Cơ sở tự động - Chương 2: Mô hình toán học hệ thống điều khiển liên tục
Điều khiển ổn định hóa hệ phi tuyến quanh điểm làm việc tĩnh ? Đưa hệ phi tuyen n về mien n xung quanh điem m lam m việc tĩnh (đơn giản nhất có thể dùng bộ điều khiển ON-OFF) ? Xung quanh điem m lam m việc, dung ng bộ đieu u khien n tuyen n tính LS DEM
Bạn đang xem trước 20 trang tài liệu Cơ sở tự động - Chương 2: Mô hình toán học hệ thống điều khiển liên tục, để xem tài liệu hoàn chỉnh bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên
Môn học
CƠ SỞ TỰ ĐỘNG
Biên soạn: TS. Huỳnh Thái Hồng
ề ểBộ mơn đi u khi n tự động
Khoa Điện – Điện Tử
Đại học Bách Khoa TPHCM
Email: hthoang@hcmut.edu.vn
Homepage: www4.hcmut.edu.vn/~hthoang/
Giảng viên: HTHồng, NVHảo, NĐHồng, BTHuyền, HHPhương, HMTrí
9 September 2011 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 1
Chương 2
MÔ HÌNH TOÁN HỌC
HỆ THỐNG ĐIỀU KHIỂN LIÊN TỤC
9 September 2011 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 2
Khái niệm về mô hình toán hoc
Nội dung chương 2
ï
Hàm truyền
Phép biến đổi Laplace
Đị h h h ø à n ng ĩa am truyen
Hàm truyền của một số phần tử
Hàm truyền của hệ thống tự động
Đại số sơ đồ khối
Sơ đồ dòng tín hiệu
Phương trình trang thái (PTTT)ï
Khái niệm về PTTT
Cách thành lập PTTT từ phương trình vi phân
Q h ä i õ PTTT ø h ø à uan e g ưa va am truyen
Mô hình tuyến tính hóa hệ phi tuyến
Phương trình trạng thái phi tuyến
9 September 2011 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 3
Phương trình trạng thái tuyến tính hóa
àKhái niệm ve mô hình toán học
9 September 2011 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 4
h á đi à khi å h á á đ d ø ù b û h á l ù
Khái niệm về mô hình toán học
Hệ t ong eu en t ực te rat a ạng va co an c at vật y
khác nhau.
Cần có cơ sở chung để phân tích, thiết kế các hệ thống điều
khiển có bản chất vật lý khác nhau. Cơ sở đó chính là toán học.
Quan hệ giữa tín hiệu vào và tín hiệu ra của một hệ thống tuyến
tính bất biến liên tuc có thể mô tả bằng phương trình vi phânï
tuyến tính hệ số hằng:
Hệ thống tuyến tínhu(t) y(t)
)()()( 1 tdtdtd nn )()()( 1 tdtdtd mm
bất biến liên tục
)(1110 tyadt
ya
dt
ya
dt
ya nnnn )(1110 tubdt
ub
dt
ub
dt
ub mmmm
n: bậc của hệ thống, hệ thống hợp thức nếu nm.
9 September 2011 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 5
ai, bi: thông số của hệ thống
Một số thí dụ mô tả hệ thống bằng phương trình vi phân
h d 2 1 h đ h á đT í ụ . : Đặc tín ộng ọc toc ộ xe ô tô
)()()( tftBv
d
tdvM
t
M kh ái l B h ä á ù h â á û h ä h á: o ượng xe, e so ma sat: t ong so cua e t ong
f(t): lực kéo của động cơ: tín hiệu vào
v(t): tốc độ xe: tín hiệu ra
9 September 2011 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 6
Một số thí dụ mô tả hệ thống bằng phương trình vi phân
h d 2 2 h đ h h h á i û h á ûT í ụ . : Đặc tín ộng ọc ệ t ong g am c an cua xe
)()()()(
2
tftKytdyBtydM 2 dtdt
M: khối lượng tác động lên bánh xe,
B hệ số ma sát, K độ cứng lò xo
f(t): lưc do sốc: tín hiệu vào
9 September 2011 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 7
ï
y(t): dịch chuyển của thân xe: tín hiệu ra
Một số thí dụ mô tả hệ thống bằng phương trình vi phân
h d 2 3 h đ h h ùT í ụ . : Đặc tín ộng ọc t ang may
gMtKgM
dt
tdyB
dt
tydM TT Đ )()()(2
2
M kh ái l b à h M kh ái l đ áiT: o ượng uong t ang, Đ: o ượng o trọng
B hệ số ma sát, K hệ số tỉ lệ
(t): moment kéo của động cơ: tín hiệu vào
9 September 2011 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 8
y(t): vị trí buồng thang: tín hiệu ra
Phương trình vi phân bậc n (n>2) rất khó giải
Hạn chế của mô hình toán dưới dạng phương trình vi phân
)()()()( 11
1
10 tyadt
tdya
dt
tyda
dt
tyda nnn
n
n
n
)()()()( 11
1
10 tubdt
tdub
dt
tudb
dt
tudb mmm
m
m
m
Phân tích hệ thống dựa vào mô hình toán là phương trình vi
phân gặp rất nhiều khó khăn (một thí du đơn giản là biết tínï
hiệu vào, cần tính đáp ứng của hệ thống, nếu giải phương trình
vi phân thì không đơn giản chút nào!!!.)
Thiết kế hệ thống dưa vào phương trình vi phân hầu như khôngï
thể thực hiện được trong trường hợp tổng quát.
Cần các dạng mô tả toán học khác giúp phân tích và thiết kế hệ
á åthong tự động de dàng hơn.
Hàm truyền
Phương trình trang thái
9 September 2011 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 9
ï
àHàm truyen
9 September 2011 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 10
Định nghĩa:
Phép biến đổi Laplace
Cho f(t) là hàm xác định với mọi t 0, biến đổi Laplace của f(t)
là:
0
).()()( dtetfsFtf stL
Trong đó:
s : biến phức (biến Laplace)
L : toán tử biến đổi Laplace.
F(s) : biến đổi Laplace của hàm f(t).
Biến đổi Laplace tồn tại khi tích phân ở biểu thức định nghĩa
trên hội tụ.
9 September 2011 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 11
Tính chất:
Phép biến đổi Laplace (tt)
Cho f(t) và g(t) là hai hàm theo thời gian có biến đổi Laplace là
)()( sFtf L )()( sGtg L
Tính tuyến tính )(.)(.)(.)(. sGbsFatgbtfa L
Định lý chậm trể )(.)( sFeTtf TsL
)( df Ảnh của đạo hàm
Û
)0()( fssFdt
tL
sFt )( Anh của tích phân
Định lý giá trị cuối
s
df )(
0
L
)(lim)(lim ssFtf
9 September 2011 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 12
0st
Phép biến đổi Laplace (tt)
á đ å l û ù h ø b ûBien oi Lap ace cua cac am cơ an:
Hàm nấc đơn vị (step): tín hiệu vào hệ thống điều khiển ổn
định hóa
tu 1)( L 0 t 1)( nếut
u(t)
1
s
0 t 0 nếu
u
t0
Hàm dirac: thường dùng để mô tả nhiễu
0t 0)( nếut
(t)
0 t nếu
1)( d
1)( tL
t0
1
9 September 2011 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 13
tt
Phép biến đổi Laplace (tt)
á đ å l û ù h ø b ûBien oi Lap ace cua cac am cơ an (tt):
Hàm dốc đơn vị (Ramp): tín hiệu vào hệ thống điều khiển theo
dõi
0 t )()( nếutttutr
r(t)
1 21)(. tut L 0 t 0 nếu
t0 1
s
Hàm mũ
0tnếuate
f(t) 1
0 0
)(.)(
t nếu
at tuetf
t0
1
as
tue at
)(.L
9 September 2011 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 14
Phép biến đổi Laplace (tt)
á đ å l û ù h ø b ûBien oi Lap ace cua cac am cơ an (tt):
Hàm sin:
0tsin nếut
0 t 0
)().(sin)(
nếu
tuttf f(t)
t0 22)()(sin
stutL
Bảng biến đổi Laplace: SV cần học thuộc biến đổi Laplace của
Á Åcác hàm cơ bản. Các hàm khác có thể tra BẢNG BIEN ĐOI
LAPLACE ở phụ lục sách Lý thuyết Điều khiển tự động.
9 September 2011 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 15
Xét hệ thống mô tả bởi phương trình vi phân:
Định nghĩa hàm truyền
Hệ thống tuyến tính
b át bi á li â t
u(t) y(t)
)()()()( 11
1
10 tya
tdyatydatyda
nn
a en en ục
dtdtdt nnnn
)()()()( 11
1
10 tubd
tdub
d
tudb
d
tudb mmm
m
m
m
Biến đổi Laplace 2 vế phương trình trên, để ý tính chất ảnh của
á à à è
ttt
đạo hàm, giả thiet đieu kiện đau bang 0, ta được:
)()()()( 1110 sYassYasYsasYsa nnnn
1
9 September 2011 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 16
)()()()( 110 sUbssUbsUsbsUsb mm
mm
Hàm truyền của hệ thống:
Định nghĩa hàm truyền (tt)
mm
mm bsbsbsbsYsG
1
1
1
10)()(
Định nghĩa: Hàm truyền của hệ thống là tỉ số giữa biến đổi
nn
nn asasasasU 110)(
Laplace của tín hiệu ra và biến đổi Laplace của tín hiệu vào khi
điều kiện đầu bằng 0.
Chú ý: Mặc dù hàm truyền được định nghĩa là tỉ số giữa biến
đổi Laplace của tín hiệu ra và biến đổi Laplace của tín hiệu vào
nhưng hàm truyền không phụ thuộc vào tín hiệu ra và tín hiệu
vào mà chỉ phụ thuộc vào cấu trúc và thông số của hệ thống.
Do đó có thể dùng hàm truyền để mô tả hệ thống
9 September 2011 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 17
.
Hàm truyền của các phần tử
Cách tìm hàm truyền
Bước 1: Thành lập phương trình vi phân mô tả quan hệ vào – ra
của phần tử bằng cách:
Á d ù đị h l ä Ki h ff h ä d ø ù â đi ä p ụng cac n uat rc o , quan e ong–ap tren en
trở, tụ điện, cuộn cảm, đối với các phần tử điện.
Áp dụng các định luật Newton, quan hệ giữa lực ma sát và
vận tốc, quan hệ giữa lực và biến dạng của lò xo, đối với
các phần tử cơ khí.
Áp dung các định luật truyền nhiệt định luật bảo toàn năngï ,
lượng, đối với các phần tử nhiệt.
Bướ 2 Bi á đ åi L l h i á hươ t ì h i h â ừc : en o ap ace a ve p ng r n v p an v a
thành lập ở bước 1, ta được hàm truyền cần tìm.
Chú ý: đối với các mạch điện có thể tìm hàm truyền theo
9 September 2011 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 18
phương pháp tổng trở phức.
Hàm truyền của các bộ điều khiển (khâu hiệu chỉnh)
Các khâu hiệu chỉnh thu động
Mạch tích phân bậc 1:
ï
R
C 1)(sG
1 RCs
R
C Mạch vi phân bậc 1:
1
)(
RC
RCssG s
9 September 2011 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 19
Hàm truyền của các bộ điều khiển (khâu hiệu chỉnh)
Các khâu hiệu chỉnh thu động (tt) ï
Mạch sớm pha:
C
R 1Ts1 R2 1)( TsKsG C
R RR
21
2
RR
KC 21
12
RR
CRRT 12
21
R
Mạch trể pha: R1
R2 1)( TsKsG C
C
1Ts
12 R
9 September 2011 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 20
1CK CRRT )( 21 21 RR
Hàm truyền của các bộ điều khiển (khâu hiệu chỉnh)
Các khâu hiệu chỉnh tích cưc ï
KG )(
Khâu tỉ lệ P: (Proportional)
Ps
2RKP
1R
Khâu tích phân tỉ lệ PI: (Proportional Integral)
s
KKsG IP )(
2RKP CRKI
1
9 September 2011 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 21
1R 1
Hàm truyền của các bộ điều khiển (khâu hiệu chỉnh)
Các khâu hiệu chỉnh tích cưc (tt) ï
Khâu vi phân tỉ lệ PD: (Proportional Derivative)
sKKsG DP )(
2RK CRK
Khâu vi tích phân tỉ lệ PID: (Proportional Integral Derivative)
1R
P D 2
sK
s
KKsG DIP )(
21
2211
CR
CRCRKP
21
1
CR
KI
9 September 2011 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 22
12CRKD
Hàm truyền của các đối tượng thường gặp
Hàm truyền động cơ DC
Lư : điện cảm phần ứng : tốc độ động cơ
R đi ä û h à ù M ûi ư : en trơ p an ưng t : moment ta Uư : điện áp phần ứng B : hệ số ma sát Eư : sức phản điện động J : moment quán tính
9 September 2011 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 23
Hàm truyền của các đối tượng thường gặp (tt)
Hàm truyền động cơ DC (tt)
Áp dụng định luật Kirchoff cho mạch điện phần ứng:
)(tdi )().()( tE
dt
LRtitU ưưưưưư
)()( tKtE ưtrong đó:
(1)
(2)
K : hệ số
: từ thông kích từ
Áp dụng định luật Newton cho chuyển động quay của trục đ.cơ:
tdJtBtMtM )()()()( (3)
dtt
trong đó: )()( tiKtM ư (4)
9 September 2011 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 24
Hàm truyền của các đối tượng thường gặp (tt)
Hàm truyền động cơ DC (tt)
Biến đổi Laplace (1), (2), (3), (4) ta được:
(5)
(6)
)()().()( sEssILRsIsU ưưưưưư
)()( sKsE ư
(7)
(8)
)()()()( sJssBsMsM t
)()( siKsM ư
Đặt:
ư
ư R
LT hằng số thời gian điện từ của động cơ
ư
B
JTc hằng số thời gian điện cơ của động cơ
9 September 2011 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 25
Hàm truyền của các đối tượng thường gặp (tt)
Hàm truyền động cơ DC (tt)
(5) và (7) suy ra:
)()( EU
)1(
)(
sTR
sssI
ưư
ưư
ư
(5’)
)1(
)()()(
sTB
sMsMs
c
t
à á
(7’)
Từ (5’), (6), (7’) và (8) ta có sơ đo khoi động cơ DC:
9 September 2011 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 26
Hàm truyền của các đối tượng thường gặp (tt)
Hàm truyền lò nhiệt
Nhi ät đ ä l ø
u(t) y(t)
C â át đi ä e o oong sua en
cấp cho lò 100%
(t) (t)y y
9 September 2011 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 27
Hàm truyền của các đối tượng thường gặp (tt)
Hàm truyền lò nhiệt (tt)
9 September 2011 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 28
Hàm truyền của các đối tượng thường gặp (tt)
Xe ô tô
M: khối lượng xe
B hệ số ma sát
f(t): lực kéo
v(t): tốc độ xe
)()()( tftBv
dt
tdvM Phương trình vi phân:
Hàm truyền:
BMF
sVsG 1
)(
)()(
1
)(
T
KsG
ss s
với K 1 MT
9 September 2011 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 29
B B
Hàm truyền của các đối tượng thường gặp (tt)
h á i û ù û ùHệ t ong g am xoc cua ô tô, xe may
M: khối lượng tác động lên bánh xe,
B hệ số ma sát, K độ cứng lò xo
f(t): lực do xóc
y(t): dịch chuyển của thân xe
Phương trình vi phân: )()()()(2
2
tftKy
dt
tdyB
dt
tydM
Hàm truyền: sYsG 1)()(
9 September 2011 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 30
KBsMssF 2)(
Hàm truyền của các đối tượng thường gặp (tt)
Thang máy
MT: khối lượng buồng thang,
MĐ: khối lượng đối trọng
B hệ số ma sát, K hệ số tỉ lệ
(t): moment kéo của động cơ
y(t): vị trí buồng thang
Phương trình vi phân: gMtKgM
dt
tdyB
dt
tydM TT Đ )()()(2
2
Nếu khối lượng đối trọng
bằng khối lượng buồng thang: )(
)()(
2
2
tK
dt
tdyB
dt
tydMT
Hàm truyền:
BssM
K
s
sYsG
T
2)(
)()(
9 September 2011 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 31
Nếu khối lượng buồng thang không bằng khối lượng đối trọng?
Hàm truyền của cảm biến
y(t) yh (t)Cảm biến t
Tín hiệu yht(t) có là tín hiệu tỉ lệ với y(t), do đó hàm truyền của
cảm biến thường là khâu tỉ lệ:
htKsH )(
TD: Giả sử nhiệt độ lò thay đổi trong tầm y(t) = 05000C, nếu
cảm biến nhiệt biến đổi sự thay đổi nhiệt độ thành sự thay đổi
đi ä ù à ( ) 0 5 h h ø à û û bi á l øen ap trong tam yht t V, t ì am truyen cua cam en a:
01.0)( htKsH
Nếu cảm biến có trể, hàm truyền cảm biến là khâu quán tính bậc
1: KsH ht)(
9 September 2011 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 32
sTht1
à áHàm truyen của hệ thong tự động
9 September 2011 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 33
Đại số sơ đồ khối
Sơ đồ khối
Sơ đồ khối của một hệ thống là hình vẽ mô tả chức năng của các
phần tử và sự tác động qua lại giữa các phần tử trong hệ thống.
Sơ đồ khối có 3 thành phần chính là
Khối chức năng: tín hiệu ra bằng hàm truyền nhân tín hiệu vào
Bộ tổng: tín hiệu ra bằng tổng đai số các tín hiệu vàọ
Điểm rẽ nhánh: tất cả tín hiệu tại điểm rẽ nhánh đều bằng nhau
9 September 2011 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 34
khối chức năng điểm rẽ nhánhbộ tổng
Đại số sơ đồ khối
Hàm truyền của các hệ thống đơn giản (tt)
Hệ thống nối tiếp
G1
U1 (s) Y1 (s) G2U2(s) Y2 (s)
Gn
Un (s) Yn (s)U(s) Y(s)
n int sGsG )()(
i 1
9 September 2011 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 35
Đại số sơ đồ khối
Hàm truyền của các hệ thống đơn giản (tt)
Hệ thống song song
G1
U1 (s) Y1 (s)
G2
U2(s) Y2 (s)
U(s) Y(s)
Gn
Un (s) Yn (s)
n i sGsG )()(
9 September 2011 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 36
i
ss
1
Đại số sơ đồ khối
Hàm truyền của các hệ thống đơn giản (tt)
Hệ thống hồi tiếp âm Hệ thống hồi tiếp âm đơn vị
Y(s)R(s)
G(s)E(s)
Y ( )
+
Y(s)R(s)
G(s)E(s)
Y ( )
+
H(s)
ht s ht s
)()(1
)()(
sHsG
sGsGk )(1
)()(
sG
sGsGk .
9 September 2011 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 37
Đại số sơ đồ khối
Hàm truyền của các hệ thống đơn giản (tt)
Hệ thống hồi tiếp dương Hệ thống hồi tiếp dương đơn vị
Y(s)R(s)
+ G(s)
E(s)
Y ( )
+
Y(s)R(s)
+ G(s)
E(s)
Y ( )
+
H(s)
ht s ht s
)().(1
)()(
sHsG
sGsGk )(1
)()(
sG
sGsGk
9 September 2011 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 38
Đại số sơ đồ khối
Hàm truyền của hệ thống hồi tiếp nhiều vòng
Đối với các hệ thống phức tạp gồm nhiều vòng hồi tiếp, ta thực
hiện các phép biến đổi tương đương sơ đồ khối để làm xuất hiện
các dạng ghép nối đơn giản (nối tiếp, song song, hồi tiếp 1 vòng)
và tính hàm truyền tương đương theo thứ tự từ trong ra ngoài.
Hai sơ đồ khối được gọi là tương đương nếu hai sơ đồ khối đó có
quan hệ giữa các tín hiệu vào và tín hiệu ra như nhau.
9 September 2011 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 39
Đại số sơ đồ khối
Các phép biến đổi tương đương sơ đồ khối
Chuyển điểm rẽ nhánh từ phía trước ra phía sau 1 khối:
9 September 2011 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 40
Đại số sơ đồ khối
Các phép biến đổi tương đương sơ đồ khối
Chuyển điểm rẽ nhánh từ phía sau ra phía trước 1 khối:
9 September 2011 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 41
Đại số sơ đồ khối
Các phép biến đổi tương đương sơ đồ khối
Chuyển bộ tổng từ phía trước ra phía sau 1 khối:
9 September 2011 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 42
Đại số sơ đồ khối
Các phép biến đổi tương đương sơ đồ khối
Chuyển bộ tổng từ phía sau ra phía trước 1 khối:
9 September 2011 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 43
Đại số sơ đồ khối
Các phép biến đổi tương đương sơ đồ khối
Chuyển vị trí hai bộ tổng:
9 September 2011 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 44
Đại số sơ đồ khối
Các phép biến đổi tương đương sơ đồ khối
Tách 1 bộ tổng thành 2 bộ tổng :
9 September 2011 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 45
Đại số sơ đồ khối
Chú ý
Không được chuyển vị trí điểm rẽ nhánh và bộ tổng :
å å å å Không được chuyen vị trí 2 bộ tong khi giữa 2 bộ tong có điem rẽ
nhánh :
9 September 2011 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 46
Đại số sơ đồ khối
Thí du 1 ï
Tính hàm truyền tương đương của hệ thống có sơ đồ khối như sau:
Y(s)
9 September 2011 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 47
Đại số sơ đồ khối
Bài giải thí du 1: Biến đổi tương đương sơ đồ khối ï
Chuyển vị trí hai bộ tổng và,
Rút gon GA(s)=[G3(s)//G4(s)]ï
Y(s)
)()()( 43 sGsGsGA
9 September 2011 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 48
Đại số sơ đồ khối
Bài giải thí du 1: Biến đổi tương đương sơ đồ khối ï
GB(s)=[G1(s) // hàm truyền đơn vị ] ,
GC (s)= vòng hồi tiếp[G2(s),GA(s)]:
)(1)( GG
Y(s)
1 ssB
)]()() [(1
)(
)()(1
)()( 22
GGG
sG
GG
sGsGC .. 4322 sssss A
Hàm truyền tương đương của hệ thống:
)().()( sGsGsG CBtd
)()].(1[)( 21 sGsGsG d
9 September 2011 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 49
)]()().[(1 432 sGsGsG
t
Đại số sơ đồ khối
Thí du 2 ï
Tính hàm truyền tương đương của hệ thống có sơ đồ khối như sau:
Y(s)
9 September 2011 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 50
Đại số sơ đồ khối
Bài giải thí du 2: Biến đổi tương đương sơ đồ khối ï
Chuyển vị trí hai bộ tổng và
Chuyển điểm rẽ nhánh ra sau G2(s)
Y(s)
9 September 2011 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 51
Đại số sơ đồ khối
Bài giải thí du 2: Biến đổi tương đương sơ đồ khối ï
GB(s) = vòng hồi tiếp[G2(s), H2(s)]
GC(s) = [GA(s)// hàm truyền đơn vị ]
Y(s)
9 September 2011 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 52
Đại số sơ đồ khối
Bài giải thí du 2: Biến đổi tương đương sơ đồ khối ï
GD(s) = [GB (s) nối tiếp GC(s) nối tiếp G3(s)]
Y( )s
GE(s) = vòng hồi tiếp [GD(s), H3(s)]
( )Y s
9 September 2011 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 53
Đại số sơ đồ khối
Bài giải thí du 2: Biến đổi tương đương sơ đồ khối ï
Tính toán cụ thể:
H
2
1 *
G
GA
G
22
2
1
*
HG
GB
2
12
2
111 *
G
HG
G
HGG AC
1332
3
122
3 11
.. *
HG
HGGGG
G
HG
HG
GGGGG CBD
9 September 2011 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 54
22222
Đại số sơ đồ khối
Bài giải thí du 2: Biến đổi tương đương sơ đồ khối ï
HGGG
Tính toán cụ thể (tt):
1332
22
1332
1
1
* HGGG
HG
HG
GG DE
3
22
3
1
1 H
HG
D
31333222
1332
1
HHGHGGHG
HGGGGE
9 September 2011 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 55
Đại số sơ đồ khối
Bài giải thí du 2: Biến đổi tương đương sơ đồ khối ï
Hàm truyền tương đương của hệ thống:
31333222
1332
1
1 1
.
1
* HGGG
HHGHGGHG
HGGGG
GG
GGG Etd
31333222
1332
1
1
1
.1
HHGHGGHG
GE
13132131333222
131321
1
HGGGGGHHGHGGHG
HGGGGGG
9 September 2011 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 56
Đại số sơ đồ khối
Thí du 3 ï
Tính hàm truyền tương đương của hệ thống có sơ đồ khối như sau:
Y(s)
9 September 2011 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 57
Đại số sơ đồ khối
Hướ d ã i ûi thí d 3 Bi á đ åi tươ đươ ơ đ à kh ái
Chuyển bộ tổng ra trước G1(s),
sau đó đổi vị trí 2 bộ tổng và
ng an g a ụ : en o ng ng s o o
Chuyển điểm rẽ nhánh ra sau G2(s)
Y(s)
9 September 2011 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 58
Đại số sơ đồ khối
K át û thí d 3e qua ụ
Sinh viên tự tính
9 September 2011 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 59
Đại số sơ đồ khối
M ät á h ä ùto so n an xe
Phương pháp biến đổi sơ đồ khối là một phương pháp đơn giản.
Khuyết điểm của phương pháp biến đổi sơ đồ khối là không
mang tính hệ thống, mỗi sơ đồ cụ thể có thể có nhiều cách biến
đổi khác nhau, tùy theo trực giác của người giải bài toán.
Khi tính hàm truyền tương đương ta phải thưc hiện nhiều phépï
tính trên các phân thức đại số, đối với các hệ thống phức tạp các
phép tính này hay bị nhầm lẫn.
å å Phương pháp biến đoi tương đương sơ đồ khối chỉ thích hợp đe
tìm hàm truyền tương đương của các hệ thống đơn giản.
Đối với các hệ thống phức tap ta có một phương pháp hiệu quảï
hơn, đó là phương pháp sơ đồ dòng tín hiệu sẽ được đề cập đến ở
mục tiếp theo
9 September 2011 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 60
Sơ đồ dòng tín hiệu
Định nghĩa
Y(s)Y(s)
Sơ đồ dòng tín hiệu là một mạng gồm các nút và nhánh.
Nút: là một điểm biểu diễn một biến hay tín hiệu trong hệ thống.
Nhánh: là đường nối trực tiếp 2 nút, trên mỗi nhánh có ghi mũi tên chỉ
chiều truyền của tín hiệu và có ghi hàm truyền cho biết mối quan hệ
giữa tín hiệu ở 2 nút.
Nút nguồn: là nút chỉ có các nhánh hướng ra.
Nút đích: là nút chỉ có các nhánh hướng vào.
9 September 2011 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 61
Nút hỗn hợp: là nút có cả các nhánh ra và các nhánh vào.
Sơ đồ dòng tín hiệu
Đị h hĩ (tt)n ng a
Đường tiến: là đường gồm các nhánh liên tiếp có cùng hướng tín
hiệu đi từ nút nguồn đến nút đích và chỉ qua mỗi nút một lần.
Độ lợi của một đường tiến là tích của các hàm truyền của các
nhánh trên đường tiến đó.
Vòng kín: là đường khép kín gồm các nhánh liên tiếp có cùng
hướng tín hiệu và chỉ qua mỗi nút một lần.
Độ lơi của một vòng kín tích của các hàm truyền của các nhánhï
trên vòng kín đó.
Y(s)Y(s)
9 September 2011 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 62
Sơ đồ dòng tín hiệu
Công thức Mason
Hàm truyền tương đương từ một nút nguồn đến một nút đích của hệ
thống tự động biểu diễn bằng sơ đồ dòng tín hiệu được cho bởi:
1 k kkPG
9 September 2011 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 63
Sơ đồ dòng tín hiệu
Thí du 1 ï
Tính hàm truyền tương đương của hệ thống có sơ đồ dòng tín hiệu
như sau:
Y(s)R(s)
Giải:
Đường tiến: Vòng kín:
GGGGGP 141 HGL 543211
54612 GGGGP
7213 GGGP
2722 HGGL
25463 HGGGL
9 September 2011 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 64
254324 HGGGGL
Sơ đồ dòng tín hiệu
Thí du 1 (tt) ï
Định thức của sơ đồ dòng tín hiệu:
214321 )(1 LLLLLL
Các định thức con:
11
12
13 1 L
Hàm truyền tương đương của hệ thống:
)(1 PPPG 332211td
14721546154321 )1( HGGGGGGGGGGGGGG
9 September 2011 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 65
27214254322546272141 HGGHGHGGGGHGGGHGGHG
td
Sơ đồ dòng tín hiệu
Thí du 2 ï
Tính hàm truyền tương đương của hệ thống có sơ đồ khối như sau:
Y(s)R(s)
Giải:
Y(s)R(s)
9 September 2011 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 66
Sơ đồ dòng tín hiệu
Thí du 2 (tt) ï
Y( )R( ) ss
Đường tiến: Vòng kín:
3211 GGGP 221 HGL
HGGL
3112 GHGP 3322
3213 GGGL
3134 HHGL
9 September 2011 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 67
1315 HGGL
Sơ đồ dòng tín hiệu
Thí du 2 (tt) ï
Định thức của sơ đồ dòng tín
hiệu: )(1 LLLLL 54321
Các định thức con:
11
12
H ø à đ û h ä h á am truyen tương ương cua e t ong:
)(1 2211 PPGtd
131321
1
HGGHHGGGGHGGHG
HGGGGGGtd
9 September 2011 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 68
13131332133222
Sơ đồ dòng tín hiệu
Thí du 3 ï
Tính hàm truyền tương đương của hệ thống có sơ đồ khối như sau:
Y(s)
Giải:
Y(s)
9 September 2011 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 69
Sơ đồ dòng tín hiệu
Thí du 3 (tt) ï
Y(s)
3211 GGGP 211 HGL
HGGL
Đường tiến: Vòng kín:
42 GP 1212
3213 GGGL
3324 HGGL
9 September 2011 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 70
45 GL
Sơ đồ dòng tín hiệu
Thí du 3 (tt) ï
Định thức của sơ đồ dòng tín hiệu:
)()(1 LLLLLLLLLLLLLLLL
Các định thức con:
1
5415452514154321
1
H ø à đ û h ä h á
)()(1 414212 LLLLL
am truyen tương ương cua e t ong:
)(1 2211 PPGtd
9 September 2011 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 71
Phương trình trạng thái
9 September 2011 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 72
Trang thái: Trang thái của một hệ thống là tập hơp nhỏ nhất
Trạng thái của hệ thống
ï ï ï
các biến (gọi là biến trạng thái) mà nếu biết giá trị của các biến
này tại thời điểm t0 và biết các tín hiệu vào ở thời điểm t > t0, ta
å áhoàn toàn có the xác định được đáp ứng của hệ thong tại mọi
thời điểm t t0.
Hệ thống bậc n có n biến trang thái Các biến trang thái có thểï . ï
chọn là biến vật lý hoặc không phải là biến vật lý.
Vector trạng thái: n biến trạng thái hợp thành vector cột gọi là
vevtor trạng thái.
Tnxxx 21x
9 September 2011 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 73
Phương trình trạng thái
Bằng cách sử dung các biến trang thái, ta có thể chuyển phươngï ï
trình vi phân bậc n mô tả hệ thống thành hệ gồm n phương
trình vi phân bậc nhất, (hệ phương trình trạng thái)
)()()( BA (*)
)()( tty
tutt
Cx
xx
b
trong đó
n
n
aaa
aaa
22221
11211
A
b
2
1
B nccc 21C
nnnn aaa 21 nb
Chú ý: Tùy theo cách đặt biến trạng thái mà một hệ thống có thể
được mô tả bằng nhiều phương trình trạng thái khác nhau.
Nếu A là ma trận thường, ta gọi (*) là phương trình trạng thái ở
dang thường nếu A là ma trận chéo ta goi (*) là phương trình
9 September 2011 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 74
ï , , ï
trạng thái ở dạng chính tắc.
Vài thí dụ về phương trình trạng thái
Thí du 1: Hệ thống giảm xóc của ô tô, xe máy ï
)()()()(
2
tftKytdyBtydM
Phương trình vi phân:
(*)2 dtdt
1
)()( 21
BK
txtx
Đặt:
)()(1 tytx
)()()()( 212 tfMtxMtxMtx
)()(2 tytx
1
0)(10)( 11 txBKtx )(
)(
.
)( 22
tf
MtxMMtx
)(1 tx
)(01)( 2 tx
ty
)()()( tftt BAxx
BK
10
A 1
0
B 01C
9 September 2011 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 75
)()( tty Cx MM M
Vài thí dụ về phương trình trạng thái
Thí du 2: Động cơ DC ï
Lư : điện cảm phần ứng : tốc độ động cơ
R đi ä û h à ù M ûi ư : en trơ p an ưng t : moment ta Uư : điện áp phần ứng B : hệ số ma sát Eư : sức phản điện động J : moment quán tính
9 September 2011 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 76
Vài thí dụ về phương trình trạng thái
Thí du 2: Động cơ DC (tt) ï
Áp dụng định luật Kirchoff cho mạch điện phần ứng:
)(tdi )().()( tE
dt
LRtitU ưưưưưư
)()( tKtE ưtrong đó:
(1)
(2)
K : hệ số
: từ thông kích từ
Áp dụng định luật Newton cho chuyển động quay của trục đ.cơ
(để đơn giản giả sử moment tải bằng 0):
dt
tdJtBtM )()()(
trong đó: )()( tiKtM
(3)
(4)
9 September 2011 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 77
ư
Vài thí dụ về phương trình trạng thái
Thí du 2: Động cơ DC (tt) ï
(1) & (2) )(1)()()( tU
L
t
L
Kti
L
R
dt
tdi
ư
ưư
ư
ư
ưư (5)
(3) & (4) )()()( t
J
Bti
J
K
dt
td ư (6)
Đặt:
)()(
)()(
2
1
ttx
titx
ư
)(1)()()( 211 tULtxL
Ktx
L
Rtx ưư
(5) & (6)
)()()( 212 txJ
Btx
J
Ktx
ưưư
9 September 2011 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 78
Vài thí dụ về phương trình trạng thái
Thí du 2: Động cơ DC (tt) ï
)(
1)()( 11 tUL
txL
K
L
R
tx
ưư
ư
)(
0
)()( 22 tx
J
B
J
Ktx ưư
)(10)( 2
1
tx
tx
t
)()(
)()()(
tt
tUtt
Cx
BAxx
u
BK
L
K
L
R
ưư
ư
A 10C
0
1
ưLBtrong đó:
9 September 2011 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 79
JJ
Cách thành lập PTTT từ PTVP
Trường hơp 1: Vế phải của PTVP không chứa đao hàm của tín hiệu vào ï ï
1
Hệ thống mô tả bởi PTVP
)()()()()( 01110 tubtyadt
tdya
dt
tyda
dt
tyda nnn
n
n
n
)()(1 tytx
Đặt biến trạng thái theo qui tắc:
Biến đầu tiên đặt bằng tín hiệu ra:
)()(
)()(
23
12
txtx
txtx
Biến thứ i (i=2..n) đặt bằng đạo hàm
của biến thứ i1:
)()( 1 txtx nn
9 September 2011 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 80
Cách thành lập PTTT từ PTVP
Trường hơp 1 (tt) ï
Phương trình trạng thái:
)()(
)()()(
tty
tutt
Cx
BAxx
trong đó:
)(tx
0010
0
)(
)(
2
1
tx
t x
0100
A
0
B
)(
)(1
tx
tx
n
n
0
1
0
2
0
1
0
1000
a
a
a
a
a
a
a
a nnn
0
0
a
b
0
0001 C
9 September 2011 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 81
Chứng minh: xem LT ĐKTĐ, trang 64-65
Cách thành lập PTTT từ PTVP
Thí du trường hơp 1 ï ï
Viết PTTT mô tả hệ thống có quan hệ vào ra cho bởi PTVP sau:
)()(10)(6)(5)(2 tutytytyty
)()(
)()(
12
1
txtx
tytx
Đặt các biến trạng thái:
)()( 23 txtx
Phương trình trạng thái:
)()(
)()()( trtt
C
BAxx
0
0
0
0
B
tty x
trong đó:
5235
100
010
100
010
123 aaa
A
5.0
0
0
a
b
9 September 2011 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 82
.
000 aaa 001C
Cách thành lập PTTT từ PTVP
Trường hơp 2: Vế phải của PTVP có chứa đao hàm của tín hiệu vào ï ï
Hệ thống mô tả bởi PTVP:
)()()()(
1 tdytydtyd nn 1110 tyadtadtadta nnnn
)()()()( 12
2
1
1
0 tub
tdubtudbtudb
nn
11 dtdtdt nnnn
Chú ý: đạo hàm ở vế phải thấp hơn đạo hàm ở vế trái 1 bậc
Đặt biến trạng thái theo qui tắc:
Biến đầu tiên đặt bằng tín hiệu ra:
Biến thứ i (i=2 n) đặt bằng đao hàm )()()(
)()(
112
1
trtxtx
tytx
.. ï
của biến thứ i1 trừ 1 lượng tỉ lệ với
tín hiệu vào:
)()()( 223 trtxtx
9 September 2011 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 83
)()()( 11 trtxtx nnn
Cách thành lập PTTT từ PTVP
Trường hơp 2 (tt)
)()(
)()()(
tty
trtt
Cx
BAxx
ï
Phương trình trạng thái:
trong đó:
0010
)(
)(
2
1
tx
tx
0100
2
1
)(
)(
)(
1
t
tx
t
n
x
121
1000
aaaa nnn
A
n
1
B
xn 0000 aaaa
C
n
9 September 2011 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 84
0001
Cách thành lập PTTT từ PTVP
Trường hơp 2 (tt) ï
Các hệ số trong vector B xác định như sau:
b
111
0
0
1
ab
a
12212
0
2
aab
a
0
3 a
0
1122111
a
aaab nnnn
n
9 September 2011 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 85
Chứng minh trường hợp n=3: xem LT ĐKTĐ, trang 67-68
Cách thành lập PTTT từ PTVP
Thí du trường hơp 2 ï ï
Viết PTTT mô tả hệ thống có quan hệ vào ra cho bởi PTVP sau:
)(20)(10)(10)(6)(5)(2 tututytytyty
Đặt các biến trạng thái:
)()()(
)()()(
)()(
112
1
trtxtx
tytx
Phương trình trạng thái:
)()(
)()()( trtt
C
BAxx
223 trtxtx
tty x
trong đó:
1
5235
100
010
100
010
123 aaa
A
3
2
B
9 September 2011 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 86
001C .000 aaa
Cách thành lập PTTT từ PTVP
Thí du trường hơp 2 (tt) ï ï
Các hệ số của vector B xác định như sau:
0510
0
2
0
0
0
1
b
a
b
150610520
5
2
12212
0
111
2
aab
a
a
203 a
0
15
5B
9 September 2011 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 87
Thành lập PTTT từ PTVP dùng phương pháp tọa độ pha
Xét hệ thống mô tả bởi phương trình vi phân
)()()()( 11
1
10 tyadt
tdya
dt
tyda
dt
tyda nnn
n
n
n
Đặt biến trang thái theo qui tắc:
)()()()( 11
1
10 tubdt
tdub
dt
tudb
dt
tudb mmm
m
m
m
ï
Biến trạng thái đầu tiên là nghiệm của phương trình:
)()()()()( 1111
1
11 tutxatdxatxdatxd nn
nn
00
1
0 adtadtadt
nn
)()( 12 txtx Biến thứ i (i=2..n) đặt đạo hàm
á
)()(
)()( 23
tt
txtx
bien i1
9 September 2011 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 88
1xx nn
Thành lập PTTT từ PTVP dùng phương pháp tọa độ pha
)()()( ttt BA
)()( tty
r
Cx
xx Phương trình trạng thái:
trong đó:
0010
0 )(t
0100
A
0
B
)()( 2
1
tx
x
t x
0
1
0
2
0
1
0
1000
a
a
a
a
a
a
a
a nnn
1
0 )(txn
0001 bbb mmC
9 September 2011 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 89
000
aaa
Thí dụ thành lập PTTT từ PTVP dùng PP tọa độ pha
Viết PTTT mô tả hệ thống có quan hệ vào ra cho bởi PTVP sau:
)(3)()(4)(5)()(2 tututytytyty
Đặt biến trang thái theo phương pháp toa độ pha ta đươc phương ï ï , ï
trình trạng thái:
)()(
)()()( trtt
C
BAxx
trong đó:
tty x
50522
100
010
100
010
123 aaa
A
1
0
0
B
..
000 aaa
50051012 bbbC
9 September 2011 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 90
..
000
aaa
Thành lập PTTT từ sơ đồ khối
Thí du ï
Hãy thành lập hệ phương trình trạng thái mô tả hệ thống có sơ đồ
khối như sau:
R(s)
+
Y(s)
)3)(1(
10
sss
à Đặt biến trạng thái trên sơ đo khối:
R(s) Y(s)1011 X1(s)X2(s)X3(s)+ )3( s)1( ss
9 September 2011 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 91
Thành lập PTTT từ sơ đồ khối
Thí du (tt) ï
Theo sơ đồ khối, ta có:
10 )(
3
)( 21 sXs
sX )(10)(3)( 211 sXsXssX
)(10)(3)( 211 txtxtx (1)
)(
1
1)( 32 sXsX )()()( 322 sXsXssX s
)()()( 322 txtxtx (2)
)()(1)(3 sYsRssX )()()( 13 sXsRssX
)()()( (3)
9 September 2011 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 92
13 trtxtx
Thành lập PTTT từ sơ đồ khối
Thí du (tt) ï
Kết hợp (1), (2), và (3) ta được phương trình trạng thái:
)(0
0
)(
)(
110
0103
)(
)(
2
1
2
1
trtx
tx
tx
tx
1
)(
)(001
)(
)( 33
t
tx
t
tx
BxAx
)(tx
Đáp ứng của hệ thống:
)(
)(001)()(
3
2
1
1
tx
txtxty
C
9 September 2011 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 93
Tính hàm truyền từ PTTT
Ch h ä h á â û b ûi PTTT o e t ong mo ta ơ :
)()(
)()()(
tt
tutt
C
BAxx
y x
Hàm truyền của hệ thống là:
BAIC 1
)(
)()( s
sU
sYsG
Chứng minh: xem LT ĐKTĐ, trang 78
9 September 2011 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 94
Tính hàm truyền từ PTTT
Thí du
Tính hàm truyền của hệ thống mô tả bởi PTTT:
)()()( tutt BAxx
ï
)()( tty Cx
trong đó
32
10
A
1
3
B 01C
Giải: Hàm truyền của hệ thống là:
BAIC 1
)(
)()( s
sU
sYsG
9 September 2011 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 95
Tính hàm truyền từ PTTT
Thí du (tt) ï
32
1
32
10
10
01
s
s
ss AI
sss
1311
1
1AI ssss 2)1.(2)3(32
131130111 sss AIC 23223 22 sssss
1)3(331311 sss BAIC 23123 22 ssss
103)( ssG
9 September 2011 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 96
232 ss
Nghiệm của phương trình trạng thái
Nghiệm của phương trình trạng thái ?)()()( tutt BAxx
t duttt )()()0()()( Bxx
0
)]([)( 1 st LTrong đó: ma trận quá độ
1)()( AIss
á à å
Đáp ứng của hệ thống?
Chứng minh: xem Lý thuyet Đieu khien tự động
)()( tty Cx
9 September 2011 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 97
Thí dụ: xem TD 2.15, Lý thuyết Điều khiển tự động
Tóm tắt quan hệ giữa các dạng mô tả toán học
PT vi phân
L L -1 Đặt x
Hàm truyền PT trạng thái
BAIC 1)( ssG
9 September 2011 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 98
á áMô hình tuyen tính hóa hệ phi tuyen
9 September 2011 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 99
H ä hi t á l ø h ä th á t đ ù h ä ø kh â th å â
Khái niệm về hệ phi tuyến
e p uyen a e ong rong o quan e vao – ra ong e mo
tả bằng phương trình vi phân tuyến tính.
Phần lớn các đối tương trong tư nhiên mang tính phi tuyếnï ï .
Hệ thống thủy khí (TD: bồn chứa chất lỏng,),
Hệ thống nhiệt động học (TD: lò nhiệt,),
á Hệ thong cơ khí (TD: cánh tay máy,.),
Hệ thống điện – từ (TD: động cơ, mạch khuếch đại,)
Hệ thống vật lý có cấu trúc hỗn hơp,ï
9 September 2011 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 100
Mô tả toán học hệ phi tuyến dùng phương trình vi phân
Q h ä ø û h ä hi t á li â t ù th å bi å di ã dướiuan e vao – ra cua e p uyen en ục co e eu en
dạng phương trình vi phân phi tuyến bậc n:
)()()()()( 1 tdtdtdtdtd mnn
)(,,,),(,,,1 tudt
u
dt
uty
dt
y
dt
yg
dt
y
mnn
trong đó: u(t) là tín hiệu vào,
y(t) là tín hiệu ra,
g(.) là hàm phi tuyến
9 September 2011 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 101
Mô tả hệ phi tuyến dùng phương trình vi phân – Thí dụ 1
ti át di ä ûa: e en van xa
A: tiết diện ngang của bồn
g: gia tốc trọng trường
( )
u(t)
qin
k: hệ số tỉ lệ với công suất bơm
CD: hệ số xả
y t qout
Phương trình cân bằng: )()()( tqtqtyA outin
)()( tkutqi trong đó: n
)(2)( tgyaCtq Dout
(hệ phi tuyến bậc 1) )(2)(1)( tgyaCtkuty D
9 September 2011 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 102
A
Mô tả hệ phi tuyến dùng phương trình vi phân – Thí dụ 2
J: moment quán tính của cánh tay máy
M: khối lượng của cánh tay máy
m: khối lượng vật nặng
l hi à d øi ù h ùl : c eu a can tay may
lC : khoảng cách từ trọng tâm tay máy đến trục quay
B: hệ số ma sát nhớt
m
u
g: gia tốc trọng trường
u(t): moment tác động lên trục quay của cánh tay máy
(t): góc quay (vị trí) của cánh tay máy
Theo định luật Newton
)(cos)()()()( 2 tugMlmltBtmlJ C
)(
)(
1cos
)(
)()(
)(
)( 222 tumlJ
g
mlJ
Mlmlt
mlJ
Bt C
9 September 2011 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 103
(hệ phi tuyến bậc 2)
Mô tả hệ phi tuyến dùng phương trình vi phân – Thí dụ 3
: góc bánh lái
: hướng chuyển động
của tàu
k: hệ số
i: hệ số(t)
(t)
Hướng chuyển động
û á Phương trình vi phân mô ta đặc tính động học hệ thong lái tàu
)()()()(1)(11)( 33 ttktttt
(hệ phi tuyến bậc 3)
212121
9 September 2011 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 104
Mô tả toán học hệ phi tuyến dùng phương trình trạng thái
Hệ phi tuyến liên tục có thể mô tả bằng phương trình trạng thái:
))()(()( tutt xfx
))(),(()(
,
tuthty x
trong đó: u(t) là tín hiệu vào,
y(t) là tín hiệu ra,
x(t) là vector trạng thái,
x(t) = [x1(t), x2(t),,xn(t)]T
f(.), h(.) là các hàm phi tuyến
9 September 2011 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 105
Mô tả hệ phi tuyến dùng phương trình trạng thái – Thí dụ 1
PTVP:
( )
u(t)
qin )(2)(1)( tgyaCtku
A
ty D
Đặt biến trạng thái: )()(1 tytx
y t qout
PTTT:
))(),(()(
))(),(()(
tuthty
tutt
x
xfx
)(
)(2
)( 1 tuk
tgxaC
u D xf
trong đó:
,
AA
)())(),(( 1 txtuth x
9 September 2011 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 106
Mô tả hệ phi tuyến dùng phương trình trạng thái – Thí dụ 2
PTVP:
m
l )(
)(
1cos
)(
)()(
)(
)( 222 tumlJ
g
mlJ
Mlmlt
mlJ
Bt C
Đặt biến trạng thái:
)()(
)()(
2
1
ttx
ttx
u
PTTT:
))()(()(
))(),(()(
h
tutt xfx
, tutty x
)(2 tx
trong đó:
)(
)(
1)(
)(
)(cos
)(
)(),(
22212 tumlJ
tx
mlJ
Btx
mlJ
gMlmlu Cxf
9 September 2011 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 107
)())(),(( 1 txtuth x
Điểm dừng của hệ phi tuyến
))()(()( ttt f
))(),(()(
,
tuthty
u
x
xx Xét hệ phi tuyến mô tả bởi PTTT phi tuyến:
Điểm trạng thái được gọi là điểm dừng của hệ phi tuyến nếu
như hệ đang ở trạng thái và với tác động điều khiển cố định,
kh â đ åi h ù hì h ä õ è â i h ùi đ ù
x
x u
Nếu là điểm dừng của hệ phi tuyến thì:),( ux
ong o c o trươc t e se nam nguyen tạ trạng t a o.
0))(),(( , uutut xxxf
Điểm dừng còn được gọi là điểm làm việc tĩnh của hệ phi tuyến
9 September 2011 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 108
Điểm dừng của hệ phi tuyến – Thí dụ 1
)()()( ttt )(2)(
.
)( 21
21
2
1
txtx
uxx
tx
x
Cho hệ phi tuyến mô tả bởi PTTT:
å áXác định điem dừng của hệ thong khi 1)( utu
Giải:
å û
0))(),(( , uutut xxxf
Điem dừng là nghiệm cua phương trình:
02
01.
21
21
xx
xx
2
2
2
1
x
x
2
2
2
1
x
x
hoặc
9 September 2011 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 109
2 2
Điểm dừng của hệ phi tuyến – Thí dụ 2
Cho hệ phi tuyến mô tả bởi PTTT:
uxxx
2
3
2
21 1
ux
xxx
x
x
2
3
313
3
2 )sin(
Xác định điểm dừng của hệ thống khi 0)( utu
1xy
9 September 2011 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 110
Tuyến tính hóa hệ phi tuyến xung quanh điểm làm việc tĩnh
Xét hệ phi tuyến mô tả bởi PTTT phi tuyến:
))(),(()(
))(),(()(
tuthty
tutt
x
xfx
Khai triển Taylor f(x,u) và h(x,u) xung quanh điểm làm việc tĩnh
ta có thể mô tả hệ thống bằng PTTT tuyến tính:
)(
~)(~)(~ tutt BxAx (*)
),( ux
đ ù tt )()(~ xxx
)(~)(~)(~ tutty DxC
trong o:
ytyty
ututu
)()(~
)()(~
))(( uhy x
9 September 2011 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 111
,
Tuyến tính hóa hệ phi tuyến xung quanh điểm làm việc tĩnh
Các ma trận trạng thái của hệ tuyến tính quanh điểm làm việc
tĩnh được tính như sau:
1
2
1
1
1
n
fff
x
f
x
f
x
f
1
f
u
f
2
2
2
1
2
nxxxA
2
nf
uB
)(21 un
nnn
x
f
x
f
x
f
,x
)( uu ,x
x
h
x
h
x
hC
u
hD
9 September 2011 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 112
)(21 un ,x )( u,x
Tuyến tính hóa hệ phi tuyến – Thí dụ 1
Thông số hệ bồn chứa :
u(t)
qin
3
22
80/150
100 ,1
CVk
cmAcma
y(t) qout 2sec/981
. ,.sec
cmg
cm D
PTTT:
))()(()(
))(),(()(
tuthty
tutt
x
xfx
,
)(94650)(35440)(
)(2
)( 1 k
tgxaCDf
trong đó:
.., 1 tutxtuAA
u x
)())(),(( 1 txtuth x
9 September 2011 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 113
Tuyến tính hóa hệ phi tuyến – Thí dụ 1 (tt)
Tuyến tính hóa hệ bồn chứa quanh điểm y = 20cm:
Xác định điểm làm việc tĩnh:
201 x
05.13544.0),( 1 uxuxf 9465.0u
9 September 2011 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 114
Tuyến tính hóa hệ phi tuyến – Thí dụ 1 (tt)
X ù đị h ù t ä t th ùi t i đi å l ø i ä tĩ h
0396.0
2
21
D
xA
gaC
x
fA 5.11
A
k
u
fB
ac n cac ma ran rạng a ạ em am v ec n :
)(1)(1 uu ,x,x )()( uu ,x,x
1 hC 0
hD
)(1 ux ,x )( uu ,x
V ä PTTT â t û h ä b à hứ h đi å l ø i ä 20 l øay mo a e on c a quan em am v ec y= cm a:
)(~)(~
)(~5.1)(~0396.0)(~
tt
tutt xx
)(
)(2
),( 1 tu
A
k
A
tgxaC
u D xfy x
9 September 2011 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 115
)())(),(( 1 txtuth x
Tuyến tính hóa hệ phi tuyến – Thí dụ 2
Thông số cánh tay máy :
2
C
02050
1.0,2.0 ,5.0
mkgJkgM
kgmmlml
m
l
2sec/81.9 ,005.0
..,.
mgB
u
PTTT:
))(),(()(
))(),(()(
tuthty
tutt
x
xfx
)(2 tx
trong đó:
)(
)(
1)(
)(
)(cos
)(
)(),(
22212 tumlJ
tx
mlJ
Btx
mlJ
gMlmlu Cxf
9 September 2011 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 116
)())(),(( 1 txtuth x
Tuyến tính hóa hệ phi tuyến – Thí dụ 2 (tt)
Tuyến tính hóa hệ tay máy quanh điểm làm việc y = /6 (rad):
Xác định điểm làm việc tĩnh:
6/1 x
01)()(
2 BgMlml
x
uxf 02x
)()(
cos
)(
,
22212
u
mlJ
x
mlJ
x
mlJ
C 2744.1u
Do đó điểm làm việc tĩnh cần xác định là:
6/1 xx 02x
2744.1u
9 September 2011 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 117
Tuyến tính hóa hệ phi tuyến – Thí dụ 2 (tt)
X ù đị h ù t ä t th ùi t i đi å l ø i ä tĩ hac n cac ma ran rạng a ạ em am v ec n :
2221
1211
aa
aa
A
0
)(1
1
11
ux
fa
,x
1
)(2
1
12
ux
fa
,x
)(
12
)(1
2
21 )(sin)(
)(
u
C
u
tx
mlJ
Mlml
x
fa
xx
,,
)(
2
)(2
2
22 )( mlJ
B
x
fa
)(1)()()(
)(
)(
2
BgMlml
tx
u Cxf
uu ,x,x
9 September 2011 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 118
)()(cos)(
,
22212 tumlJ
tx
mlJ
tx
mlJ
Tuyến tính hóa hệ phi tuyến – Thí dụ 2 (tt)
X ù đị h ù t ä t th ùi t i đi å l ø i ä tĩ hac n cac ma ran rạng a ạ em am v ec n :
1
b
b
B
01fb
2
)(
1 uu ,x
1f
2
)(
2
2 mlJu
b
u
,x
)(1)()()(
)(
)(
2
BgMlml
tx
u Cxf
9 September 2011 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 119
)()(cos)(
,
22212 tumlJ
tx
mlJ
tx
mlJ
Tuyến tính hóa hệ phi tuyến – Thí dụ 2 (tt)
X ù đị h ù t ä t th ùi t i đi å l ø i ä tĩ hac n cac ma ran rạng a ạ em am v ec n :
1
1
1
x
hc 21 ccC 0
)(2
2
x
hc
)( u,x u,x
1dD 0
)(
1
u
hd
u,x
Vậy phương trình trạng thái cần tìm là:
)(~)(~)(~
)(~)(~)(~
ttt
tutt
DC
BxAx
uy x
10
A
0
B 01C 0D 2221 aa 2b
9 September 2011 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 120
)(),( 1 txuh x
Điều khiển ổn định hóa hệ phi tuyến quanh điểm làm việc tĩnh
Đưa hệ phi tuyến về miền xung quanh điểm làm việc tĩnh (đơn
giản nhất có thể dùng bộ điều khiển ON-OFF)
Xung quanh điểm làm việc, dùng bộ điều khiển tuyến tính
ĐK
r(t) Đối tượng
phi tuyến
+
y(t)
tuyến tính u(t)e(t)
ON-OFF
Chọn
bộ ĐK
9 September 2011 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 121
Các file đính kèm theo tài liệu này:
huynh_thai_hoangchuong2_cstd_0076.pdf
