Các khái niệm cơ bản Hệ tiên đề động lực học.

ĐỘNG LỰC HỌC Mục lục Bài mở đầu Chương I. Các khái niệm cơ bản. Hệ tiên đề động lực học. §1. Các khái niệm cơ bản. 1. Mô hình các vật thể chuyển động. 2. Hệ quy chiếu quán tính. 3. Khái niệm cơ bản về lực a. Mô men của lực đối với một điểm. b. Ngẫu lực c. Hệ lực tác dụng lên cơ hệ. Phân loại các lực. §2. Hệ tiên đề động lực học. 1. Hệ tiên đề động lực học. 2. Cơ hệ không tự do. a. Liên kết và phản lực liên kết i. Liên kết ii. Phản lực lien kết iii. Các lien kết không lý tưởng. Lực ma sát. b. Tiên đề giải phóng liên kết Chương II. Phương trình vi phân chuyển động của chất điểm và cơ hệ. §1. Phương trình vi phân chụyển động của chất điểm. 1. Phương trình vi phân chuyển động của chất điểm. 2. Các bài toán động lực học chất điểm a. Bài toán thuận. Ví dụ b. Bài toán ngược. Ví dụ. 3. Phương trình vi phân chuyển động của chất điểm trong hệ quy chiếu không quán tính. §2. Phương trình vi phân chuyển động của cơ hệ. 1. Hệ phương trình vi phân chuyển động của cơ hệ. a. Trong hệ quy chiếu quán tính b. Trong hệ quy chiếu không quán tính 2. Ví dụ. Chương III. Các định lý tổng quát động lực học. §1. Các đặc trưng hình học khối lượng của cơ hệ. 1. Khối tâm của cơ hệ. a. Định nghĩa. b. Khối tâm của các vật rắn đồng chất và đối xứng. c. Khối tâm của hệ vật rắn. 2. Mô men quán tính của vật rắn. a. Mô men quán tính của vật rắn đối với một trục. b. Mô men quán tính của vật đối với các trục song song. Định lý Steiner (Jacob Steiner (1796 – 1863)). c. Mô men quán tính của vật rắn đối với các trục cắt nhau. d. Ten xơ quán tính. Các trục quán tính chính. §2. Định lý động lượng. 1. Các định nghĩa động lượng của cơ hệ và xung lượng của lực. a. Định nghĩa động lượng của chất điểm và cơ hệ b. Định nghĩa xung lượng của lực 2. Định lý động lượng. a. Đối với chất điểm b. Đối với cơ hệ. 3. Định luật bảo toàn động lượng. 4. Các bài toán và ví dụ. 5. Chuyển động của vật thể có khối lượng biến thiên. §3. Định lý mô men động lượng. 1. Định nghĩa mô men động lượng. a. Định nghĩa b. Mô men động lượng của vật rắn 2. Định lý mô men động lượng a. Định lý mô men động lượng của chất điểm và cơ hệ b. Định lý mô men động lượng trong chuyển động tương đối với khối tâm. 3. Định luật bảo toán mô men động lượng 4. Các bài toán và ví dụ. §4. Định lý động năng. 1. Các định nghĩa cơ bản a. Định nghĩa động năng. Động năng của các vật rắn chuyển động. b. Định nghĩa công của lực. Tính công của các lực thường gặp. Lực có thế. 2. Định lý động năng. a. Định lý động năng b. Trường hợp lực có thế. c. Định lý động năng trong chuyển động tương đối đối với khối tâm. §5. Áp dụng các định lý tổng quát vào chuyển động của các vật rắn. 1. Chuyển động của vật rắn quay xung quanh một trục cố định. a. Phương trình chuyển động b. Phản lực của các ổ trục 2. Chuyển động song phẳng của vật rắn. a. Phương trình chuyển động b. Ví dụ 3. Chụyển động quay của vật rắn xung quanh một điểm cố định. a. Mô men động lượng đối với điểm cố định. b. Lý thuyết gần đúng con quay. Chương IV. Phương pháp Lagrange trong động lực học. §1. Mở đầu. Các khái niệm và định nghĩa cơ bản. 1. Mở đầu 2. Cơ hệ không tự do. Liên kết và phân loại liên kết. a. Cơ hệ không tự do. Liên kết và phương trình lien kết b. Phân loại lien kết và cơ hệ 3. Toạ độ suy rộng. 4. Di chuyển khả dĩ và số bậc tự do của cơ hệ. a. Di chụyển khả dĩ. Phương trình đối với các di chuyển khả dĩ. b. Số bậc tự do của cơ hệ. 5. Công khả dĩ. 6. Liên kết lý tưởng. a. Định nghĩa b. Tính lý tưởng của các lien kết thường gặp. §2. Nguyên lý di chụyển khả dĩ. 1. Nguyên lý di chuyển khả dĩ. 2. Các phương trình cân bằng trong các toạ độ suy rộng. 3. Ví dụ. §3. Nguyên lý D’Alembert Lagrange. Phương trình Lagrange loại II 1. Nguyên lý D’Alembert – Lagrange. 2. Ví dụ ĐỘNG LỰC HỌC Bài mở đầu Như đã biết, các vật thể xung quanh chúng ta luôn luôn chuyển động và tác dụng tương hỗ lẫn nhau. Đối tượng nghiên cứu của Cơ học là thiết lập mối quan hệ giữa các đại lượng đặc trưng cho chuyển động của các vật thể và sự tương tác giữa chúng. Phần động học đã xây dựng các đại lượng đặc trưng cho chuyển động của các vật thể: điểm và vật rắn. Phần động lực học sẽ giải quyết vấn đề tổng quát vừa nêu ra ở trên. Để giải quyết bài toán cơ bản của cơ học đặt ra ở trên, nhiều thế hệ các nhà cơ học, toán học như Galileo Galileé (1564 - 1642), I. Newton (1642 - 1727), D’Alembert (1717 - 1783), Lagrange (1736 - 1813), Hamilton (), Xiôn kovxki (1857 - 1935), Meserxki (1859 - 1935)… đã xây dựng đươc các cách tiếp cận khác nhau và đem lại những thành tựu quan trọng của Cơ học và áp dụng chúng vào thực tiễn. Vì vậy, chọn lọc các chất liệu cho các bài giảng là một vấn đề cấp thiết và có tầm quan trọng đặc biệt. Chúng tôi đã dựa trên hai yêu cầu chính. Một là Chất liệu sử dụng để đưa vào các bài giảng này dựa trên hai Chương I. Các khái niệm cơ bản. Hệ tiên đề động lực học. §1. Các khái niệm cơ bản. 1. Mô hình các vật thể chuyển động. Các đối tượng chụyển động nghiên cứu trong Cơ học gọi chung là các vật thể. Các vật thể có kích thước rất bé so với các kích thước khác trong bài toán được gọi là chất điểm. Trong các tính toán ta sẽ coi chất điểm là các điểm không có kích thước và mang vật chất. Tập hợp nhiều chất điểm trong một bài toán Cơ học gọi là Cơ hệ. Trong giáo trình này ta sẽ nghiên cứu các cơ hệ sau đây: - Các cơ hệ chứa một số hữu hạn chất điểm; - Các cơ hệ có vô hạn chất điểm, nhưng khoảng cách giữa chúng không đổi khi chịu lực và chuyển động và gọi là vật rắn tuyệt đối. 2. Hệ quy chiếu quán tính. Trong động lực học, ta khảo sát một loại hệ quy chiếu đặc biệt gọi là hệ quy chiếu quán tính. Hệ quy chiếu quán tính là hệ quy chiếu trong đó một chất điểm cô lập thì đứng yên mãi mãi hoặc là chuyển động thẳng và đều. Trong thực tế, các hệ quy chiếu quán tính chỉ có thể chọn gần đúng. Tuỳ theo mức độ chính xác của bài toán, người ta có thể chọn gần đúng hệ này hay hệ kia làm hệ quy chiếu quán tính. Chẳng hạn, trong các bài toán thiên văn hoặc du hành vũ trụ, người ta thường lấy hệ quy chiếu gắn vào tâm mặt trời còn các trục toạ độ hướng vào các ngôi sao cố định, còn trong các bài toán kỹ thuật thông thường người ta chọn mặt đất làm các hệ quy chiếu quán tính v.v… . 3. Khái niệm cơ bản về lực a. Khái niệm chung. Lực là đại lượng dùng để đo tương tác cơ học của các vật thể. Tác dụng cơ học là các tác dụng mà kết quả của nó là làm cho vật thay đổi trạng thái chuyển động hoặc là biến dạng đi. Lực tác dụng giữa các vật thể biểu thị ở cường độ, phương, chiều và điểm đặt. Vì vậy, lực có thể mô hình toán học bằng một vectơ buộc. Vectơ lực, ký hiệu là F  đặt tại điểm đặt của lực tác dụng, cùng phương chiều với lực tác dụng và có cường độ tỷ lệ với cường độ của lực tác dụng. Từ nay ta sẽ đồng nhất khái niệm lực tác dụng và vectơ biểu diễn lực và gọi chung là lực. b. Mô men của lực đối với một điểm. b.1. Định nghĩa. Mô men của lực F  đối với điểm O là vectơ, ký hiệu là )(0 Fm  xác định bằng công thức F )(0  OAFm , (1.1) trong đó OAr   . Vectơ mô men của lực F  theo định nghĩa sẽ vuông góc với mặt phẳng ),( FO  , có chiều nhìn từ đó lại thấy F  quay quanh O ngược chiều kim đồng hồ và có độ dài (mô đun) F 2.)(0 OAdtdFFm   (1.2) trong đó d là khoảng cách từ O đến F  . Nếu đặt tại O hệ toạ độ Oxyz và ký hiệu ZYX ,, là các thành phần của F  trên các trục toạ độ và zyx ,, là các thành phần của r  , t.l,  ZYXF ,,  ,  zyxr ,, O A F  r  )(FmO  d H Hình 1. các thành phần của vectơ mô men của lực F  sẽ nhận dạng zYyZFmOx )(  ; xZzXFmOy )(  yXxYFmOz )(  . b.2. Mô men của lực đối với một trục. Cho trục  . Gọi F   là hình chiếu của lực F  trên mặt phẳng  vuông góc với  , d  là khoảng cách từ O đến F   . Ta có định nghĩa Định nghĩa. Mô men của lực F  đối với trục  , ký hiệu là )(Fm   , là số đại số bằng tích hình chiếu F   lên mặt phẳng  vuông góc với  và khoảng cách d  từ giao điểm O của trục với mặt phẳng , lấy dấu cộng nếu F   quay xung quanh O ngược chiều kim đồng hồ và lấy dấu trừ trong trường hợp trái lại. dFFm  )(  (1.3) Dễ nhận thấy rằng, toạ độ các điểm đặt của F  và F   sẽ là  zyxA ,, và  0,, yxA , do đó mô men của lực F  đối với trục  còn có thể phát biểu cách khác: Mô men của lực F  đối với trục đi qua điểm O là hình chiếu lên trục  mô men của nó đối với điểm O.  )()( FmhcFm O    (1.4) Để chứng minh, trước tiên ta nhận thấy rằng   )()( FmFmhc O    Thật vậy, theo định nghĩa, )(FmO   hướng theo trục  (hay trục Oz), nên theo (1.2) nó có mô đun đúng bằng dF  . Mặt khác )(FmO   sẽ hướng theo chiều dương nếu F   quay quanh O ngược chiều kim đồng hồ và lấy dấu trừ trong trường hợp trái lại. x y y O xe  ze  ye  A F  Hình 2 A A d  F  F   O x y ,z 1F  2F  r  r   Hình 3. Từ đó              2121)( FFAArhcFFAArhcFrhcFmhc O         )(1 FmFrhcFrhc    . c. Ngẫu lực Hệ lực gồm hai lực ),( FF   song song, ngược chiều, cùng cường độ gọi là một ngẫu lực. Mặt phẳng chứa hai lực của ngẫu lực gọi là mặt phẳng tác dụng, khoảng cách d giữa hai đường tác dụng của các lực gọi là cánh tay đòn, chiều quanh từ mút vectơ lực này đến gốc của vectơ lực kia gọi là chiều quay và đại lượng dFm . gọi là trị số mô men của ngẫu lực. Ta đưa vào vectơ  FABFFm  ),( FBA   (1.5) gọi là (vectơ) mô men của ngẫu lực. Vectơ ),( FFm   vuông góc với mặt phẳng tác dụng của ngẫu lực, có chiều nhìn từ đó lại thấy chiều quay của ngẫu lực ngược chiều kim đồng hồ và có mô đun bằng trị số mô men của ngẫu lực m. Dễ dàng chỉ ra rằng vectơ mô men của ngẫu lực bằng tổng mô men của các lực tạo thành ngẫu lực đối với điểm bất kỳ. Hơn nữa, tác dụng của ngẫu lực không thay đổi nếu ta tuỳ ý thay đổi các lực tạo thành ngẫu lực miễn sao vectơ mô men của ngẫu lực không đổi, hay nói khác đi, vectơ mô men của ngẫu lực hoàn toàn đặc trưng cho ngẫu lực đó. §2. Hệ tiên đề động lực học. Phương pháp tiên đề hay phương pháp mô hình là phương pháp nghiên cứu dựa trên sự trừu tượng hoá các đối tượng cụ thể để hình thành các khái niệm, các định nghĩa cơ bản. Trên cơ sở các khái niệm và định nghĩa này người ta xây dựng một hệ các mệnh đề gốc thoả mãn các điều kiện nhất định (xem [1]) gọi là các tiên đề và từ đó bằng các lý luận logic suy diễn ra các quy luật khác. Tập hợp các quy luật xây dựng được tạo thành hệ thống lý thuyết của môn học. Chính Newton đã gọi các định luật cơ bản do ông nêu ra là các axiom (tiên đề) sử dụng các tiên đề đó để xây dựngộhc thuyết về chuyển động cơ học. A B F  F   d Hình 4. Ngẫu lực  FFm   , 1. Hệ tiên đề động lực học Tiên đề quán tính Galileé. Một chất điểm cô lập (tức là không chịu tác dụng của lực nào) thì đứng yên mãi mãi hoặc là chuyển động thẳng và đều. Galileé là người đã phát hiện ra tiên đề này vào năm 1638 và gọi là Định luật quán tính. Tiên đề này làm cơ sở để xác định một hệ quy chiếu có phải là hệ quán tính hay không, hay nói khác đi, nó cho ta tiêu chuẩn để xem xét tính quán tính của một hệ quy chiếu. Tiên đề 2. Tiên đề cơ bản động lực học. Dưới tác dụng của lực, chất điểm thu được gia tốc cùng chiều với lực, có độ lớn tỷ lệ thuận với cường độ của lực. Tiên đề này có thể biểu thị bằng công thức sau Fwm   , (1.6) trong đó m gọi là khối lượng của chất điểm. Dễ dàng nhận thấy rằng hệ số m đặc trưng cho tính chất chống lại sự thay đổi chuyển động do lực gây ra. Tính chất này gọi là tính quán tính của vật và do đó m thường gọi là khối lượng quán tính của vật. Đơn vị khối lượng là kg và các bội và ước của nó. Khi một chất điểm đặt trên mặt đất, nó bị trái đất tác dụng lực hút hướng về tâm trái đất gọi là trọng lực, ký hiệu là P  và sẽ rơi với gia tốc, ký hiệu là g  gọi là gia tốc rơi tự do (hay gia tốc trọng trường). Theo tiên đề cơ bản ta có thể viết Pgm   (1.7) Hệ thức (1.7) cho ta mối quan hệ giữa trọng lực và khối lượng của các chất điểm đặt trên mặt đất. Tiên đề 3. Tiên đề tác dụng và phản tác dụng Hai chất điểm tác dụng tương hỗ lẫn nhau hai lực có cùng đường tác dụng, cùng cường độ và ngược chiều. Tiên đề 3 làm cơ sở tính toán các lực tác dụng trong cơ hệ có nhiều chất điểm. Tiên đề 4. Tiên đề độc lập tác dụng. A B ABF  BAF  Hình5. Tác dụng và phản tác dụng Dưới tác dụng của một hệ lực chất điểm thu được gia tốc bằng tổng hình học các gia tốc khi tác dụng riêng rẽ từng lực một vào chất điểm. Giả sử trên chất điểm tác dụng hệ lực  nFFF  ,...,, 21 . Nếu tác dụng riêng rẽ từng lực một ta sẽ nhận được các gia tốc nwww  ,...., 21 . Khi tác dụng đồng thời hệ lực trên vào chất điểm, nó sẽ có gia tốc w  :    n i iww 1  . (1.8) Nhân hai vế của đẳng thức vừa viết với m và chú ý rằng kkk Fwm   , ta sẽ nhận được    n k kk wmwm 1     n k kF 1  (1.9) Đẳng thức (1.9) khẳng định rằng khi tác dụng đồng thời hệ lực  nFFF  ,...,, 21 chất điểm sẽ có gia tốc như khi tác dụng vào chất điểm một lực bằng tổng hình học các lực thành phần. 2. Cơ hệ không tự do a) Cơ hệ tự do và không tự do Cơ hệ tự do là cơ hệ trong đó các chất điểm của nó có thể thực hiện các di chuyển bé tuỳ ý sang các vị trí lân cận từ vị trí đang xét. Trong trường hợp trái lại cơ hệ là không tự do. Như thế trong các cơ hệ không tự do, các chất điểm của nó chịu các ràng buộc, ngăn cản chuyển động của chúng. Các điều kiện cản trở này gọi là các liên kết. b) Phản lực liên kết Về mặt cơ học sự ngăn cản chuyển động các chất điểm của cơ hệ, tức là tác dụng vào các chất điểm của cơ hệ các lực. Các lực do liên kết tác dụng vào các chất điểm của cơ hệ gọi là phản lực liên kết. Phản lực liên kết là các lực thụ động phụ thuộc vào các lực khác đã xác định tác dụng vào cơ hệ và có chiều ngược với chiều ngăn cản chuyển động do liên kết gây ra. Các lực xác định đặt vào các chất điểm của cơ hệ gọi là các lực hoạt động hay lực cho trước. Trong thực tế ta thường gặp các loại liên kết như liên kết tựa (Hình 6,a), liên kết dây mềm không dãn có trọng lượng không đáng kể (Hình 6,b), liên kết bản lề (Hình 6,c) c) Các liên kết không lý tưởng. Lực ma sát. Thực chất của các liên kết tựa và liên kết bản lề là sự tiếp xúc giữa hai mặt tựa. Có các phản lực liên kết đã nêu ở trên, thực ra ta đã cho rằng các vật khảo sát là rắn tuyệt đối và bề mặt của chúng là trơn tuyệt đối. Đó là các giả thiết lý tưởng các vật thật. Trong thực tế, các vật không bao giờ rắn tuyệt đối và bề mặt của chúng không thể trơn tuyệt đối, do đó sự tiếp xúc giữa chúng không thể coi ở tại một điểm mà diễn ra trên một vùng và ở đó có một hệ các phản lực liên kết. Trong các trường hợp này liên kết không chỉ ngăn cản sự lún sâu của vật khảo sát vào bên trong liên kết mà còn ngăn cản sự trượt cũng như sự lăn N  T  Hình 6.a. Liên kết tựa Hình 6.b. Liên kết dây mềm T   N  T  OR  Hình 6.c. Liên kết bản lề của vật khảo sát trên mặt tiếp xúc. Do vậy phản lực liên kết sẽ gồm các thành phần dưới đây: - Phản lực pháp tuyến N  vuông góc với mặt tựa; - Phản lực tiếp tuyến, tiếp tuyến với bề mặt mặt tựa. Thành phần phản lực này gọi là lực ma sát trượt, ký hiệu là msF  . - Ngẫu lực ngăn cản sự lăn, gọi là ngẫu lực ma sát lăn, ký hiệu lm . Coulomb là người đã có công lớn trong việc khảo sát quy luật ma sát giữa các mặt tựa khô của các vật tiếp xúc nhau. Định luật ma sát trượt, khô Lực ma sát trượt (ngẫu lực ma sát lăn) xuất hiện ở nơi tiếp xúc giữa hai bề mặt của hai vật ngăn cản sự trượt hoặc xu hướng trượt của vật nọ trên vật kia, trị số của nó tăng theo sự tăng của các lực hoạt động đến một giá trị giới hạn. Khi chưa xảy ra sự trượt, lực ma sát trượt (ngẫu lực ma sát lăn) thoả mãn hệ thức giới hạn: fNFms  , kNml  , trong đó f là hệ số ma sát trượt, còn k là hệ số ma sát lăn. Các hệ số ma sát này phụ thuộc vào bản chất vật lý của các mặt tiếp xúc, không phụ thuộc vào diện tích tiếp xúc giữa hai vật. Tóm lại, đối với cơ hệ không tự do, các liên kết tác dụng vào cơ hệ khảo sát các phản lực lien kết. Tuỳ theo tính chất của bề mặt tiếp xúảttong các trường hợp cụ thể, các bề mặt này có thể xem là không có ma sát, hoặc có ma sát. 3. Tiên đề giải phóng liên kết Các tiên đề phát biểu ở trên được áp dụng cho các cơ hệ tự do. Đối với các cơ hệ không tự do ta cần bổ sung vào 4 tiên đề đã phát biểu ở trên tiên đề giải phóng liên kết. Tiên đề 6. Tiên đề giải phóng liên kết. Cơ hệ không tự do có thể khảo sát như các cơ hệ tự do bằng cách bỏ đi các liên kết và thay chúng bằng các phản lực liên kết. Chương II. Phương trình vi phân chuyển động của chất điểm và cơ hệ. §1. Phương trình vi phân chụyển động của chất điểm. 1. Phương trình vi phân chuyển động của chất điểm. Khảo sát chuyển động của chất điểm trong hệ quy chiếu quán tính 0R . Theo tiên đề 4, chất điểm khối lượng m chịu tác dụng của các lực  nFFF  ,...,, 21 , sẽ chuyển động với gia tốc w  thoả mãn phương trình Fwm   , (2.1) trong đó nFFFF   ...21 . Tuỳ theo những điều kiện cụ thể của bài toán, ta có thể chọn các hệ toạ độ khác nhau để viết phương trình (2.1) dưới dạng toạ độ. 1.1. Trong trường hợp tổng quát, ta chọn hệ toạ độ đề các Oxyz và chiếu phương trình (2.1) lên hệ đã chọn với chú ý rằng ,xwx  ,ywy  zwz  ta được hệ phương trình vô hướng Xxm  , (2.2.a) Yym  , (2.2.b) Zzm  , (2.2.c) gọi là hệ phương trình vi phân chuyển động của điểm dưới dạng toạ độ đề các. Trong nhiều trường hợp ta biết trước quỹ đạo chuyển động của chất điểm, do đó ta có thể xây dựng được hệ toạ độ tự nhiên  bn  ,, tại mỗi điểm trên đường cong. Trong các trường hợp đó, ta thường chọn hệ toạ độ tự nhiên để viết các phương trình hình chiếu của phương trình (2.1) với chú ý rằng n v sw      2  ta được Fsm  , (2.3.a) bF v m   2 (2.3.b) bF0 . (2.3.c) Hệ phương trình vừa viết gọi là hệ phương trình vi phân chuyển động của điểm dưới dạng tự nhiên. y z M F  Hình 7 x   n  b  M Hình 8 Trong các chuyển động phẳng ta còn dùng hệ toạ độ cực  ,r để viết các phương trình hình chiếu. Chú ý rằng      errerrw r      22  ta nhận được các phương trình hình chiếu của (2.1)   rFrrm  2 , (2.4.a)    Frrm   2 (2.4.b) Hệ phương trình vi phân vừa thu được gọi là hệ phương trình vi phân chuyển động của chất điểm dưới dạng toạ độ cực. Nói chung, tuỳ theo những bài toán cụ thể ta còn có thể sử dụng các hệ toạ độ khác để viết các phương trình vi phân chuyển động của chất điểm như hệ toạ độ cầu, hệ toạ độ trụ v.v… 2.Các bài toán động lực học chất điểm a. Bài toán thuận. Cho biết chuyển động của chất điểm, tìm lực tác dụng lên chất điểm. Để giải bài toán này, thoạt tiên ta tìm gia tốc của chất điểm rồi sau đó thay gia tốc tìm được vào phương trình (2.1) hoặc các phương trình ở dạng hìmh chiếu. Ví dụ 2.1. Một sàng vật liệu dao động điều hoà theo phương thẳng đứng với biên độ a = 5cm. Hãy xác định tần số dao động để các hạt có thể bật lên khỏi mặt sàng. Bài giải. Khảo sát hạt vật liệu nằm trên mặt sang. Các lực tác dụng lên hạt vật liệu gồm trọng lực P  của hạt, phản lực N  của sàng lên hạt. Áp dụng phương trình (2.1) NPwm   . Bây giờ ta tìm gia tốc của hạt. Do hạt nằm trên sàng nên sẽ dao động điều hoà cùng với sàng với biên độ a. Phương trình dao động của hạt do đó có dạng   ktax cos  re  e  O Hình 9 x N  P  Hình 10 x trong đó k là tần số dao động,  là pha ban đầu; k, là các hằng số. Gia tốc của hạt hướng theo phương thẳng đứng và biến đổi theo luật   ktakxw cos2 . Sử dụng phương trình hình chiếu lên phương x ta được NPx g P  ,   ktak g P Px g P PN cos2 . Khi hạt bật lên khỏi sàng, t.l sàng không tác dụng lực lên hạt nữa, nên 0min N . Vật điều kiện để hạt bật lên khỏi sàng là 0min N . Từ đó suy ra 02min  ak g P PN Hz a g k 14 05,0 8,9  . b. Bài toán ngược. Ví dụ. Cho biết lực tác dụng lên chất điểm. Tìm chuyển động của chất điểm (phương trình chuyển động, vận tốc … của chất điểm) Để giải bài toán này, ta sẽ sử dụng một trong các dạng các phương trình hình chiếu (2.2), (2.3) hoặc (2.4). Khi đó ta đi đến một hệ phương trình vi phân cấp hai. Từ lý thuyết phương trình vi phân thường ta biết rằng nghiệm tổng quát của các hệ phương trình vi phân phụ thuộc vào các hằng số tuỳ ý. Do đó, để tìm một dạng chuyển động cụ thể của chất điểm ta cần biết các điều kiện ban đầu. Về mặt cơ học các điều kiện ban đầu thể hiện trạng thái ban đầu về vị trí và vận tốc của điểm. Như thế, chẳng hạn nếu ta sử dụng hệ phương trình vi phân chuyển động dưới dạng toạ đồ đề các, thì các điều kiện ban đầu cần phải cho trước là 000 )(, xtxtt  , 00 )( yty  , 00 )( ztz  00 )( xtx   , 00 )( yty   , 00 )( ztz   . Ví dụ 2.2. Viên đạn có khối lượng m được bắn lên với vận tốc ban đầu 0v lập với phương nằm ngang góc  . Tìm phương trình chuyển động, quỹ đạo, độ cao và tầm xa của viên đạn. Bỏ qua sức cản không khí. Bài giải Ta lập hệ trục toạ độ đề các Oxyz với gốc O đặt tại điểm bắn (đầu nòng súng), trục Ox nằm ngang sao cho 0v  và Ox tạo thành mặt phẳng thẳng đứng; trục Oy nằm ngang và vuông góc với trục Ox còn Oz hướng theo phương thẳng đứng lên trên. Viên đạn được xem như chất điểm chuyển động dưới tác dụng của trọng lực P. Ta có hệ phương trình vi phân chuyển động 0xm  0ym  Pzm  hay là 0x , 0y , gz  . Các điều kiện ban đầu 0t , 0)0( x , 0)0( y , 0)0( z ; 0)0( x , 0)0( y , 0)0( z . Giải các phương trình này ta được 1Cx  , 21 CtCx  ; 3Cy  , 43 CtCy  5Cgtz  , 65 2 2 CtC gt z  Thay các điều kiện ban đầu vào nghiệm tổng quát tìm được, ta nhận được Ví dụ 2.2. Một vật nặng được bắn lên theo phương thẳng đứng với vận tốc ban đầu 0v  . Biết rằng lực hút của trái đất tỷ lệ nghịch với bình phương khoảng cách từ vật đến tâm quả đất. Bỏ qua sức cản của không khí. Khảo sát chuyển động của vật bắn lên. Bài giải. Ta xem vật nặng là chất điểm chuyển động dưới tác dụng sức hút của trái đất. Chọn trục Oz xuất phát từ tâm quả đất và hướng thẳng đứng lên. Khi vật ở trên mặt đất Rz  và vật có gia tốc g . Do vậy, k R gm  2   , trong đó k  là vectơ đơn vị chỉ phương của trục Oz. Do đó 2mgR . Phương trình chuyển động của vật là 2 2 z mgR zm  hay là 2 2 z gR z  (a) Các điều kiện ban đầu là ,)0( Rz  0)0( vz  (b) Tích phân phương trình (a) bằng cách nhân hai vế với z ta được z z gR zz  2 2              z gR dt dz dt d 22 2  nên z gRz 22 2   + 1C . Thay điều kiện ban đầu vào ta được  1 22 0 2 C R gRv gR v C  2 2 0 1 (c) Thay  1, Cvz gR v  2 2 0 vào biểu thức vừa tích phân được, ta có  z gRv 22 2 gR v  2 2 0 . Từ đây suy ra độ cao cực đại sẽ đạt được khi 0v , t.l., 2 0 2 max 2 2 vgR gR z   (d) Từ đó suy ra để maxz , t.l., vượt ra khỏi sức hút của trái đất ta cần có ,02 20  vgR hay là gRv 20  . Với 2/8,9 smg  , mr 610.4,6 ta được skmsmgRv /11/1100020  O z k z F  2   k  Người ta thường gọi vận tốc này là vận tốc vũ trụ cấp hai. Ta trở lại phương trình z gRz 22 2   gR v  2 2 0 hay giải ra đối với z z bza dt dz   trong đó 22gRa  , gRvb 220  . Do đó dtdz bza z   Tích phân hai vế, ta được 2 2 2 )(22 ln)(2 Ct bb b bzabzbza abzabz            . Thay các giá trị của ba, vào ta được 2 2 0 2 0 2 0 2 0 22 0 2 0 2 2 2 0 2 0 2 0 22 0 )2()2(2 22 ))2(2()2(2)2(22 ln2 )2()2(2 ))2(2()2(2 Ct gRvgRv gRv zgRvgRzgRvzgRvgR gR gRvgRv zgRvgRzgRv                 Thay giá trị ban đầu ,)0( Rz  ta được )2()2(2 22 ))2(2()2(2)2(22 ln2 )2()2(2 ))2(2()2(2 2 0 2 0 2 0 2 0 22 0 2 0 2 2 2 0 2 0 2 0 22 0 2 gRvgRv gRv RgRvgRRgRvRgRvgR gR gRvgRv RgRvgRRgRv C                 Sau khi giản ước ta nhận được   gRvgRv gRv gRvRvgRRv gR gRv Rv C 22 2 )2( ln 2 2 2 0 2 0 2 0 2 0 22 0 22 0 2 0 0 2       Cuối cùng ta được                 )2()2(2 22 ))2(2()2(2)2(22 ln2 )2()2(2 ))2(2()2(2 2 0 2 0 2 0 2 0 22 0 2 0 2 2 2 0 2 0 2 0 22 0 gRvgRv gRv zgRvgRzgRvzgRvgR gR gRvgRv zgRvgRzgRv   gRvgRv gRv gRvRvgRRv gR gRv Rv t 22 2 )2( ln 2 2 2 0 2 0 2 0 2 0 22 0 22 0 2 0 0       Ví dụ 2.3 Một quả cầu khối lượng m rơi tự do từ một điểm O không có vận tốc ban đầu dưới tác dụng của trọng lực. Sức cản của không khí đối với quả vầu tỷ lệ bậc nhất với vận tốc với hệ số tỷ lệ  . Hãy xác định chuyển động của quả cầu. Bài giải - Chất điểm khảo sát: quả cầu; - Các lực tác dụng lên chất điểm: Trọng lực P  , lực cản vR   Chọn hệ toạ độ là Oy hướng thẳng đứng xuống dưới. Phương trình vi phân chuyển động có dạng ymgyPym    hay là yngy   ; m n   Điều kiện ban đầu: 0)0()0(,0)0(  yvy  Đặt dt dv vyvy   , , ta được nvg dt dv  dt nvg dv   O y P  R  Tích phân hai vế, với chú ý rằng nvmg  ta được nteC n g xv  1 2 1 Ce n C t n g x nt   Thay các giá trị ban đầu ta được 10 C n g  2 10 C n C  Từ đó ta suy ta n g C 1 ; 22 n g C  Vậy phương trình chuyển động của hệ là )1( 2  nte n g t n g x Xét biểu thức vận tốc  nte n g v  1 ta thấy rằng, khi t thì n g v . Như vậy, với t khá lớn, vận tốc v gần như không thay đổi. Do đó giá trị n g v  được gọi là vận tốc giới hạn của chuyển động trong các môi trường cản (sau này sẽ thấy cả khi lực cản tỷ lệ với bình phương vận tốc cũng xảy ra điều này). 4. Phương trình vi phân chuyển động của chất điểm trong hệ quy chiếu không quán tính. Trong mục này ta sẽ thiết lập phương trình chuyển động trong một hệ quy chiếu tuỳ ý. Hệ quy chiếu này, đương nhiên là các hệ quy chiếu không quán tính và từ nay về sau ta sẽ gọi là hệ quy chiếu tương đối, còn hệ quy chiếu quán tính ta sẽ gọi là hệ quy chiếu tuyệt đối. Trong động lực học, chuyển động đối với hệ quy chiếu tuỳ ý được gọi là chuyển động tương đối. 4.1. Phương trình vi phân chuyển động của chất điểm trong hệ quy chiếu tương đối. Ta đã biết, giữa các yếu tố gia tốc trong các hệ quy chiếu tuyệt đối và tương đối có hệ thức cera wwww   (2.4) trong đó, ew  là gia tốc theo và cw  là gia tốc Cô ri o lis rec vw   2 (2.5) Thay các biểu thức này vào phương trình chuyển động đối với hệ quán tính Fwm   , ta có   Fwwwm cer   . Chuyển các số hạng ewm  , cwm  sang vế phải và đưa vào các ký hiệu e qt e wmF   , c qt c wmF   (2.6) ta được qtc qt er FFFwm   (2.7) Các đại lượng e qt e wmF   , c qt c wmF   được gọi tương ứng là các lực quán tính theo và lực quán tính Cô ri ô lis. Như vậy, trong các hệ quy chiếu không quán tính phương trình vi phân chuyển động của chất điểm có mặt các thành phần lực mới là các lực quán tính theo và lực quán tính Cô ri ô lis. 4.2. Sự cân bằng tương đối. Một điểm đứng yên đối với hệ quy chiếu không quán tính được gọi là nó ở trạng thái cân bằng tương đối. Đương nhiên trong trường hợp này 0rv  , do đó, 0cw  , hay cũng thế 0qtcF  . Do vậy, phương trình cân bằng tương đối có dạng 0 qteFF  (2.8) Ví dụ 2.4. Sự cân bằng của chất điểm trên mặt đất. Xét chất điểm đối với mặt đất có kể đến chuyển động quay xung quanh trục của nó, t.l., đối với hệ quy chiếu tương đối. Do đó trên chất điểm có tác dụng 3 lực: - Sức hút của trái đất hướng từ chất điểm đến tâm quả đất, ký hiệu là P  ; - Lực quán tính theo do sự quay của quả đất qteF  : 2 MKmF qte trong đó s/ 360025 2     là vận tốc góc của trái đất. - Phản lực N  của mặt đất lên chất điểm. O P  qt eF  M K Hình 13   N  Như thế, phương trình cân bằng là 0 NFP qte  . Ký hiệu qteFPP  1 và gọi là trọng lực, ta có 1PN   Hướng của lực 1P  xác định phương thẳng đứng (phương của dây dọi) tại điểm đang xét trên mặt đất, còn mặt phẳng vuông góc với 1P  gọi là mặt phẳng nằm ngang. Tỷ số giữa lực quán tính theo và trọng lực bằng g R g OM mg mMK P F qte  coscos 222 1  , trong đó R là bán kính của quả đất,  gọi là vĩ độ của điểm. Rõ ràng tỷ số 1P F qte có giá trị cực đại tại xích đạo: ,0 kmR 6370 , 2/78,9 smg  00346.0 1  P F qte hay là 290 1 1  P F qte . Từ đó suy ra trọng lượng 1P của vật khác rất ít so với lực hút P của quả đất và hướng thẳng đứng lệch với hướng của lực hút P  rất nhỏ. Ví dụ 2.5. Sự rơi của điểm nặng trên mặt đất. Bài giải C z M y x S N  o M0 M H x y z yma x rv    qt cF  Ta sẽ chọn hệ trục toạ độ như sau: - Trục Oz có gốc tại mặt đất, đi qua tâm quả đất và bỏ qua độ lệch nhỏ giữa Oz với phương thẳng đứng và coi Oz là phương thẳng đứng; - Trục Oy hướng về phía Đông; - Trục Ox hướng về phía Nam. Các lực tác dụng lên chất điểm bao gồm: trọng lực P  hướng vào tâm quả đất (bỏ qua độ lệch do lực quán tính theo), lực quán tính Cô ri ô lis qtcF   cos2 r qt c vmF  có hướng quay về phía Tây. Từ đó ta viết được hệ phương trình vi phân chuyển động của chất điểm         mgzm vmym xm r     cos2 0 (a) hay là, do zvr          mgzm zmym xm     cos2 0 (b) Các điều kiện ban đầu 0t , Hzyx  )0(,0)0(,0)0( 0)0( x , ,0)0( y 0)0( z Tích phân phương trình đầu, ta được ,1Cx  21 CtCx  . Dựa vào điều kiện ban đầu ta suy ra ngay 021 CC ; nên 0x Bây giờ ta tích phân phương trình đối với z gz  , 3Cgtz  , 43 2 2 1 CtCgtz  . Từ điều kiện ban đầu ta tìm được 03 C , HC 4 Như vậy theo phương z chuyển động của điểm có phương trình Hgtz  2 2 1 gtz  Thay biểu thức của z vào phương trình thứ hai của (b), ta được gty .cos2  Vậy, 5 2 cos Cgty   ,  cos 3 1 3gty  . Thời điểm chất điểm rơi xuồng đến mặt đất là z = 0, t.l., 0 2 1 2  HgT , g H T 2  Lúc đó điểm có các toạ độ: 0x ,  cos 2 3 1 )( 3          g H gTy 0)( Tz . Do trục Oy hướng về phía Đông, nên điểm rơi xuống có toạ độ lệch Đông. Ví dụ 2.6. Thanh OA có độ dài l = 0.5m quay đều với vận tốc góc s/2  xung quanh trục thẳng đứng đi qua đầu O của thanh. Tại một thời điểm nào đó một chiếc vòng đang ở giữa thanh bắt đầu rời khỏi vị trí và trượt trơn dọc theo thanh. Tìm khoảng thời gian để vòng ra tới đầu thanh. Bài giải Ta chọn hệ toạ độ động Oxz gắn vào thanh OA . Khảo sát chuyển động của vòng đối với hệ toạ độ này - Các lực tác dụng lên vòng: Trọng lượng P  của vòng hướng song song với trục z; Phản lực N  của thanh lên vòng; Lực quán tính theo qteF  hướng dọc theo thanh đi ra đầu thanh; Lực quán tính Cô riô lis qtcF  nằm ngang và vuông góc với thanh. O O A A z x z x M M Hình11: a) Lúc vòng bắt đầu chuyển động b) Lúc ở vị trí đang chuyển động qt eF  qt cF  P  N  - Phương trình vi phân chuyển động của vòng trong hệ Oxz qt c qt e FFNPwm   . Phương trình hình chiếu lên trục Ox có dạng xmOMmmwFxm e qt e 22   hay là 02  xx  . Các điều kiện ban đầu: 0)0(,25.0 2 )0(,0  xm l xt  Phương trình đặc trưng 022  ,  2,1 . Do đó, nghiệm tổng quát của phương trình vi phân chuyển động có dạng tt eCeCx  21   Thay các giá trị ban đầu ta được 2125.0 CC  , 210 CC  Suy ra 125.021  CC Vậy, )(125.0 22 tt eex    Gọi T là thời gian để vòng đạt đến mút thanh OA. Ta có phương trình xác định T: )(125.05.0 22 TT ee    . Đặt ue T 2 , ta có phương trình đối với u 4 1  u u hay là 0142  uu Giải phương trình này ta được 732,12142 u Vì 0T nên 12 Te  , do đó ta chỉ lấy được giá trị 732.32  ue T Ta suy ra sT 21.0 2 732.3ln   §2. Phương trình vi phân chuyển động của cơ hệ. 1. Phân loại các lực tác dụng lên cơ hệ. Các lực tác dụng lên cơ hệ có thể phân loại thành các lực trong và lực ngoài, hoặc thành các lực hoạt động (lực cho trước) và phản lực lien kết. Các lực trong ký hiệu là ikF  là các lực do các chất điểm của cơ hệ tác dụng tương hỗ lẫn nhau. Các lực này bao giờ cũng xuất hiện từng đôi có cùng đường tác dụng, cùng cường độ và ngược chiều. Do đó, tổng các lực trong luôn luôn bằng không,   0ikF  (2.9) Cũng thế, tổng mô men của các lực trong đối với điểm bất kỳ luôn luôn bằng không   0)( ikO Fm  (2.10) Các lực do các cơ hệ khác tác dụng lên các chất điểm của cơ hệ đang xét gọi là các lực ngoài, ký hiệu là ekF  Như đã biết, phản lực liên kết là các lực do liên kết tác dụng lên các chất điểm của cơ hệ. Phản lực liên kết là các lực thụ động và được ký hiệu là kN  . Ngược lại, các lực khác không phải là các phản lực liên kết là các lực hoạt động hay các lực cho trước. Ký hiệu cáclực hoạt động là kF  . Tuỳ theo những cách thức giải quyết bài toán ta có thể dung phương pháp phân loại lực theo kiểu này hoặc kiểu kia, sẽ được lần lượt trình bày trong các chương sau 2. Hệ phương trình vi phân chuyển động của cơ hệ. 2.1. Trong hệ quy chiếu quán tính Xét cơ hệ gồm N chất điểm có khối lượng là Nmmm ,...,, 21 . Ta tách riêng chất điểm thứ k và giả sử các lực tác dụng lên chất điểm là ikF  và ekF  hoặc kF  và kN  . Như thế, nếu ta sử dụng cách phân loại lực thành lực trong và lực ngoài thì phương trình chuyển động cho chất điểm thứ k là ek i kkk FFwm   , k=1,2,…,N Do đó, đối với cơ hệ có N chất điểm ta có hệ phương trình vi phân chuyển động sau đây Hình 15           e N i NNN ei ei FFwm FFwm FFwm    ......................... 2222 1111 (2.11) Dễ nhận thấy rằng nếu sử dụng phương pháp phân loại các lực thành các lực hoạt động và phản lực liên kết ta sẽ có hệ phương trình vi phân chuyển động của cơ hệ là           NNNN NFwm NFwm NFwm    ..................... , 2222 1111 (2.12) 2.2. Trong hệ quy chiếu không quán tính Khi khảo sát chuyển động của các chất điểm trong hệ quy chiếu không quán tính, ngoài các lực thong thường ta cần phải them vào các lực quán tính theo và quán tính cô ri ô lis của các chất điểm. Như thế, hệ phương trình vi phân chuyển động của cơ hệ trong các hệ quy chiếu không quán tính sẽ là           qtc N qte N e N i NNN qtcqteei qtcqteei FFFFwm FFFFwm FFFFwm    ......................... 222222 111111 (2.13) Việc nghiên cứu trực tiếp hệ phương trình vi phân chuyển động trên đây là một công việc rất khó khăn vì số phương trình và số ẩn rất lớn (3N phương trình vi phân vô hướng với 6N ẩn là các toạ độ Nkzyx kkk ,...,2,1,,,  ) và 3N thành phần phản lực liên kết. Do đó, sau đây ta sẽ lần lượt tìm các phương pháp để nhận được những dạng phương trình thuận lợi hơn trong việc nghiên cứu chúng và áp dụng vào việc giải quyết các bài toán thực tế.