Bài tập động lực học chọn lọc

1 VIỆN CƠ KHÍ Bộ môn Cơ học ứng dụng BÀI TẬP ĐỘNG LỰC HỌC CHỌN LỌC Bài 1. Hai thanh đồng chất giống hệt nhau AC và BC được nối với nhau bằng bản lề tại C, cùng nằm trong một mặt nằm ngang nhẵn. Do lò xo bị nén nên sợi chỉ AB được căng. Tìm quỹ đạo của điểm A khi sợi chỉ bị đứt. Cho độ dài mỗi thanh là 2l , ban đầu hệ nằm yên. ĐS. 2 2 2 2 1(2 ) A Ax y l l   Bài 2. Hai thanh AD và BD giống hệt nhau được nối bản lề với nhau tại C tựa trên hai góc nhẵn như hình vẽ. Chiều dài của mỗi thanh là l và bằng khoảng cách giữa hai điểm tựa A, B. Thời điểm đầu các thanh nằm ngang và đối xứng với các điểm tựa. Sau đó (nhờ một cái huých nhẹ) xảy ra chuyển động dưới tác dụng của trọng lực và điểm D chuyển động thẳng đứng xuống. Xác định vận tốc của điểm D khi các đầu A, B đạt đến các điểm tựa. ĐS. 3 3 5D gl v  Bài 3. Một thước gấp ABCDE gồm bốn thanh đồng chất được nối với nhau bằng các bản lề có cùng độ dài l và cùng khối lượng m đứng trên nền ngang nhẵn và được giữ cân bằng bởi dây BD. Sau khi dây bị đứt cái thước đổ sập xuống. Tìm liên hệ giữa vận tốc điểm B và độ cao h của nó nếu độ cao của B lúc đứt dây là 0h . ĐS. 02 2 3 ( ) 3B g h h v l l h   Bài 4. Cho con lắc như hình vẽ. Dây không dãn, không trọng lượng. Trụ tròn cố định có bán kính r. Độ dài tự do của dây khi ở vị trí thẳng đứng là l . Lập phương trình vi phân chuyển động của con lắc. ĐS. 2( ) sin 0r l r g        B A C E D B D A   O P  r C  O P  r M l A B x y C   O Hình bài 1 Hình bài 2 Hình bài 3 Hình bài 4 Hình bài 5 2 Bài 5. Một đầu của một sợi dây mảnh, nhẹ, không dãn được quấn vào một trụ tròn xoay đồng chất bán kính r, trọng lượng P, còn đầu kia được cố định tại O. Trụ tròn rơi xuống và lăn theo sợi dây, đồng thời dao động quanh trục nằm ngang đi qua O. Giả thiết sợi dây đủ dài. Thành lập phương trình vi phân chuyển động của hình trụ theo toạ độ suy rộng  và  . ĐS.   2 2 2 2 2 cos 3 3 sin r g d r g dt                      Bài 6. Cơ hệ gồm thanh AB dài 80cm đồng chất, trọng lượng 1 1NP  và gắn vào đầu thanh một đĩa tròn đồng chất bán kính 20 cm và trọng lượng 2 2NP  . Tại thời điểm ban đầu ( 0t  ) cơ hệ ở vị trí thẳng đứng như hình vẽ. Cho khối tâm 2M của đĩa một vận tốc đầu 2 360cm/sv  hướng ngang về phía phải. Tìm chuyển động tiếp theo. ĐS. 2 ( ) 240 ( ) 2 ( ) 6 C C x t t gt y t t t    t = 0: 0 0 0 C C C x y y      Bài 7. Một quả cầu bán kính r lăn không trượt theo mặt nằm ngang và chuyển động từ mặt đó sang mặt BD, nghiêng với phương ngang một góc  . Đạt đến điểm B, quả cầu bắt đầu quay quanh B, biết rằng lúc bắt đầu quay vận tốc khối tâm là 0v . Tìm góc  lớn nhất để khi chuyển sang mặt nghiêng BD quả cầu không có bước nhảy. ĐS. 2 07 10: cos 17 v gr gr      Bài 8. Giải bài toán trên với giả thiết rằng mặt phẳng AB nghiêng một góc  so với phương ngang:   và ở thời điểm đầu quả cầu cách B một đoạn l và có vận tốc 0v . ĐS. 2 07 10 ( sin cos ): cos 17 v g l r gr        Bài 9. Vật A có trọng lượng 1P được treo bằng một sợi dây đồng chất không dãn, dài L có trọng lượng Q. Dây được vắt qua ròng rọc B, đầu kia của dây buộc vào trục con lăn C lăn không trượt trên mặt phẳng ngang. Ròng rọc B và con lăn C là những đĩa tròn đồng chất có cùng bán kính r, cùng trọng lượng 2P . Hệ số ma sát lăn giữa con lăn C và mặt ngang là k. Thời điểm đầu hệ đứng yên và phần dây treo lơ lửng ngoài ròng rọc B có độ dài l . Tìm vận tốc Av theo dịch chuyển h của nó. Tìm gia tốc Aa . B A x C y M2 M1 B A D C  B A C Hình bài 6 Hình bài 7-8 Hình bài 9 3 Tìm hệ số ma sát trượt f giữa con lăn C và mặt ngang để đảm bảo lăn không trượt. ĐS.  1 2 1 2 2 2 2 2A Q k gh P l h P L rv P P Q         2 Ak af r g   Bài 10. Trụ tròn đồng chất bán kính r, khối lượng m lăn tự do trên một trụ cố định bán kính R. Chuyển động được bắt đầu từ vị trí cao nhất với vận tốc bằng không. Hệ số ma sát trượt giữa hai mặt trụ là f. Tìm vận tốc của tâm C theo góc  . Tìm  khi trụ C còn lăn không trượt trên mặt trụ lớn. Chứng minh rằng không tồn tại một hệ số ma sát trượt f hữu hạn nào để trụ C rời khỏi mặt trụ cố định khi đang còn lăn không trượt. ĐS. 4 ( )(1 cos ) 3C g v R r    , 21 33 1 arctg 2 11 f f    Bài 11. Trục hình trụ bán kính r quay quanh trục nằm ngang nhờ quả nặng treo vào sợi dây quấn quanh trục. Sau một thời gian nào đó vận tốc góc của trục đạt đến một giá trị không đổi người ta gắn vào trục n tấm như nhau: sức cản của không khí tác dụng vào tấm được coi như tập trung thành một lực vuông góc với tấm, cách tâm trục một khoảng R và có độ lớn tỷ lệ với bình phương của vận tốc góc: 2k . Khối lượng quả nặng là m, mômen quán tính của tất cả phần quay đối với trục là J. Bỏ qua khối lượng dây và ma sát ổ trục. a) Xác định vận tốc góc quay của trục nếu khi 0 : 0t   . b) Giả thiết không có quả nặng và khi 0 0t  thì 0  và 0  . Hãy xác định quy luật chuyển động quay của trục. c) Giả sử lực cản tỷ lệ bậc nhất vận tốc góc k và góc quay ban đầu bằng không, tìm quy luật chuyển động. ĐS. 2 1 2 ( ) ; 1 t t mgr e t mgnkrR knR e J mr      0( ) ln 1 J knR t t knR J       ,   1 ( ) 1tt t e          , mgr nkR   , 2nkRJ mr   . Bài 12. Có một chiếc xe goòng khối lượng M khối tâm là C và 2 bánh xe đồng chất có cùng khối lượng m, bán kính r, bán kính quán tính đối với trục quay của nó là . Giả sử xe đang chạy đều với vận tốc v và các bánh xe lăn không trượt trên đường ray. Tại một thời điểm nào đó, một trong hai bánh xe bị kẹt. Giả sử các liên kết tựa giữa bánh xe và đường ray vẫn được duy trì và bánh xe bị kẹt sẽ trượt theo đường ray với hệ số ma sát trượt động là f. 1. Xác định thành phần phản lực tiếp tuyến của đưòng ray tác dụng lên hai bánh xe theo gia tốc a của xe goòng. 2. Giả sử rằng m/M rất nhỏ : O r R CF  m Hình bài 10 Hình bài 11  O R C r (2) v h C a a (1) Hình bài 12 4 a. Chứng minh rằng khi đó thành phần phản lực tiếp tuyến lên bánh xe không bị kẹt xấp xỉ bằng 0 và thành phần tương ứng đối với bánh xe bị kẹt tỷ lệ với tích khối lượng M và gia tốc a của xe goòng. b. Tính các thành phần phản lực pháp tuyến đặt lên 2 bánh xe và gia tốc a của goòng trong trường hợp bánh trước (1) bị kẹt. c. Tương tự như câu b nhưng trong trường hợp bánh sau (2) bị kẹt. Chứng minh rằng trong trường hợp này nghiệm của bài toán chỉ có nghĩa nếu f < fc. Trong đó fc là giá trị tới hạn của f. ĐS. Giả thiết bánh 2 kẹt: 2 2 1 22 2; 2 m m F a F M m a r r             * 1 2 ( ) ; ; 2 2 2 bgf Mg b hf Mbg a N N b hf b hf b hf      * * b f f h   * 1 2;Cq x q   (hệ có hai bậc tự do). Bài 13. Trên một mặt nghiêng không nhẵn, nghiêng một góc  so với phương ngang có hai trụ A và B lăn không trượt. Hai trụ tròn xoay cùng khối lượng m, cùng bán kính r nhưng có mômen quán tính đối với trục đối xứng là 2 2;A BJ mr J mr  , 0 1  . Hệ số ma sát giữa các mặt trụ là f. Hãy xác định gia tốc chuyển động của các tâm hình trụ và áp lực của trụ A lên trụ B. ĐS. sin (1 ) (1 ) sin; (3 ) (1 ) 2 (3 ) (1 ) g ma mg a N f f                   Bài 14. Tìm quỹ đạo của vòng A (điểm) khối lượng m trượt trên một vành tròn tâm C bán kính R. Vành tròn có khối lượng M trượt trên một mặt nhẵn nằm ngang. Ban đầu hệ đứng yên. ĐS.   2 2 2 2 1 1 A Ax y Rm R M      Bài 15. Một đĩa tròn đồng chất khối lượng M, bán kính R có thể lăn không trượt trên một đường nằm ngang. Trên đĩa có một rãnh tròn nhẵn trơn bán kính r, có tâm trùng với tâm đĩa, có một viên bi khối lượng m chuyển động theo rãnh đó. Bỏ qua kích thước viên bi. Thành lập phương trình chuyển động của cơ hệ. Tìm các tích phân đầu. Nếu dao động là bé, tìm chu kỳ dao động của viên bi. ĐS.   232 cos sin 0 cos sin 0 M m R mr mr r R g                      3 2 (3 2 ) Mr T M m g    B A  O A C 0C A A0 x y  Hình bài 13 Hình bài 14 Hình bài 15 5 Bài 16. Một đĩa mỏng khối lượng M có thể trượt không ma sát trên một mặt phẳng nằm ngang. a) Chất điểm có khối lượng m chuyển động trên mặt không nhẵn của đĩa với phương trình chuyển động tương đối trong hệ toạ độ Descartes x, y gắn liền với đĩa là x(t), y(t). Mômen quán tính của đĩa đối với trục qua tâm là J. Ban đầu hệ đứng yên. Hãy xác định quy luật thay đổi vận tốc góc của đĩa. b) Nếu chất điểm chuyển động tương đối với vận tốc v t theo vành đĩa bán kính R, hãy tìm quy luật chuyển động của đĩa. ĐS. a)      2 2 0 0 0 0mM mM mMJ x y xy yx x y y xm M m M m M                ,trong đó 0 0,x y , 0 0,x y  là các giá trị toạ độ và vận tốc của chất điểm khi t = 0. b) 2 2 2 ( ) 2( ) 2 mR R t t tmMm M RJ R m M         ;  là góc quay của đĩa. 2( ) cos 2 mR t t m M R      2( ) sin 2 mR t t m M R      ; ,  là toạ độ trọng tâm của đĩa trong hệ toạ độ Descartes cố định có gốc tại tâm quán tính của cơ hệ. Bài 17. Tay đòn mang hai khối lượng tập trung 1m và 2m ở hai đầu và gắn khớp vào vành một đĩa tròn đồng chất bán kính R. Khoảng cách từ các khối lượng tập trung đến khớp nối là 1l và 2l . Bỏ qua khối lượng của tay đòn. a) Đĩa quay quanh trục thẳng đứng vuông góc với mặt đĩa với vận tốc góc const  . Hãy thành lập phương trình chuyển động của tay đòn và xác định vị trí cân bằng tương đối của nó. b) Trường hợp đĩa quay trong mặt phẳng thẳng đứng (trục y). Hãy thành lập phương trình chuyển động tương đối của tay đòn. ĐS. a)      2 2 21 1 2 2 1 1 2 2 cos 0m l m l R m l m l t        Khi 1 1 2 2m l m l , tay đòn ở vị trí cân bằng phiếm định (không ổn định). Khi 1 1 2 2m l m l , tồn tại hai vị trí cân bằng tương đối: 2t    . b)        2 2 21 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2cos sin 0m l m l R m l m l t m l m l g           . Khi 1 1 2 2m l m l , không có cân bằng tương đối. Bài 18. Một đĩa tròn đồng chất bán kính R, khối lượng 1m nằm trên một mặt ngang nhẵn, không ma sát. Một con bọ dừa (chất điểm M) khối lượng 2m bò trên mặt đĩa. Quỹ đạo chuyển động của M trên mặt đĩa là đường tròn bán kính r ( 2)r R . Hãy xác định quỹ đạo tuyệt đối của M (trên mặt bàn) nếu ban đầu cả hệ đứng yên. Xét hai trường hợp: Tâm vòng tròn trùng với tâm đĩa. Tâm vòng tròn nằm ở điểm giữa bán kính R. ĐS. Đường tròn tâm C (khối tâm cả hệ) bán kính 1 1 2 m r m m   2m 1m O R r M  m A B A Hình bài 17 Hình bài 18 Hình bài 20 Hình bài 19 6 Bài 19. Một chất điểm có khối lượng m chuyển động với vận tốc tương đối constv  dọc theo thanh đồng chất có khối lượng M, chiều dài 2l , trong khi các đầu mút của thanh trượt trên vành tròn nhẵn nằm ngang bán kính R. Thời điểm t = 0 chất điểm nằm ở trọng tâm của thanh. Hãy xác định chuyển động của thanh. ĐS. 0 2 2 2 2 .arctg 2 3 vt C M R l R l m          Bài 20. Một tấm phẳng khối lượng M có thể trượt trên mặt sàn không nhẵn nằm ngang. Chất điểm A có khối lượng m chuyển động trên tấm phẳng. Hệ số ma sát trượt giữa điểm A và tấm phẳng là f. Tìm hệ số ma sát trượt 1f giữa tấm và mặt sàn để tấm vẫn đứng yên, nếu ban đầu nó đứng yên. ĐS. 1 mf fm M  . Bài 21. Một xe lăn trượt xuống theo mặt nghiêng, góc nghiêng so với phương ngang là  . Khối lượng của xe lăn là M, khối lượng tổng cộng của các bánh xe là m. Trên xe lăn có một trụ tròn đồng chất khối lượng 1M lăn không trượt. Các bánh xe là những đĩa tròn đồng chất. Hãy xác định gia tốc chuyển động xuống của xe lăn. ĐS. 1 1 6 6 2 sin 6 9 2 M m M a g M m M     Bài 22. Một lăng trụ tam giác khối lượng M trượt trên mặt nghiêng nhẵn, tạo với phương ngang một góc  . Biết BAD  . Trên mặt nghiêng AB của lăng trụ có một trụ tròn xoay khối lượng m lăn xuống không trượt. Tìm gia tốc chuyển động của lăng trụ và của tâm C của hình trụ (tương đối). ĐS. 2 2 sin( )cos 3( )sin 3 (3 2 cos )ABD m M m a M m           2 2( ) sin cos 3 (3 2 cos )C M m g a M m       là gia tốc tương đối. Bài 23. Con lăn A là trụ tròn đồng chất khối lượng 1m lăn không trượt trên mặt sàn xe con B, được nối với đầu một lò xo có hệ số cứng c, đầu kia được cố định trên xe B. Xe B chuyển động trên nền ngang có khối lượng 2m không ma sát. Chọn toạ độ suy rộng như hình vẽ: 1 2,x x . Khi 1 0x  lò xo không co dãn. a) Thành lập phương trình vi phân chuyển động của cơ hệ. b) Tìm chuyển động của hệ nếu khi 0t  : 1 0x  , 1 0x v , 2 0x b , 2 0x  . ĐS. a) 1 1 1 2 1 1 1 1 2 2 3 2 2 0 ( ) 0 m x m x cx m x m m x           b) 20 1 0 1 21 2 0 1 2 1 1 2 2 ( ) ( ) sin ; ( ) sin ; ( ) ( 3 ) v m v c m m x t kt x t kt b k k m m k m m m      A D C B  A 2x 1x B 1P 2P  1C s Hình bài 21 Hình bài 22 Hình bài 23 7 Bài 24. Con lăn C là trụ tròn đồng chất khối lượng 2m , lăn không trượt trên sàn xe con B. Xe con có khối lượng 1m chuyển động (không ma sát) trên nền ngang, chịu tác dụng lực nằm ngang 0 sinF F t  . Xylanh thuỷ lực có hệ số cản b. Lò xo có độ cứng c, khi 1 0x  lò xo không dãn. a) Thành lập phương trình vi phân chuyển động của cơ hệ. b) Tìm các chuyển động của con lăn và xe con. Chứng minh rằng ở một thời điểm nào đó con lăn rời khỏi xe biết rằng khi 1 1 0 2 0 20 : 0, , , 0t x x v x x x      và không có cản thuỷ lực (b = 0). ĐS. a) 1 2 1 2 2 1 1 1 2 1 ( ) 0 3 2 0 m m x m x bx c x x x             b) 0 01 2 0 0 2 2 ( ) sin ; ( ) sin 3 3 v v x t kt x t kt v t x k k      . Trong đó 2 1 2 3 3 c k m m   Bài 25. Một đĩa tròn đồng chất bán kính r, khối lượng 1m , lăn không trượt trên mặt nghiêng, góc nghiêng  so với phương ngang. Từ tâm C của đĩa có một sợi chỉ được nối liền với vật nặng A có khối lượng 2m . Sợi chỉ không trọng lượng, không dãn và dài l . a) Thành lập phương trình vi phân chuyển động của cơ hệ. b) Tìm các tích phân đầu. c) Tìm Ca của đĩa tại thời điểm đầu (t = 0) và khi   , nếu khi 00 : , 0t      . d) Khi 0  và giả thiết  là nhỏ, hãy tìm quy luật chuyển động của cơ hệ biết 00 : , 0t      , 0, 0x x  . ĐS. a) 23 2 1 2 2 2 1 2( ) cos( ) sin( ) ( ) sin cos( ) sin 0 m m x m l m l m m g l x g                           c) Khi 1 2 23 2 1 2 2 ( ) sin 0 : ( ) cos m m g x m m m       Khi 1 12 sin 2 sin : 3 m g g x J m r        d) 2 00 3 2 1 2 cos ; ( ) (cos 1) m l kt x t kt m m     , trong đó 2 2 1 2 1 3 g m k l m      C 1x 2x B 2P 1P  2P  C O x 1P A Hình bài 24 Hình bài 25 8 Bài 26. Một tấm khối lượng m trượt trên mặt ngang nhẵn hai đầu được nối với hai lò xo cùng độ cứng c, các đầu kia của lò xo được cố định. Trên tấm có một đĩa tròn đồng chất khối lượng 2m , bán kính r lăn không trượt và được nối với lò xo có độ cứng 2c, đầu kia lò xo cố định với tấm. Hãy thành lập phương trình vi phân chuyển động của cơ hệ. ĐS. 3 4 0 2 3 8 0 mx mr cx mx mr cr            Bài 27. Lăng trụ tam giác B trọng lượng 2P trượt trên mặt nghiêng lăng trụ tam giác cố định A, góc nghiêng  . Thanh đồng chất OD trọng lượng 1P , dài l liên kết với lăng trụ B bằng bản lề O và được giữ bởi một lò xo có hệ số cứng c. Thanh OD dao động quanh trục O vuông góc với mặt phẳng hình vẽ. Các vị trí của lăng trụ B và thanh OD được xác định bởi các toạ độ s và  . a) Bỏ qua ma sát, thành lập phương trình vi phân chuyển động của hệ. b) Tìm điều kiện để OD có thể dao động quanh O. Tính chu kỳ dao động nhỏ của nó. c) Nếu lăng trụ A có trọng lượng 3P trượt được trên nền ngang không ma sát, vị trí được xác định bởi toạ độ x. Hãy thành lập phương trình vi phân chuyển động của hệ. ĐS. a) 21 12 21 2 1 1 1 2( ) sin( ) cos( ) ( ) sinm m s m l m l m m g              21 1 13 2 21 1 1cos( ) sinm l m ls m gl c         b) Điều kiện có dao động: 212 cosc Pl  Chu kỳ dao động nhỏ: 2 1 1 2 2 1 2 1 (1 3 sin ) 42 2 6( )(2 cos ) m m m T l k m m c m gl           c) 21 12 21 2 3 1 2 1 1( ) ( ) cos sin cos 0m m m x m m s m l m l             21 12 21 2 1 2 1 1 1 2( ) cos ( ) sin( ) cos ( ) sinm m x m m s m l m l m m g                21 1 1 13 2 2 21 1 1 1cos cos( ) sinm l m lx m ls m gl c            Bài 28. Cho cơ hệ trên hình vẽ: Ròng rọc A cố định, ròng rọc B chuyển động, ba khối lượng tương ứng 1 2 3, ,m m m của ba vật nặng. Bỏ qua khối lượng dây và ròng rọc, dây không dãn. Ban đầu hệ đứng yên. a) Tìm liên hệ giữa 1 2 3, ,m m m để cơ hệ cân bằng. b) Tìm điều kiện để khối có 1m chuyển động xuống. Tìm gia tốc chuyển động của khối 1. c) Tìm sức căng của dây treo khối 1. ĐS. a) 1 2 3m m m  và 2 3m m b) 1 2 3 2 3( ) 4m m m m m  và 1 2 3 2 31 1 2 3 2 3 ( ) 4 ( ) 4 m m m m m a g m m m m m     c) 1 2 31 1 2 3 2 3 8 ( ) 4 mm m g T m m m m m    Bài 29. Vật A có khối lượng m được kéo lên nhờ các trục quay I và II có cùng bán kính R và mômen quán tính đối với trục quay là J. Bỏ qua khối lượng các ròng rọc B, C và ma sát ở các ổ trục. Các dây đều nhẹ, không dãn và không trượt trên các ròng rọc. Tác dụng lên trục I ngẫu lực 1M , lên trục II ngẫu lực 2M . Hãy xác định gia tốc vật A. x  2c c c Hình bài 26  (A) D (B)  x s O c Hình bài 27 9 ĐS. 1 2 2 (2 5 ) 5A M M mgR R a J mR    Bài 30. Một trụ rỗng đồng chất khối lượng M, bán kính ngoài và trong là R và  , có thể trượt không ma sát trên mặt trong của một mặt trụ cố định bán kính R. trong trụ rỗng có một trụ tròn đồng chất khối lượng m, bán kính r lăn không trượt. Trục của hai trụ đều nằm ngang. a) Thành lập phương trình vi phân chuyển động của hệ và tìm các tích phân đầu. b) Tìm chu kỳ dao động nhỏ của cơ hệ. ĐS. a) 2 2( ) ( ) 0MR M m m r             3( ) sin 0r g       , b) 2 2 2 2 2 3 ( ) 4 ( )2 2 ( ) M R m r T k g MR m M                Bài 31. Trụ rỗng A có khối lượng M, bán kính R, quay quanh một đường sinh của nó qua O. Trong trụ rỗng có trụ tròn đồng chất B khối lượng m, bán kính r, có thể lăn không trượt. Hãy thành lập phương trình vi phân chuyển động của cơ hệ. ĐS.   2(4 3 ) ( ) 2 cos( ) 1 2 ( ) sin( ) 2( ) sin 0M m R m R r m R r M m g                      23( ) 2 cos( ) 1 2 sin( ) 2 sin 0R r R R g                Bài 32. Một trụ rỗng đồng chất có khối lượng M, bán kính R, khối tâm A ( 2AJ MR ) có thể lăn không trượt trên đường nằm ngang. Bên trong vành có một trụ tròn đồng chất m, bán kính r, tâm B lăn không trượt ( 2 2AJ mr ). a) Thành lập phương trình vi phân chuyển động. Tìm các tích phân đầu. b) Cho 2 , 2M m R r  . Tìm  khi 030  , nếu khi 0 : 0, 0t x    . c) Tìm tần số dao động nhỏ của cơ hệ. ĐS. a) 23 12 2( 2 ) ( ) (2 cos 1) ( ) sin 0m M x m R r m R r           3 12 2( ) (2 cos 1) sin 0R r x g        1T C   ; 2T Cx    b) 11 ( 3 1) x r      , c) 6 ( )2 (3 4 ) M R r T g m M    B A 1m 2m 3m B C A II I 2M 1M R O    Hình bài 28 Hình bài 29 Hình bài 30 10 Bài 33. Ba trụ rỗng đồng chất cùng độ dài với các bán kính 0 1 23 , 2 ,R r R r R r   được đặt lồng vào nhau như hình vẽ. Trụ ngoài bán kính 0R cố định còn khối lượng hai trụ trong là 1 23 ,m m m m  . Không có sự trượt tương đối giữa các hình trụ. a) Thành lập phương trình dao động nhỏ của cơ hệ. b) Giải các phương trình đó. ĐS. a) 1 2 124 0gr      , 1 2 22 2 0 g r       . Bài 34. Bánh vô-lăng I quay quanh trục thẳng đứng dưới tác dụng của một mômen constM  . Vô-lăng này mang trục quay 2O của bánh răng 2, bánh răng 2 ăn khớp với bánh răng 1. Bánh răng 1 quay quanh trục 1O độc lập với trục quay của vô-lăng. Một lò xo xoắn (không chỉ ra trên hình vẽ) có hệ số cứng c (mômen c ) cản trở chuyển động quay của bánh răng 1. Các bánh răng 1 và 2 đều là những đĩa tròn đồng chất, khối lượng m, bán kính r. Vô-lăng có mômen quán tính đối với trục quay là 220J mr . Ban đầu hệ đứng yên. Hãy xác định chuyển động của hệ. ĐS. 2( ) 1 cos1.0226 M c t t c mr       , 2 2 2( ) 1 cos1.0252 676 Mt M c t t mr c mr         là góc quay của bánh 1,  là góc quay của vô-lăng I. Bài 35. Trụ tròn tâm A đồng chất khối lượng M, bán kính r, lăn không trượt trong một trụ rỗng cố định bán kính R. Treo vào tâm trụ A một con lắc toán học có độ dài l , có khối lượng m. B được coi như một chất điểm. Thành lập phương trình vi phân chuyển động của cơ hệ. ĐS. 2(3 2 )( ) 2 cos( ) 2 sin( ) 2( ) sin 0M m R r ml ml M m g                 2( ) cos( ) ( ) sin( ) sin 0l R r R r g                 Hình bài 31 O   Mg mg A B  O B x A Hình bài 32 1O O 2O 21  Hình bài 33 M (I) (1) (2) 1O 2O O R  A B A 1 2 O Hình bài 34 Hình bài 35 Hình bài 36 11 Bài 36. Hai chất điểm khối lượng bằng nhau 1 2m m m  , liên kết bởi lò xo có độ cứng c, trượt không ma sát trên đường nằm ngang bán kính R. Lò xo có độ dài l khi không biến dạng. Thành lập phương trình vi phân chuyển động theo 1 12 21 1 2 2 1 2( ), ( )         . ĐS. 2 1 1 10, ( 2 sin )cos 0c l RmR        Bài 37. Một ống AB có thể quay quanh trục thẳng đứng CD. Trong ống có một lò xo có độ cứng c, một đầu được cố định vào A, một dầu được gắn vào một chất điểm M có khối lượng m. Độ dài lò xo khi không biến dạng là l . Mômen quán tính của ống AB đối với trục quay CD là J, góc nghiêng DAB  . Bỏ qua ma sát trượt giữa M và ống. Tác dụng lên trục một CD một ngẫu lực có mômen a b M , trong đó a, b là các hằng số,  là vận tốc góc của ống quanh CD. a) Lập phương trình vi phân chuyển động của hệ. b) Tìm vận tốc góc khi ống quay đều. c) Tìm khoảng cách x khi vật cân bằng tương đối trong ống. ĐS. a) 2 2( ) sin ( cos ) 0mx m l x cx mg       2 2 2( ) sin 2 ( ) sin ( ) 0J m l x m l x x a b               b) 22 ( ) sin a b m l x x      ; c) 2 2 2 2 2 2 sin cos sin ma l mgb x ma b c      Bài 38. Thanh đồng chất AB có khối lượng m, dài l , có thể trượt không ma sát theo các cạnh của góc vuông xOy. Đầu A của thanh được nối với điểm cố định D bởi lò xo có độ cứng c. Khung xOy có mômen quán tính đối với trục Oy là J. Khi 0  , lò xo không biến dạng. a) Tác dụng lên khung xOy ngẫu lực có mômen M, hãy thành lập phương trình vi phân chuyển động của cơ hệ. b) Cho khung xOy quay đều quanh trục Oy với vận tốc góc  , hãy thành lập phương trình vi phân chuyển động tương đối của AB. ĐS. a) 2 2 21 13 3( sin ) sin2J ml ml M        21 32 2 0sin2 sin 3 (cos cos )sin 0ml ml mg cl           b) 2 0 3 3 sin (cos cos )sin sin2 0 2 2 g c l m           . Trong đó  là góc quay của khung xOy quanh trục Oy. Bài 39. Thanh mảnh đồng chất AB có trọng lượng P, dài 2l , đầu A trượt theo đường thẳng đứng (trục Oz) còn đầu B tựa trên mặt phẳng ngang (Oxy). a) Thành lập phương trình vi phân chuyển động của AB. b) Tìm các tích phân đầu. ĐS. a) 2 3sin cos sin 4 g l       , 2sin sin2 0       b) Tích phân năng lượng: 2 2 2 13sin cos2 g C l        Tích phân Xyclic: 2 2sin C   A D c  B O x y A  B O x z y  A B D C   M l x Hình bài 37 Hình bài 38 Hình bài 39 12 Bài 40. Hãy thành lập phương trình vi phân chuyển động của con lắc toán học có khối lượng m, treo trên sợi dây đàn hồi, chiều dài của dây khi cân bằng tĩnh là l , hệ số cứng của dây là c. Tìm các chuyển động trên khi dao động là bé. ĐS. (1 ) 2 sin 0gz z l        2(1 ) (1 cos ) 0 c g z z z m l        , s z l  là độ dãn dài tương đối. Dao động bé: ( ) sin cz t A t m      ; ( ) sin c t B t m       A, B, ,  là các hằng số. Bài 41. Một đĩa tròn quay quanh trục thẳng đứng đi qua tâm O và vuông góc với mặt đĩa với vận tốc góc const  . Trên đĩa có hai chất điểm chuyển động trong rãnh thẳng không ma sát và được nối bởi các lò xo có hệ số cứng 1 2,c c . Cho 1 2,r r là vị trí cân bằng tĩnh của các chất điểm. Hãy thành lập phương trình vi phân chuyển động của hệ. ĐS. 2 21 1 1 1 2 1 2 2 1 1( )m x m c c x c x m r      , 2 22 2 1 1 2 2 2 2 2( )m x c x c m x m r     Bài 42. Lăng trụ ABC chuyển động theo phương ngang với gia tốc a. Trên mặt nghiêng BC, góc nghiêng  , có một trụ tròn xoay đồng chất lăn xuống không trượt. Tìm gia tốc a để trụ có thể lăn ngược lên phía trên. ĐS. tga g  Bài 43. Một trụ tròn đồng chất khối lượng m, bán kính r lăn không trượt trong một trụ rỗng bán kính R. Trụ rỗng quay quanh trục thẳng đứng với vận tốc không đổi  . a) Tìm vị trí cân bằng tương đối của trụ C. b) Thành lập phương trình vi phân chuyển động tương đối. c) Tìm vận tốc của C nếu khi 00 : , 0t      . ( ( ) ?Cv   ). ĐS. a) 1 2 3 20, , arccos ( ) g R r         b) 23( ) 2 sin ( ) sin2 0R r g R r        c) 2 2 2 2 24 23 30 0( )( )(cos cos ) ( ) (sin sin )rv g a R r R r           O  2r 1r 2x 1x O A B C  a O P   M l s c Hình bài 40 Hình bài 41 Hình bài 42 13 Bài 44. Một đĩa tròn đồng chất bán kính r khối lượng m lăn không trượt trên một vành tròn ở vị trí thẳng đứng, bán kính R. Vành tròn chuyển động tịnh tiến thẳng đứng lên với gia tốc a. Tìm vận tốc tương đối của tâm C của đĩa ( Cv ) nếu khi 0 00 : , Ct v v    . ĐS. 2 2 430 0( )( )(cos cos )Cv v g a R r       Bài 45. Một tấm AB không nhẵn dao động ngang theo quy luật sinOA A t . Trên AB có một trụ tròn đồng chất bán kính r, khối lượng m. Khi t = 0, trụ đứng yên trên AB. Chứng minh rằng trong một thời gian nhất định trụ rời khỏi tấm AB. Bài 46. Một đĩa tròn đồng chất bán kính r, khối lượng m lăn không trượt trên một dây không dãn. Bỏ qua trọng lượng dây, đầu dây chuyển động với gia tốc a (trong mặt phẳng thẳng đứng). Hãy xác định gia tốc tâm O của đĩa. ĐS. 0 2 sin3 3 a a g   Bài 47. Một vòng tròn nhẵn trơn bán kính r quay quanh trục thẳng đứng AB với vận tốc góc const  . Tâm O cách trục AB một đoạn h. Trên vòng có một chất điểm nặng trượt không ma sát. a) Tìm  của vòng tròn quanh AB nếu biết vị trí cân bằng tương đối của chất điểm trên vòng tròn là *  . b) Thành lập phương trình vi phân chuyển động tương đối của chất điểm trên vòng tròn đó (khi chưa cân bằng tương đối). c) Tìm vận tốc chuyển động tương đối của chất điểm trên vòng tròn theo góc  , nếu khi 00 :t    và vận tốc tương đối ban đầu bằng không. ĐS. a) 2 * tg sin g h r    b) 2 2sin cos sin cosr g h r          c) 2 2 2 2 2 20 0( ) 2 cos ( sin ) 2 cos ( sin )rr v rg h r rg h r             O  C a C A B A a O  O   Mh C  c O x y O   mg C Hình bài 43 Hình bài 44 Hình bài 45 Hình bài 46 Hình bài 47 Hình bài 48 14 Bài 48. Một đĩa hai tầng có khối lượng m, bán kính quán tính đối với trục qua C là  , bán kính lăn là r. Lò xo nối tâm C với cạnh thẳng đứng Oy có độ cứng là c. Ban đầu khối tâm C được truyền vận tốc 0v theo phương Ox và lò xo không co dãn. a) Khi khung xOy đứng yên, hãy xác định chuyển động của đĩa. Tìm điều kiện để đĩa có thể trượt nếu hệ số ma sát trượt giữa đĩa và trục x là f. b) Giả sử khung quay đều quanh trục thẳng đứng với vận tốc góc  , hãy xác định áp lực của đĩa lên đường ngang. ĐS. a) 0( ) sinvx t kt k  . Điều kiện có thể trượt: 0 2mgfkv mk c  , 2 2 2 2( ) cr k m r   Bài 49. Ống tròn AB dài 2l có khối lượng m, được coi như một thanh đồng chất quay quanh bản lề A (AB chuyển động trong mặt phẳng thẳng đứng). Từ A chất điểm M có khối lượng m chạy trong ống về B. Thời điểm đầu t = 0: AB nằm ngang và bắt đầu quay trong mặt phẳng thẳng đứng theo chiều quay kim đồng hồ. a) Hãy xác định khoảng thời gian  để M đi từ A đến B nếu nó chuyển động sao cho vận tốc góc của AB là không đổi ( const  ). b) Tìm phản lực của thanh AB lên M. ĐS. a) 21 2 (2 ln 3) arcsin l g        b) cos Pl N s  Bài 50. Một khung hình chữ nhật quay quanh trục Oy với vận tốc góc const  . Thanh đồng chất AB dài 2l , khối lượng m, trượt không ma sát theo các cạnh Ox, Oy. a) Hãy thành lập phương trình chuyển động tương đối của AB. b) Tìm vận tốc khối tâm C của thanh AB nếu khi 00 : , 0t      . ĐS. a) 24 3 sin 4 sin cos 0l g l       b) 2 2 2 2 20 03 (cos cos ) (sin sin )2Crv gl l        Bài 51. Thanh AB đồng chất chuyển động trong mặt phẳng thẳng đứng Oxy. Mặt phẳng này quay quanh trục thẳng đứng Oy với vận tốc góc const  . Hãy thành lập phương trình vi phân chuyển động tương đối của thanh AB trong mặt phẳng Oxy. ĐS. 2 2 0, 0, sin2 sin 0 2C C C x x y g           Bài 52. Một hình hộp đồng chất có chiều cao b, chiều dài a, nằm trên toa trần chạy với vận tốc v trên đường ray ngang. Trên toa trần có đường gờ B ngăn không cho vật nặng trượt về phía trước theo sàn toa, nhưng không ngăn nó quay quanh B. a) Hãy xác định vận tốc góc quay  của hình hộp khi toa xe dừng lại đột ngột. b) Cho a = 4m, b = 3m. Với vận tốc v bằng bao nhiêu thì hình hộp bị lật nhào khi bị dừng đột ngột. ĐS. a) 2 2 3 2( ) vb a b    , b) 30,7 km hv  . A  B C M O x y  C A B  x y  C A B  Hình bài 49 Hình bài 50 Hình bài 51 15 Bài 53. Con lắc toán học được treo trên một xe con chuyển động tịnh tiến ngang theo phương Ox. Trục quay con lắc vuông góc với mặt phẳng chuyển động của xe. Thời điểm đầu 00 : 0,t      . a) Xe phải chuyển động với vận tốc ( )v t như thế nào để khi 00 /2t    con lắc quay quanh điểm treo với vận tốc góc không đổi. b) Xác định lực F cần thiết đặt vào xe để có chuyển động đó nếu khối lượng xe là M, khối lượng con lắc là m. ĐS. a) 0 0 0 ( ) ln cose g v t v t  b) 2 0 0 0( ) tg sinF M m g t ml t     Bài 54. Cho cơ hệ như hình vẽ: Thanh OA đồng chất dài 2l , khối lượng 1m quay quanh trục O, đầu A nối với lò xo có độ cứng 1c , đầu kia lò xo cố định. Khi OA ở vị trí thẳng đứng lò xo không làm việc. Đĩa B đồng chất bán kính R khối lượng 2m được nối với điểm giữa thanh OA bởi lò xo có độ cứng 2c (OI = IA). Đĩa B lăn không trượt trên nền. a) Thành lập phương trình vi phân chuyển động của hệ. b) Nếu giữa đĩa B và nền ngang có ma sát lăn với hệ số ma sát là k. Phương trình chuyển động có gì thay đổi. c) Nếu thay lò xo 2c bằng một thanh nhẹ, không đàn hồi và khi 00 : 0,t      . Tìm chuyển động của cơ hệ. ĐS. a) 3 2 2 2 2 4 3 1 2 1 2( 4 ) m x c x c l m l c c l c x mg             (Phương trình dao động nhỏ) b) Lực suy rộng phải thêm cho xQ : signkmg xR  Bài 55. Con lăn C đồng chất bán kính r, được thả lăn xuống không vận tốc đầu từ độ cao h trên một đường gồm: đoạn thẳng AB nghiêng với phương ngang một góc  và nửa đường tròn BDE bán kính R, cho hệ số ma sát trượt là f. (r = 0,14m; R = 0,8m; h = 0,8m; 0,25f  ; 030  ). a) Tìm Cv theo góc  . b) Với 1 nào thì con lăn C bắt đầu trượt. c) Tìm độ cao 1h tối thiểu để con lăn C có thể lăn không trượt đến điểm cuối cùng E. ĐS. a)  2 43 ( )cosCv g h R r    b) 01 97 15  c) 1 1, 33mh  . B C a b A O   E C 0C h   O A  B O x 1c 2c 0B I 0I Hình bài 54 Hình bài 55 Hình bài 52 Hình bài 53 16 Bài 56. Cho cơ cấu bàn rung như hình vẽ: Bàn A có khối lượng 1m đặt trên lò xo có độ cứng c và bộ giảm chấn tạo lực cản tỷ lệ bậc nhất vận tốc bàn rung, hệ số cản là b. Vật B có khối lượng 2m được nối với vật A bằng bản lề, có bán kính quán tính đối với khối tâm là  . Biết AB = l . Tác dụng lên vật A một lực kích động điều hoà 0 sinF F t  , với 0F và  là các hằng số. a) Thành lập phương trình vi phân chuyển động theo x và  . b) Cho dao động là bé, hãy tìm dao động cưỡng bức của bàn rung. Biết khi 00 : ,t x x  00, , 0x      . ĐS. a) 2 1 2 2 2 0 2 2 2 2 2 ( ) sin cos sin ( ) sin sin 0 m m x m l m l bx cx F t m l m lx m gl                          b) 0 2 2 * ( ) cos ( ) sin cos gl t t l x t M t N t           , trong đó 2 1 2 0 22 2 1 2 0 22 2 1 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) c m m F M c m m b b F N c m m b                         Bài 57. Cho cơ cấu bàn rung như hình vẽ: Bàn rung chuyển động tịnh tiến theo phương thẳng đứng có khối lượng 0m được đặt trên lò xo có hệ số cứng c và bộ giảm chấn nhớt với hệ số cản b. Cho góc nghiêng  của bàn rung và phương ngang. Con lăn là đĩa tròn đồng chất có khối lượng m, bán kính r, chịu tác dụng ngẫu lực có mômen M . a) Giả thiết con lăn lăn không trượt. Thành lập phương trình vi phân chuyển động của cơ hệ. Chọn toạ độ suy rộng s, y (y tính từ vị trí cân bằng tĩnh). b) Cho 0 sinM M A t   với 0, ,M A  là các hằng số. Tìm chuyển động của cơ hệ trong giai đoạn chuyển động bình ổn (sau thời gian khá lớn). Kiểm tra điều kiện lăn không trượt và con lăn không rời khỏi mặt bàn theo tần số  (cho hệ số ma sát trượt là 0f ). c) Thành lập phương trình vi phân chuyển động của cơ hệ khi con lăn vừa lăn vừa trượt. Cho hệ số ma sát trượt động là f. ĐS. a) 0( ) sin 0 sin 1,5 sin m m y ms by cy M my ms mg r                  b) 0msF f N 2 2 22 2 2 2 2 1 0 ; 4 1 g c N H H k n k k            , c) 0 21 2 ( ) sin 0 sin sin . ms ms m m y ms by cy ms my F mg mr M F r                       x c b A B  1P 2P F(t) Vị trí cân bằng tĩnh y c b 1C 2C M 1O 2O s  Hình bài 56 Hình bài 57 17 Bài 58. Ròng rọc O trọng lượng Q Mg được treo dưới một lò xo có độ cứng c. Một sợi dây không trọng lượng không dãn, vắt qua ròng rọc, hai đầu có hai vật nặng A, B có các trọng lượng 1 1 2 2,P m g P m g  . Dây không trượt trên ròng rọc. Ròng rọc là đĩa tròn đồng chất. Bỏ qua trọng lượng lò xo. Tìm chuyển động của ròng rọc và các vật nặng nếu ban đầu khi 0 00 : , ,t x x x x    0 0,y y y y   . ĐS. 0 0 2 2 1 2 0 0 0 02 1 2 ( ) cos sin (1 cos ) 2( ) 1 ( ) (1 cos ) sin 2 2 2 y g y t y t t t m m gt g x t x x t y t y t t M m m                                       Bài 59. Một khối nửa trụ tròn đồng chất, khối lượng m, bán kính R lăn không trượt trên mặt phẳng nằm ngang. a) Thành lập phương trình vi phân chuyển động của khối nửa trụ. Xác định chu kỳ dao động nhỏ. b) Nếu tại thời điểm khối trụ ở vị trí sao cho AOB thẳng đứng rồi thả ra không vận tốc đầu. Hãy xác định vận tốc góc ( ) theo góc  của nó. Hãy xác định phản lực pháp tuyến lên khối trụ của nền khi AB ở vị trí nằm ngang. ĐS. a) 8 0 (16 9 ) g R    ; 2 2 (9 16) 2 T gR k g      b) 2 4 cos (3 4 cos ) ag R R a    ( 4 3a R  ); 24 (3 4 ) mga N P R R a    Bài 60. Một khối nửa trụ tròn đồng chất khối lượng m, bán kính r lăn không trượt trên một mặt trụ cố định không nhẵn, bán kính 2R r . Trong quá trình chuyển động đường sinh của hai mặt trụ luôn song song và khi nằm ở vị trí thấp nhất, khối nửa trụ có AB nằm ngang. a) Thành lập phương trình vi phân chuyển động của nửa khối trụ. Xác định chu kỳ dao động nhỏ. b) Nếu tại thời điểm đầu ta giữ nửa khối trụ ở vị trí sao cho 1B O (tâm mặt trụ rỗng) và thả ra không vận tốc đầu. Hãy xác định vận tốc góc ( ) theo góc  của nó. Hãy xác định phản lực pháp tuyến lên nửa khối trụ tại vị trí thấp nhất ( 0  ). ĐS. a) 2 2(3 4 cos2 ) 4 sin2 2 ( )sinr ar ar g r a          , 2 (9 16) 4 2 , (3 4) 3 r r T a k g        , b) 2 2 (4 3 )(2 2) (9 16) g r      , 2( )N mg m r a     A B y Vị trí cân bằng tĩnh x O c  O A C B 0O 0B 0A 0C P  O A C B 0O 0B 0A 1O P  Hình bài 58 Hình bài 59 Hình bài 60 18 Bài 61. Một ghế giảm chấn có sơ đồ như hình vẽ. Mặt ghế có khối tâm C cách trục quay A một đoạn AC = a, có khối lượng 0m , có mômen quán tính đối với trục đi qua khối tâm C là CJ . Thành ghế được coi là một thanh mảnh, cứng, dài AD = 2l , khối lượng bỏ qua được và tại đầu mút D có gắn một vật điểm có khối lượng m. Ghế được liên kết với lò xo thẳng đứng có hệ số cứng 1c và lò xo xoắn có hệ số cứng 2c . Khi cơ hệ cân bằng thì mặt ghế nằm ngang, còn A nằm ở vị trí cân bằng tĩnh O. a) Lập phương trình vi phân chuyển động của cơ hệ. b) Giả sử điểm A dao động theo phương thẳng đứng với quy luật 0 siny H t  trong đó 0H và  là hằng số. Coi y và  là bé, hãy xác định chuyển động quay của ghế quanh trục A. Xác định phản lực đứng lên ghế. ĐS. a) 0 0 2 0 1 0 0 2 0 0 ( ) ( cos sin ) ( sin cos ) 0 ( sin cos ) cos sin m m y m a ml m a ml c y m a ml y J c m ga m ga mgl                              ( 2 20 0CJ J m a ml   ) b) 2 0 0 2 2 0 ( ) sin m aH t t c mgl J      , 1 0( )AY c y m m g    Bài 62. Ôtô có trọng lượng Q (kể cả 4 bánh). Mỗi bánh xe có trọng lượng P, bán kính r, bán kính quán tính đối với trục quay là  . Lực cản của không khí đặt tại khối tâm C của ôtô là 2cR v , const  . Ngẫu lực do động cơ truyền đến trục của hai bánh sau có mômen M = const. Mômen ma sát cản tại ổ trục của mỗi bánh xe là constCM  . Ôtô chuyển động từ trạng thái nghỉ. Giả thiết các bánh xe lăn không trượt. Bỏ qua ma sát lăn. a) Tìm vận tốc, gia tốc ôtô theo thời gian t. Tìm vận tốc tới hạn. b) Tìm lực ma sát ở bánh trước và bánh sau. Khảo sát sự thay đổi của chúng trong quá trình chuyển động. c) Giả sử khi ôtô đạt vận tốc *v thì bị phanh. Mômen phanh ở mỗi bánh sau là 1M , ở mỗi bánh trước là 2 1 2( const, const)M M M  . Bỏ qua lực cản của không khí, ma sát ổ trục, coi J của các bánh xe là không đáng kể và mômen ngẫu lực của động cơ khi phanh là 0M  . Cho biết hệ số ma sát trượt tĩnh giữa bánh xe và mặt đường là f. Tìm gia tốc ôtô trong khi phanh. Tìm thời gian để dừng ôtô (từ khi phanh). Tìm 1M , 2M để gia tốc ôtô đạt giá trị lớn nhất. ĐS. a) 2 1 2 ( ) ; ; 1 ( 1) t t t t e e v t a e e           trong đó 2 2 4 2 4 , ,C tg tg M M Q P M r M g g r            ghv  . b) 2 2 1 12 2 0,5 ,C M M P Mc P F a F a r gr r gr      c) * 1 22( ) , M M g v a Qr a   1max 2max( ) , ( ) Qrf Qrf M a hf M b hf a b a b      . C 1c y 2c a A D P   0P  O l Hình bài 61 19 Bài 63. Cho tay máy chuyển động trong mặt phẳng thẳng đứng như hình vẽ. Hai con trượt C và D cùng khối lượng 0m có thể trượt không ma sát theo rãnh AB. Hai thanh đồng chất EC và ED cùng chiều dài l , cùng khối lượng 1m . Hai lò xo kéo nén nối A – C và B – D như nhau có hệ số cứng c. Lò xo xoắn có hệ số cứng k nối CE và con trượt C. Các lực động cơ tác dụng lên hai khâu trượt là 1( )F t và 2( )F t . Bỏ qua ma sát và lực cản. Ban đầu hệ đứng yên. a) Thành lập phương trình vi phân chuyển động (khi 00, 0s   lò xo không làm việc). b) Tìm các lực điều khiển 1( )F t , 2( )F t khi E chuyển động trên đường song song và cách AB một đoạn 0sinh l  với quy luật 0( ) cos sinEx t l a t   . Q  v a b h C Ex A B C E D 1( )F t  2 ( )F t  s  Hình bài 62 Hình bài 63