m z y sin)(. 2 2 4 4 −=∂ ∂+∂ ∂ (3-23) Nghiệm tổng quát của phương trình (3-23) gồm nghiệm của phương trình không có vế phải. Khi dao động đã bình ổn trong hệ chỉ tồn tại dao động cưỡng bức. Ta tìm nghiệm riêng của phương trình (3-23) dưới dạng: y(z,t)=y(z).sinrt (3-24) Để xác định biên độ của dao động cưỡng bức y(z), ta thay (3-24) vào phương trình (3-23), sau khi biến đổi ta được : EJ zqzykzy IV )()()( 4 −=− (3-25) trong đó : Chương 3. Dao động của hệ có vô số bậc tự do 3-6 EJ mrk 2 4 = ; (3-26) k gọi là hệ số đặc trựng của dầm khi dao động. Sau đây, để đơn giản chỉ xét trường hợp q(z) =q= const, do đó nghiệm riêng của phương trình (3-25) có dạng: EJk qzy 41 )( = (3-27) Nghiệm tổng quát của phương trình (3-25) khi không có vế phải có dạng: EJk qDCCCBCACzy kzkzkzkz 44321)( ++++= (3-28) Để xác định các hằng số C1, C2, C3, C4 ta dùng các điều kiện biên: Tại z = 0: y(z) = y0; y’(z) = y’0; ;)( 0EJ M zy −=′′ EJ Q zy 0)( −=′′′ , ta xác định được : EJk qyC 401 −= ; k y C 02 ′= EJk M C 2 0 3 = ; EJk Q C 3 0 4 = . Vậy các phương trình biên độ chuyển vị và nội lực của dầm khi dao động cưỡng bức có dạng : ( ) ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎭ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎬ ⎫ +++−−=−= +++−−=−= −−−′+= −−−−′+= kzkzkzkzkz kzkzkzkzkz kzkzkzkzkz kzkzkzkzkz B k qAQDkMCEJykBEJykzEJyzQ C k qB k QAMDkEJyCEJykzEJyzM D EJk qC EJk QB kEJ MAyDkyzy A EJk qD EJk QC EJk MB k yAyzy 00 , 0 2 0 3,,, 2 0 0 , 00 2,, 32 00 00 , 43 0 2 00 0 )()( )()( )( 1)( (3-29) Cần chú ý là các phương trình (3-29) chỉ đúng cho trường hợp dầm chịu tác dụng của lực kích thích phân bố liên tục với cường độ qsinrt. Từ đó ta có thể xây dựng được phần tử mẫu chịu tải trọng và chuyển vị cưỡng bức để tiện cho việc tính khung và dầm liên tục sau này. Sau đây ta sẽ nghiên cứu trường hợp tổng quát hơn. Giả sử tại toạ độ z = a1 chuyển vị, nội lực và tải trọng có sự thay đổi không liên tục (có bước nhảy): .ia y∆ , , ia y∆ (về chuyển vị ); .ia M∆ , .ia Q∆ (về nội lực); .ia q∆ (về tải trọng). Đối với trường hợp này ta cần thiết lập các phương trình chuyển vị và nội lực cho từng đoạn trong đó các đại lượng kể trên là liên tục, đồng thời sử dụng các điều kiện nối tiếp giữa đầu các đoạn tương tự như đã giải quyết trong bài toán dầm trên nền đàn hồi quen biết, hoặc như trong chương 2 của phần ổn định công trình. Chương 3. Dao động của hệ có vô số bậc tự do 3-7 Các phương trình chuyển vị và nội lực viết cho đoạn bất kỳ thứ (m+1) có thể biểu thị theo các phương trình của đoạn thứ m như (3-30). [ ] ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎭ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎬ ⎫ ∆+∆+ +∆+∆−∆−= ∆+∆+ +∆+∆−∆−= ∆−∆− −∆−∆+∆+= −∆−∆− −∆−∆+∆+= −− −−−+ −− −−−+ −− −−−+ −− −−−+ . )()( ; )()( ; )()( ;1 )()( )()( )()( ,2 )( 3 1 )(2)( )()( , )( 2 1 )(3)(2 )()( , )( ,, 1 )(4)(3 )(2)( , )(1 i i ii iiiiii i i i i iiiiii i i i i i i iiii i i i i i i i i ii azk a azka azkaazkaazkamm azk a azk a azkaazkaazkamm azk a azk a azk a azkaazkamm azk a azk a azk a azk a azkamm B k q AQ DMkCyEJkByEJkzQzQ C k q B k Q AMDykEJCyEJkzMzM D EJk q C EJk Q B kEJ M AyDykzyzy A EJk q D EJk Q C EJk M B k y Ayzyzy (3-30) Trong đó: )(zym , )(, zym , )(zM m , )(zQm - chuyển vị và nội lực trong đoạn thứ m; ia y∆ , , ia y∆ , ia M∆ , ia Q∆ - giá trị các bước nhảy của chuyển vị và nội lực tại hoành độ z = ai là chỗ tiếp giáp giữa đoạn thứ m và đoạn thứ m+1(hình 3-7). 3.5 Dao động của dầm một nhịp có tiết diện không đổi và khối lượng phân bố đều Trong mục này ta sẽ thiết lập những kết quả cụ thể cho trường hợp dầm một nhịp có tiết diện không đổi, khối lượng phân bố đều, chịu các nguyên nhân kích thích khác nhau như tải trọng hoặc chuyển vị cưỡng bức để chuẩn bị cơ sở cho việc nghiên cứu dao động của khung và dầm liên tục (chương 6). q sinrtm Psinrt q sinrtm+1 Msinrt z = a i ®o¹n m ®o¹n m+1 Hình 3-2. Giá trị bước nhảy tại z = ai. Chương 3. Dao động của hệ có vô số bậc tự do 3-8 3.5.1 Dầm đơn giản chịu lực động P(t) =Psinrt đặt ở giữa nhịp (hình 3-9) 3.5.1.1 Dao động tự do. Các thông số ban đầu (tại z=o): 00 =y , 0,0 ≠y , 00 =M , 00 =Q . Các điều kiện ở cuối dầm (z = l) để tìm thông số chưa biết : 01 =y , 01 =M . Theo (3-21), ta có: ⎪⎪⎭ ⎪⎪⎬ ⎫ =+−= =−= 0 0 0, 01 3 0 , 0 1 lk i lki lk i lk i ii ii B k Q EJDykM D EJk Q B k y y Điều kiện tồn tại dao động, tức là tồn tại y’0 và Q0: i lk lki i lk i lk k B EJDk EJk D k B D i i ii − − = 3 Suy ra : 0 22 =⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛−⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ i lk i lk k D k B ii Hay: ( )( ) 0. =−+ lklklklk iiii DBDB Thay biểu thức của các hàm số Bkz và Bkz vào phương trình tên; sau khi biến đổi, ta có : 0sin. =lklshk ii vì 0≠lshki , nên : 0sin =lki Suy ra : ....)3,2,1.( == iilki π Psinrt l a=l/ 2 Hình 3-3. Sơ đồ tính Chương 3. Dao động của hệ có vô số bậc tự do 3-9 Thay kết quả này vào công thức (3-22), ta được m EJ l i i 2 22πω = (i=1, 2, 3...) (3-31) Tần số cơ bản : m EJ l 2 2 1 πω = (3-32) Dạng chính thứ i của dao động xác định theo biểu thức: zk i i zk i i i ii D EJk QB k yzy 3 0 , 0)( −= Hay: ( ) ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ −= zkzk i ii i i i ii DB Q EJky EJk Q zy 0 2, 0 3 0 Từ một trong hai phương trình của (a), ta rút ra: lk lk i ii i i B D Q EJky = 0 2, 0 Theo (c) 0sin =lki nên từ (3-20) ta suy ra lklk ii BD = . Do đó : 1 0 2, 0 = i ii Q EJky . Vậy: ( ) [ ]zkzk i i i ii DB EJk Q zy −= 3 0 Thay biểu thức các hàm số Bkz và Dkz vào phương trình trên ta có: l zifzy ii .sin)( π= . Trên hình 3-10 vẽ các dạng dao động riêng chính ứng với các tần số 1ω , 2ω , 3ω . 3.5.1.2 Dao động cưỡng bức. Các tần số ban đầu: y0=0 ; y’0=? ; M0=0 ; Q0=?; q0=0. (ω )1 f 1sin πz l 2(ω ) 3(ω ) l 2πzf sin2 3πzsinf l3 Hình 3-4. Các dạng chính. Chương 3. Dao động của hệ có vô số bậc tự do 3-10 Ta có thể tìm hai thông số chưa biết bằng cách sau đây: Dùng điều kiện ở cuối dầm, khi z = l: yl=0 ; M1=0. Các phương trình viết cho đoạn đầu ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ ≤≤ 2 0 lz như sau: kzkz DEJk Q B k y zy 3 0 ' 0 1 )( −= ; kzkz Bk Q DkEJyzM 0'01 )( +−= ; Các phương trình viết cho đoạn thứ hai ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ ≤≤ lzl 2 : ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ −+= 2 )()( 312 lzD EJk Pzyzy k ; ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ −−= 2 )()( 12 lzB k PzMzM k . Từ đó ta thiết lập được phương trình để xác định y’0 và Q0 : ;0 2 1313 0 1 ' 0 =+−= kkkl D EJk PD EJk Q B k y y ;0 2 3 0' 0 =−+= lkklkll Bk PB EJk QDkEJyM Kết quả : ⎪⎪⎭ ⎪⎪⎬ ⎫ − −= − −= 22 2/2/ 0 22 2/2/ 2 ' 0 . . λλ λλλλ λλ λλλλ DB DDBB PQ DB DBBD EJk Py , với λ = kl. 3.5.2 Dầm có hai đầu ngàm, chịu tác dụng của lực động P(t)= Psinrt Theo (3-29), các phương trình chuyển vị và nội lực viết cho đoạn thứ nhất có dạng: ⎪⎪ ⎪⎪ ⎭ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎬ ⎫ += += −= −= kzkz kzkz kzkz kzkz AQDkMzQ B k QAMzM C EJk QB kEJ Mzy D EJk QC EJk Mzy 001 0 01 2 00, 1 3 0 2 0 1 )( )( )( )( (3-33) với 0 ≤ z ≤ a. Theo (3-30), các phương trình chuyển vị và nội lực viết cho đoạn thứ hai có dạng: Chương 3. Dao động của hệ có vô số bậc tự do 3-11 ⎪⎪ ⎪⎪ ⎭ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎬ ⎫ += −= += += − − − − )(12 )(12 )(21 , 2 )(312 .)()( )()( )(')( )()( azk azk azk azk APzQzQ B k PzMzM C EJk Pzyzy D EJk Pzyzy (3-34) với a ≤ z ≤ l. Từ điều kiện ở cuối dầm (z = l), ta có: 0)(33 0 2 0 1 =+−−= −alkDEJk PD EJk QC EJk My λλ ; )(22 00, 1 alkCEJk PC EJk QB kEJ My −+−−= λλ . Suy ra : ⎪⎪⎭ ⎪⎪⎬ ⎫ − −= − −= −− −− λλλ λλ λλλ λλ DBC DBCC PQ DBC CDDC k pM alkalk alkalk 2 )()( 0 2 )()( 0 . . (3-35) Trong đó: λ = kl. Sau khi tính được hai thông số ban đầu M0, Q0, đem thay vào phương trình (3-33) và (3-34), ta có thể xác định được các thông số cần thiết khác. 3.5.3 Dầm đơn giản chịu tác dụng của mômen M(t)= Msinrt đặt ở một đầu dầm. 3.5.3.1 Trường hợp mômen đặt tại gối tựa trái . ⎪⎪⎭ ⎪⎪⎬ ⎫ − −= − −= 220 22 , 0 )( . λλ λλλλ λλ λλλλ DB DADCkM Q DB DACB kEJ My (3-36) 3.5.3.2 Trường hợp mômen Msinrt đặt tại gối tựa bên phải (hình 3-15). ⎪⎪⎭ ⎪⎪⎬ ⎫ −= −= 220 22 , 0 . . λλ λ λλ λ DB BkM Q DB D kEJ My (3-37) 3.5.4 Dầm có hai đầu ngàm chịu chuyển vị xoay α(t)= αsinrt. 3.5.4.1Chuyển vị động ở ngàm trái. Chương 3. Dao động của hệ có vô số bậc tự do 3-12 ( ) ⎪⎪⎭ ⎪⎪⎬ ⎫ − −−= − −= )(6 .6 )(4 )( .4 2 22 20 20 λλλ λλλ λλλ λλλλ λα λα DBC CAB l FJQ DBC DACB l FJM (3-38) 3.5.4.2 Chuyển vị động tại ngàm phải. ⎪⎪⎭ ⎪⎪⎬ ⎫ −−= −= )(6 .6 )(2 .2 2 2 20 20 λλλ λ λλλ λ λα λα DBC C l FJQ DBC D l FJM (3-39) Vì λ = kl nên khi k = 0, thì λ = 0. Đây chính là trường hợp hệ chuyển vị tĩnh cưỡng bức. Thay λ = 0 vào (3-39) ta có dạng vô định, ta lại được các công thức quen thuộc α l EJM 20 = ; α20 6l EJQ −= . 3.5.5 Dầm có hai đầu ngàm chịu tác dụng của chuyển vị thẳng tương đối theo phương vuông góc với trục thanh ∆(t)= asinrt. ( ) ⎪⎪⎭ ⎪⎪⎬ ⎫ − −−= − −= λλλ λλλλ λλλ λλλ DBC BADCEJakQ DBC DCAEJakM 2 3 0 2 22 0 )( (3-40) 3.5.6 Dầm có một đầu ngàm một đầu khớp chịu chuyển vị góc α(t) = αsinrt ở ngàm. ⎪⎪⎭ ⎪⎪⎬ ⎫ − −= − −= λλλλ λλλλ λλλλ λλ α α DACB BADC kEJQ DACB DB kEJM 0 22 0 (3-41) 3.5.7 Dầm có một đầu ngàm, một đầu khớp chịu chuyển vị thẳng tương đối theo phương vuông góc với trục thanh ∆(t) = ainrt. ⎪⎪⎭ ⎪⎪⎬ ⎫ ⎥⎥⎦ ⎤ ⎢⎢⎣ ⎡ − −−−= ⎥⎥⎦ ⎤ ⎢⎢⎣ ⎡ − −−−= )(3 )(3 )(3 )(3 223 30 3 20 λλλλ λλ λλλλ λλλλ λ λ DACB AC l EJaQ DACB DCBA l EJaM (3-42) Cũng thực hiện tương tự như trên ta có thể giải quyết được các bài toán dầm một nhịp chịu các dạng tải trọng động khác nhau. Những kết quả tìm được trong mục này dùng để lập bảng xác định các nội lực động đối với các phần tử mẫu khi nghiên cứu dao động của khung và dầm liên tục (xem chương 6).