Bất đẳng thức Gagliardo - Nirenberg cho không gian có chuẩn sinh bởi hàm lõi

Title: GAGLIARDO - NIRENBERG INEQUALITIES FOR THE SPACES WHOSE NORMS ARE GENERATED BY CONCAVE FUNCTIONS Abstract: In this paper, we present some inequalities related to generalized derivatives of functions of a space whose norm is generated by a concave function.

pdf9 trang | Chia sẻ: dntpro1256 | Ngày: 26/11/2020 | Lượt xem: 46 | Lượt tải: 0download
Bạn đang xem nội dung tài liệu Bất đẳng thức Gagliardo - Nirenberg cho không gian có chuẩn sinh bởi hàm lõi, để tải tài liệu về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên
BẤT ĐẲNG THỨC GAGLIARDO - NIRENBERG CHO KHÔNG GIAN CÓ CHUẨN SINH BỞI HÀM LÕM TRƯƠNG VĂN THƯƠNG Trường Đại học Sư phạm - Đại học Huế Tóm tắt: Trong bài này chúng tôi tìm bất đẳng thức Gagliardo - Niren- berg và một số bất đẳng thức đối với các đạo hàm suy rộng của hàm cho không gian có chuẩn sinh bởi hàm lõm. 1 GIỚI THIỆU Bất đẳng thức đối với các đạo hàm suy rộng trong trường hợp một chiều đã được G. E. Shilov, A. N. Kolmogorov, H. H. Bang [2]và nhiều nhà toán học khác nghiên cứu và ứng dụng nó. Trường hợp nhiều chiều, bất đẳng thức đối vơí các đạo hàm được rất nhiều nhà toán học quan tâm nhưng kết quả nhận được còn rất hạn chế. Bất đẳng thức Gagliardo - Nirenberg đã được [1] chứng minh cho các không gian Lp(Rn), [3] chứng minh cho các không gian Orlicz (không gian có chuẩn sinh bởi hàm lồi [7]) và [6] chứng minh cho không gian có chuẩn sinh bởi hàm Young có dạng Ms,k(t) = t s(ln(2 + t))k. Trong đề tài này chúng tôi tìm bất đẳng thức Gagliardo - Nirenberg và một số bất đẳng thức đối với các đạo hàm suy rộng cho không gian NΦ(Rn+), không gian có chuẩn sinh bởi hàm lõm được giới thiệu bởi M. S. Steigerwalt và A. J. White [8]. 2 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Giả sử S ⊂ Rn, B là σ− đại số sinh bởi các tập Borel trên S và µ là độ đo Lebesgue trên B và Φ : [0,+∞) −→ [0,+∞) là hàm lõm, không giảm thoả mãn Φ(0) = Φ(0+) = 0, Φ(t) 6≡ 0; kí hiệu C là tập hợp tất cả các hàm Φ. Kí hiệu NΦ(S) là tập hợp gồm các hàm đo được trên S thoả mãn điều kiện ∫ ∞ 0 Φ(λf (t))dt <∞ và ‖f‖NΦ(S) = ∫ ∞ 0 Φ(λf (t))dt, trong đó λf (t) := µ{x ∈ S : |f(x)| > t}, (t ≥ 0). Khi đó (NΦ(S), ‖.‖NΦ) là một không gian Banach (xem [8]). Tạp chí Khoa học và Giáo dục, Trường Đại học Sư phạm Huế ISSN 1859-1612, Số 02(18)/2011: tr. 5-13 6 TRƯƠNG VĂN THƯƠNG Và MΦ(S) là tập hợp xác định như sau MΦ(S) := {f − đo được : ‖f‖MΦ = sup{ 1 Φ(µ(E)) ∫ E |f |dµ : µ(E) <∞}}, cũng là một không gian Banach (xem [8]). Dαf là đạo hàm suy rộng cấp |α| = α1 + α2 + . . .+ αn với α = (α1, α2, . . . , αn). Để chứng minh các bất đẳng thức liên quan đến các đạo hàm ta cần các kết quả sau: Bổ đề 2.1. [8] Nếu f ∈ NΦ(S) , g ∈MΦ(S) thì fg ∈ L1(S) và∫ S |f(x)g(x)|dµ ≤ ‖f‖NΦ(S)‖g‖MΦ(S) Bổ đề 2.2. [5] Nếu f ∈ NΦ(S) thì ‖f‖NΦ(S) = sup ‖g‖MΦ(S)≤1 | ∫ S f(x)g(x)dµ|. Bổ đề 2.3. [9] Nếu f ∈ NΦ(Rn+) và với x ∈ Rn+ thì ‖f(.+ x)‖NΦ(Rn+) = ‖f‖NΦ(Rn+). Bổ đề 2.4. [1] Giả sử ` ≥ 2, f và các đạo hàm Dαf ∈ L∞(Rn), 0 < |α| = r ≤ `. Khi đó ∑ |α|=r ‖Dαf‖∞ ≤ C‖f‖1− r `∞ ( ∑ |α|=` ‖Dαf‖∞ ) r ` , (1) với hằng số C không phụ thuộc hàm f . Trên cơ sở của các kết quả có được liên quan đến các không gian Lp và không gian Orlicz, chúng ta cũng chứng minh được một số bất đẳng thức liên quan đến đạo hàm suy rộng trong không gian có chuẩn sinh bởi hàm lõm. 3 CÁC KẾT QUẢ CHÍNH Từ những kết quả đã được nghiên cứu liên quan đến bất đẳng thức Gagliardo - Nirenberg. Định lí 3.1. [9] Giả sử Φ ∈ C không bị chặn, f và các đạo hàm suy rộng Dβf ∈ NΦ(Rn), |β| = `. Khi đó Dαf ∈ NΦ(Rn), 0 < |α| < ` và ‖Dαf‖NΦ(Rn) ≤ C‖f‖ 1− |α| ` NΦ(Rn) (∑ |β|=` ‖Dβf‖NΦ(Rn) ) |α| ` , (2) trong đó C không phụ thuộc f . BẤT ĐẲNG THỨC GAGLIARDO - NIRENBERG... 7 Kết quả trên có được với sự hạn chế là hàm Φ không bị chặn. Và kết quả sau đã khắc phục được hạn chế trên. Tuy nhiên, khi xây dựng các hàm Fε nhờ vào tích chập ta phải xét trên toàn không gian Rn. Định lí 3.2. [3] Cho Φ ∈ C. Giả sử f và các đạo hàm suy rộng Dβf ∈ NΦ(Rn), |β| = `. Khi đó Dαf ∈ NΦ(Rn), 0 < |α| < ` và ‖Dαf‖NΦ(Rn) ≤ C‖f‖ 1− |α| ` NΦ(Rn) (∑ |β|=` ‖Dβf‖NΦ(Rn) ) |α| ` , (3) trong đó C không phụ thuộc f . Sau đây ta xét bất đẳng thức Gagliardo - Nirenberg cho trường hợp S = Rn+. Định lí 3.3. Cho Φ ∈ C. Giả sử f và các đạo hàm suy rộng Dαf ∈ NΦ(Rn+), 0 < |α| ≤ `. Khi đó ‖Dαf‖NΦ(Rn+) ≤ C‖f‖ 1− |α| ` NΦ(Rn+) (∑ |β|=` ‖Dβf‖NΦ(Rn+) ) |α| ` , (4) trong đó C không phụ thuộc f . Chứng minh. Với α, 0 0 tùy ý. Theo Bổ đề 2.2 ta chọn hàm hε ∈MΦ(Rn+) sao cho ‖hε‖MΦ(Rn+) ≤ 1 và∣∣∣ ∫ Rn+ Dαf(x)hε(x)dx ∣∣∣ > ‖Dαf‖NΦ(Rn+) − ε2 . Theo Bổ đề 2.1 suy raDαf.hε ∈ L1(Rn+), do đó tồn tại hình hộpK = n pi k=1 [ak, bk] ⊂ Rn+ sao cho ∣∣∣ ∫ Rn+ Dαf(x)h(x)dx ∣∣∣ > ‖Dαf‖NΦ(Rn+) − ε, (5) trong đó h = χKhε. Đặt Fε(x) = ∫ Rn+ f(x+ y)h(y)dy . Khi đó theo Bổ đề 2.1 và Bổ đề 2.3 ta có |Fε(x)| = ∣∣∣ ∫ Rn+ f(x+ y)h(y)dy ∣∣∣ ≤ ∫ Rn+ |f(x+ y)h(y)|dy ≤ ‖f(x+ ·)‖NΦ(Rn+)‖h‖MΦ(Rn+) ≤ ‖f‖NΦ(Rn+), (6) 8 TRƯƠNG VĂN THƯƠNG vì ‖h‖MΦ(Rn+) ≤ 1. Suy ra Fε(·) ∈ L∞(Rn+). Tương tự ta cũng có DαFε(x) = ∫ Rn+ Dαf(x+ y)h(y)dy, 0 ≤ |α| ≤ `, theo nghĩa hàm suy rộng. Hơn nữa, với mỗi x ∈ Rn+ ta có |DαFε(x)| = | ∫ Rn+ Dαf(x+ y)h(y)dy| ≤ ‖Dαf(x+ ·)‖NΦ(Rn+)‖h‖MΦ(Rn+) ≤ ‖Dαf‖NΦ(Rn+). (7) Vậy DαFε(·) ∈ L∞(Rn+). Bây giờ ta chứng minh DαFε liên tục trên Rn+, 0 ≤ |α| ≤ `. Với mỗi x ∈ Rn+, ta xét |DαFε(x)−DαFε(x+ t)| = | ∫ Rn+ [Dαf(x+ y)−Dαf(x+ t+ y)]h(y)dy| = | ∫ Rn+ [Dαf(x+ y)−Dαf(x+ t+ y)]χK(y)hε(y)dy| ≤ ‖χK(.)[Dαf(x+ .)−Dαf(x+ t+ .)]‖NΦ(Rn+)‖hε‖MΦ(Rn+) ≤ ‖χK(.)[Dαf(x+ .)−Dαf(x+ t+ .)]‖NΦ(Rn+). Do đó để chứng minh DαFε liên tục tại x ta cần chứng minh lim t→0 ‖χK(.)[Dαf(x+ .)−Dαf(x+ t+ .)]‖NΦ(Rn+) = 0 (8) Để chứng minh đẳng thức (8) ta chỉ cần chứng minh đẳng thức cho trường hợp α = 0, còn các trường hợp khác chứng minh tương tự. Bằng phản chứng, giả sử tồn tại điểm x0 và dãy {tk} ⊂ Rn+, |tk| → 0 và ε > 0 sao cho ‖χK(.)f(x0 + tk + .)− f(x0 + .)‖NΦ(Rn+) ≥ ε, với mọi k ≥ 1. Để đơn giản ta có thể chọn x0 = 0, nghĩa là ‖χK(.)f(.+ tk)− f(.)‖NΦ(Rn+) ≥ ε, với mọi k ≥ 1. (9) Vì f ∈ L1`oc(Rn+) nên với mỗi hình hộp K = [0, d]n ta có∫ K |f(x+ tk)− f(x)|dx→ 0 khi k →∞. BẤT ĐẲNG THỨC GAGLIARDO - NIRENBERG... 9 Theo Định lý B [4] tồn tại một dãy con {tkj}. Để đơn giản ta vẫn kí hiệu {tk} sao cho f(. + tk) hội tụ về f hầu khắp nơi trên K. Ta đặt gm(x) = inf k≥m |f(x+ tk)|, x ∈ K. Khi đó {gm} là dãy không giảm và hội tụ về |f | hầu khắp nơi. Theo tính chất của λf (xem [8]), ta có λχKgm(t)→ λχK |f |(t) khi m→∞, với mỗi t > 0. Theo giả thiết Φ ∈ C ta có Φ(λχK |f |(t)) = limm→∞ Φ(λχK |gm|(t)) ≤ lim k→∞ Φ(λ|f(.+tk)|(t)), t > 0. (10) Với bất kỳ f, g ∈ NΦ(Rn+) và t > 0 ta suy ra λχK(f+g)(2t) ≤ λχKf (t) + λχKg(t). Hơn nữa, vì Φ ∈ C nên Φ(a+ b) ≤ Φ(a) + Φ(b), với a, b ≥ 0. Do đó ta có Φ(λχK |f(.+tk)−f |(2t)) ≤ Φ(λχK |f(.+tk)|(t)) + Φ(λχK |f |(t)). Vậy 0 ≤ [Φ(λχK |f(.+tk)|(t)) + Φ(λχK |f |(t))]− Φ(λχK |f(.+tk)−f |(2t)), ∀t > 0, ∀k ≥ 1.Mặt khác, theo Bổ đề 2.3 ta có ‖χKf(.+ t)‖NΦ(Rn+) = ‖χKf‖NΦ(Rn+) ∀t ∈ Rn+. Vì vậy, áp dụng Bổ đề Fatou cho dãy {[Φ(λχK |f(.+tk)|(t)) + Φ(λχK |f |(t))]− Φ(λ|χKf(.+tk)−f |(2t))}. Suy ra∫ ∞ 0 lim k→∞ [ [Φ(λχK |f(.+tk)|(t)) + Φ(λχK |f |(t))]− Φ(λχK |f(.+tk)−f |(2t)) ] dt ≤ lim k→∞ ∫ ∞ 0 [ [Φ(λχK |f(.+tk)|(t)) + Φ(λχK |f |(t))]− Φ(λχK |f(.+tk)−f |(2t) ] dt = 2 ∫ ∞ 0 Φ(λχK |f |(t))dt− 1 2 lim k→∞ ∫ ∞ 0 Φ(λχK |f(.+tk)−f |(t))dt. (11) Mặt khác, ta có λχK |f(.+tk)−f |(t) = µ({x ∈ Rn+ : χK(x)|f(x+ tk)− f(x)| > t}) = µ({x ∈ K : |f(x+ tk)− f(x)| > t}) với mọi k ≥ 1 và t > 0. Vì vậy, khi cho f(. + tk)→ f hầu khắp nơi trên K ta được lim k→∞ λχK |f(.+tk)−f |(t) = 0 và do đó lim k→∞ Φ(λχK |f(.+tk)−f |(t)) = 0. (12) 10 TRƯƠNG VĂN THƯƠNG Với t > 0 tuỳ ý, từ (10) và (12) ta được 2Φ(λχK |f |(t)) = lim k→∞ Φ(λχK |gk|(t)) + Φ(λχK |f |(t))− lim k→∞ Φ(λχK |f(.+tk)−f |(2t)) ≤ lim k→∞ [ Φ(λχK |f(.+tk)|(t)) + Φ(λχK |f |(t))− Φ(λχK |f(.+tk)−f |(2t)) ] . (13) Kết hợp (11) và (13) ta được 2 ∫ ∞ 0 Φ(λχK |f |(t))dt ≤ 2 ∫ ∞ 0 Φ(λχK |f |(t))dt− 1 2 lim k→∞ ∫ ∞ 0 Φ(λχK |f(.+tk)−f |(t))dt. Vậy ∫ ∞ 0 Φ(λχK |f(.+tk)−f |(t))dt→ 0 khi k →∞, hay lim k→∞ ‖χK(f(.+ tk)− f)‖NΦ(Rn+) = 0. Điều này mâu thuẫn với (9). Tương tự, ta chứng minh được các đạo hàm Dαf, 0 < |α| ≤ ` liên tục trên Rn+. Do đó từ (5) ta suy ra ‖Dαf‖NΦ(Rn+) − ε ≤ |DαFε(0)| ≤ ‖DαFε‖∞. Theo Bổ đề 2.4, ta lại có ‖Dαf‖NΦ(Rn+) − ε ≤ C‖Fε‖ 1− |α| `∞ (∑ |β|=` ‖DβFε‖∞ ) |α| ` Kết hợp với (6) và (7) ta được: ‖Dαf‖NΦ(Rn+) − ε ≤ C‖f‖ 1− |α| ` NΦ(Rn+) (∑ |β|=` ‖Dβf‖NΦ(Rn+) ) |α| ` . Cho ε→ 0 ta được (4). Trong Định lý 3.3 chúng ta không những giả thiết f ∈ NΦ(Rn+) vàDαf ∈ NΦ(Rn+), |α| = ` mà còn giả thiết các đạo hàm trung gian Dαf ∈ NΦ(Rn+), 0 < |α| < `. Định lý sau đây là đầy đủ hơn Định lý 3.3 theo nghĩa là khi ta bỏ giả thiết các Dαf ∈ NΦ(Rn+), 0 < |α| < ` thì bất đẳng thức (4) vẫn còn đúng. Định lí 3.4. Cho Φ ∈ C. Giả sử f và các đạo hàm suy rộng Dβf ∈ NΦ(Rn+), |β| = `. Khi đó Dαf ∈ NΦ(Rn+), 0 < |α| < ` và ‖Dαf‖NΦ(Rn+) ≤ C‖f‖ 1− |α| ` NΦ(Rn+) (∑ |β|=` ‖Dβf‖NΦ(Rn+) ) |α| ` , trong đó C không phụ thuộc f . Chứng minh. Với giả thiết của định lý này ta chỉ cần chứng minh các đạo hàm suy rộng Dαf ∈ NΦ(Rn+) với mọi 0 < |α| < ` là đủ. BẤT ĐẲNG THỨC GAGLIARDO - NIRENBERG... 11 Với 0 ≤ |α| ≤ ` ta đặt f(α)(x) = { Dαf(x) nếu x ∈ Rn+ 0 nếu x ∈ Rn \ Rn+ Lấy ψλ(x) ∈ C∞0 (Rn), ψλ(x) ≥ 0, ψλ(x) = 0 với |x| ≥ λ hoặc xi < 0 với i nào đó trong {1, 2, . . . , n} và ∫Rn ψλ(x)dx = 1. Đặt fλ = f(0)∗ψλ. Với b > 0 ta kí hiệu Rnb = { x ∈ Rn : xi > b, i = 1, . . . , n },Rn0 = Rn+. Khi đó với mỗi ϕ ∈ C∞0 (Rnb ), và 0 < λ < b, ta có: 〈Dαfλ, ϕ〉 =(−1)|α| ∫ Rn+ ( ∫ Rn+ f(0)(x− y)ψλ(y)dy ) Dαϕ(x)dx =(−1)|α| ∫ B+(0,b) ( ∫ Rnb f(0)(x− y)Dαϕ(x)dx)ψλ(y)dy = ∫ Rnb ( ∫ B+(0,λ) Dαf(x− y)ψλ(y)dy ) ϕ(x)dx = ∫ Rnb ( f(α) ∗ ψλ ) (x)dx = 〈f(α) ∗ ψλ, ϕ〉. Như vậy với mọi 0 < λ < b và 0 ≤ |α| ≤ `, ta có Dαfλ = f(α) ∗ ψλ. Hơn nữa, ta lại có Dαfλ = f ∗Dαψλ ∈ NΦ(Rn), 0 ≤ |α| ≤ `. Mặt khác với 0 < λ < b và α = 0 hoặc |α| = `, ta có ‖Dα(f(0) ∗ ψλ)‖NΦ(Rnb ) = ‖f(α) ∗ ψλ‖NΦ(Rnb ) ≤ ‖f(α) ∗ ψλ‖NΦ(Rn) ≤ ‖f(α)‖NΦ(Rn) = ‖f(α)‖NΦ(Rn+) = ‖Dαf‖NΦ(Rn+). Sử dụng Định lý 3.3 cho hàm fλ ta được ‖Dαfλ‖NΦ(Rnb ) ≤ C‖fλ‖ 1− |α| ` NΦ(Rnb ) (∑ |β|=` ‖Dβfλ‖NΦ(Rnb ) ) |α| ` , ≤ C‖fλ‖1− |α| ` NΦ(Rn) (∑ |β|=` ‖Dβfλ‖NΦ(Rn) ) |α| ` , ≤ C‖f‖1− |α| ` NΦ(Rn+) (∑ |β|=` ‖Dβf‖NΦ(Rn+) ) |α| ` . Ta có Dαfλ = f ∗ Dαψλ = Dαf ∗ ψλ ∈ NΦ(Rn) và Dαf ∈ L1,`oc(Rn+) nên với mỗi j = 1, 2, . . . ta có Dαf ∗ψλ → Dαf trong L1([0, j]n) khi λ→ 0. Hơn nữa tồn tại một dãy con (λjk) ∞ k=1 sao cho λ j k ↘ 0 và Dαf ∗ ψλjk → D αf hầu khắp nơi trong [0, j]n. 12 TRƯƠNG VĂN THƯƠNG Theo phương pháp đường chéo, tồn tại một dãy con, ta vẫn ký hiệu (λm) với λm → 0 sao cho lim m→∞ Dαfλm(x) = D αf(x) hầu khắp nơi trong Rn+. Với mỗi v ∈MΦ(Rn+) sao cho ‖v‖MΦ(Rn+) ≤ 1 và m ≥ 1 ta có∣∣ ∫ Rn+ Dαfλm(x)v(x)dx ∣∣ ≤ C‖f‖1− |α|`NΦ(Rn+)(∑ |β|=` ‖Dβf‖NΦ(Rn+) ) |α| ` . (14) Áp dụng Bổ đề Fatou từ (14) ta được∣∣ ∫ Rn+ Dαf(x)v(x)dx ∣∣ ≤ lim m→∞ | ∫ Rn+ Dαfλm(x)v(x)dx| ≤ C‖f‖1− |α| ` NΦ(Rn+) (∑ |β|=` ‖Dβf‖NΦ(Rn+) ) |α| ` . (15) Vì bất đẳng thức (15) đúng với mọi v ∈MΦ(Rn+), ‖v‖MΦ(Rn+) ≤ 1 nên ta suy ra ‖Dαf‖NΦ(Rn+) ≤ C‖f‖ 1− |α| ` NΦ(Rn+) (∑ |β|=` ‖Dβf‖NΦ(Rn+) ) |α| ` <∞. Vậy Dαf ∈ NΦ(Rn+) với mọi 0 < |α| < `. Hệ quả 3.5. Cho Φ ∈ C. Giả sử f và các đạo hàm suy rộng Dβf ∈ NΦ(Rn+), |β| = `. Khi đó Dαf ∈ NΦ(Rn+), 0 < |α| < ` và∑ |α|=r ‖Dαf‖NΦ(Rn+) ≤ C‖f‖ 1− r ` NΦ(Rn+) (∑ |β|=` ‖Dβf‖NΦ(Rn+) ) r ` , (16) trong đó C không phụ thuộc f . Hệ quả 3.6. Giả sử Φ ∈ C, f và các đạo hàm Dαf ∈ NΦ(Rn+), |α| = `. Khi đó Dαf ∈ NΦ(Rn+) với mọi α, 0 < |α| = r < ` và∑ |α|=r ‖Dαf‖NΦ(Rn+) ≤ Ch− r `−r ‖f‖NΦ(Rn+) + Ch ∑ |β|=` ‖Dβf‖NΦ(Rn+), với mọi h, h > 0 và C không phụ thuộc f . 4 KẾT LUẬN Các kết quả đã được trình bày trong đề tài: 1. Chứng minh tính khả tích của các đạo hàm trung gian. BẤT ĐẲNG THỨC GAGLIARDO - NIRENBERG... 13 2. Tìm bất đẳng thức đối với các đạo hàm suy rộng trong không gian NΦ(Rn+). Các kết quả nhận được có thể tìm thấy một vài ứng dụng trong việc nghiên cứu phép nhúng, xấp xỉ trong các không gian có chuẩn sinh bởi hàm lõm, giải các phương trình vi phân hoặc trong việc thiết lập các định lý kiểu Paley – Wiener – Schwartz cho miền có thể không lồi. TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] O. V. Besov, V. P. Ilin and S. M. Nikol’skii (1978). Integeral Representation of Func- tions and Imbedding Theorems. Washington D. C., Vol 1. [2] H. H. Bang and H. M. Le (1998). On the Kolmogorov-Stein inequality. J. Inequal. Appl., 3 (2), pp. 153-160. [3] H. H. Bang and M. T. Thu (2004). Gagliardo-Nirenberg inequalities for Orlicz spaces. East Journal on Approximations, Vol 10, No 3, pp. 1-7. [4] P. R. Halmos (1974). Measure Theory. Springer-Verlag, New York Heidelberg Berlin. [5] H. H. Bang and T. V. Thuong (2000). Density of a collection of functions in NΦ(Rn)- spaces. J. Math. Sci. Uni. Tokyo, 7 (3), pp. 449-461. [6] A. Kalamajska and P. P. Kalamaja (2004). Gagliardo- Nirenberg inequalities in loga- rithmic spaces. Institute of Mathematics Warsaw University Ul. Banacha 2, pp. 1-15. [7] M. M. Rao and Z. D. Ren (1991). Theory of Orlicz Spaces. Marcel Dekker, Inc. New York. [8] M. S. Steigerwalt and A. J. White (1971). Some function spaces related to Lp. Proc. London. Math. Soc., 22, pp. 137-163. [9] T. V. Thương (2005). Một số bất đẳng thức đối với các đạo hàm. Tạp chí Khoa học, Đại học Huế, Số 30, tr. 39-43. Title:GAGLIARDO - NIRENBERG INEQUALITIES FOR THE SPACESWHOSE NORMS ARE GENERATED BY CONCAVE FUNCTIONS Abstract: In this paper, we present some inequalities related to generalized derivatives of functions of a space whose norm is generated by a concave function. TS. TRƯƠNG VĂN THƯƠNG Khoa Toán, Trường Đại học Sư phạm - Đại học Huế

Các file đính kèm theo tài liệu này:

  • pdf15_214_truongvanthuong_04_truong_van_thuong_8868_2020997.pdf