CAO HỌC : Xác suất thống kê và Quá trình ngẫu nhiên

Định nghĩa 2 trong các QT sau: a) QTNNdừng theo nghĩa rộng, 2 QTNNdừng đồng thời. b) QTNN Gauss. c) QT ergodic kỳvọng. d) QT Poisson, dãy thời điểm đến, dãy thời đoạn trung gian. e) QT Winner. f) (Dành cho Điện) Định nghĩa phổcông suất, phổcông suất chéo, các tính chất của nó. Tính hàmtương quan từphổcông suất. g) (Dành cho Điện) Phátbiểu định lýnóilên mối liênhệgiữa hàmkỳvọng, hàmtương quan của các QT đầu vào, đầu ra, tương quan chéo. Định lýtương ứng, hệquảvới các QT dừng.

pdf187 trang | Chia sẻ: aloso | Ngày: 22/08/2013 | Lượt xem: 2329 | Lượt tải: 5download
Bạn đang xem nội dung tài liệu CAO HỌC : Xác suất thống kê và Quá trình ngẫu nhiên, để tải tài liệu về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên
o o 0 o oE[ (t )] E[S(t ) S(t )] E[S(t ) h(s)X(t s)ds] ∞ −∞ ε = − = − −∫$ . (6.7.11) Hãy lựa chọn lọc (h(t) H( )ω ) để sai số bình phương trung bình nhỏ nhất. Theo nguyên lý trực giao, lọc h(t) là tối ưu khi và chỉ khi o 0E[(S(t ) S(t ))X(t)] 0 t .− = ∀$ ¡ ∈ τĐặt , điều này tương đương với ot t= − o 0 oE[(S(t ) S(t ))X(t )] 0− − τ =$ hay SX XR ( ) h(s)R ( s)ds ∞ −∞ τ = τ −∫ . (6.7.12) Giải phương trình tích phân này khá dễ nếu ta dùng phép biến đổi Fourier. Lưu ý rằng vế phải là tích chập Xh( ) R ( )τ ∗ τ , lấy biến đổi Fourier hai vế thì SX XS ( ) H( )S ( )ω = ω ω . Từ đó SX opt X S ( ) H ( ) S ( ) . ωω = ω (6.7.13) Rõ ràng, lọc tối ưu không phụ thuộc vào thời điểm lấy mẫu . Nói chung đây không là lọc khả thi. Ta đưa ra định nghĩa ot 153 Định nghĩa. Lọc với hàm truyền (6.7.13) được gọi là lọc Wiener bất khả thi. Sai số bình phương trung bình số của ước lượng ứng với lọc này là cực tiểu và dễ thấy được tính bởi 2 2 o o oE[ (t )] E[S(t ) h(s)X(t s)ds] ∞ −∞ ε = − −∫ S SR (0) h(s)R (s)ds ∞ −∞ = − ∫ X S SX 1 [S ( ) H ( )S ( )]d 2 ∞ ∗ −∞ = ω − ω ωπ ∫ ω (6.7.14) không phụ thuộc . Nếu tín hiệu và nhiễu là không tương quan ( trực giao, vì E[N(t)] = 0) thì . Từ đó ta nhận được ot ⇔ SX S X S NS ( ) S ( ); S ( ) S ( ) S ( )ω = ω ω = ω + ω Hệ quả. Nếu tín hiệu {S(t)} và nhiễu quy tâm {N(t)} là trực giao thì lọc Wiener và sai số bình phương trung bình cho bởi biểu thức S opt S N S ( ) H ( ) S ( ) S ( ) ; ωω = ω + ω 2 S N o S N S ( ) S ( )1E[ (t )] d 2 S ( ) S ( ) ∞ −∞ ω ωε = π ω + ω∫ ω . (6.7.15) Đặc biệt, nếu phổ công suất SS ( )ω và NS ( )ω có giá không giao nhau thì trên dải băng của tín hiệu và optH ( ) 1ω = optH ( ) 0ω = trên dải băng nhiễu. Đồng thời . 2 oE[ (t )] 0ε = Ví dụ 6.23. Tìm lọc Wiener bất khả thi và sai số bình phương trung bình biết rằng 2S N SN2 2 A) , S ( ) , S ( ) 0.ω = ω = σ ω =α +ωS ( Giải. j SN SN 1R ( ) S ( ) e d 0 2 ∞ ωτ −∞ τ = ω ω =π ∫ SNE[S(t )N(t)] R ( ) 0 t, .⇒ + τ = τ = ∀ τ∈ ¡ Vậy {S(t) } và nhiễu quy tâm {N(t)} là trực giao. Theo (6.7.15) thì opt 2 22 2 2 22 2 A AH ( ) AA [( ) ]( ) ω = =⎡ ⎤ 2σ + α +ωα +ω + σ⎢ ⎥ σα +ω⎣ ⎦ ; opth (t) =ℱ [ ] B t1 2AH( ) e2B −− ω = σ ; 2 2 22 o 2 2 2 2 2 A 1 A 1 AE (t ) d d A2 2B 2 B ∞ ∞ −∞ −∞ σα +ω⎡ ⎤ε = ω = ω =⎣ ⎦ π π + ω+ σ A 2B α +ω ∫ ∫ với 2 2B (A /= α + σ ) . 154 6.7.3. Lọc Wiener khả thi. a)Trường hợp tổng quát. Nếu ta có quan sát đầy đủ về QT (quá khứ, hiện tại, tương lai), lọc Wiener khả thi cho ta xấp xỉ tốt về giá trị hiện tại của QT đã cho. Đó là lời giải tối ưu để giải bài toán là trơn khi có đầy đủ quan sát. Trong một số ít trường hợp, lọc Wiener (6.7.9) là khả thi. Trái lại, khi lọc tối ưu không khả thi, người ta tìm cách xấp xỉ nó bởi lọc khả thi. Dù sao, lọc tối ưu cho ta mức “lý tưởng” về sai số mà lọc xấp xỉ khả thi cần hướng tới. Khi không có đầy đủ quan sát - chính xác hơn - khi ta chỉ có các quan sát quá khứ và hiện tại về quá trình, chúng ta chỉ có thể sử dụng lọc khả thi. Vậy, một hướng nghiên cứu khác là chỉ xét các lọc khả thi, tìm lọc “tốt nhất” trong các lọc như vậy. Tất nhiên, nếu đặt N(t) X(t) S(t)= − thì luôn có thể coi N(t) là nhiễu và {X(t)} là tổng của tín hiệu và nhiễu: X(t) S(t) N(t)= + . Tuy nhiên xét trường hợp tổng quát, không nhất thiết {S(t)} và {N(t)} là không tương quan. Kết quả chính theo hướng này là định lý sau đây. Định lý 6.21. Giả sử { } { }X(t) , S(t) là hai QT dừng đồng thời, quy tâm. Xét các ước lượng của QT { }S(t) tại dạng ot ot o oS(t ) h(t s)X(s)ds −∞ = −∫$ . (6.7.16) Với sai số , sai số bình phương trung bình tương ứng là o o(t ) S(t ) S(t )ε = − $ o 2 , 0t 2 2 o o 0 o 0E[ (t )] E[S(t ) S(t )] E[S(t ) h(t s)X(s)ds] −∞ ε = − = − −∫$ . (6.7.17) Khi đó, lọc tuyến tính khả thi dạng (6.7.16) làm cực tiểu sai số bình phương trung bình (6.7.17) thoả mãn phương trình SX XR ( ) h( s)R (s)ds τ −∞ τ = τ −∫ . (6.7.18) Sai số bình phương trung bình ứng với lọc này là ot 2 o S o SX oE[ (t )] R (0) h(t s)R (t s)ds −∞ ε = − − −∫ . (6.7.19) Chứng minh. Chỉ việc áp dụng Định lý 6.20 cho trường hợp ( . Thực vậy, ước lượng (6.7.4) bây giờ có dạng a; b) o( ; t )= −∞ ok(t) h(t t)= − ot o oS(t ) h(t s)X(s)ds −∞ = −∫$ chính là ước lượng (6.7.16). Phương trình (6.7.8) trở thành ot SX o o XR (t , t) h(t s)R (s, t)ds −∞ = −∫ . 155 Chọn ta nhận được phương trình ot , t= τ = 0 o Tôi đã đưa vào sách ĐL 9.5 trong [12]về hàm truyền của lọc khả thi tối ưu(ĐL không được CM). Song khi dùng ĐL đó để giải BT 12. ở [14] thì 3 ngày không ra, vần không khớp, giải cách khác thì được. Thì ra, ĐL đó sai. SX XR ( ,0) h( s)R (s,0)ds τ −∞ τ = τ −∫ chính là phương trình (6.7.18). Theo nguyên lý trực giao, sai số (6.7.6) tính bởi ot 2 o o oE[ (t )] E S(t ) h(t s)X(s)ds (t ) −∞ ⎧ ⎫⎡ ⎤⎪ ⎪ε = − − ε⎢ ⎥⎨ ⎬⎢ ⎥⎪ ⎪⎣ ⎦⎩ ⎭ ∫ ot o o o oE[S(t ) (t )] E h(t s)X(s)ds (t ) −∞ ⎧ ⎫⎡ ⎤⎪ ⎪= ε − − ε⎢ ⎥⎨ ⎬⎢ ⎥⎪ ⎪⎣ ⎦⎩ ⎭ ∫ − o ot t o o o o oE[S(t )[S(t ) h(t s)X(s)ds] h(t s)E[X(s) (t )]ds −∞ −∞ = − − − − ε∫ ∫ ot 2 o o oE[S (t )] h(t s)E[S(t )X(s)]ds] 0 −∞ = − −∫ . Như vậy, (6.7.19) được chứng minh. Nhận xét. i)Nếu đầu vào là tổng của QT tín hiệu {S(t)} với nhiễu {N(t)}, tín hiệu và nhiễu không tương quan thì ; SNR ( ) 0τ = SX SR ( ) R ( );τ = τ X S NR ( ) R ( ) R ( )τ = τ + τ ; S ( ℱ[RX )ω = ( )]S τ + ( )ℱ[R N ]τ S NS ( ) S ( )= ω + ω (6.7.20) phương trình (6.7.17) trở thành S SR ( ) h( s)[R (s) R (s)]ds τ −∞ τ = τ − +∫ N . (6.7.21) ii) Nếu QT {S(t)} không quy tâm thì dùng phép quy tâm hoá bằng cách xét QT À SS(t) S(t) (t), X(t) X(t) (t)= −µ = −µXÁ , ta có thể áp dụng Định lý 6.21 cho các QT quy tâm này. Kết quả dễ dàng chuyển về QT xuất phát. Ví dụ 6.23. Trường hợp đầu vào là nhiễu trắng. Giả sử đầu vào {X(t) } là nhiễu trắng với hàm tự tương quan . Theo (6.7.18) thì XR ( ) ( )τ = δ τ SXR ( ) h( s) (s)ds h( ), 0. τ −∞ τ = τ − δ = τ τ ≥∫ Vậy SX R ( ) 0 h( ) 0 0 τ τ ≥⎧τ = ⎨ τ <⎩ ; H( jSX 0 ) R ( )e d ∞ − ωτω = τ τ∫ . b) Lọc Wiener khả thi hai bước. Nói chung, việc xác ưu thông qua phương trình (6.7.18) là khó khăn. Một hướng k này là xây dựng lọc tối ưu qua hai bước: Đầu tiên là tẩy trắng lọc cho nhiễu trắng theo sơ đồ ở Hình 6.23. 156 định lọc khả thi tối hắc phục tình trạng tín hiệu, sau đó tìm X(t) S(t)$Nhiễu trắng W(t) Tẩy trắng 1 1h (t) (H ( ))ω 2 2 h (t) (H ( ))ω Hình 6.23. Lọc tối ưu khả thi 2 bước. Đầu tiên phải xây dựng lọc 1H ( )ω để chuyển tín hiệu đầu vào X(t) thành nhiễu trắng W(t) (vì thế, lọc có tên là tẩy trắng) với cường độ 1. Sau đó lọc 2H ( )ω được xây dựng theo Ví dụ 6.24 để ước lượng S(t) từ nhiễu trắng W(t). Lọc tối ưu cần tìm là tích . 1 2H ( )H ( )ω ω Từ (6.3.11) ta có 2 W X 11 S ( ) S ( ) H ( )= ω = ω ω . (6.7.22) Ta hãy viết dưới dạng XS ( )ω 2 X X X XS ( ) A ( ) A ( )A ( ) ∗ω = ω = ω ω . Bây giờ chỉ việc chọn 1 X 1H ( ) A ( ) ω = ω , biểu thức (6.7.21) sẽ thoả mãn và W(t) sẽ là nhiễu trắng. Tuy nhiên nảy sinh vấn đề là phải chăng lọc này khả thi? Như đã nhắc đến ở [12] trang 496: Nếu thoả mãn điều kiện Palay – Wiener (1934) X 2 logS ( ) d 1 ∞ −∞ ω ω < ∞+ω∫ thì có thể phân tích 2 X X X XS ( ) A ( ) A ( )A ( ) ∗ω = ω = ω ω sao cho cả hai lọc XA ( )ω và X 1 A ( )ω là khả thi. Giống như công thức (6.3.10), ta có SW SX 1 SX 1S ( ) S ( ) (H ( )) S ( ) A ( ) ∗ ∗ω = ω ω = ω ω . Tóm tắt: Thuật toán tách phổ (đểtìm lọc khả thi tối ưu hai bước). 1.Tách S ( : X )ω 2 X X X XS ( ) A ( ) A ( )A ( ) ∗ω = ω = ω ω ; Đặt 1 X 1H ( ) A ( ) ω = ω . 2.Tính SW SX 1S ( ) S ( ) A ( )∗ ω = ω ω ; thu được SWR ( )τ =ℱ -1 SW[S ( )]ω . 3. Tính j2 SW 0 H ( ) R ( )e d . ∞ − ωτω = τ τ∫ 4. Đặt . 1 2H( ) H ( )H ( )ω = ω ω 157 Ví dụ 6.24. SW X2 2 16 16S ( ) ; S ( ) 9 1 1 ω = ω = ++ω +ω . Ta có thể tách như sau XS ( )ω 2 X 2 25 9 5 3j 5 3jS ( ) 1 j 1 j1 + ω + ω −ω = = ω+ ω − ω+ω . Chọn lọc tẩy trắng là 1 X 1 1 jH ( ) . A ( ) 5 3j + ωω = =ω + ω Vậy SW 2 16 1 j 2 2S ( ) 5 3j 1 j (5 / 3) j1 − ωω = = +− ω + ω −+ω ω . Từ Bảng B-2 ở Phụ lục nhận được SWR ( )τ =ℱ -1 2[ ]+ -1 2[ ](5/3) j− ωℱ (5 / 3)2e u( ) 2e u( )−τ τ= τ + −τ . 1+jω Lưu ý rằng số hạng thứ nhất bằng 0 khi τ âm, số hạng thứ hai bằng 0 khi τ dương, từ đó j 2 0 H ( ) (2e u( ))e d ∞ −τ − ωτω = τ∫ τ =ℱ[ ℱ 1 2 2[ ]]1 j 1 j− =+ ω + ω . Từ đó dễ tìm ra và . opt 1 2H ( ) H ( )H ( )ω = ω ω opth (t) c) Các nghiên cứu khác. Người ta cũng nghiên cứu các bài toán là trơn, lọc, dự báo cho các trường hợp sau (xem thêm ở [14] tr. 486 – 515): • Bài toán dự báo. Đó là khi X(t) = S(t) (không có nhiễu), S(t) được quan sát trên I thuộc vào một trong 3 dạng ( ; t), (t T; t)−∞ − hoặc (0; t). Hãy tìm ước lượng bình phương cực tiểu dưới dạng lọc khả thi cho giá trị tương lai với của QT {S(t)} rời rạc hoặc liên tục. S(t )+ λ 0λ ≥ • Bài toán lọc và dự báo. {X(t)} tổng quát, được quan sát trên . Tìm ước lượng bình phương cực tiểu dạng lọc khả thi cho giá trị tương lai với của QT {S(t)}. ( :t−∞ ) S(t )+ λ 0λ ≥ • Lọc Kalman. Tìm lọc tối ưu cho dãy số liệu ARMA… 158 Theoretical Questions for Chapter VI 6.1. Reasons that we can't use the voltage spectral density for a random process. 6.2. Power spectrum for a WSS (wide-sense stationary) process; autocorrelation function by means of the power spetrum. 6.3. Propeties (with proof) of the power spetrum of real stationary processes. 6.4. Necesarry and sufficient conditions for a function S( ) thereby ω a) it is a power spectrum of a real stationary process with a finite power; b) it is a power spectrum of a complex stationary process with a finite power. 6.5. Cross-power spectrum of two jointly WSS processes: definition, calculation of the autocorrelation function using the cross-power spectrum, the power spectrum of every those process. 6.6. Power spectrum of random sequences: definition, calculation of the autocorrelation sequence by means of the power spectrum; properties of the power spectrum and some comment. 6.7. White noise: definition, the autocorrelation function of white noise; disadvantages and utility of studying white noise; thermal noise. 6.8. Band-limited white noise: definition, the power function and the autocorrelation one; bandpass white noise. 6.9. White noise sequence. 6.10. Power spectrum of complex random processes: definition, the relation between a) the autocorrelation function and the power spectrum; b) the cross- autocorrelation and the cross-power spectrum. 6.11. Essentials about a linear system. 6.12. Nesessary conditions for a input process to be relevant to a given system. 6.13. Theorem (with proof) above the average function and the auto- correlation one of the ouput process, the cross-correlation function of the input and output processes. 6.14. Theorem above the average function and the autocorrelation one of the ouput process, the cross-correlation function of the input and output processes when the input process is stationary; consequence: power spectrum, cross-power spectrum and powers in input and output processes. 6.15. Lowpass process, bandpass process, narrow band process and amptitude-modulated one; theorem above stationarity and having zero mean of an amptitude-modulated process; Rice’s theorem (without proof). 6.16. Some knowledge about noise analysis in an AM broacast system. 6.17. Some knowledge about noise analysis in a FM broacast system. 6.18. Application scope of matched filters; the matched filter for white noise and colored noise. 6.19. Optimal linear estimation: introduction, the orthogonality principle. 6.20. Causal Wiener filter: the general case, the two step-optimal causal filter. 159 Problems for Chapter VI 6.1. Consider the random sinusoid 0X(t) Asin ( t + U) , t = ω ¡∈ ] where A and are constants, 0ω [U U 0;2π: . Compute and plot X XR ( ); S ( )τ ω ; XP . 6.2. Let where is unchanged and U is an uniform random variable on 0X(t) sin( t U); Y(t) cos( t + U)= ω + = ω0 0ω[ ]0;2π . Show that { } { }X(t) , Y(t) are jointly stationary processes. Find XR ( );τ YR ( )τ ; XYR ( );τ . X YS ( ); S ( );ω ω XYS (ω) 6.3. Let { }N(t) be a WSS zero mean process with the autocorrelation function 2NR ( . Find S () Pe , − ττ = τ∈ ¡ );P .N Xω 6.4. Suppose where A, B are two continuous uncorrelated random variables and D[A] = 1; D[B] = 2. Show that { is a WSS process; find its autocorrelation function and the power spectrum. jt j2tX(t) Ae Be= + }X(t) 6.5. Consider the random process oX(t) Acos( t )= ω +Θ where A, . Show that it is not a WSS process. Evaluate the variant function (the power one) σ and the power spectrum S ( o ,ω ∈ ¡ U[0; /2]Θ π: 2 X (t) X )ω . Anw. 2X (t)σ = 2 2 o A A sin(2 t) 2 − π ω depends on t. { } 22X AP A E[X (t)] ... .2= = = − 6.6. Consider a LTI system with h(t)=e . Evaluate the response of the signal 2x / 2 1 x x y rest (x) 0 x ⎧ ≤⎪= = ⎨ >⎪⎩ 1 1 Find the transfer function of the system. 6.7. A random process { }X(t) with the autocorrelation function a XR ( ) e − ττ = (a is a real constant) is the input to a LTI system with the impulse function h(t) = e u , where b is a real constant, u(t) is an unit step function. Evalute the autocorrelation of the output process. bt (t)− Ans: b aY 2 2 1R ( ) (ae be ) (a b )b − τ − ττ = −− . 6.8. The discret-time system shown in the figure consists of one unit delay element and one scaler multiplier (a < 1). The input {X(n)} is white noise sequence with average power 2σ . Find the power spectrum and the average power of the output {Y(n)}. a Delay 1 Y(n) X(n) 160 2 Y Yj 2 1) ; P R (0) . 1 ae 1 a− ω σω = = =− −Ans. H( 6.9. Show that the envelop of the autocorrelation sequence of a AR(1) process is a decaying exponential. Hint. mR(m) ... ( a) R(0)= = − 2 N 2R(0) 1 a σ= − . 2 m N 2R(m) ( a) (m 0)1 a σ= − ≥− , propotional with m( a)− . 6.10. Suppose from the data we get estimates µ µ µ µ µR(0) 1; R(1) 0,300; R(2) 0,091; R(3) 0,030; R(m) 0 (m 4)= = = = ≈ > . a) Let the model be AR(3), find . 1 2a , a , a$ $ $3 b) The results suggest which order p of the model should we choose? Find parameter estimates of the new model. Sol. From (6.4.9) we get 2 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 0,300a 0,091a 0,030a 0,300 a 0,300a 0,091a 0 0,091 0.300a a 0,300a 0 0,300 0,091a 0,300a a 0 ⎧ + + +⎪ + + +⎪⎨ + + +⎪⎪ + + +⎩ N= σ = = = ⇔ 1 2 3 2 N a 0,2997 a 0,0003 a 0,000 0,8999 = −⎧⎪ = −⎪⎨ = −⎪⎪σ =⎩ 3 The prediction equation is µX(n) 0,2997X(n 1) 0,0003X(n 2) 0,0003X(n 3) N(n)= − − − − − − + with the error . 2N 0,8999σ = The values µ2 3a , a $ are very small. Then we would test with AR(1). For this new model the system (6.4.9 ) yields 2 1 N 1 1 0,3a 0,3 a 0 ⎧ + = σ⎪⎨ + =⎪⎩ 1 2 N a 0,3 0,9100 = −⎧⎪⇔ ⎨σ =⎪⎩ Now the prediction equation is with . So, the error of the new model increases slightly, but the model is greatly simplified when we reduce the model order from 3 to 1. µX(n) 0,3X(n 1) N(n)= − − + 2 N 0,91σ = This fact is predictable because is the autocorrelation sequence of AR(1) considered in the Problem 6.9. µ mR(m) ( 0,3)≈ − 6.11. Power spectrum of an ARMA process is 5 4cosS( ) 10 6cos −ω = − ω ω . Find the transform function of the corresponding ARMA filter; show its zeros and poles. Are the stationary and invertibility conditions valid? Sol. Because jz jz1cos (e e ) 2 −ω = + with z j= ω , so 1 1 5 2(z z ) 2 (z 1/ 2)(z 2)S(z) 3 (z 1/ 3)(z 3)10 3(z z ) − − − + − −= = − −− + 161 1 1 11 zz 1/ 2 2L(z) 1z 1/ 3 1 z 3 − − −−⇒ = =− − ; 2N 2 3 σ = Zero: , pole: . Yes. z 1/ 2= z 1/ 3= 6.12. In an AM broacast system the total average transmitted power is 1kW. The channel gain is 3chG 3 2.10 −= . Average noise power at the envelop detector’s input is and the input signal-to-noise power ratio of the receiver is 180 (or 22,5 dB). 510 W− a) What is the average signal power at the input to the envelop detector? b) Find i i AM(S / N ) . c) What is the transmitter’s efficiency? Ans. 4,24W; 56,27dB; 0,1. 6.13. Show that if { has zero mean (may be nonstationary) then the time-averaged autocorrelation function of }X(t) { }AMX (t) as given by (6.5.17) is 2 X o XAM 1A[R (t , t)] = A A[R (t , t)] cos( ) 2 ⎡ ⎤ o+ τ + + τ⎣ ⎦ ω τ and the power spectrum is 2 o X o oAM AS ( ) [ ( ) ( 2 πω = δ ω−ω + δ ω+ω )] 1 4 + X o X o[S ( ) S ( )]ω−ω + ω+ω . Especially, if the process { }X(t) is WSS then 2 AM X o X oAM 1R ( ) R ( ) = [A R ( )]cos( ). 2 τ τ + τ@ ω τ 2 2 AM AM o X 1P E[X (t)]= [A P 2 = + ] . Proof. Note that 2 0 1E[cos ] = cos d = 0; 2 π Θ θ θπ∫ 2 2 2 0 1 1E[cos ]= cos d = ; 2 2 π Θ θ θπ∫ 2 1E[sin ] = 2 Θ C,D , E[cos(C+ )cos(D+ )]=⇒∀ ∈ Θ Θ¡ 1... cos(C-D) 2 = . X o o oFMR (t , t) E[(A +X(t+ ))(A +X(t))cos( (t ) )cos( t )]+ τ = τ ω + τ +Θ ω +Θo 2 o oE[A +A (X(t+ )+X(t))+X(t+ )+X(t)]= τ τ o oE[cos( (t ) )cos( t )]ω + τ +Θ ω +Θ 2 o X 1[A 0 0 R (t , t)] cos( ) 2 = + + + + τ ωoτ . ( )2X o XAM 1A[R (t , t)] = A A[R (t , t)] cos( )2⇒ + τ + + τ oω τ . (*) By Fourie transform and using its linearity and frequency shifting (see Appendix B-2) we conclude XAMS ( )ω =ℱ 2 o o A cos( ) 2 ⎡ ⎤ω τ +⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ ℱ X o 1 A[R (t , t)]cos( ) 2 ⎡ ⎤+ τ ω τ⎢ ⎥⎣ ⎦ 162 2 o o o A [ ( - ) ( )]+ 2 = π δ ω ω + δ ω+ω ℱ j jo o X e eA[R (t , t)] 2 ω τ − ω τ⎡ ⎤++ τ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ 2 o o o A [ ( - ) ( )] 2 = π δ ω ω + δ ω+ω X o X o1 [S ( ) S ( )]4+ ω−ω + ω+ω . If { }AMX (t) is WSS then XA[R (t , t)] R ( )X+ τ = τ . 6.14. In a FM system the transmitted signal has 10 kW of average power and a bandwith of approximately 150 kW when a random message with a crest- factor of 4 is used. The signal passes over a channel for which and the power spectrum of noise 6 chG 10 −= 2 155.10 / 3−σ = . a) Find the signal and noise average power and the signal-to-noise power ratio at the receiver’s input. b) What is the message’s spectral extent if the output signal-to-noise power ratio of the receiver is found to be 25 000? Ans. 10 ; 9.27kHz. 8 -12W; 79,58.10 W; 125,66( or 21dB)− 6.15. An FM signal of peak amptitude 0.1 V at the input to an FM demodulator results in an input signal-to-noise power ratio of 20. If rad/s in the FM signal and the effective transmitted signal voltage is A = 2kV. Find: 5.10∆ω = π a) ; 2chG ; b)σ c) If the transmitted message is an audio signal for which maxX 1,4V, crK 3== / s , find 4XW .10 rad= π ( )oo / N FMS and the transmitter’s modulation constant λ . Sol. a) 4ch ch 0,1 1A 2000; G .A 0,1 G .10 2000 2 −= = ⇒ = = . b) ( )i i 2 2chX N 2FM G A20 P / P 4π= = σ ∆ω 2⇒ σ = 2 2 4 2 3 2 9ch 5 G A ((1/ 2).10 ) (2.10 ) 1,25.10 4. .20 4( 10 ).20 − −π π= =∆ω π . c) 35 o 2 4 o FM S 6 .10 .20 13 333 N 3 .10 ⎛ ⎞⎛ ⎞ π= =⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟π⎝ ⎠ ⎝ ⎠ (or 41,25dB). 5 5 max max .10X 2,24.10 X 1,4 ∆ω π∆ω = λ ⇒ λ = = = . Ans. 0 4 9 4 5,5 10 ; 1,2510 ; 1,33.10 ( 41,25dB), 2,24.10− − = 6.16. Let a message process { }X(t) be gaussian with zero mean. Find the autocorrelation function of { }FMX (t) (in (6.5.28)) by means of the correlation coefficient and the variant of the process t 0 (t) X( )dΓ = α∫ α . 163 Sol. Because the process { }X(t) is gaussian with zero mean then the proces { }(t)Γ is also gaussian with zero mean. In addition, is a gaussian random variable. t t (t ) (t) X( )d +τ Γ + τ −Γ = α α∫ t t (t) E[X( )]d 0 +τ Γµ = α α =∫ ; [ ]D (t ) (t)Γ + τ −Γ = t t t t t t t t E X(u)du X(v)dv E[X(u)X(v)]dudv +τ +τ +τ +τ⎡ ⎤ =⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦∫ ∫ ∫ ∫ t t X t t R (u v)dudv +τ +τ = −∫ ∫ X 0 0 R (u v)dudv τ τ = −∫ ∫ 2 X 0 2 R ( )( )d ( ) τ Γ= α τ −α α σ∫ @ τ = that does not depend on t. (To simplify the double integral to the single one let us put u v ). , v− = α = β FM oX (t) Acos( t (t))= ω +Θ+Γ = j( t (t)) j( t (t))o oA e e 2 ω +Θ+Γ − ω +Θ+Γ⎡ ⎤+⎣ ⎦ . jnE[e ] 0Θ = ⇒ [ ]FM FM FMXFMR (t , t) R (t , t) E X (t )X (t)+ τ = + τ = + τ [ ] [ ]{ }2 j ( (t ) (t)) -j ( (t ) (t))o oA... E[e ]+E[e ]4 ω τ+λ Γ +τ −Γ ω τ+λ Γ +τ −Γ= = { }2 j jj ( (t ) (t)) -j ( (t ) (t))o oA e E[e ] + e E[e ]4 ω τ − ω τλ Γ +τ −Γ λ Γ +τ −Γ= . Note that is the characteristic function of the normal random variable j ( (t ) (t))E[e ]λ Γ +τ −Γ (t ) (t)Γ + τ −Γ , using (…) we get FMR (t , t)+ τ 1 12 2 2 22 ( ) ( )j jo o2 2A {e e + e e } 4 − λ σ τ − λ σ τΓ Γω τ − ω τ= 1 2 22 ( ) 2o A cos( )e 2 − λ σ τΓ= ω τ . 6.17. Suppose that a signal is a triangle pulse f (t) A tri (t)τ= and it is added to noise with power spectrum 2 W W 2+ω ; where A, ,Wτ are positive constants. The sum is applied to a matched filter. a) Find the transfer function optH ( )ω of the matched filter. b) Find the filter’s impulse response, plot it. c) Is there some value at which the matched filter is causal one? If yes, find it. ot 164 165 . d) Sketch the block diagram of the network of the transfer function optH ( )ω Sol. a) oj topt N F ( )H (t) K e S ( ) ∗ − ωω= ω ( )( ) oj t2 2 2KA Sa ( / 2) W eW − ω= τ ωτ + ω . b) Put L( )ω = ( )( )2 2Sa ( / 2) Wτ ωτ + ω2 ( ) ( )2 2 2 2W Sa ( / 2) Sa ( / 2)= τ ωτ + ω τ ωτ 2W= ℱ[tri 2(t)] ( )τ − −ω ℱ [tri (t)]τ l(t)⇒ =ℱ 1− [ ] = ℱL( )ω 2W 1− (ℱ[t ) - ℱri (t)]τ 1− ( 2−ω ℱ[t ) ri (t)]τ = 2 2 2 dW tri (t) (tri (t)) dt τ τ− = 2 1W tri (t) [2 ( ) ( ) ( )]τ + δ ω − δ ω+ τ − δ ω− ττ . Then h (opt o) C l(t t )ω = − with KAC W= . Clearly with , ot 0> opth ( ) 0, t 0ω = ∀ < if and only if . The plot of when C = 1 is shown as ot ≥ τ opth (ω) opth ( )ω 2 / τ 1/− τ τ tot ot + τot − τ 2W 6.18. Somtimes the cascade (in the figure) can be used to look for a matched filter for colored noise. A deterministic signal f(t) and colored noise { }N(t) with power spectrum S (N )ω are inputs to the filter. At the first step we select the whitening filter 1H ( )ω so that 21 N AH ( ) S ( ) ω = ω , A – cosnt. At the next stept we make a filter 2H ( )ω that is the matched one for the signal in the white noise { } . 1 f (t) 1N (t) a) Explain the term “whitening filter” in the first step. b) Show that the cascade is a matched filter to f(t) in the noise { }N(t) . c) Are there any problems to be considered for this two-step filter? f(t) N(t) 2H ( )ω 1 1 f (t) Whit noise N (t) o o o o f (t) Y(t) f (t) N (t) N (t) = + 1H ( )ω Sol. a) 1 2 N N 1S ( ) S ( ) H ( ) Aω = ω ω = ⇒{ }1N (t) is white noise. Through the filter colored noise { }N(t) becomes white noise { } ; this explains the meaning of the term “whitening filter”. 1N (t) b) ℱ[ ℱ1F ( )ω = ]1f (t) = 1[f (t)] H ( ) F( )H ( )1ω = ω ω (by (6.2.12)). By use of (6.6.9) the matched filter to in white noise { } is 1f (t) 1N (t) oj t2 1H ( ) KF ( )e − ω∗ω = ω oj t1KF ( )H ( )e− ω∗ ∗= ω ω . 1 2H( ) H ( )H ( )⇒ ω = ω ω = N N N 1 1 1then S ( ) T ( ) T ( ) ∗⎛ ⎞⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎜ ⎟ω ω ω⎝ ⎠⎝ ⎠ oj t N F ( )K e S ( ) ∗ − ωω ω , thus the filter is matched. c) Factor N N NS ( ) T ( )T ( ) ∗ω = ω ω ⇒ 1 N 1H ( ) T ( ) ω = ω . Is the filter causal? Relating to the problem it can be shown that under the so-called Paley-Wiener (1934) condition 1H ( )ω N 2 log(S ( )) d , 1 ∞ −∞ ω ω < ∞+ω∫ XS ( )ω can be factored out as 2NT ( )ω with both NT ( )ω and N 1 T ( )ω being causal filters. It is necesary to search whether 2H ( )ω is the causal filter. 6.19. Find the output signal to the matched filter given in the Example 6.22. fY (t) Ans. f t)Y ( = 2 0K A tri (t t ).ττ − 6.20. A signal 2 2tf (t) 5u(t) t e−= is added to white noise with power spectrum 2 210 W/Hz−σ = and the sum is applied to the input of a matched filter. a) Find the transfer function and sketch the impulse response of the filter. b) Find the signal-to-noise ratio o 0r S / N= . c) Is the filter causal? Sol. a) ℱ[f(t)] F( )ω = 3 25. (2 j ) = + ω . oj topt 3 2H ( ) K 5. e (2 j ) ∗ − ω⎛ ⎞ω = ⎜ ⎟⎜ ⎟+ ω⎝ ⎠ oj t 3 2( 2K) 5. e ( 2 j ) − ω⎡ ⎤⎛ ⎞= − ⎢ ⎥⎜ ⎟⎜ ⎟− + ω⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦ . opth (t) =ℱ 1 opt[H ( )]− ω o 2 2t o t t ( 2K) 5u(t)t e ( 2K)f (t t )− − ⎡ ⎤= − = − −⎣ ⎦ . b) From (6.6.10), 2 2tf2 o Er (100) 5 t e dt 125 ∞ −= = =σ ∫ (or 20,97dB). 166 167 0c) , the filter is causal. ot∀ > 6.21. A rectangular pulse f (t) A rest (t)τ= added to white noise with power spectrum arrives at a receiver. For some practical reasons the receiver (filter) is not matched but a lowpass simple filter with transfer function 2σ WH( ) W + j ω = ω ; W > 0 is a costant. a) Find the ratio of instantaneous output signal power at any time t to white noise with power at the filter output. At what time, denoted by , is the ratio maximum? 2 of (t) 2 oE[N (t)] ot b) At the time what the band width W will maximize the signal-to- noise ratio? ot c) Plot the loss in output signal-to-noise ratio that results, compare to a matched filter for various values of 0 W 5/< ≤ τ . What is the minimum loss? Sol a) h(t) =ℱ W W+j ⎛ ⎞⎜ ⎟ω⎝ ⎠ - WtWe u(t)= . of (t) f (t) h(t) A rest (s)h(t s)ds +∞ τ −∞ = ∗ = −∫ W(t-s)A We u(t s)ds τ − −τ = −∫ . Consider cases of then t ; t ;< −τ − τ ≤ ≤ τ τ < t (t ) o Wt 0 t f (t) A(1 e ) t 2A e sh(W ) t < . − +τ − < −τ⎧⎪= − − τ ≤ ≤⎨⎪ τ τ⎩ τ It is clear that the function is nonnegative, continuous and gets it maximum of (t) 2WA (1 e )− τ− at . Moreover t = τ 22 2 o o 1N E[N (t)] H( ) d 2 ∞ −∞ = = σ ω ωπ ∫ 2 2 2 2 W Wd 2 2W ∞ 2 −∞ σ σ= ωπ +ω∫ = . So we conclude 2 o o f (t)r(t) N = . This ratio maximizes at ot = τ , where 2 2W 2 o 2 8A e sh (W )r(t ) W − τ τ= σ . b) with or(t , W) g(u)= 2 2u 2 2 8A e sh (u)g(u) u −τ= σ , u W= τ . Using derivative method it can be shown that the ratio gets its maxima at the root of the equation 2ue (4u 1) 1 o 0,628u u 0,628 W≈ ⇒ ≈ τ − + = ⇒ = . c) 2 2f max 2 2 2 E 1 2Ar A dt τ −τ τ= = =σ σ σ∫ . 2W 2 2u 2 o max r(t ) e sh (W ) e sh4 4 r W − τ −τ⇒ = =τ u u , u W= τ . As we see this ratio gets its maxima at uo 0,628≈ with the correspondent value 0,815. Then the minimal loss is 18,5%. 6.22. A random signal { }X(t) and colored noise { }N(t) are jointly stationary with autocorrelation functions B WX NR ( ) Ae , R ( ) We − τ −τ = τ = τ . (A,B,W 0)> a) Find the transfer function of the uncausal optimal Wiener filter. b) Find and sketch the impulse of the filter. c) Find the minimum mean-squared error of the filter. Sol. a) By Appendix B-2 ℱ X 2 2B 2( )] A ;B τ =[R XS ( )ω = +ω NS ( )ω =ℱ N 22W 2( )] W Wτ =[R . +ω 2 2 opt 2 2 2 2 2 2AB/(B )H ( ) 2AB 2W B W +ωω = ++ω +ω 2 2 AB 2... G AB W λ= = + 2+ λ +ω where 2 2 2 2 2 2 W (AB B ) ABW (W B ); G AB W 2 (AB W ) + − 2 2=+ λ + t) = λ = . b) h ( ℱopt t1 opt 2 AB[H ( )] (t) G e AB W −λ− ω = δ ++ . When 2 ABG 1 2(AB W ) λ = , = = + (t) h(t) t 2 1 the plot of h is as in the firgure. opt c) 12 2 2 o 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2AB 2W 2AB 2WE[ (t )] d 2 B W B W −∞ −∞ ⎡ ⎤ε = +⎢ ⎥π +ω +ω +ω +ω⎣ ⎦∫ ω 12 2 2 2 2 2 1 ABW W (AB B ) d AB W AB W −∞ −∞ ⎡ ⎤+= +ω ω⎢ ⎥π + +⎣ ⎦∫ 2 2 ABW (AB W )(AB B ) = + + . 6.23. Suppose where S and N are two jointly stationary uncorrelation processes, N has zero mean and X S N= + S 2 2 1S ( ) , (1 ) ω = +ω N 1S ( ) . 1 ω = +ω2 Find the uncausal Wiener filter. 168 6.24. Work the Problem 6.23 for the signal and uncorrelation colored noise defined by S N2 4 1 1S ( ) , S ( ) . 1 1 ω = ω =+ω +ω 6.25. A random signal { }S(t) and uncorrelated white noise { }N(t) have respective power spectrums 2 2 S SS S N4 4 S S ( ) 2 2 P W , S ( ) W ωω = ω+ω = σ } , where is average power in { while and SSP S(t) SW 2σ are positive constants. a) Find the transfer function of the Wiener filter for the signal and noise. b) What is the minimum mean-squared filter error? c) Evaluate the result of b) for 2SS SP 2W, W 15rad / s, 0,1W / H= = σ = z. Hint: Use the known integral (Thomas, 1969, p. 249) 2 1 o o 1 2 o 2 2 2 2 4 o 1 22 1 o 2 o (b b )d a b a b1 2 2a a aa (a 2a a ) a ∞ −∞ − ω ω −=π + − ω + ω∫ 1 2a where are constants and the equation o 1 2 oa , a , a , b and b 2 o 1a aλ + λ + = 0 has roots with nonnegative image path. Sol. a) Sopt S N S ( ) H ( ) S ( ) S ( ) ωω = =ω + ω 2 SS S 2 4 2 2 4 SS S S 2 2P W 2 2P W W ω σ ω + ω + σ . b) 2 2SS X 4 4 2 S o 2 2SS S 4 4 S 2 2P W W1E[ (t )] d 2 2 2P W W ∞ −∞ ω σ+ωε = ωπ ω + σ+ω ∫ = 2 2 SS S 2 4 2 2 4 SS S S 2 2P W d1 2 2 2 P W W ∞ −∞ − σ ω ω− π σ ω + ω + σ∫ 2 SS S SS S 2 2 SS S SS S 0 (2 2P W ) P W1 2 2. . 2 2P W 2 . 2 2P W −σ σ σ−⎛ ⎞= =⎜ ⎟π⎝ ⎠ σ + σ σ π + σ . c) 2 2o 2.15. 0,1E[ (t )] 0,2315 0,4812 2 2 .2.15 0,1 ε = = = π + . 6.26. Suppose that we have to find the estimate of a random telegraph signal {S(t)} in terms of the sum X(t) S(t) N(t)= + and the past of the sum, where 2SR ( ) e , − λ ττ = NR ( ) L ( );τ = δ τ SNR ( ) 0.τ = Show that cs 0 1S(t) (c 2 ) X(t s)e ds, c 2 1 L ∞ −= − λ − = λ + λ∫$ . Sol. 2SX SR ( ) R ( ) e , − λ ττ = τ = SXS ( )ω =ℱ SX[R ( )]τ = 2 22.(2 )(2 ) λ λ + ω . XS ( )ω =ℱ ℱX[R ( )]τ = S[R ( )]τ +ℱ N[R ( )]τ 2 2 2 2 2 2 4 cL L , c 2 1 L(2 ) (2 ) λ +ω= + = = λ λλ +ω λ +ω 1 + . 169 X X c j c jS ( ) L . L A ( )A ( ) 2 j 2 j ∗⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ ω − ω⇒ ω = = ω ω⎜ ⎟ ⎜ ⎟λ + ω λ − ω⎝ ⎠ ⎝ ⎠ X . 1 X 1 2 jH ( ) . A ( ) L(c j ) λ + ωω = =ω + ω SW SX X 1S ( ) S ( ) A ( )∗ ω = ω =ω 2 2 4 (2 ) λ λ + ω 2 j . L(c j ) λ − ω − ω 4 2 j (2 j ) (2 j ) (c j )L λ λ − ω= λ − ω λ + ω − ω 4 1 2 j c j(c 2 ) L 1⎡ ⎤λ= +⎢ ⎥λ + ω − ω+ λ ⎣ ⎦ As in Example 6.25, we get 2H ( )ω =… 4 12 j(c 2 ) L λ= λ + ω+ λ . opt 1 2H ( ) H ( )H ( )ω = ω ω = 2 jL(c j ) λ + ω + ω 4 1 2 j(c 2 ) L λ λ + ω+ λ 4 1 1(c 2 ) L(c 2 ) c j c j λ= = − λ+ λ + ω + ω . c topth (t) (c 2 )e −= − λ . 6.27. Suppose where X(t) S(t) N(t)= + 0,2SR ( ) 5e ,− ττ = Find the MS (mean-squared) estimates of {S(t)} and the corresponding MS error for the cases: NR ( ) 5 ( ),τ = δ τ SNR ( ) 0τ = . a) the noncausal filter of {S(t)}, b) the causal filter of {S(t)}. Ans. a). opt 2 0,4H ( ) 0,44 ω = +ω , opth (t) = 0,44 t0,44 e 2,2 − . 2 o 1E[ (t )] 1,5076. 0,44 ε = = b) XS ( )ω 0,44 j 0,44 j5 5 0,2 j 0,2 j ⎛ ⎞⎛ ⎞+ ω −= ⎜ ⎟⎜+ ω − ω⎝ ⎠⎝ ω ⎟⎠ . 1 X 1 0,2 jH ( ) A ( ) 5( 0,44 j ) + ωω = =ω + ω . 2H ( )ω 11 15(0,2 j ) −= + ω . opt 1 2H ( ) H ( )H ( )ω = ω ω 11 1 15 0,44 j −= + ω . opth (t) = 11 15 − 0,44 te u− (t) . 2E[ (t)]ε 2,3166≈ (1,5 times as much as that in case a)). 170 Câu hỏi ôn tập chương VI 6.1. Tại sao ta không dùng được phổ điện áp cho QTNN? 6.2. Định nghĩa mật độ phổ công suất của QT dừng. Tính hàm tự tương quan thông qua mật độ phổ. 6.3. Nêu tính chất (có chứng minh) của phổ công suất QT dừng, thực. 6.4. Nêu điều kiện cần và đủ để một hàm S(ω ) là phổ công suất của QT dừng, thực, công suất hữu hạn; để S(ω ) là phổ công suất của QT dừng (phức), công suất hữu hạn. 6.5. Mật đổ phổ công suất chéo của hai QT dừng đồng thời: định nghĩa, tính hàm tương quan chéo thông qua phổ công suất chéo, ứng dụng để tìm phổ của tổng các QT. 6.6. Phổ công suất cho dãy ngẫu nhiên: định nghĩa, tính hàm tự tương quan qua phổ công suất; các tính chất và ý nghĩa. 6.7. Nhiễu trắng: định nghĩa, hàm tự tương quan cuả nhiễu trắng; những bất hợp lý và tác dựng của việc nghiên cứu nhiễu trắng; nhiễu nhiệt. 6.8. Nhiễu trắng dải tần hữu hạn: định nghĩa, công suất, hàm tự tương quan; nhiễu trắng thông dải. 6.9. Dãy nhiễu trắng. 6.10. Phổ công suất của QTNN phức: định nghĩa, hàm tự tương quan qua phổ công suất; quan hệ hàm tự tương quan chéo và phổ công suất chéo. 6.11. Căn bản về hệ tuyến tính . 6.12. Điều kiện cần để quá trình đầu vào phù hợp với hệ. 6.13. Phát biểu và chứng minh định lý về hàm trung bình, hàm tự tương quan QT đầu ra và hàm tương quan chéo đầu vào - đầu ra. 6.14. Phát biểu định lý về hàm trung bình, hàm tự tương quan QT đầu ra và hàm tương quan chéo đầu vào - đầu ra khi đầu vào là QT dừng - Hệ quả: phổ công suất, phổ công suất chéo đầu vào - đầu ra, công suất. 6.15. Định nghĩa QT tần thấp, thông dải, dải hẹp, điều biên. Chứng minh định lý về điều kiện cần và đủ để QT điều biên là dừng, quy tâm. Phát biểu Định lý về biểu diễn Rice. 6.16. Một số hiểu biết về phân tích nhiễu trong hệ thông tin công cộng AM. 6.17. Một số hiểu biết về phân tích nhiễu trong hệ thông tin công cộng FM. 6.18. Phạm vi ứng dụng của lọc thích nghi; lọc thích nghi cho nhiễu trắng, nhiễu màu. 6.19. Ước lượng tuyến tính tối ưu: Đặt bài toán, nguyên lý trực giao. 6.20. Lọc Wiener khả thi: trường hợp tổng quát, xây dựng lọc khả thi tối ưu hai bước. 171 PHỤ LỤC B - BIẾN ĐỔI FOURIER (LIÊN TỤC) x(t) X( )↔ ω ; j tX( ) x(t)e dt; +∞ − ω −∞ ω = ∫ j t1x(t) X( )e d2 +∞ ω −∞ = ω ωπ ∫ Bảng B-1 Tính chất của phép biến đổi Fourier Tính chất Tín hiệu Biến đổi Fourier Tuyến tính 1 1 2 2a x (t) a x (t)+ 1 1 2 2a X ( ) a X ( )ω + ω Dịch chuyển thời gian ox(t t )− j toe X(− ω ω) Dịch chuyển tần số j toe x(t)ω oX( )ω−ω Lấy tỷ lệ theo thời gian x( t)α 1 X ω⎛ ⎞⎜ ⎟α α⎝ ⎠ Lấy đảo thời gian ( )x t− ( )X −ω Đối ngẫu X(t) 2 x( )π −ω Lấy vi phân theo thời gian dx(t) dt n n d x(t) dt j X( )ω ω ( )nj X(ω ω) Lấy vi phân theo tần số ( jt)x(t)− ( )njt x(t)− dX( ) d ω ω n n d X( ) d ω ω Tích phân t x( )d −∞ τ τ∫ 1x(0) (t) x(t) jt π δ − 1X(0) ( ) X( ) j π δ ω + ωω X( )d ω −∞ ξ ξ∫ Tích chập 1 2x (t) x (t)∗ 1 2X ( )X ( )ω ω Nhân 1 2x (t) x (t) 1 2 1 X ( ) X ( ) 2 ω ∗ ωπ Lấy liên hợp x (t)∗ X ( )∗ −ω Khai triển chẵn - lẻ tín hiệu thực c x(t) x (t) x (t)= + l X( ) A( ) jB( ) X( ) X ( )∗ ω = ω + ω −ω = ω Thành phần chẵn cx (t) { }Re X( ) A( )ω = ω Thành phần lẻ x (t)l { }jIm X( ) jB( )ω = ω Định lý Parseval 2 1x(t)dt X( ) d 2 +∞ +∞ −∞ −∞ = ω ωπ∫ ∫ Điều kiện (đủ) tồn tại x(t)dt∞−∞∫ hội tụ tuyệt đối 171 Bảng B-2 Cặp phép biến đổi Fourier x(t) X( )ω Ghi chú 1 (t)δ 1 2 o(t t )δ − j toe− ω 3 1 2 ( )πδ ω 4 1 1(t) 2 j2 δ − πt u( )ω 5 j toe ω o2 ( )πδ ω−ω 6 ocos( t)ω o o[ ( ) ( )]π δ ω−ω + δ ω+ω 7 sin o( tω ) o oj [ ( ) ( )]− π δ ω−ω −δ ω+ω 8 u(t) 1( ) j πδ ω + ω 9 ou(t)cos( t)ω o o 2 2 o j[ ( ) ( )] 2 π ωδ ω−ω + δ ω+ω + ω −ω 10 ou(t) sin( t)ω o o 2 2 o jj [ ( ) ( )] 2 π ω− δ ω−ω −δ ω+ω + ω −ω 11 te u(t−α ) 1 jω+α 0α > 12 tte u(t)−α 21/( j )−ω+α 0α > 13 2 tt e u(t)−α 32!/( j )−ω+α 0α > 14 3 tt e u(t)−α 43!/( j )−ω+α 0α > 15 te−α 2 2 2α α +ω 0α > 16 2te−α 21/ 2 /(4 )( / ) e−ω απ α 0α > 17 2 2 1 tα + e −α ω 0α > 18 Wrest (t) 2W Sa(W )ω W 0> 19 Wtri (t) 2 WW Sa ( ) 2 ω W 0> 20 W Sa(Wt)π Wrest ( )ω W 0> 21 2 W Sa (Wt)π Wtri ( )ω W 0> 22 sgn(t) 2 /( j )ω 23 k (t kT) ∞ =−∞ δ −∑ o o o k 2( k ), T ∞ =−∞ πω δ ω− ω ω =∑ 172 173 Tài liệu tham khảo [1] Đào Hữu Hồ, Nguyễn Văn Hữu, Hoàng Hữu Như - Thống kê toán học - Nxb Đại học Quốc gia Hà nội - 2003. [2] Tống Đình Quỳ - Giáo trình Xác suất thống kê - Nxb Giáo dục - 1999. [3] Nguyễn Duy Tiến - Đặng Hùng Thắng - Các mô hình xác suất và ứng dụng - Phần I- II – III - Nxb Đại học Quốc gia Hà nội - 2001. [4] Nguyễn Duy Tiến - Vũ Việt Yên - Lý thuyết xác suất - Nxb Giáo dục - 2001. [5] Ngô Quốc Trung - [6] Hwei P. Hsu - Schaum s′ outline of theory and problem of probability, random variables, and random processes - Mc Graw - Hill - 1993. [7] D. G. Childer - Probability and random processes - IRWIN - 1997. [8] A. Papoulis - Probability, random variables, and stochastic processes - 3th - Mc Graw - Hill - 1991. [9] P. Z. Peebles - Probability, random variables, and random signal principles - 3th - Mc Ggraw-Hill - 1993. [10] N. U. Prabhu - Stochastic Storage Processes - Springer -Verlag - 1980. [11] A.N. Shiryaev - Probability - 2th - Springer - 1996. [12] Y. Viniotis - Probability and random processes for electrical engineers - Mc Graw - Hill - 1998 . [13] И. К. Волков, С. М. Зуев, Г. М. Цьветкова - Случайны процессов. Москва – МГТУ - им. Баумана - 2003. [14] И. И. Гихман, А. В. Скороход - Введение в теорию случайных процессов - Москва - Наука -1977. [15] Б. Р. Левин - Теоретичесие основы статистичесной раиотехники. Москва - Наука -1989. 173 KẾ HOẠCH HỌC – THI Lớp Cao học 19 (11,12-2007) PHẦN I: Tiểu luận (6điểm) CƠ ĐIỆN *5 câu hỏi lý thuyết (có đanh sách kèm theo) * câu bài tập, trong đó câu ở Ch. I 6≤ 2≤ *6 câu hỏi lý thuyết (có đanh sách kèm theo) * 7≤ câu bài tập, trong đó câu ở Ch. I 2≤ PHẦN II: Thi viết (4điểm, 40 phút). Câu I. Định nghĩa 2 trong các QT sau: a) QTNNdừng theo nghĩa rộng, 2 QTNNdừng đồng thời. b) QTNN Gauss. c) QT ergodic kỳ vọng. d) QT Poisson, dãy thời điểm đến, dãy thời đoạn trung gian. e) QT Winner. f) (Dành cho Điện) Định nghĩa phổ công suất, phổ công suất chéo, các tính chất của nó. Tính hàm tương quan từ phổ công suất. g) (Dành cho Điện) Phát biểu định lý nói lên mối liên hệ giữa hàm kỳ vọng, hàm tương quan của các QT đầu vào, đầu ra, tương quan chéo. Định lý tương ứng, hệ quả với các QT dừng. Câu II . Một bài tập của Chương I. Câu III. Cho số liệu (n 7)≤ ix 1x .. nx iy 1y .. ny a)Tìm mô hình hồi quy tuyến tính thực nghiệm dạng $y ax b= +$ b) Tìm hệ số phù hợp . 2R c)Tìm ước lượng cho phương sai chung của mô hình 2σ . d) Thể hiện dãy các phần dư { }ie lên đồ thị, đánh giá. e) Kiểm định giả thuyết a = 0. f) Tìm miền tin cậy cho hệ số a g) Tìm dự đoán ; đánh giá. 0y(x ); x(y )0 1 Cấu trúc tiểu luận Trang bìa: Giấy màu Trang lót: Nội dung giống trang bìa Nội dung: Phần I: Câu hỏi lý thuyết (Theo phân công) Câu 1.2. ..... ........... +Nên làm rõ những chỗ như “Dễ dàng thấy rằng”; “dễ suy ra”,… +Đánh số theo thứ tự bài tiểu luận. +Hình vẽ chưa chỉnh phải bỏ đi, vẽ lại, có thể vẽ bằng tay. +Cần sửa những chỗ đánh máy saỉ ở cuốn “Bài giảng…”. +Tránh chỉ có cắt dán đơn thuần, cần thể hiện rõ đây là kiến thức của mình. Câu 5.7. ..... ....... Câu 6.2. ..... ........... Câu 6.7. ..... ....... Phần II: Bài tập (Khuyến khích làm các bài mới, chưa chữa, chưa có đáp án hoặc chưa có trả lời đầy đủ). Câu 1.2. ..... ........... Câu 5.7. ..... .....……… Câu 6.4 …… ………… 2 (Trang bìa) Học Viện Kỹ thuật Quân Sự Khoa Công Nghệ Thông Tin Tiểu luận Một số vấn đề của Xác suất, Thống kê và Quá trình ngẫu nhiên Họ và tên: Lớp: Giáo viên hướng dẫn: Tô Văn Ban Hà nội 11-2007 3 Thuyết trình.Yêu cầu học viên lên thuyết trình phải chuẩn bị bài kỹ, trình bày như giáo viên giảng bài. Học viên có thể cắt xén, bỏ bớt nội dung, bỏ bớt “râu ria”, bỏ bớt chứng minh hoặc một phần chứng minh. Cũng có thể trình bày thế nào đó để bài thuyết trình được hấp dẫn. Không đọc lại đơn thuần bài viết của giáo viên. Phản biện.Người phản biện có thể hỏi những chỗ mình chưa hiểu, hoặc hỏi lại những chỗ dã thuyết trình sai, không chính xác, cũng như những vấn đề khác liên quan. Chỉ những người thuyết trình tốt hoặc bổ sung - phản biện tốt, hoặc trong lớp thể hiện chuẩn bị bài tốt mới có thể được điểm 9, 10. Kế hoạch học tập với lớp CH ĐIỆN I Néi dung ThuyÕt tr×nh Bæ xung - Ph¶n biÖn I Bæ xung - Ph¶n biÖn II ChuÈn bÞ M¸y Ch- −¬ng 1 Gi¸o viªn Lớp trưởng §5.1 §5.2 TrÇn V¨n C¶nh Ng V¨n Thanh Ng TrÇn Quang Bïi ViÖt H¶i D−¬ng Hïng Th¾ng L−u H¶i Nam Ng Thµnh T©n Mai B¹ch §»ng P. Thanh TruyÒn §5.3 §5.4 Ng Ngäc Tïng TrÇn Xu©n YÕn TrÇn Ngäc Th¾ng §Æng Xu©n H¶i Mai B¹ch D−¬ng Ng T P Dung Ba. Hång QuyÕt Ng V¨n DuÉn Ng Ngäc Kiªn §5.5 §5.6 Lª §øc Anh TrÇn §¹i Léc Lu¬ng V¨n Tr×nh TrÇn ThÞ H−êng TrÇn §øc VÜnh Tµo Ngäc Kh«i Ng KiÒu H−ng Vò V¨n T©m Vâ Trung Hµ §6.1 §inh TiÕn NghÜa Hoµng V¨n ViÖt TrÇn H÷u L−¬ng Phïng ChÝ Kiªn Ng Hoµng Ph−¬ng Hoµng V¨n §«ng Ng V¨n Tó TrÇn ThÞ H−êng Lª T. Thanh T©m §6.2 §6.3 §6.5 L− H¶i Nam Vò ThÞ Quúnh Ng V¨n Sanh Ng V¨n TuyÕn B¹ch Hång QuyÕt TrÇn §øc VÜnh TrÞnh Xu©nTrung Ng. V¨n Tó 4 Kế hoạch học tập với lớp CH ĐIỆN II Néi dung ThuyÕt tr×nh Bæ xung - Ph¶n biÖn I Bæ xung - Ph¶n biÖn II ChuÈn bÞ M¸y Ch- −¬ng 1 Gi¸o viªn Lớp trưởng §5.1 §5.2 §ç TuÊn C−¬ng Ng« Quang Huy Ng Träng Thanh §oµn V¨n Anh Vò ThÞ Lª H»ng Hoµng V¨n DuyÓn Chu Quèc Th¸i Ng T BÝch Nga Ng ThÞ B×nh §5.3 §5.4 KhuÊt V¨n §ång Ng Xu©n Phó S¬n Ng Hoµng An §µo TiÕn VËn Ng Quang H¶i Ng ThÞ Th¶o Chu Quèc Th¸i Ng V¨n Tó Ng Ph−¬ng Anh §5.5 §5.6 Lª Quang Trung §inh V¨n Hoan Qu¸ch thÕ Dòng TrÇn Nh− S¬n Bïi ThÞ Thuú §µo TiÕn VËn §ç Kh¾c Hoµng Ng V¨n §øc Ng Thµnh long §6.1 Do·n V¨n Minh TrÇn Hång Th¾m Ng TiÕn Dòng Ph¹m H¶i YÕn Ng Quang Minh Lª Anh Dòng Ng MËu V−¬ng Ng Hång Qu©n TrÇn Q Ph¸t §6.2 §6.3 §6.5 ÈTÇn Trung Kiªn PhÝ H÷u NghÜa Lª Nga ¸nh §µo Xu©n Huy Ng V¨n §øc Ph¹m TiÕn Nguyªn TrÇn T T H−¬ng §µo NhËt Quang §µo ThÕ H÷u Kế hoạch học tập với lớp CH CƠ Néi dung ThuyÕt tr×nh Bæ xung - Ph¶n biÖn I Bæ xung - Ph¶n biÖn II ChuÈn bÞ M¸y Ch−¬ng 1 Gi¸o viªn Lớp trưởng §5.1 §5.2 Vò Quang B×nh Lª Thanh B»ng Ng §×nh S©m L¹i Quang §¹o Hµ Thµnh trung Ng Ngäc Linh Léc V¨n Quang Ng Anh V−îng §5.3 §5.4 NguyÔn Hµ Hïng Ng Kiªn Trung TÞnh §×nh Th×n NguyÔn SÜ Hoµ Lª D¨ng Träng Vò §øc B×nh Ng ChÝ Thµnh Lª Xu©n L©n §5.5 §5.6 Ng Gia NghÜa Ph¹m V¨n Ngä Hµ Thµnh Trung TrÇn Huy Thanh Ph¹m D− Minh Ng C¶nh Tïng Ng Xu©n S¬n TrÇn V¨n S¬n §6.1 Bïi SÜ Giang Ng H÷u Hµ TiÕn Thanh H−ng Ng« Do·n Lîi Ng Anh TuÊn Ng Anh V−îng Ph Thanh Toµn N. T. Thanh Mai Ôn tập 5 C¥ Líp: Xe m¸y QS, CB. Kho¸: 19 (TT) TT Hä vµ tªn h.viªn C©u hái C. I C©u hái C.V §iÓm T. luËn §iÓm thi t¹i líp KÕt qu¶ 1 Vò Quèc B×nh 1-10 2-8-15 2 §oµn Quang Dòng 2-8 3-11-14 3 Vâ Quèc §¹i 1-8 1-12-14 4 L¹i Quang §¹o 6-7 6-8-13 5 NguyÔn M¹nh Hïng 5-8 3-9-13 6 T¹ TiÕn Long 3-9 1-11-18 7 NguyÔn V¨n Ngäc 6-10 6-7-14 8 NguyÔn Träng T©n 1- 1-9-16 9 Hå Xu©n Thµnh 2-11 3-7-13 10 TrÇn Huy Thanh 5-11 2-11-17 11 Ph¹m Thanh Toµn 4-10 2-13-14 12 TrÇn V¨n B×nh 6-9 1-8-13 13 Lu Minh Hïng 4-8 4-10-15 14 TrÇn Ých T¸ch 2-7 5-12-13 15 Bïi V¨n H¶i 1-8 1-9-11 16 Ng« Do·n Lîi 3-7 2-3-11 17 Léc V¨n Quang 6-7 4-9-11 18 NguyÔn ChÝ Thµnh 5-9 2-6-11 19 D¬ng Quang Minh 4-10 6-8-11 20 NguyÔn Gia NghÜa 2-7 5-12-13 21 NguyÔn Xu©n S¬n 1-8 1-9-11 22 6 Líp: Vò khÝ §¹n Kho¸: 19 (TT) TT Hä vµ tªn h.viªn C©u hái C. I C©u hái C.V §iÓm T. luËn §iÓm thi t¹i líp 1 §ç Thµnh Biªn 3-7 2-3-16 2 Bïi SÜ Giang 6-7 4-9-11 3 TrÇn B¸ HiÖu 5-9 2-6-15 4 NguyÔn Sü Hoµ 4-10 6-8-18 5 Hå Minh Hïng 5-11 4-6-11 6 NguyÔn Hµ Hïng 6-10 5-7-17 7 Lª Xu©n L©n 2-7 3-10-17 8 T¨ng Xu©n Long 3-8 3-8-14 9 NguyÔn Xu©n Lîi 1-9 5-9-11 10 Ng« V¨n Lu 3-10 2-8-15 11 TrÇn V¨n S¬n 6-11 3-10-13 12 NguyÔn H÷u T©n 5-11 1-9-15 13 Ph¹m V¨n Thä 4-10 4-12-14 14 NguyÔn Anh TuÊn 3-9 1-10-16 15 NguyÔn C¶nh Tïng 2-8 1-11-18 16 Ng« §øc V−îng 1-7 6-10-15 17 NguyÔn Quang Dòng 2-8 2-10-16 18 Lª KiÕn Giang 6-7 1-9-17 19 Vò Tïng L©m 6-9 2-10-16 20 Phan D¬ng Minh 1-10 3-6-13 21 NguyÔn §øc ThuËn 2-11 1-9-17 22 TrÞnh §×nh Th×n 3-10 2-10-13 23 NguyÔn Kh¾c Trinh 3-10 2-10-13 24 Lª §¨ng Träng 4-8 4-10-18 25 NguyÔn Kiªn Trung 3-9 2-9-17 7 Líp: CN CTM Kho¸: 19 (TT) TT Hä vµ tªn h.viªn C©u hái C. I C©u hái C.V §iÓm T. luËn §iÓm thi t¹i líp 1 NguyÔn Hoµng ¸nh 4-7 1-7-13 2 Lª Thanh B»ng 5-8 1-9-17 3 NguyÔn Nh §µm 6-9 2-11-17 4 Vò Ngäc Hïng 6-10 4-9-16 5 TiÕn Thanh H−ng 1-11 2-8-15 6 NguyÔn ChÝ L−¬ng 1-10 1-9-14 7 L¹i §×nh Ph¬ng 2-7 3-12-14 8 Hµ Thµnh Trung 3-8 1-11-15 9 §µo Duy ViÖt 4-9 1-7-17 10 NguyÔn Anh V−îng 3-7 3-10-16 11 NguyÔn Trung Anh 2-8 4-8-14 12 Vò §øc B×nh 1-9 5-9-17 13 NguyÔn Cao C−êng 3-10 4-7-13 14 NguyÔn Ngäc Linh 4-11 3-9-18 15 NguyÔn T. Thanh Mai 5-10 1-7-16 16 NguyÔn Träng Quý 6-12 3-10-16 17 NguyÔn §×nh S©m 6-10 1-9-14 18 NguyÔn Minh Thuû 5-9 2-11-17 19 Ph¹m §øc Ch©u(NCT§) 4-10 6-8-16 Líp: XD C«ng tr×nh Kho¸: 19 (TT) T T Hä vµ tªn h.viªn C©u hái C. I C©u hái C.V §iÓm T. luËn §iÓm thi t¹i líp 1 NguyÔn H÷u Hµ 1-10 1-7-16 2 Mai §øc Minh 2-9 3-9-14 3 NguyÔn Thanh TuÊn 3-8 4-8-12 4 NguyÔn TiÕn TÜnh 2-7 5-10-17 5 Ph¹m §øc Phong 3-7 2-12-15 6 NguyÔn M¹nh Hµ 4-8 4-9-15 8 §IÖN I Líp: Th«ng tin (QS) Kho¸: 19 (TT) T T Hä vµ tªn h.viªn C©u hái C. V C©u hái C.VI §iÓ m T. luËn §iÓm thi t¹i líp KÕt qu¶ 1 TrÇn V¨n C¶nh 2-8-15 6-8-20 2 NguyÔn V¨n DuÉn 3-11-14 4-10-15 3 §Æng Xu©n H¶i 1-12-14 5-12-19 4 Phan Hoµng HiÖp 6-8-13 1-9-16 5 Ph¹m V¨n HiÖp 3-9-13 7-13-18 6 Vò §øc HiÖp 1-11-18 4-9-20 7 NguyÔn KiÒu H−ng 6-7-14 2-12-15 8 Tµo Ngäc Kh«i 1-9-16 6-13-20 9 Phïng ChÝ Kiªn 3-7-13 4-6-16 10 TrÇn ViÕt Minh 2-11-17 5-10-20 11 Lu H¶i Nam 2-13-14 3-10-17 12 NguyÔn §×nh Ph¸t 1-8-13 6-8-14 13 NguyÔn Hoµng Ph−¬ng 4-10-15 5-9-16 14 NguyÔn TrÇn Quang 5-12-13 7-13-15 15 B¹ch Hång QuyÕt 1-9-11 3-10-20 16 NguyÔn V¨n Sanh 2-3-16 1-9-15 17 Vò V¨n T©m 4-9-11 4-12-14 18 §oµn V¨n T©n 2-6-15 7-10-17 19 NguyÔn Thµnh T©n 6-8-18 5-11-19 20 NguyÔn Anh Th¸i 4-6-11 6-10-15 21 NguyÔn V¨n Thanh 5-7-17 2-10-16 22 NguyÔn V¨n TuyÕn 3-10-17 7-9-17 23 NguyÔn Ngäc Tïng 3-8-14 4-10-16 24 NguyÔn Xu©n ViÖt 5-9-11 3-12-15 25 TrÇn §øc VÜnh 2-8-15 1-9-17 26 . Mai B¹ch D¬ng 3-10-13 2-12-13 9 T T Hä vµ tªn h.viªn C©u hái C. V C©u hái C.VI §iÓ m T. luËn §iÓm thi t¹i líp KÕt qu¶ 27 . NguyÔn Tµi §¹t 1-9-15 4-10-18 28 . Vâ Xung Hµ 4-12-14 2-9-14 29 . NguyÔn Nh Khuª 1-10-16 4-8-14 30 . TrÇn H÷u L¬ng 1-11-18 4-7-19 31 . NguyÔn V¨n Tó 6-10-15 1-9-17 32 . L¬ng V¨n Tr×nh 2-10-16 2-11-17 33 . TrÞnh Xu©n Trung 1-9-17 4-9-16 34 . Ph¹m Thanh TruyÒn 2-10-16 2-8-15 35 . Hoµng V¨n ViÖt 3-6-13 7-9-20 36 . TrÇn Xu©n YÕn 1-9-17 3-12-14 2-10-13 1-11-15 Líp: Th«ng tin (DS) Kho¸: 19 (TT) TT Hä vµ tªn h.viªn C©u hái C.V C©u hái C. VI §iÓm T. luËn §iÓm thi t¹i líp 1 Lª §øc Anh 4-10-18 6-7-20 2 NguyÔn TuÊn Anh 2-9-17 3-10-16 3 NguyÔn ThÞ Ph¬ng Dung 4-8-14 4-8-14 4 Hoµng V©n §«ng 1-7-13 5-9-17 5 NguyÔn DiÔm VÜnh Hµ 1-9-17 4-7-18 6 Bïi ViÖt H¶i 2-11-17 3-13-18 7 §Æng Trung HiÕu 4-9-16 6-7-16 8 TrÇn ThÞ H−êng 2-8-15 3-10-16 9 NguyÔn Ngäc Kiªn 1-9-14 1-9-19 10 TT Hä vµ tªn h.viªn C©u hái C.V C©u hái C. VI §iÓm T. luËn §iÓm thi t¹i líp 10 TrÇn §¹i Léc 3-12-14 2-11-17 11 §inh TiÕn NghÜa 1-11-15 8-9-20 12 Ch©u Thanh Ph−¬ng 1-7-17 6-8-16 13 Vò ThÞ Quúnh 3-10-16 5-10-15 14 NguyÔn TÊt S¬n 4-8-14 3-12-16 15 Lª ThÞ Thanh T©m 5-9-17 4-9-14 16 NguyÔn N¨ng Thµnh 4-7-13 7-10-19 17 D¬ng Hïng Th¾ng 3-9-18 5-9-15 18 NguyÔn Toµn Th¾ng 1-7-16 6-9-18 19 TrÇn Träng Th¾ng 3-10-16 4-8-20 20 Vò C«ng Trung 1-9-14 2-12-14 21 2-11-17 1-9-16 1-9-13 3-11-17 11 §IÖN II Líp: §iÒu khiÓn (QS) Kho¸: 19 (TT) TT Hä vµ tªn h.viªn C©u hái C.V C©u hái C. VI §iÓm T. luËn §iÓm thi t¹i líp 1 NguyÔn Hoµng An 6-8-16 1-10-20 2 NguyÔn ThÞ Lan Anh 5-10-15 5-7-16 3 Ph¹m ThÞ Ph¬ng Anh 3-12-16 3-9-14 4 §ç TuÊn C¬ng 4-9-18 4-8-19 5 Lª Anh Dòng 1-10-16 5-10-17 6 NguyÔn TiÕn Dòng 5-9-15 2-12-15 7 Qu¸ch ThÕ Dòng 2-9-18 4-9-15 8 KhuÊt V¨n §ång 4-8-14 1-7-16 9 NguyÔn V¨n §øc 2-12-14 1-9-18 10 §ç Kh¾c Hoµng 1-9-12 2-12-20 11 §µo Xu©n Huy 3-11-17 4-9-14 12 TrÇn Trung Kiªn 1-10-16 2-13-19 13 NguyÔn Thµnh Long 1-7-16 1-9-17 14 Do·n V¨n Minh 3-9-14 3-10-16 15 Lª Träng NghÜa 4-8-12 5-11-15 16 Ph¹m TiÕn Nguyªn 5-10-17 1-9-17 17 §µo NhËt Quang 2-12- 15 3-11-16 18 NguyÔn Hång Qu©n 4-9-15 4-8-16 19 TrÇn Nh S¬n 1-7-16 3-9-17 20 §Æng V¨n Thµnh 1-9-18 5-8-19 21 Lª Quang Trung 2-11-13 1-9-14 22 Vò §øc Trêng 4-9-14 3-12-14 23 §µo TiÕn VËn 2-8-13 1-11-20 1-9-17 1-7-17 3-10-16 3-10-16 5-11-15 4-8-14 12 Líp: §iÒu khiÓn (DS) Kho¸: 19 (TT) TT Hä vµ tªn h.viªn C©u hái C.V C©u hái C. VI §iÓm T. luËn §iÓm thi t¹i líp 1 §oµn V¨n Anh 1-9-17 5-9-17 2 NguyÔn ThÞ B×nh 3-11-16 4-7-20 3 Ph¹m §øc C¬ng 4-8-16 3-9-18 4 Hoµng V¨n DuyÒn 3-9-17 6-7-16 5 Bïi Minh H»ng 5-8-18 3-10-19 6 NguyÔn ThÞ Thuý H»ng 3-12-14 2-11-17 7 Vò ThÞ LÖ H»ng 1-11-15 8-9-20 8 NguyÔn Quang H¶i 1-7-17 6-8-16 9 Bïi ThÞ Thu HiÒn 3-10-16 5-10-15 10 Ng« Quang Huy 4-8-14 3-12-16 11 NguyÔn Thµnh Qu©n 5-9-17 4-9-14 12 NguyÔn Xu©n Phó S¬n 4-7-13 7-10-19 13 Chu Quèc Th¸i 3-9-18 5-9-15 14 NguyÔn ThÞ Th¶o 1-7-16 6-9-18 15 TrÇn ThÞ Hång Th¾m 3-10-16 4-8-20 16 NguyÔn Träng Thanh 1-9-14 2-12-14 17 Bïi ThÞ Thuû 2-11-17 1-9-16 18 Ph¹m H¶i YÕn 1-9-13 3-11-17 19 PhÝ H÷u NghÜa 2-9-17 3-10-16 13 Líp: Ho¸ Kho¸: 19 (TT) TT Hä vµ tªn h.viªn C©u hái C.V C©u hái C. VI §iÓm T. luËn §iÓm thi t¹i líp 1 Lª Ngäc ¸nh 1-11-18 4-9-20 2 D¬ng Ngäc C¬ 6-7-14 2-12-15 3 NguyÔn TiÕn Dòng 1-9-16 6-13-20 4 NguyÔn Thanh H¶i 3-7-13 4-6-16 5 §inh V¨n Hoan 2-11-17 5-10-20 6 NguyÔn Kh¸nh H−ng 2-13-14 3-10-17 7 §µo ThÕ H÷u 1-8-13 6-8-14 8 NguyÔn Quang Minh 4-10-15 5-9-16 9 NguyÔn ThÞ BÝch Nga 5-12-13 7-13-15 10 TrÇn Quang Ph¸t 1-9-11 3-10-20 11 NguyÔn V¨n Tó 2-3-16 1-9-15 12 NguyÔn MËu V−¬ng 4-9-11 4-12-14 13 TrÇn ThÞ Thanh H−¬ng 2-6-15 7-10-17 14 6-8-18 5-11-19 4-6-11 6-10-15 14

Các file đính kèm theo tài liệu này:

  • pdfCAO HỌC - Xác suất thống kê và Quá trình ngẫu nhiên.pdf
Tài liệu liên quan