Chuyển động song phẳng Của vật rắn

-99- Ch−ơng 8 Chuyển động song phẳng Của vật rắn 8.1. Ph−ơng trình chuyển động, vận tốc và gia tốc của cả vật. 8.1.8.Định nghĩa và phân tích chuyển động song phẳng. Chuyển động song phẳng của vật rắn là chuyển động khi mỗi điểm thuộc vật luôn luôn chuyển động trong một mặt phẳng cố định song song với mặt phẳng quy chiếu đã chọn tr−ớc ( mặt phẳng cơ sở ). Nói cách khác chuyển động song phẳng là chuyển động của vật khi mỗi điểm của nó trong quá trình chuyển động có khoảng cách đến mặt phẳng cơ sở là không đổi . Trong kỹ thuật có nhiều chi tiết máy chuyển động song phẳ xe lăn trên một đ−ờng thẳng, thanh biên trong cơ cấu biên tay q động ..v..v... ay O (s) π Hình 8.1 ϕ A xA y1 y O b M .Xét vật rắn A chuyển động song phẳng có mặt phẳng cơ sở π (hình 8.1 ) Đ−ờng thẳng ab thuộc vật vuông góc với mặt phẳng cơ sở, sẽ thực hiện chuyển động tịnh tiến. Mọi điểm nằm trên đ−ờng thẳng này có chuyển động nh− nhau và đ−ợc đặc tr−ng bởi chuyển động của điểm M năm trên ab. Nếu xem vật là tập hợp vô số các đ−ờng ab nh− vậy suy ra chuyển động của vật đ−ợc đặc tr−ng bởi tiết diện S trên mặt phẳng oxy. Mô hình bài toán chuyển động song phẳng của vật rắn đ−ợc đ−a về nghiên cứu chuyển động của một tiết diện (S) trong mặt phẳng oxy của nó (hình 8.2) gọi tắt là Hình 8-2ng nh− bánh uay, ròng rọc x x B (S) ' x1 -100- chuyển động phẳng của tiết diện S. Vị trí của tiết diện (S) trong mặt phẳng oxy đ−ợc xác định khi ta biết đ−ợc vị trí của một đoạn thẳng AB thuộc tiết diện (S). Xét chuyển động của tiết diện (S) từ vị trí (1) xác định bởi vị trí đoạn thẳng A1B1 đến vị trí (2) xác định bởi vị trí của đoạn thẳng A2B2 ( hình 8.3). Dễ dàng thấy rằng ta có thể thay thế chuyển động của tiết diện (S) bằng hai chuyển động cơ bản sau : Cho tiết diện (S) chuyển động tịnh tiến theo cực A hay cực B từ vị trí A1B1 đến vị trí A'1B2 hay A2B ' 1 . Tiếp theo ta quay tiết diện S quanh A2 hay B2 một góc ϕ1 hay ϕ2. Vì A2B'1//A'1B2 nên ở đây ϕ1 = ϕ2 = ϕ. Có thể đi đến kết luận ; chuyển động của tiết diện (S) trong mặt phẳng của nó (chuyển động song phẳng ) luôn luôn có thể phân tích thành hai chuyển động: tịnh tiến theo một tâm cực và chuyển động quay quanh tâm cực đó. Chuyển động tịnh tiến phụ thuộc vào tâm cực nh−ng chuyển động quay không phụ thuộc vào tâm cực. Nh− vậy chuyển động song phẳng chính là chuyển động tổng hợp của vật rắn khi nó đồng thời tham gia hai chuyển động quay quanh một trục có ph−ơng không đổi và tịnh tiến theo ph−ơng vuông góc với trục quay. 8.1.2. Ph−ơng trình chuyển động, vận tốc và gia tốc của vật . Xét tiết diện (S) chuyển động trong mặt phẳng oxy chứa nó. Nếu chọn A là tâm cực và dựng đoạn thẳng AB trên tiết diện ta sẽ thấy vị trí của tiết diện (S) trong mặt phẳng oxy sẽ đ−ợc xác định nếu ta biết vị trí của cực A và ph−ơng của AB so với trục ox. Nói khác đi, thông số định vị của tiết diện (S) trong mặt phẳng oxy là xA, yA, và ϕ (hình 8.4). A1 B1 (S) A2 B2 B'1 A'1 ϕ2 ϕ1 Hình 8-3 x ϕ B (S) A xA y O yA Hình 8-4 -101- Trong thời gian chuyển động các thông số này biến đổi theo thời gian ta có : xA = xA(t) yA = yA(t) (8.1) ϕ = ϕ(t) Biết quy luật biến đổi (8.1) ta có thể xác định vị trí của tiết diện (S) ở bất kỹ thời điểm nào. Các ph−ơng trình (8.1) là ph−ơng trình chuyển động của tiết diện phẳng (S) trong mặt phẳng của nó (ph−ơng trình chuyển động song phẳng ). Từ ph−ơng trình chuyển động (8.1) ta thấy vận tốc và gia tốc của vật đ−ợc biểu diễn bởi hai thành phần : vận tốc và gia tốc trong chuyển động tịnh tiến theo tâm cực A là : AA w,v rr . Vận tốc góc và gia tốc góc của tiết diện trong chuyển động quay quanh tâm cực A là ω, ε. Vì chuyển động tịnh tiến phu thuộc tâm cực A nên vận tốc và gia tốc trong chuyển động tịnh tiến phụ thuộc vào tâm cực A. Ta có : Ai2A1A vvv rrr ≠≠ Ai2A1A www rrr ≠≠ π S A O ε ω Chuyển động quay không phụ thuộc vào tâm A nên có : ωA1 = ωA2 = ωAi = ω Hình 8.5 εA1 = εA2 = εAi = ε Vận tốc góc ω và gia tốc góc ε có thể biển diễn bằng véc tơ vuông góc với tiết diện (S) nh− hình( 8.5) . Khi hai véc tơ này cùng chiều ta có chuyển động quay nhanh dần và nếu chúng ng−ợc chiều có chuyển động quay chậm dần. -102- 8.2. Ph−ơng trình chuyển động, vận tốc và gia tốc của điểm Trên vật chuyển động song phẳng 8.2.1. Ph−ơng trình chuyển động Xét điểm M bất kỳ trên tiết diện. Giả thiết chọn tâm cực A có toạ độ xAyA (hình 8-6). M r' rA r A ϕ O x yKý hiệu góc hợp giữa AM với ph−ơng ox là ϕ và khoảng cách AM = b.Toạ độ của điểm M trong chuyển động tuyệt đối so với hệ quy chiếu oxy có thể xác định : xM = xA +b.cosϕ ; Hình 8.6 yM =yA + b.sinϕ ; Các thông số xA, yA và ϕ là các hàm của tthời gian, nghĩa là : xA = xA(t) yA = yA(t) ϕ = ϕ(t) Do đó xM, yM cũng là hàm của thời gian . Ta có : xM =xM(t) = xA (t)+b.cosϕ(t) ; yM =yM(t)=yA (t)+ b.sinϕ (t); (8.2) (8.2) là ph−ơng trình chuyển động của điểm M. Cũng có thể thiết lập ph−ơng trình chuyển động của điểm M d−ới dạng véc tơ. Trên hình 8-6 có : r =r(t)=rA + r' (8.2a) ở đây r' =AM có độ lớn không đổi bằng b, và quay quanh trục A với vận tốc góc là ω. 8.2.2. Các định lý vận tốc của điểm 8.2.2.1. Các định lý vận tốc của điểm trên vật chuyển động song phẳng Định lý 8-1: Vận tốc của một điểm bất kỳ trên tiết diện chuyển động song phẳng bằng tổng hình học của vận tốc tâm cực A và vận tốc góc của điểm đó trong chuyển động của tiết diện quay quanh trục A với vận tốc góc ω. Ta có : -103- MAAM vvv rrr += . Chứng minh định lý : Từ ph−ơng trình chuyển động (8-2a) ta có : dt 'rd dt rd dt rdv AM rrrr +== . Thay AMv dt 'rd;v dt rd MAA A ìω=== rr rrr Ta sẽ có MAAM vvv rrr += , định lý đ−ợc chứng minh. Cần chú ý véc tơ vận tốc của điểm M quay quanh A ký hiệu là AMv r có ph−ơng vuông góc với AM, có chiều h−ớng theo chiều quay của vận tốc ω (hình 8-6). Định lý 8-2 : Định lý về hình chiếu vận tốc hai điểm Trong chuyển động song phẳng của tiết diện S (chuyển động song phẳng) hình chiếu vận tốc của hai điểm bất kỳ trên tiết diện lên ph−ơng nối hai điểm đó luôn luôn bằng nhau. ( ) ( ) ABBABA vv rr = Chứng minh định lý : Theo định lý 8-1, nếu chọn A làm tâm cực thì vận tốc điểm B xác định theo biểu thức : BAAB vvv rrr += với vuông góc AB. Chiếu biểu thức trên lên ph−ơng AB ta có : ( ) BAv r ( ) ( )ABBAABAABB vvv rrr += . Trong đó : ( ) 0v ABBA =r vì ABvBA⊥r . A vB vBA α vA vA βα 90 B ba Định lý đã đ−ợc chứng minh. Hình 8.7Ta có thể minh họa định lý trên bằng hình vẽ( 8-7). Trên hình vẽ ta có : Aa = Bb hay vAcosα = vBcosβ. 8.2.2.2. Tâm vận tốc tức thời - Xác định vận tốc của điểm trên tiết diện chuyển động phẳng theo tâm vận tốc tức thời - Tâm vận tốc tức thời là điểm thuộc tiết diện có vận tốc tức thời -104- bằng không. Nếu gọi P là tâm vận tốc tức thời thì : vP = 0. Định lý 8-3 : Trong chuyển động song phẳng của vật rắn tại mỗi thời điểm luôn luôn tồn tại một và chỉ một tâm vận tốc tức thời. Chứng minh định lý : Xét tiết diện (S) chuyển động phẳng với vận tốc của tâm cực A là Av r và vận tốc góc trong chuyển động quay là ω . Quay véc tơ V đi một góc bằng 90 theo chiều quay của ω ta sẽ dựng đ−ợc tia . Trên tia lấy một điểm P cách A một đoạn ∆ ∆ ω= AvAP (hình 8.8) Theo biểu thức (8-2) ta có : . ở đây PAAP vvv rrr += ωω=ω= A PA vPA.v = vA. ∆ vA A d (S) ωA vA P vPA Ph−ơng của PAv r vuông góc với AP h−ớng theo chiều quay vòng của ω nghĩa là PAvr có độ lớn bằng với độ lớn của vA, cùng ph−ơng nh−ng ng−ợc chiều với Av r . Hình 8.8 Thay vào biểu thức tính Pv r ta đ−ợc vP = vA - vA = 0 chính là tâm vận tốc tức thời. Chứng minh tính duy nhất của tâm vận tốc tức thời : Giả thiết tại thời điểm trên vật có hai tâm vận tốc tức thời P1 và P2 với vP1 = 0 và vP2 = 0. Theo định lý 8-1 ta có : 1P2P1P2P vvv rrr += hay 1P2Pv00 r+= . Thay vP2P1 = ω . P2P1 ta thấy vP2P1 = 0 khi ω = 0 hoặc P2P1 = 0. Vì vật chuyển động song phẳng nên 0≠ω vậy chỉ có thể P2P1 = 0. Điều này có nghĩa P1 trùng với P2. Không thể có hai tâm vận tốc tức thời khác nhau cùng tồn tại ở một thời điểm. -105- - Xác định vận tốc trên vật chuyển động song phẳng theo tâm vận tốc tức thời P. Xét vật chuyển động song phẳng có vận tốc góc ω và tâm vận tốc tức thời P. Theo biểu thức (8-2) nếu lấy P làm tâm cực ta viết biểu thức vận tốc của điểm M nh− sau : 900 900 (S) vB B vA A a b ωP MPPM vvv rrr += Thay vP = 0 ta có : MPM vv rr = Nh− vậy vận tốc tức thời của điểm M đ−ợc tính nh− vận tốc của điểm M trong chuyển động của vật quay tức thời quanh tâm vận tốc tức thời P. Hình 8.9 Mv r có ph−ơng vuông góc với PM, h−ớng theo chiều quay vòng của ω quanh P, có độ lớn vM =PM . ω Ta có kết luận : vận tốc của điểm bất kỳ trên vật chuyển động song phẳng luôn luôn h−ớng vuông góc và tỷ lệ thuận với khoảng cách từ tâm vận tốc tức thời đến điểm. Quy luật phân bố vận tốc các điểm biểu diễn trên hình ( 8-9.). Trong thực hành có thể xác định tâm vận tốc tức thời P theo một số tr−ờng hợp sau : Tr−ờng hợp 1 : Vật chuyển động lăn không tr−ợt trên một đ−ờng thẳng hay đ−ờng cong phẳng cố đ ịnh (hình 8-10a) có thể xác định ngay điểm tiếp xúc chính là tâm vận tốc tức thời vì rằng điểm đó có vận tốc bằng không. Tr−ờng hợp 2: Khi biết ph−ơng vận tốc hai điểm hay quỹ đạo chuyển động của hai điểm trên vật chuyển động song phẳng thì tâm vận tốc tức thời là giao điểm của hai đ−ờng thẳng kẻ vuông góc với hai ph−ơng vận tốc hay hai ph−ơng tiếp tuyến của quỹ đạo tại hai điểm đó (hình 8-10b). Trong tr−ờng hợp này nếu hai đ−ờng đó song song với nhau có nghĩa tâm P ở xa vô cùng, ta nói vật tức thời chuyển động tịnh tiến (hình 8-10b). Tr−ờng hợp 3: Khi biết độ lớn và ph−ơng chiều vận tốc hai điểm nằm trên cùng một đ−ờng thẳng vuông góc với vận tốc hai điểm đó (hình 8-10c), tâm P là -106- giao điểm của đ−ờng thẳng đi qua hai mút véc tơ vận tốc và đ−ờng thẳng đi qua hai điểm đó. c) vA P B A vB b) vB P vA Pặ∞ vA vB P S vA P A B vB a) Hình 8.10 Thí dụ 8.1: Cơ cấu phẳng biểu diễn trên hình (8-11) có vận tốc BA v,v rr của hai con tr−ợt A và B đã biết. Xác định vận tốc của khớp C. Bài giải: Khi cơ cấu hoạt động thì các thanh biên AC và BC chuyển động song phẳng. Để xác định vận tốc của điểm C ta áp dụng định lý hình chiếu vận tốc cho thanh AC và BC. Vì vA và vB đã biết nên dễ dàng xác định đ−ợc hình chiếu của chúng lên ph−ơng AC và BC là Aa và Bb . Tại C kéo dài các đoạn thẳng AC và BC, Trên đó lấy các điểm C1, C2 với CC1 = Aa, CC2 = Bb. Các đoạn này là hình chiêú của VC lên hai ph−ơng AC và BC. Ta vẽ tứ giác vuông góc tại C1 và C2 (hình 8-11) đ−ờng chéo CC' của tứ giác đó chính là vận tốc VC. A K C C1C2 ba vA vB B Hình 8.11 B A O 2 Hình 8.12 vc Thí dụ 8-2 : Tay quay OA quay quanh trục O với vận tốc góc không đổi n =60 vòng / phút và dẫn động cho thanh biên AB gắn với bánh xe 2 (hình 8-12). Bánh xe 2 truyền chuyển động cho bánh xe 1 -107- 1 không gắn với tay quay OA nh−ng quay quanh trục O. Xác định vận tốc con tr−ợt B; Vận tốc góc của bánh xe 1 tại thời điểm khi tay quay OA song song và vuông góc với ph−ơng ngang. Cho biết cơ cấu cùng nằm trong một mặt phẳng và r1 = 50 cm ; r2 = 20 cm; AB = 130 cm. Bài giải : Cơ cấu có 5 khâu : bánh xe 1 chuyển động quay quanh trục O; con tr−ợt B chuyển động tịnh tiến theo ph−ơng ngang; Thanh AB chuyển động song song phẳng; Bánh xe 2 chuyển động song phẳng; tay quay OA chuyển động quay quanh O. 1) Xét tr−ờng hợp tay quay OA ở vị trí song song với ph−ơng ngang (hình 8-12a). Vận tốc góc thanh OA là : s/12 30 60 30 n π=π=π=ω . Vận tốc điểm A : vA =OA . ω = 2π . (r1 - r2) = 60π = 188,5 cm / s. Trên thanh AB có ph−ơng vận tốc hai điểm A và B đã biết nên xác định đ−ợc tâm vận tốc tức thời P1 (hình 8-12a). Bb) A O I vB PAB CvC vA II Ba) vA ωI III O A ω2 vC P2 C Hình 8.12 -108- Từ hình vẽ xác định đ−ợc : P2B = r1 = 50cm cm12050130BPABAP 222AB 2 2 =+=−= P2C = PAB - r2 = 120 - 20 = 100cm Xác định vận tốc của các điểm A, B, C theo tâm vận tốc tức thời P2 và vận tốc ω1 của thanh AB ta có ; VA = ω2 . P2A; VB = ω2 . P2B; Vc = ω2. P2C; Trong đó : )s/1( 2120 60 AP V 2 A 2 π=π==ω Thay vào các biểu thức của VB và VC ta có : )s/cm(2550. 2 VB π=π= )s/cm(50100. 2 VC π=π= Vì bánh xe 2 ăn khớp với bánh xe 1 nên vận tốc điểm C còn có thể xác định theo công thức : VC = ω1 . r1 suy ra : π==ω 1 C 1 r V (1/s) 2) Tay quay OA ở vị trí thẳng đứng (hình 8-12b). Tại vị trí này vận tốc hai điểm A và B song song với nhau vì thế theo định lý hình chiếu ta có : VAcosα = VBcosα suy ra BA VV rr = . Thanh AB tức thời chuyển động tịnh tiến. Mọi điểm trên nó và bánh xe 2 gắn với nó có chuyển động nh− nhau. Ta có : -109- )s/cm(5,188 50 60VVV ACB =π=== . Ph−ơng chiều của các vận tốc biểu diễn trên hình vẽ . Vận tốc góc của bánh xe 1 dễ dàng tìm đ−ợc : ωr = π=π= 5 6 50 60 r v 1 c (rad/s) Thí dụ 8-3: tay quay OA quay quanh O với vận tốc góc ωoA, truyền chuyển động cho bánh răng I ăn khớp với bánh răng II cố định. Hai bánh răng có bán kính nh− nhau và bằng R. Thanh truyền BD có đầu B liên kết với bánh xe I bằng khớp bản lề còn đầu D nối bằng khớp bản lề với tay quay CD (hình 8-13). Xác định vận tốc góc của thanh truyền BD tại thời điểm có góc BDC = 450. Cho BD = 1 (cm). P1 C vB 450 B A vA I II O P P 450 900 450 900 D Bài giải : Trong cơ cấu bánh răng I và thanh truyền BD chuyển động song phẳng. Bánh răng 1 có tâm vận tốc tức thời P. Vận tốc điểm A đ−ợc tính nh− sau : Hình 8.13 VA=ωOA . 2R. AV r h−ớng vuông góc với OA theo chiều quay vòng của ωOA. Suy ra vận tốc góc của bánh răng 1 : OA OAA 1 2R .R2 R V ω=ω==ω . Vận tốc điểm B có độ lớn : -110- OA1B R22.R21.PBV ω=ω=ω= . VB Có ph−ơng vuông góc với với PB có chiều theo chiều quay của bánh răng 1 quanh P (hình vẽ 8-13). Thanh BD chuyển động song phẳng, Đầu B có vận tốc đã xác định, đầu D có ph−ơng vận tốc vuông góc với CD do đó nhận đ−ợc tâm vận tốc thức thời P1 nh− trên hình vẽ . Trên hình ta có . 2 21BP1 = Vận tốc điểm B đ−ợc xác định theo P1: VB = P1.B.ωBD suy ra : OA 1 B BD 1 R.4 BP V ω==ω Chiều quay của ωBD nh− hình vẽ. 8.2.3. Gia tốc của điểm 8.2.3.1. Định lý 8-3 : Gia tốc của điểm M bất kỳ thuộc tiết diện (S) chuyển động song phẳng, bằng tổng hình học gia tốc của tâm cực A và gia tốc của điểm M trong chuyển động của tiết diện quay quanh A (hình 8-14). MAAM www rrr += (8-4) Trong đó : nMAMAMA www rrr += τ Với : WτMA = ε.AM và WnMA = ω2.AM Chứng minh định lý : Đạo hàm bậc hai theo thời gian ph−ơng trình chuyển động (8-2) ta có : 2 2 2 A 2 2 2 M dt 'rd dt rd dt rdw rrrr +== Thay A2 A 2 w dt rd rr = còn ( ) MA22 wAMdtddt 'rd rr r =ìω= MAMA VAMAMdt dAM dt dw rrrr +ìε=ìω+ìω= -111- Với chú ý AM có độ lớn không đổi nên ( ) MAVAMAMdtd rr =ìω= Ta có : MAAM VAMww rrrrr ìω+ìε+= AMìεr là gia tốc pháp tuyến của M trong chuyển động của (S) quay quanh A. MAV rr ìω là gia tốc pháp tuyến của M trong chuyển động của (S) quay quanh A. Ta đã chứng minh đ−ợc : n MAMAAM wwww rrrr ++= τ Vì các véc tơ ω có ph−ơng vuông góc với mặt phẳng của tiết diện nghĩa là vuông góc với AM và nên dễ dàng tìm đ−ợc : MAV r WMA τ = AM . ε còn WMAn = AM . ω2 Suy ra : 42MA .AMw ω+ε= Véc tơ có ph−ơng hợp với AM một góc à với MAwr 2tg ω ε=à (hình 8.14). 8.2.3.2. Tâm gia tốc tức thời Điểm trên tiết diện có gia tốc tức thời bằng không gọi là tâm gia tốc tức thời. Ký hiệu tâm gia tốc tức thời là J . Ta có : Wj = 0. Định lý 8-4 : Tại mỗi thời điểm trên tiết diện chuyển động song phẳng luôn tồn tại một và chỉ một tâm gia tốc tức thời J. Chứng minh tính tồn tại của tâm gia tốc tức thời : giả thiết tiết diện chuyển động song phẳng với vận tốc góc và gia tốc góc là ω và ε. Trên tiết diện có điểm A biết gia tốc WA (hình 8-15). Xoay WA theo chiều quay của ε quanh A đi một góc à với 2tg ω ε=à . Dựng nửa đ−ờng thẳng Ax theo ph−ơng đó.và lấy trên Ax -112- một điểm J cách A một đoạn 42 AwAJ ω+ε= . Điểm J đó có gia tốc : JAAJ www rrr += Trong đó WJA có độ lớn bằng 42 JA .AJw ω+ε= .' Thay 42 AwAJ ω+ε= . Ta đ−ợc : A42 42 A JA w ww =ω+ε ω+ε= . JAw r hợp với AJ một góc à với 2tg ω ε=à h−ớng theo chiều quay của ε quanh A. Nh− trên hình vẽ (8-15) ta thấy hai véc tơ gia tốc và có độ lớn bằng nhau song song và ng−ợc chiều do đó : Aw r JAw r 0www JAAJ =+= rrr ε wA B J à Cà wB wC A x wA à wM wA J x à ω A ε M wM wA ϕwMwA ω A ε Hình 8.16Hình 8.15Hình 8.14 Điểm J chính là tâm gia tốc tức thời của tiết diện . Tiếp theo ta chứng minh tính duy nhất của tâm gia tốc tức thời J : giả thiết tại thời điểm trên tiết diện có hai tâm gia tốc tức thời J1 và J2. Khi đó WJ1 = 0 và WJ2= 0. Theo biểu thức (4-8) ta có thể viết : 1J2J1J2J www rrr += . Thay WJ1 = 0 và WJ2= 0 vào biểu thức trên ta đ−ợc WJ2J1= 0. -113- Vì 42121J2J JJw ω+ε= trong đó 0≠ε 0≠ω nên WJ2J1 chỉ có thể bằng không khi J2J1 = 0 nghĩa là J2 trùng với J1. Không thể có hai tâm gia tốc cùng một thời điểm trên tiết diện chuyển động phẳng. Nếu trên tiết diện có một tâm gia tốc tức thời J và chọn J là tâm cực thì gia tốc của điểm M trên tiết diện có thể xác định theo biểu thức : MJJM www rrr += . Vì wJ = 0 nên có thể viết : n MJMJMJM wwww rrrr +== τ . Về trị số 42M .MJw ω+ε= có ph−ơng hợp với MJ một góc à với 2tg ω ε=à theo chiều quay của ε quanh J (hình 8-16). Nh− vậy ta nhận thấy gia tốc của các điểm trên tiết diện chuyển động song phẳng luôn luôn hợp với ph−ơng nối từ điểm đến tâm gia tốc tức thời một góc à có độ lớn tỷ lệ với khoảng cách từ điểm đến tâm gia tốc tức thời J. Vì các tính chất đó quy luật phân bố gia tốc các điểm trên tiết diện biểu diễn nh− trên hình (8-16). Cũng từ các tính chất trên có thể xác định tâm gia tốc tức thời trong một số tr−ờng hợp biểu diễn trên các hình (8-17), (8-18) , (8-19), (8-20), (8-21), (8-22). α α wA A J B wB Hình 8.18 ε α α wA wB A B J Hình 8.17 ε ε wA A J B wB Hình 8.19 -114- Trên hình (8-17) và (8-18) khi 0<à<900; 0,0 ≠ε≠ω Trên hình (8-19) và (8-20) khi à=900; 0,0 ≠ε≠ω Trên hình (8-21) và (8-22) khi à = 0; 0,0 =ε≠ω Trên hình (8-23) BA ww rr = . Thí dụ 8-4 : Bánh xe tầu hoả, bán kính vành ngoài R bán r lăn không tr−ợt trên ray thẳng. Cho biết vận tốc và gia tốc của m/s và WC = 0,2 m/s 2. Xác định gia tốc của các điểm M1, M2, M3, M4 trên vành ngoài của bánh xe tại thời điểm đang xét nh− hình (8-23). Biết r = 40cm, R = 50cm. Bài giải : Bánh xe chuyển động song phẳng đã biết vận tốc và gia tốc tâm C. Tr−ớc hết xác định vận tốc góc và gia tốc góc của bánh xe. w4 w wτMC M ω wC M1 w1 wnMC wτMC w wnMC M2 ε α wA J B wB ε Hình 8.20 wA A J B wB ε Hình 8.21 à à A B wA wB J --> ∞ Hình 8.22 ε Có thể xác định vận tốc góc theo vC. Vì tâm vận tốc tức thời là điểm tiếp xúc giữa bánh xe với đ−ờn Hình 8 ).s/rad(1 4,0 4,0 r v PC v CC ====ω Gia tốc góc : kính vành lăn là tầu là Vc = 0,4 wτMCw3 n MC 4 wC wC M3 wnMCwC C wτMC w2 C g ray nên có : .23 -115- )s/rad(59,0 4,0 2,0 r w dt dv. r 1 r v dt d dt d 2CCC ====⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛=ω=ε Xác định gia tốc các điểm M theo biếu thức : nMC r MCCM wwww rrrr ++= ở đây nhận tâm C là tâm cực. Các véc tơ của các điểm có trị số nh− nhau, chỉ khác nhau về ph−ơng chiều. n MC r MC w,w rr Về độ lớn ta có : WMC τ = CM.ε = R.ε =0,5.0,5 = 0,25 m/s2; WMC n = CM.ω2 = R.ω2 = 0,5.12 = 0,5 m/s2; Ph−ơng chiều các véc tơ này ở các điểm biểu diễn trên hình vẽ. Căn cứ vào hình vẽ và trị số đã thu đ−ợc ta có thể tính gia tốc các điểm M1, M2, M3, M4 nh− sau : ( ) ( ) 2222MC2nMCC1 s/m74,025,05,02,0wwww =++=++= τ ( ) ( ) 2222nMC2MCC2 s/m67,05,025,02,0wwww =++=++= τ ( ) ( ) 2222MC2CnCM3 s/m39,025,02,05,0wwww =++=++= τ ( ) ( ) 2222nMC2CCM4 s/m50,05,02,025,0wwww =++=++= τ Thí dụ 8-5 : Tay quay OA quay đều với vận tốc góc ωOA. Tìm gia tốc của con tr−ợt B và gia tốc góc của thanh AB trên cơ cấu hình vẽ (8-24). Cho biết tại thời điểm khảo sát góc BOA = 900 ; độ dài OA = r ; AB = 1. B wr A vA vB wB l J ε A r O ω0 Bài giải : Tại vị trí khảo sát có :vA = vB Hình 8.24 Thanh AB tức thời chuyển động tịnh tiến: ωAB = 0 Gia tốc điểm A bằng : WA = WA n = rω02 có ph−ơng chiều h−ớng từ A vào O. -116- Gia tốc điểm B luôn có ph−ơng nằm ngang. Để xác định tâm gia tốc tức thời ta xác định góc à: ∞=ω ε=à 2tg do đó à = 900 Dễ dàng tìm đ−ợc tâm gia tốc tức thời của thanh AB là giao điểm của hai đ−ờng thẳng hạ vuông góc với ph−ơng WA và WB tại A và B. Vì ωAB = 0 nên có thể viết : WA=JA.εAB ; WB =JB.εAB Suy ra : , JB w JA w BA = ở đây JB = r còn 22 rlJA −= nên 22 22 2 B s/rad. rl rw ω−= Ph−ơng của theo ph−ơng ngang, chiều h−ớng theo chiều quay vòng của ε Bw r AB quanh J nh− hình vẽ. Từ biểu thức : WA = JA.εAB suy ra 2222 AAAB s/rad.rl w JA w ω−==ε Thay WA = r.ω02 ta đ−ợc : 2222AB s/rad.rl r ω−=ε Thí dụ 8-6 : Cho cơ cấu gồm hai bánh răng ăn khớp với nhau. Bánh răng 1 bán kính r1 = 0,3 m cố định; Bánh răng 2 bán kính r2 = 0,2 m lăn trên vành bánh răng 1 và nhận chuyển động từ tay quay OA quay với vận tốc góc là ωOA và gia tốc góc εOA (hình 8-25a). Hình 8.25 2 1 P D ε2 ω2 vA wAτ wAn ω εO y xD wAn wAτ wnD wτD A ω2 ε2 Xác định gia tốc điểm D trên vành bánh răng 2 tại thời điểm có ; b)a) ωOA =1 rad/s2 và εOA = =4 rad/s2. -117- Bài giải : Bánh răng 2 chuyển động song phẳng. Vận tốc và gia tốc của tâm A đ−ợc xác định : vA = OA.ωOA = 0,5 m/s ; WA τ = OA.εOA = -2 m/s2; WAn = OA.ω2 = 0,5 m/s2. Ta có thể xác định đ−ợc vận tốc góc ω2 của bánh răng 2 : s/rad5,2 2,0 5,0 r v 2 A 2 ===ω Chiều quay của ω2 nh− hình vẽ (8-25). Gia tốc góc ε2 của bánh răng 2 đ−ợc xác định theo biểu thức : 2 2 aA 2 2 2 s/rad102,0 2 r w dt dv. r l dt d −=−===ω=ε τ Điều này chứng tỏ bánh răng 2 chuyển động chậm dần, chiều của ε2 ng−ợc chiều với ω2. Gia tốc điểm D có thể viết : nDADA n AAD wwwww rrrrr +++= ττ (a) Tại thời điểm khảo sát có : WDA τ = DA.ε2 = r2ε2 = 0,2.(10) = 2 m/s2; WDA n = DA.ω2 = r2ω22 = 0,2.(2,5)2 = 1,25 m/s2. Chiếu hai vế đẳng thức (a) lên hai trục Dx và Dy (hình 8-25b) ta đ−ợc : WDx = WA τ + WDAn = 2 + 1,25 = 3,25 m/s2; WDy = WDA τ - WAn = 2 - 0,5 = 1,5 m/s2. Suy ra : 2222Dy 2 DxD s/m58,35,125,3www ≈+=+=