Chuỗi và phương trình vi phân cấp 1

BỘ MÔN TOÁN ỨNG DỤNG - ĐHBK ------------------------------------------------------------------------------------- TOÁN 4 – HK2 0607 CHUỖI VÀ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN • BÀI 4: PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP 1 (SINH VIÊN) • TS. NGUYỄN QUỐC LÂN (05/2007) NỘI DUNG --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 1 – KHÁI NIỆM CƠ BẢN 2 – PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN PHÂN LY BIẾN SỐ 3 – PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TOÀN PHẦN 4 – PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP 1 TUYẾN TÍNH 5 – PT BERNULLI TỰ ĐỌC: PT VI PHÂN KHÔNG GIẢI ĐƯỢC VỚI ĐẠO HÀM & PT RICATTI (SGK, TRANG 135 → 139) Phương trình vi phân (thường): hàm ẩn y = y(x), biến x & các đạo hàm (hoặc vi phân) y(k), k = 0, 1 … n VD: 03' =+ xy ( ) xexyyy =++ 3'4'' ( ) ( ) 0=−−+ dyyxdxyx 1. KHÁI NIỆM CƠ BẢN -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Cấp 1 Cấp 2 Cấp 1 Phương trình vi phân cấp n: chứa đạo hàm cao nhất cấp n Dạng tổng quát PT vi phân cấp 1: ( ) ( ) ( ) ( )( )( ) 0,,'',',, =xyxyxyxyxF nKDạng tổng quát cấp n: ( ) ( )( ) 0',, =xyxyxF NGHIỆM PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- VD: ydx + xdy = 0: 2 dạng nghiệm hiện, ẩn VD: 21' yy −= Nghiệm PTVP cấp n THÔNG THƯỜNG chứa n hằng số: Đồ thị nghiệm: đường cong tích phân( ).,,, 1 nCCxy Kϕ= (c) Dạng tham số (a) Dạng hiện: y = f(x) (b) Dạng ẩn: H(x, y) = 0 ( ) ( )⎩⎨ ⎧ = = tyy txx Nghiệm PTVP: Hàm số y = y(x), x ∈ khoảng I ⊂ R VD: xey dx dy 2=− Nghiệm riêng: xey 2= Nghiệm: xx eCey 2+= nghiệm tổng quát 2. PHƯƠNG TRÌNH PHÂN LY BIẾN SỐ ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Phương pháp: Phân ly x & dx một vế, y & dy một vế. Tích phân 2 vế ⇒ Nghiệm (nói chung dạng ẩn) VD: Kiểm tra dạng phân ly của các ptrình xyya ='/ ( ) ( ) 011/ 22 =−++ dyxydxyxb ( ) 04/ =++ dxxyxdyc ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ =+ =+ === 0 0 ',)('),(' 2211 dyygxfdxygxf dyygdxxf ygxfyygyxfy3 dạng (hay gặp) phương trình vi phân phân ly biến số Nhận dạng: Biến x và y phân ly (separable) → Có thể tách rời mỗi vế 1 biến! VD: 02 =− dxyxdy 2. GIẢI PT VI PHÂN PHÂN LY BIẾN SỐ ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------- VD (SGK, 23/tr190): Vận tốc nguội đi của vật tỷ lệ thuận với hiệu nhiệt độ của vật và nhiệt độ không khí. Biết nhiệt độ không khí là 20°C và vật giảm nhiệt độ từ 100°C xuống 60°C sau 20 phút. Hỏi sau bao lâu kể từ thời điểm đầu, nhiệt độ của vật sẽ là 30°C? VD: xya 3sin'/ = yeyb ='/ x yyc 2'/ = VD: ( ) 05cos2/ 4 =++ dyydxxxa ( ) ( ) 0/ 2222 =−++ dyyxxdxxyyb xyxyyc 2'/ 2 =− 2. ĐỔI BIẾN ĐƯA VỀ PHÂN LY ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- VD: (x2 + y2)dx – xydy = 0: Chú ý P(x, y) = (x2 + y2), Q = xy! Chứa tổng: y’ = f(ax + by + c) → Đổi biến: u = ax + by + c VD: y’ = (2x + 3y + 1)2 – 2(2x + 3y + 1) Tỷ số: → Đổi biến:⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛= x yfy' uxuyuxy x yu +=⇒=⇒= '' Đặc biệt: P(x, y), Q(x, y) – tổng xαyβ, α + β = n ⇒ Phương trình đẳng cấp Pdx + Qdy = 0: Dạng y’ = f(y/x)! VD: xy xyyyb 2'/ 2 += x yya +=1'/ 3. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TOÀN PHẦN ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Ph/trình vi phân cấp 1: ( ) ( ) 0,, =+ dyyxQdxyxP ( ) ( ) ( )⎩⎨ ⎧ = = 2,' 1),(' yxQu yxPu y x 1/ T/phân (1) theo x ( ) ( )3yCPdxu +=⇒ ∫ 2/ Đ/hàm (3) theo y, phối hợp (2) ⇒ C(y) Tìm u: PT vi phân Pdx + Qdy = 0: toàn phần ⇔ Thứ tự: Đạo hàm chéo: P(x, y)dx + Q(x, y)dy ( )* y P ∂ ∂ x Q ∂ ∂ = yx x Q y P ,∀∂ ∂=∂ ∂ Thoả ĐK (*) ⇒ ∃u(x,y): du = Pdx + Qdy ⇒ Nghiệm u = C 3. THỪA SỐ TÍCH PHÂN -------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Pdx + Qdy = 0: không thoả đ/kiện vi phân toàn phần ⇒ Tìm μ(x, y) để (μPdx+μQdy) vi phân tphần ⇔ ∂(μP)/∂y = ∂(μP)/∂y VD: Tìm thừa số tích phân & Giải ptrình vphân (x2 + y2 +x)dx + xydy = 0 ( ) ∫=⇒= ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ ∂ ∂−∂ ∂ dxxf exxf Q x Q y P )( )( μ ( ) ∫=⇒= ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ ∂ ∂−∂ ∂ − dyyg eyyg P x Q y P )( )( μ VD: Giải ptrình vi phân y(1 + xy)dx – xdy = 0 VD: Giải (3e3xy – 2x)dx + (e3x + siny) dy = 0 SGK, trang 194: Ch/minh (tìm) μ = μ(x2 + y2): dạng cho trước! 4. PT VI PHÂN CẤP 1 TUYẾN TÍNH ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- y’ = a(x)y + b(x) (E): không thuần nhất (có vế phải) ⇒ PT thuần nhất (không vế phải) tương ứng: y’ = a(x)y (E0 ) Nhận dạng: y’ = f(x, y): Vế phải chỉ chứa y bậc 1 (ở tử số) y’ = f(x, y) = a(x)y + b(x): tuyến tính (bậc 1) theo y Tuyến tính theo x = x(y)! VD: Xác định phương trình tuyến tính: xexyyc =+3'/ 32'/ xy x ya =− ( ) 022/ 2 =−+ dyxyydxd32'/ xyeyb x =+ Không tuyến tính: Chứa y2, (y’)3 4. NGHIỆM TỔNG QUÁT THUẦN NHẤT ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ VD: Giải các PTVP thuần nhất: x yya ='/ xyyb tg'/ ⋅= PT cấp 1 tuyến tính thuần nhất: y’ + a(x)y = 0 (E0 ) có nghiệm tổng quát dạng: ( ) sốhằng:,0 CxCyy = VD: Từ nghiệm tổng quát các PT thuần nhất trên, tìm 1 nghiệm riêng (nghiệm đặc biệt) của PT không thuần nhất 33'/ x x yya += x exyyb x cos tg'/ +⋅= N0 riêng yr = C(x)y0 (x): biến thiên hằng số ytq.tn = Cy0 (x) Thay yr = C(x)y0 (x) vào (*) ⇒ ( ) ( ) ( )xbxyxC =0' 4. TỔNG KẾT -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Nghiệm tổng quát PT tuyến tính = Nghiệm tổng quát PT thuần nhất (dễ)+ Nghiệm riêng PT không thuần nhất (khó) PTVP cấp 1 t/tính (E): 2/ Biến thiên hằng số C = C(x) 1/ PT thuần nhất: 3/ Nghiệm sau cùng: ( ) ( ) ( ) ( )xqyxpyxbyxay =++= '' hoặc ( ) ( ) ( )xCyyyxpyyxay 00'' =⇒=+= hoặc ( ) ( ) ∫=⇒=⇒ KxCxbyC 0' ( ) ( )xyxCy 0= (chứa hằng số C: t/phân) Công thức: ( ) ( ) ( )( )dxxy xbxyCeyxbyxay dxxa ∫⋅+∫=⇔+= 0 0 )( )(' ( )xy0 Ng/hàm không C 4. VÍ DỤ --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- VD: Giải ( ) ( )412'1 +=−+ xyyx 1/ Phương trình thuần nhất: ( )xCyyy x y 001 2' =⇒=+− 2/ Biến thiên hằng số: ( ) ( ) ( ) ( )xCxyxCxCC ⇒+=⇒= 30 1' 3/ Nghiệm sau cùng: ( ) ( )42 1 2 11 +++= xxCy VD: Giải các phương trình x xy x ya sin1'/ =+ ( ) yyxyb =+ 2'/ VD: Tính y(2) với hàm y thoả: ( ) 11,3' ==+ yx x yy ( )31 1 2' +=+−⇒ xyxy 5. PHƯƠNG TRÌNH BERNOULLI (PHI TUYẾN) ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------- y’ = p(x)y + q(x)yα , α ≠ 0, 1: vế phải chứa thừa số yα P/trình Bernoulli ( ) ( ) αyxqyxpy +=' Giải PT TTính ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )xyxuxquxpu ⇒⇒−+−= αα 11' ( ) ( ) '1' yyxu ⋅−= −αα αα −=⋅⇒ − 1 '' uyy Thay vào phương trình đầu: ( ) ( ) utheotínhtuyến: 1 ' xquxpu +=−α Đổi biến: u(x) = y1 – α . Đạo hàm ⇒ Chia cho yα: ( ) ( ) ( ) ( )xqyxpyyxq y yxp y y +=⋅⇔+= −− αααα 1'' 5. VÍ DỤ --------------------------------------------------------------------------------------------------------- Giải phương trình vi phân yxy x y =− 4' 1/ α = ½. Chia 2 vế cho xy xy yy =⋅−⇒ 4' 2/ Đổi biến đưa về PT vi phân cấp 1 ttính: yu = 3/ Giải phương trình: Ngh. k0 thuần nhất: C = C(x) ⇒ utheotínhtuyến1cấpPt:4'2 2 '' x x uu y yu =−⇒= 2 2' x x uu =− Ptrình thuần nhất: 2202' Cxu x dx u du x uu =⇒=⇔=− ( ) ( )xCxxxC ⇒=⋅ 2 ' 2 Nghiệm tổng quát: u = C(x).x2 ⇒ y(x) = u2(x) TỔNG KẾT PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP 1 ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Phân ly: f1 (x)g1 (y)dx + f2 (x)g2 (y)dy = 0 ⇒ 1 vế: x, 1 vế: y ( ) cbyaxuxbyaxfy x yu x yfy ++=⇒++==⇒⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛= ';' Cấp 1 tuyến tính: y’ = a(x)y + b(x) 1/ Thuần nhất 2/ Biến thiên C = C(x) Bernulli: y’ = a(x)y + b(x)yα ⇒ Chia yα Vi phân toàn phần P(x, y)dx + Q(x, y)dy = 0. ĐK: Nghiệm u(x, y) = C với u: x Q y P ∂ ∂=∂ ∂ ⎩⎨ ⎧ = = Qu Pu y x ' ' Thừa số tphân μ = μ(x) … PTVPC1: y’ = f(x, y)