Bài giảng xác suất thống kê - Chương 7: Kiểm định giả thiết thống kê

Giảng viên: Chu Bình Minh Bài giảng Xác suất thống kê Nam Dinh,Februay, 2008 PHẦN 2 THỐNG KÊ TOÁN CHÖÔNG 7: KIEÅM ÑÒNH GIAÛ THIEÁT THOÁNG KEÂ 1. KHÁI NIỆM CHUNG 1.1 GIẢ THUYẾT THỐNG KÊ a, Định nghĩa Giả thuyết thống kê là giả thuyết về dạng phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên, về các tham số đặc trưng của biến ngẫu nhiên hoặc về tính độc lập của các biến ngẫu nhiên. Giả thuyết đưa ra gọi là biến ngẫu nhiên gốc ký hiệu là 𝐻0. Khi đưa ra một giả thuyết gốc, người ta còn nghiên cứu một mệnh đề mâu thuẫn với nó gọi là giả thuyết đối (hay đối thuyết) và ký hiệu là 𝐻1 để khi 𝐻0 bị bác bỏ thì thừa nhận 𝐻1. Cặp 𝐻0 và 𝐻1 gọi là cặp giả thuyết thống kê. Ví dụ Khi nghiên cứu nhu cầu thị trường về một loại hàng hóa nào đó. Ta có thể đưa ra các cặp giả thuyết thống kê như sau:  𝐻0 : Nhu cầu X của thị trường tuân theo quy luật phân phối chuẩn 𝐻1: Nhu cầu X của thị trường không tuân theo quy luật phân phối chuẩn  𝐻0 : Nhu cầu trung bình của thị trường về loại hàng hóa này là μ = 1000 đơn vị / tháng 𝐻1: μ > 1000 đơn vị / tháng, 𝐻1: μ < 1000 đơn vị / tháng hoặc 𝐻1: μ ≠ 1000 đơn vị / tháng  𝐻0 : Nhu cầu X của thị trường và thu nhập Y của khách hàng độc lập nhau 𝐻1: Nhu cầu X của thị trường và thu nhập Y của khách hàng phụ thuộc nhau 1.1 GIẢ THUYẾT THỐNG KÊ Vì các giả thuyết thống kê có thể đúng hoặc sai nên cần kiểm định, tức là tìm ra kết luận về tính thừa nhận được hay không thừa nhận được của giả thuyết đó. Việc kiểm định này gọi là kiểm định thống kê vì nó dựa vào thông tin thực nghiệm của mẫu để kết luận. 1.1 GIẢ THUYẾT THỐNG KÊ b, Phương pháp chung Trước hết, giả sử 𝐻0 đúng và từ đó dựa vào thông tin mẫu rút ra từ tổng thể tìm được một biến cố A nào đó sao cho xác suất xảy ra của A bằng α bé đến mức có thể coi A không xảy ra trong mộ t phép thử. Lúc đó trên một mẫu cụ thể thực hiện phép thử với biến cố A, nếu A xảy ra thì chứng tỏ 𝐻0 sai và bác bỏ nó, còn nếu A không xảy ra thì chưa có cơ sở để bác bỏ 𝐻0. 1.1 GIẢ THUYẾT THỐNG KÊ 1.2 TIÊU CHUẨN KIỂM ĐỊNH GIẢ THUYẾT THỐNG KÊ Cho θ là tham số của X, ta cần kiểm định 𝐻0:𝜃 = 𝜃0 Từ biến ngẫu nhiên gốc X trong tổng thể lập mẫu ngẫu nhiên kích thước n 𝑊 = (𝑋1,𝑋2, ,𝑋𝑛) Và chọn lập thống kê: 𝐺 = 𝑓(𝑋1,𝑋2, ,𝑋𝑛 ,𝜃0) Với 𝜃0 là tham số liên quan đến giả thuyết cần kiểm định. Điều kiện đặt ra đối với G là nếu 𝐻0 đúng thì quy luật phân phối xác suất của G hoàn toàn xác định. Thống kê G gọi là tiêu chuẩn kiểm định. 1.3 MIỀN BÁC BỎ GIẢ THUYẾT. Do đã xác định được quy luật phân phố i xác suất của G nên với mộ t xác suất khá bé α cho trước có thể tìm được miền 𝑊𝛼 tương ứng sao cho với điều kiện giả thuyết 𝐻0 đúng thì xác suất G nhận giá trị tại miền 𝑊𝛼 bằng α. Điều kiện này được viết như sau: 𝑃(𝐺 ∈ 𝑊𝛼 /𝐻0) = 𝛼 1.3 MIỀN BÁC BỎ GIẢ THUYẾT. Biến cố (𝐺 ∈ 𝑊𝛼) đóng vai trò như biến cố A nói trên và vì α khá bé nên có thể coi như không xảy ra trong một phép thử. Giá trị α gọi là mức ý nghĩa của kiểm định và miền 𝑊𝛼 gọi là miền bác bỏ giả thuyết 𝐻0. Các giá trị còn lại của G thuộc miền 𝑊 𝛼 gọi là miền không bác bỏ giả thuyết hay đôi khi còn gọi là miền thừa nhận giả thuyết. Điểm giới hạn phân chia giữa miền bác bỏ và miền thừa nhận gọi là giá trị tới hạn. 1.4 GIÁ TRỊ QUAN SÁT CỦA TIÊU CHUẨN KIỂM ĐỊNH Thực hiện một phép thử với mẫu ngẫu nhiên ta được mẫu cụ thể 𝑤 = (𝑥1 ,𝑥2 , ,𝑥𝑛) và qua đó tính được giá trị cụ thể của tiêu chuẩn kiểm định G 𝐺𝑞𝑠 = 𝑓(𝑥1 ,𝑥2 , ,𝑛𝑛 ,𝜃0) Giá trị này gọi là giá trị quan sát của tiêu chuẩn kiểm định. 1.5 QUY TẮC KIỂM ĐỊNH THỐNG KÊ Sau khi đã tính được giá trị 𝐺𝑞𝑠 , ta so sánh giá trị này với miền bác bỏ 𝑊𝛼 và kết luận theo quy tắc: 1. Nếu 𝐺𝑞𝑠 ∈ 𝑊𝛼 thì kết luận 𝐻0 sai, do đó bác bỏ 𝐻0 và thừa nhận 𝐻1. 2. Nếu 𝐺𝑞𝑠 ∉ 𝑊𝛼 thì kết luận chưa có cơ sở bác bỏ 𝐻0 (thực tế là thừa nhận 𝐻0 ). 1.6 SAI LẦM LOẠI MỘT VÀ SAI LẦM LOẠI HAI. Sai lầm loại 1: Bác bỏ 𝐻0 trong khi 𝐻0 đúng. Ta thấy nếu 𝐻0 đúng thì 𝑃(𝐺 ∈ 𝑊𝛼 ) = 𝛼 nhưng khi 𝐺 ∈ 𝑊𝛼 thì lập tức bác bỏ 𝐻0. Như vậy ta có thể mắc phải sai lầm loại 1 với xác suất bằng α. Sai lầm loại 2: Thừa nhận 𝐻0 trong khi 𝐻0 sai hay 𝐺𝑞𝑠 ∉ 𝑊𝛼 trong khi 𝐻1 đúng. Giả sử xác suất mắc sai lầm loại 2 là β. 𝑃(𝐺 ∉ 𝑊𝛼 /𝐻1) = 𝛽 1.6 SAI LẦM LOẠI MỘT VÀ SAI LẦM LOẠI HAI. Suy ra: 𝑃(𝐺 ∈ 𝑊𝛼 /𝐻1) = 1 − 𝛽 1-β gọi là lực kiểm định. Quan hệ giữa kiểm định giả thuyết và các loại sai lầm cho trong bảng: Tình huống Quyết định 𝐻0 đúng 𝐻0 sai Bác bỏ 𝐻0 Sai lầm loại 1 xác suất bằng α Quyết định đúng xác suất bằng 1- β Không bác bỏ 𝐻0 Quyết định đúng xác suất bằng 1- α Sai lầm loại 2 xác suất bằng β 1.6 SAI LẦM LOẠI MỘT VÀ SAI LẦM LOẠI HAI. Ta thấy sai lầm loại một và sai lầm loại hai mâu thuẫn nhau, tức ta cùng một kích thước mẫu n thì không thể cùng giảm cả hai loại sai lầm. Do vậy trong thực tế thì với α cho trước người tasex tìm miền 𝑊𝛼 sao cho β là nhỏ nhất. 2. KIỂM ĐỊNH THAM SỐ 2.1 KIỂM ĐỊNH GIẢ THUYẾT VỀ KỲ VỌNG TOÁN CỦA BIẾN NGẪU NHIÊN TUÂN THEO QUY LUẬT PHÂN PHỐI CHUẨN. Giả sử biến ngẫu nhiên gốc X trong tổng thể phân phối chuẩn 𝑋~𝑁(𝜇,𝜎2) nhưng chưa biết μ. Nếu có cơ sở để giả thuyết rằng giá trị của nó bằng 𝜇0 ta đưa ra giả thuyết thống kê 𝐻0: 𝜇 = 𝜇0. Để kiểm định giả thuyết trên, từ tổng thể ta lập mẫu: 𝑊 = (𝑋1 ,𝑋2 , ,𝑋𝑛) Để chọn thống kê G ta xét hai trường hợp. 2.1 KIỂM ĐỊNH GIẢ THUYẾT VỀ KỲ VỌNG TOÁN CỦA BIẾN NGẪU NHIÊN TUÂN THEO QUY LUẬT PHÂN PHỐI CHUẨN. a, Đã biết phương sai 𝜎2. Chọn 𝐺 = 𝑋 − 𝜇0 𝜎 𝑛 Giả sử nếu 𝐻0 đúng tức là 𝜇 = 𝜇0 thì 𝐺 = 𝑈 = 𝑋 − 𝜇 𝜎 𝑛 ~ 𝑁(0,1) 𝑃(𝐺 ∈ 𝑊𝛼 /𝐻0) = 𝛼 Để tìm miền bác bỏ 𝑊𝛼 ta xét các trường hợp. 2.1 KIỂM ĐỊNH GIẢ THUYẾT VỀ KỲ VỌNG TOÁN CỦA BIẾN NGẪU NHIÊN TUÂN THEO QUY LUẬT PHÂN PHỐI CHUẨN. Trường hơp 1: 𝐻0:𝜇 = 𝜇0 ;𝐻1:𝜇 > 𝜇0 Với 𝛼 cho trước có thể tìm được cặp giá trị 𝛼1 ,𝛼2 sao cho 𝛼1 + 𝛼2 = 𝛼 và tương ứng ta tìm được cặp giá trị 𝑢1−𝛼1 ,𝑢𝛼2 thoả mãn: 𝑃 𝐺 < 𝑢1−𝛼1 = 𝛼1 𝑃 𝐺 > 𝑢𝛼2 = 𝛼2 Do 𝐺 ∈ 𝑊𝛼 tức là thừa nhận 𝐻1 hay 𝜇 > 𝜇0 nên 𝐺 = 𝑋 −𝜇0 𝜎 𝑛 = 𝜇−𝜇0 𝜎 𝑛 > 0, và 𝛼1 nhỏ nên 2.1 KIỂM ĐỊNH GIẢ THUYẾT VỀ KỲ VỌNG TOÁN CỦA BIẾN NGẪU NHIÊN TUÂN THEO QUY LUẬT PHÂN PHỐI CHUẨN. 𝑢1−𝛼1 = −𝑢𝛼1 < 0 , do vậy trường hợp 𝑃 𝐺 < 𝑢1−𝛼1 = 0 suy ra 𝛼2 = 𝛼. Vậy 𝑃(𝐺 ∈ 𝑊𝛼 /𝐻0) = 𝑃 𝐺 > 𝑢𝛼 = 𝛼 Ta thu được miền bác bỏ bên phải là: 𝑊𝛼 = 𝐺 = 𝑋 − 𝜇0 𝜎 𝑛:𝐺 > 𝑢𝛼 = (𝑢𝛼 ; +∞) 2.1 KIỂM ĐỊNH GIẢ THUYẾT VỀ KỲ VỌNG TOÁN CỦA BIẾN NGẪU NHIÊN TUÂN THEO QUY LUẬT PHÂN PHỐI CHUẨN. Trường hơp 2: 𝐻0:𝜇 = 𝜇0 ;𝐻1:𝜇 < 𝜇0 Với 𝛼 cho trước có thể tìm được cặp giá trị 𝛼1 , 𝛼2 sao cho 𝛼1 + 𝛼2 = 𝛼 và tương ứng ta tìm được cặp giá trị 𝑢1−𝛼1 ,𝑢𝛼2 thoả mãn: 𝑃 𝐺 < 𝑢1−𝛼1 = 𝛼1 𝑃 𝐺 > 𝑢𝛼2 = 𝛼2 Do 𝐺 ∈ 𝑊𝛼 tức là thừa nhận 𝐻1 hay 𝜇 < 𝜇0 nên 𝐺 = 𝑋 −𝜇0 𝜎 𝑛 = 𝜇−𝜇0 𝜎 𝑛 0 , do vậy trường hợp 𝑃 𝐺 > 𝑢𝛼2 = 0 suy ra 𝛼1 = 𝛼. Vậy 2.1 KIỂM ĐỊNH GIẢ THUYẾT VỀ KỲ VỌNG TOÁN CỦA BIẾN NGẪU NHIÊN TUÂN THEO QUY LUẬT PHÂN PHỐI CHUẨN. 𝑃(𝐺 ∈ 𝑊𝛼 /𝐻0) = 𝑃 𝐺 < 𝑢1−𝛼 = 𝑃 𝐺 < −𝑢𝛼 = 𝛼 Ta thu được miền bác bỏ bên trái là: 𝑊𝛼 = 𝐺 = 𝑋 − 𝜇0 𝜎 𝑛:𝐺 < −𝑢𝛼 = (−∞;−𝑢𝛼) 2.1 KIỂM ĐỊNH GIẢ THUYẾT VỀ KỲ VỌNG TOÁN CỦA BIẾN NGẪU NHIÊN TUÂN THEO QUY LUẬT PHÂN PHỐI CHUẨN. Trường hơp 3: 𝐻0:𝜇 = 𝜇0 ;𝐻1:𝜇 ≠ 𝜇0 Với 𝛼 cho trước có thể tìm được cặp giá trị 𝛼1 ,𝛼2 sao cho 𝛼1 + 𝛼2 = 𝛼 và tương ứng ta tìm được cặp giá trị 𝑢1−𝛼1 ,𝑢𝛼2 thoả mãn: 𝑃 𝐺 < 𝑢1−𝛼1 = 𝛼1 𝑃 𝐺 > 𝑢𝛼2 = 𝛼2 2.1 KIỂM ĐỊNH GIẢ THUYẾT VỀ KỲ VỌNG TOÁN CỦA BIẾN NGẪU NHIÊN TUÂN THEO QUY LUẬT PHÂN PHỐI CHUẨN. Lấy 𝛼1 = 𝛼2 = 𝛼 2 nên 𝑢1−𝛼1 = −𝑢𝛼/2 ,𝑢𝛼2 = 𝑢𝛼/2. Vậy 𝑃(𝐺 ∈ 𝑊𝛼 /𝐻0) = 𝑃 𝐺 > 𝑢𝛼/2 = 𝛼 Ta có miền bác bỏ hai phía: 𝑊𝛼 = 𝐺 = 𝑋 − 𝜇0 𝜎 𝑛: 𝐺 > 𝑢𝛼/2 = (−∞;−𝑢𝛼/2) ∪ (𝑢𝛼/2; +∞) 2.1 KIỂM ĐỊNH GIẢ THUYẾT VỀ KỲ VỌNG TOÁN CỦA BIẾN NGẪU NHIÊN TUÂN THEO QUY LUẬT PHÂN PHỐI CHUẨN. Từ một mẫu cụ thể 𝑤 = (𝑥1 ,𝑥2 , ,𝑥𝑛) ta tính giá trị quan sát của tiêu chuẩn kiểm định: 𝐺𝑞𝑠 = 𝑥 − 𝜇0 𝜎 𝑛 Và so sánh 𝐺𝑞𝑠 với 𝑊𝛼 để đưa ra kết luận: - Nếu 𝐺𝑞𝑠 ∈ 𝑊𝛼 thì bác bỏ 𝐻0 thừa nhận 𝐻1. Nếu 𝐺𝑞𝑠 ∉ 𝑊𝛼 thì chưa có cơ sở bác bỏ 𝐻0. 2.1 KIỂM ĐỊNH GIẢ THUYẾT VỀ KỲ VỌNG TOÁN CỦA BIẾN NGẪU NHIÊN TUÂN THEO QUY LUẬT PHÂN PHỐI CHUẨN. α Bác bỏThừa nhận 2.1 KIỂM ĐỊNH GIẢ THUYẾT VỀ KỲ VỌNG TOÁN CỦA BIẾN NGẪU NHIÊN TUÂN THEO QUY LUẬT PHÂN PHỐI CHUẨN. α Bác bỏ Thừa nhận 2.1 KIỂM ĐỊNH GIẢ THUYẾT VỀ KỲ VỌNG TOÁN CỦA BIẾN NGẪU NHIÊN TUÂN THEO QUY LUẬT PHÂN PHỐI CHUẨN. α/2 Bác bỏ Thừa nhận Bác bỏ α/2 2.1 KIỂM ĐỊNH GIẢ THUYẾT VỀ KỲ VỌNG TOÁN CỦA BIẾN NGẪU NHIÊN TUÂN THEO QUY LUẬT PHÂN PHỐI CHUẨN. Ví dụ Trong năm trước, trọng lượng trung bình trước khi xuất chuồng của bò ở một trại chăn nuôi là 380 kg. Năm nay người ta áp dụng một chế độ chăn nuôi mới với hy vọng bò sẽ tăng trọng nhanh hơn. Sau thời gian áp dụng thử, người ta áp dụng ngẫu nhiên 50 con bò trước khi xuất chuồng đem cân và tính được trọng lượng trung bình của chúng là 390kg. Vậy với mức ý nghĩa α = 0,01 có thể cho rằng trọng lượng trung bình của bò đã tăng lên hay không? Giả thiết trọng lượng của bò là biến ngẫu nhiên chuẩn với độ lệch chuẩn là 35,2kg. 2.1 KIỂM ĐỊNH GIẢ THUYẾT VỀ KỲ VỌNG TOÁN CỦA BIẾN NGẪU NHIÊN TUÂN THEO QUY LUẬT PHÂN PHỐI CHUẨN. Gọi X là trọng lượng của bò sau khi áp dụng chế độ chăn nuôi mới. EX = μ trọng lượng TB của bò sau khi áp dụng chế độ chăn nuôi mới. X~N μ ;σ2 , σ = 35,2, α =0,01, 𝜇0 = 380 𝐻0:𝜇 = 𝜇0;𝐻1:𝜇 > 𝜇0 𝑊𝛼 = 𝑢𝛼 ; +∞ = (2,33; +∞) 𝐺𝑞𝑠 = 𝑥 − 𝜇0 𝜎 𝑛 = 390 − 380 35,2 50 = 2,01 ∉ 𝑊𝛼 Chưa có cơ sở bác bỏ H0. Phương pháp mới chưa mang lại hiệu quả. 2.1 KIỂM ĐỊNH GIẢ THUYẾT VỀ KỲ VỌNG TOÁN CỦA BIẾN NGẪU NHIÊN TUÂN THEO QUY LUẬT PHÂN PHỐI CHUẨN. b, Chưa biết phương sai 𝜎2. Chọn 𝐺 = 𝑋 − 𝜇0 𝑠 𝑛 Giả sử nếu 𝐻0 đúng tức là 𝜇 = 𝜇0 thì 𝐺 = 𝑇 = 𝑋 − 𝜇 𝑠 𝑛 ~ 𝑇(𝑛 − 1) 𝑃(𝐺 ∈ 𝑊𝛼 /𝐻0) = 𝛼 Để tìm miền bác bỏ 𝑊𝛼 ta xét các trường hợp. Thực hiện tương tự ta có: 2.1 KIỂM ĐỊNH GIẢ THUYẾT VỀ KỲ VỌNG TOÁN CỦA BIẾN NGẪU NHIÊN TUÂN THEO QUY LUẬT PHÂN PHỐI CHUẨN. Trường hơp 1: 𝐻0:𝜇 = 𝜇0 ;𝐻1:𝜇 > 𝜇0 𝑃(𝐺 ∈ 𝑊𝛼 /𝐻0) = 𝑃 𝐺 > 𝑡𝛼 (𝑛−1) = 𝛼 Ta thu được miền bác bỏ bên phải là: 𝑊𝛼 = 𝐺 = 𝑋 − 𝜇0 𝑆 𝑛:𝐺 > 𝑡𝛼 (𝑛−1) = (𝑡𝛼 (𝑛−1) ; +∞) 2.1 KIỂM ĐỊNH GIẢ THUYẾT VỀ KỲ VỌNG TOÁN CỦA BIẾN NGẪU NHIÊN TUÂN THEO QUY LUẬT PHÂN PHỐI CHUẨN. Trường hơp 2: 𝐻0:𝜇 = 𝜇0 ;𝐻1:𝜇 < 𝜇0 𝑃(𝐺 ∈ 𝑊𝛼 /𝐻0) = 𝑃 𝐺 < 𝑡1−𝛼 (𝑛−1) = 𝑃 𝐺 < −𝑡𝛼 (𝑛−1) = 𝛼 Ta thu được miền bác bỏ bên trái là: 𝑊𝛼 = 𝐺 = 𝑋 − 𝜇0 𝑆 𝑛:𝐺 < −𝑡𝛼 (𝑛−1) = (−∞;−𝑡𝛼 (𝑛−1) ) 2.1 KIỂM ĐỊNH GIẢ THUYẾT VỀ KỲ VỌNG TOÁN CỦA BIẾN NGẪU NHIÊN TUÂN THEO QUY LUẬT PHÂN PHỐI CHUẨN. Trường hơp 3: 𝐻0:𝜇 = 𝜇0 ;𝐻1:𝜇 ≠ 𝜇0 𝑃(𝐺 ∈ 𝑊𝛼 /𝐻0) = 𝑃 𝐺 > 𝑡𝛼/2 (𝑛−1) = 𝛼 Ta có miền bác bỏ hai phía: 𝑊𝛼 = 𝐺 = 𝑋 − 𝜇0 𝑆 𝑛: 𝐺 > 𝑡𝛼/2 (𝑛−1) = (−∞;−𝑡𝛼/2 (𝑛−1) ) ∪ (𝑡𝛼/2 (𝑛−1) ; +∞) 2.1 KIỂM ĐỊNH GIẢ THUYẾT VỀ KỲ VỌNG TOÁN CỦA BIẾN NGẪU NHIÊN TUÂN THEO QUY LUẬT PHÂN PHỐI CHUẨN. Từ mộ t mẫu cụ thể 𝑤 = (𝑥1 ,𝑥2 , ,𝑥𝑛) ta tính giá trị quan sát của tiêu chuẩn kiểm định: 𝐺𝑞𝑠 = 𝑥 − 𝜇0 𝑠 𝑛 Và so sánh 𝐺𝑞𝑠 với 𝑊𝛼 để đưa ra kết luận: - Nếu 𝐺𝑞𝑠 ∈ 𝑊𝛼 thì bác bỏ 𝐻0 thừa nhận 𝐻1. Nếu 𝐺𝑞𝑠 ∉ 𝑊𝛼 thì chưa có cơ sở bác bỏ 𝐻0. 2.1 KIỂM ĐỊNH GIẢ THUYẾT VỀ KỲ VỌNG TOÁN CỦA BIẾN NGẪU NHIÊN TUÂN THEO QUY LUẬT PHÂN PHỐI CHUẨN. Ví dụ: Trọng lượng của các bao gạo trong kho là biến ngẫu nhiên phân phố i chuẩn với trọng lượng trung bình theo tiêu chuẩn là 50kg. Nghi ngờ b ị đóng thiếu, người ta đem cân ngẫu nhiên 25 bao và thu được kết quả sau: Trọng lượng bao(Kg) Số bao tương ứng 48,0-48,5 2 48,5-49,0 5 49,0-49,5 10 49,5-50,0 6 50,0-55,5 2 Với mức ý nghia 𝛼 = 0,01 hãy kết luận về nghi ngờ nói trên. Giải Gọi X là trọng lượng của bao gạo, EX = μ là trọng lượng TB của bao gạo 𝑋~𝑁 𝜇;𝜎2 ,𝛼 = 0,01 𝐻0:𝜇 = 50,𝐻1:𝜇 < 50 Miền bác bỏ: 𝑊𝛼 = −∞;−𝑡0,01 (25−1) = (−∞;−2,492) 𝐺𝑞𝑠 = 𝑥 − 50 𝑠 25 = 49,27 − 50 0,52 25 𝐺𝑞𝑠 = −7,01 ∈ 𝑊𝛼 ,𝐵𝐵 𝐻0 2.2 KIỂM ĐỊNH GIẢ THUYẾT VỀ HAI KỲ VỌNG CỦA BIẾN NGẪU NHIÊN PHÂN PHỐI CHUẨN. Giả sử ta xét một lúc hai tổng thể . Ở tổng thể thứ nhất ta xét biến ngẫu nhiên gốc 𝑋~𝑁(𝜇1 ,𝜎1 2), ở tổng thể thứ hai ta xét biến ngẫu nhiên gốc 𝑌~𝑁(𝜇2 ,𝜎2 2) . Từ hai tổng thể nói trên rút ra hai mẫu ngẫu nhiên độc lập có kích thước tương ứng 𝑛1 và 𝑛2: 𝑊𝑋 = (𝑋1 ,𝑋2 , ,𝑋𝑛1 ) 𝑊𝑌 = (𝑌1 ,𝑌2 , ,𝑌𝑛2 ) Nếu 𝜇1 và 𝜇2 chưa biết song có cơ sở để giả thuyết rằng giá trị của chúng bằng nhau, người ta đưa ra giả thuyết thống kê: 𝐻0:𝜇1 = 𝜇2 2.2 KIỂM ĐỊNH GIẢ THUYẾT VỀ HAI KỲ VỌNG CỦA BIẾN NGẪU NHIÊN PHÂN PHỐI CHUẨN. a, Đã biết các phương sai: 𝜎1 2 và 𝜎2 2. Đặt 𝐺 = 𝑋 − 𝑌 − 𝜇1 − 𝜇2 𝜎1 2 𝑛1 + 𝜎2 2 𝑛2 ~𝑁 0; 1 Nếu 𝐻0 đúng thì 𝐺 = 𝑋 −𝑌 𝜎1 2 𝑛1 + 𝜎2 2 𝑛2 ~𝑁 0; 1 Tương tự như phần 2.1a ta có: 2.2 KIỂM ĐỊNH GIẢ THUYẾT VỀ HAI KỲ VỌNG CỦA BIẾN NGẪU NHIÊN PHÂN PHỐI CHUẨN. a, Đã biết các phương sai: 𝜎1 2 và 𝜎2 2. Trường hợp 1: 𝐻0:𝜇1 = 𝜇2; 𝐻1: 𝜇1 > 𝜇2 𝑃(𝐺 ∈ 𝑊𝛼 /𝐻0) = 𝑃 𝐺 > 𝑢𝛼 = 𝛼 Ta thu được miền bác bỏ bên phải là: 𝑊𝛼 = 𝐺 = 𝑋 − 𝑌 𝜎1 2 𝑛1 + 𝜎2 2 𝑛2 𝑛:𝐺 > 𝑢𝛼 = (𝑢𝛼 ; +∞) 2.2 KIỂM ĐỊNH GIẢ THUYẾT VỀ HAI KỲ VỌNG CỦA BIẾN NGẪU NHIÊN PHÂN PHỐI CHUẨN. a, Đã biết các phương sai: 𝜎1 2 và 𝜎2 2. Trường hợp 2: 𝐻0:𝜇1 = 𝜇2; 𝐻1: 𝜇1 < 𝜇2 𝑃(𝐺 ∈ 𝑊𝛼 /𝐻0) = 𝑃 𝐺 < −𝑢𝛼 = 𝛼 Ta thu được miền bác bỏ bên trái là: 𝑊𝛼 = 𝐺 = 𝑋 − 𝑌 𝜎1 2 𝑛1 + 𝜎2 2 𝑛2 𝑛:𝐺 < −𝑢𝛼 = (−∞;−𝑢𝛼) 2.2 KIỂM ĐỊNH GIẢ THUYẾT VỀ HAI KỲ VỌNG CỦA BIẾN NGẪU NHIÊN PHÂN PHỐI CHUẨN. a, Đã biết các phương sai: 𝜎1 2 và 𝜎2 2. Trường hợp 3: 𝐻0:𝜇1 = 𝜇2; 𝐻1: 𝜇1 ≠ 𝜇2 𝑃(𝐺 ∈ 𝑊𝛼 /𝐻0) = 𝑃 𝐺 > 𝑢𝛼/2 = 𝛼 Ta thu được miền bác bỏ hai phía là: 𝑊𝛼 = 𝐺 = 𝑋 − 𝑌 𝜎1 2 𝑛1 + 𝜎2 2 𝑛2 𝑛: 𝐺 > 𝑢𝛼 2 = −∞;−𝑢𝛼 2 ∪ (𝑢𝛼 2 ; +∞) 2.2 KIỂM ĐỊNH GIẢ THUYẾT VỀ HAI KỲ VỌNG CỦA BIẾN NGẪU NHIÊN PHÂN PHỐI CHUẨN. Từ các mẫu cụ thể 𝑤𝑋 = 𝑥1 ,𝑥2 , , 𝑥𝑛 ,𝑤𝑌 = (𝑦1 ,𝑦2 , ,𝑦𝑛) ta tính giá trị quan sát của tiêu chuẩn kiểm định: 𝐺𝑞𝑠 = 𝑥 − 𝑦 𝜎1 2 𝑛1 + 𝜎2 2 𝑛2 Và so sánh 𝐺𝑞𝑠 với 𝑊𝛼 để đưa ra kết luận: - Nếu 𝐺𝑞𝑠 ∈ 𝑊𝛼 thì bác bỏ 𝐻0 thừa nhận 𝐻1. `Nếu 𝐺𝑞𝑠 ∉ 𝑊𝛼 thì chưa có cơ sở bác bỏ 𝐻0. 2.2 KIỂM ĐỊNH GIẢ THUYẾT VỀ HAI KỲ VỌNG CỦA BIẾN NGẪU NHIÊN PHÂN PHỐI CHUẨN. Ví dụ Tại một xí nghiệp người ta xây dựng hai phương án gia công cùng một loại chi tiết. Để dánh giá xem chi phí trung bình về nguyên liệu tiêu hao theo hai phương án ấy có khác nhau hay không người ta sản xuất thử và thu được kết quả như sau: Phương án 1 2,5 3,2 3,5 3,8 3,5 Phương án 2 2,0 2,7 2,5 2,9 2,3 2,6 Với mức ý nghĩa α = 0,05, hãy kết luận về vấn đề trên nếu biết rằng chi phí nguyên liệu theo cả hai phương án để là biến ngẫu nhiêu chuẩn với 𝜎1 2 = 𝜎2 2 = 0,16. 2.2 KIỂM ĐỊNH GIẢ THUYẾT VỀ HAI KỲ VỌNG CỦA BIẾN NGẪU NHIÊN PHÂN PHỐI CHUẨN. Giải Gọi 𝑋 là chi phí tiêu hao khi sx 1 sp theo phương án 1 𝐸𝑋 = 𝜇1 là chi phí tiêu hao TB khi sx 1 sp theo phương án 1 𝑋~𝑁(𝜇1 ,𝜎1 2) Gọi 𝑌 là chi phí tiêu hao khi sx 1 sp theo phương án 2 𝐸𝑌 = 𝜇2 là chi phí tiêu hao TB khi sx 1 sp theo phương án 2 𝑌~𝑁(𝜇2 ,𝜎2 2) 2.2 KIỂM ĐỊNH GIẢ THUYẾT VỀ HAI KỲ VỌNG CỦA BIẾN NGẪU NHIÊN PHÂN PHỐI CHUẨN. 𝐻0:𝜇1 = 𝜇2 ,𝐻1:𝜇1 > 𝜇2 Miền bác bỏ 𝑊𝛼 = 𝑢𝛼 , +∞ = 𝑢0,05 , +∞ = (1,64, +∞) 𝑛1 = 5,𝑛2 = 6,𝜎1 2 = 𝜎2 2 = 0,16,𝑥 = 3,3,𝑦 = 2,5 𝐺𝑞𝑠 = 𝑥 − 𝑦 𝜎1 2 𝑛1 + 𝜎2 2 𝑛2 = 3,3 − 2,5 0,16 5 + 0,16 6 = 3,3 ∈ 𝑊𝛼 Bác bỏ 𝐻0, thừa nhận 𝐻1 tức là phương án sx 1 có mức tiêu hao nguyên liện lớn hơn phương án 2. 2.2 KIỂM ĐỊNH GIẢ THUYẾT VỀ HAI KỲ VỌNG CỦA BIẾN NGẪU NHIÊN PHÂN PHỐI CHUẨN. b, Chưa biết các phương sai nhưng giả sử: 𝜎1 2 = 𝜎2 2. 𝐺 = 𝑋 − 𝑌 − (𝜇1 − 𝜇2) 𝐴 ~𝑇(𝑛1+𝑛2−2) với 𝐴 = 1 𝑛1 + 1 𝑛2 𝑛1 − 1 𝑆𝑋 2 + 𝑛2 − 1 𝑆𝑌 2 𝑛1 + 𝑛2 − 2 Nếu 𝐻0 đúng thì 𝐺 = 𝑇 = 𝑋 − 𝑌 𝐴 ~𝑇(𝑛1+𝑛2−2) Thực hiện tương tự như phần 2.1b ta có: 2.2 KIỂM ĐỊNH GIẢ THUYẾT VỀ HAI KỲ VỌNG CỦA BIẾN NGẪU NHIÊN PHÂN PHỐI CHUẨN. b, Chưa biết các phương sai nhưng giả sử: 𝜎1 2 = 𝜎2 2. Trường hợp 1: 𝐻0:𝜇1 = 𝜇2; 𝐻1: 𝜇1 > 𝜇2 𝑃(𝐺 ∈ 𝑊𝛼 /𝐻0) = 𝑃 𝐺 > 𝑡𝑎 (𝑛1+𝑛2−2) = 𝛼 Ta thu được miền bác bỏ bên phải là: 𝑊𝛼 = 𝐺 = 𝑋 − 𝑌 𝐴 𝑛:𝐺 > 𝑡𝑎 (𝑛1+𝑛2−2) = (𝑡𝑎 (𝑛1+𝑛2−2); +∞) 2.2 KIỂM ĐỊNH GIẢ THUYẾT VỀ HAI KỲ VỌNG CỦA BIẾN NGẪU NHIÊN PHÂN PHỐI CHUẨN. b, Chưa biết các phương sai nhưng giả sử: 𝜎1 2 = 𝜎2 2. Trường hợp 2: 𝐻0:𝜇1 = 𝜇2; 𝐻1: 𝜇1 < 𝜇2 𝑃(𝐺 ∈ 𝑊𝛼 /𝐻0) = 𝑃 𝐺 < 𝑡1−𝑎 (𝑛1+𝑛2−2) = 𝑃 𝐺 < −𝑡𝑎 (𝑛1+𝑛2−2) = 𝛼 Ta thu được miền bác bỏ bên trái là: 𝑊𝛼 = 𝐺 = 𝑋 − 𝑌 𝐴 𝑛:𝐺 < −𝑡𝑎 (𝑛1+𝑛2−2) = (−∞;−𝑡𝑎 (𝑛1+𝑛2−2)) 2.2 KIỂM ĐỊNH GIẢ THUYẾT VỀ HAI KỲ VỌNG CỦA BIẾN NGẪU NHIÊN PHÂN PHỐI CHUẨN. b, Chưa biết các phương sai nhưng giả sử: 𝜎1 2 = 𝜎2 2. Trường hợp 3: 𝐻0:𝜇1 = 𝜇2; 𝐻1: 𝜇1 ≠ 𝜇2 𝑃(𝐺 ∈ 𝑊𝛼 /𝐻0) = 𝑃 𝐺 > 𝑡𝑎/2 (𝑛1+𝑛2−2) = 𝛼 Ta thu được miền bác bỏ hai phía là: 𝑊𝛼 = 𝐺 = 𝑋 − 𝑌 𝐴 𝑛: 𝐺 > 𝑡𝑎/2 (𝑛1+𝑛2−2) = −∞;−𝑡𝑎/2 (𝑛1+𝑛2−2) ∪ (𝑡𝑎/2 (𝑛1+𝑛2−2); +∞) 2.2 KIỂM ĐỊNH GIẢ THUYẾT VỀ HAI KỲ VỌNG CỦA BIẾN NGẪU NHIÊN PHÂN PHỐI CHUẨN. b, Chưa biết các phương sai nhưng giả sử: 𝜎1 2 = 𝜎2 2. Từ các mẫu cụ thể 𝑤𝑋 = 𝑥1 ,𝑥2 , , 𝑥𝑛 ,𝑤𝑌 = (𝑦1 ,𝑦2 , ,𝑦𝑛) ta tính giá trị quan sát của tiêu chuẩn kiểm định: 𝐺𝑞𝑠 = 𝑥 − 𝑦 𝐴 Và so sánh 𝐺𝑞𝑠 với 𝑊𝛼 để đưa ra kết luận: - Nếu 𝐺𝑞𝑠 ∈ 𝑊𝛼 thì bác bỏ 𝐻0 thừa nhận 𝐻1. Nếu 𝐺𝑞𝑠 ∉ 𝑊𝛼 thì chưa có cơ sở bác bỏ 𝐻0. 2.2 KIỂM ĐỊNH GIẢ THUYẾT VỀ HAI KỲ VỌNG CỦA BIẾN NGẪU NHIÊN PHÂN PHỐI CHUẨN. b, Chưa biết các phương sai nhưng giả sử: 𝜎1 2 = 𝜎2 2. Ví dụ Một nghiên cứu được thực hiện đối với 20 một phường và 19 người ở phường khác trong thành phố để xen thu nhập bình quân(tính bằng triệu đồng) của dân cư hai phường đó có thực sự khác nhau hay không. Các số liệu mẫu như sau: 𝑛1 = 20,𝑥 = 18,27, 𝑠𝑥 2 = 8,74,𝑛2 = 19,𝑦 = 16,78, 𝑠𝑦 2 = 6,58 Với mức ý nghĩa α = 0,05 có thể cho rằng thu nhập trung bình của dân cư hai phường đó có khác nhau hay không? Giả sử thu nhập hàng năm của dân cư hai phường là các biến ngẫu nhiên có phân phối chuẩn với cùng phương sai. 2.2 KIỂM ĐỊNH GIẢ THUYẾT VỀ HAI KỲ VỌNG CỦA BIẾN NGẪU NHIÊN PHÂN PHỐI CHUẨN. b, Chưa biết các phương sai nhưng giả sử: 𝜎1 2 = 𝜎2 2. Giải Gọi 𝑋 là thu nhập của một người dân ở phường 1 𝐸𝑋 = 𝜇1 là thu nhập TB của một người dân ở phường 1 𝑋~𝑁(𝜇1,𝜎1 2) Gọi 𝑌 là thu nhập của một người dân ở phường 2 𝐸𝑌 = 𝜇2 là thu nhập TB của một người dân ở phường 2 𝑌~𝑁(𝜇2 ,𝜎2 2) 𝐻0:𝜇1 = 𝜇2 ,𝐻1:𝜇1 ≠ 𝜇2 2.2 KIỂM ĐỊNH GIẢ THUYẾT VỀ HAI KỲ VỌNG CỦA BIẾN NGẪU NHIÊN PHÂN PHỐI CHUẨN. b, Chưa biết các phương sai nhưng giả sử: 𝜎1 2 = 𝜎2 2. Miền bác bỏ 𝑊𝛼 = −∞,−𝑢𝛼 2 ∪ 𝑢𝛼 2 , +∞ = −∞,−𝑢0,025 ∪ 𝑢0,025 , +∞ 𝑊𝛼 = ((−∞,−1,96) ∪ 1,96, +∞ 𝑛1 = 20, 𝑥 = 18,27, 𝑠𝑥 2 = 8,74,𝑛2 = 19,𝑦 = 16,78, 𝑠𝑦 2 = 6,58 𝐺𝑞𝑠 = 𝑥 − 𝑦 𝐴 = 𝑥 − 𝑦 𝑛1 − 1 𝑠𝑥 2 + 𝑛2 − 1 𝑠𝑦 2 𝑛1 + 𝑛2 − 2 1 𝑛1 + 1 𝑛2 = 3,3 ∈ 𝑊𝛼 Bác bỏ 𝐻0, thừa nhận 𝐻1 tức là phương án sx 1 có mức tiêu hao nguyên liện lớn hơn phương án 2. 2.3 KIỂM ĐỊNH GIẢ THUYẾT VỀ TỈ LỆ P CỦA PHÂN PHỐI KHÔNG-MỘT. Giả sử trong tổng thể , biến ngẫu nhiên gốc X tuân theo quy luật không-một 𝑃 𝑋 = 1 = 𝑝,𝑃 𝑋 = 0 = 1 − 𝑝 = 𝑞 Nếu p chưa biết nhưng có cơ sở giả thuyết rằng giá trị của nó bằng 𝑝0 thì ta đưa ra giả thuyết: 𝐻0:𝑝 = 𝑝0 Từ tổng thể lập mẫu ngẫu nhiên kích thước n: 𝑊𝑛 = (𝑋1 ,𝑋2 , ,𝑋𝑛), 𝑋 = 1 𝑛 𝑋𝑖 𝑛 𝑖=1 = 𝑓 Khi n lớn và p không quá nhỏ thì 𝑈 = (𝑓 − 𝑝) 𝑝𝑞 𝑛~𝑁(0,1) 2.3 KIỂM ĐỊNH GIẢ THUYẾT VỀ TỈ LỆ P CỦA PHÂN PHỐI KHÔNG-MỘT. Chọn thống kê 𝐺 = 𝑓 − 𝑝0 𝑝0𝑞0 𝑛 Nếu 𝐻0 đúng thì: 𝐺 = 𝑈 = 𝑓 − 𝑝 𝑝𝑞 𝑛~𝑁(0,1) Do vậy, áp dụng tương tự như trường hợp 2.1a ta có: 2.3 KIỂM ĐỊNH GIẢ THUYẾT VỀ TỈ LỆ P CỦA PHÂN PHỐI KHÔNG-MỘT. Trường hơp 1: 𝐻0:𝑝 = 𝑝0 ;𝐻1: 𝑝 > 𝑝0 𝑃(𝐺 ∈ 𝑊𝛼 /𝐻0) = 𝑃 𝐺 > 𝑢𝛼 = 𝛼 Ta thu được miền bác bỏ bên phải là: 𝑊𝛼 = 𝐺 = (𝑓 − 𝑝0) 𝑝0𝑞0 𝑛:𝐺 > 𝑢𝛼 = (𝑢𝛼 ; +∞) 2.3 KIỂM ĐỊNH GIẢ THUYẾT VỀ TỈ LỆ P CỦA PHÂN PHỐI KHÔNG-MỘT. Trường hơp 2: 𝐻0:𝑝 = 𝑝0 ;𝐻1: 𝑝 < 𝑝0 𝑃(𝐺 ∈ 𝑊𝛼 /𝐻0) = 𝑃 𝐺 < 𝑢1−𝛼 = 𝑃 𝐺 < −𝑢𝛼 = 𝛼 Ta thu được miền bác bỏ bên trái là: 𝑊𝛼 = 𝐺 = 𝑓 − 𝑝0 𝑝0𝑞0 𝑛:𝐺 < −𝑢𝛼 = (−∞;−𝑢𝛼) 2.3 KIỂM ĐỊNH GIẢ THUYẾT VỀ TỈ LỆ P CỦA PHÂN PHỐI KHÔNG-MỘT. Trường hơp 3: 𝐻0:𝑝 = 𝑝0 ;𝐻1:𝑝 ≠ 𝑝0 𝑃(𝐺 ∈ 𝑊𝛼 /𝐻0) = 𝑃 𝐺 > 𝑢𝛼/2 = 𝛼 Ta có miền bác bỏ hai phía: 𝑊𝛼 = 𝐺 = 𝑓 − 𝑝0 𝑝0𝑞0 𝑛: 𝐺 > 𝑢𝛼/2 = (−∞;−𝑢𝛼/2) ∪ (𝑢𝛼/2; +∞) 2.3 KIỂM ĐỊNH GIẢ THUYẾT VỀ TỈ LỆ P CỦA PHÂN PHỐI KHÔNG-MỘT. Từ một mẫu cụ thể 𝑤 = (𝑥1 ,𝑥2 , ,𝑥𝑛) ta tính giá trị quan sát của tiêu chuẩn kiểm định: 𝐺𝑞𝑠 = 𝑓 − 𝑝0 𝑝0𝑞0 𝑛 Và so sánh 𝐺𝑞𝑠 với 𝑊𝛼 để đưa ra kết luận: - Nếu 𝐺𝑞𝑠 ∈ 𝑊𝛼 thì bác bỏ 𝐻0 thừa nhận 𝐻1. Nếu 𝐺𝑞𝑠 ∉ 𝑊𝛼 thì chưa có cơ sở bác bỏ 𝐻0. 2.3 KIỂM ĐỊNH GIẢ THUYẾT VỀ TỈ LỆ P CỦA PHÂN PHỐI KHÔNG-MỘT. Ví dụ Tỉ lệ khách hàng dùng một loại sản phẩm ở địa phương A là 60%. Sau một chiến d ịch quảng cáo, người ta muốn đánh giá xem chiến d ịch quảng cáo này liệu có thực sự mang lại hiệu quả hay không. Để làm điều đó, người ta phỏng vấn ngẫu nhiên 400 khách hàng thì thấy có 250 người dùng loại sản phẩm nói trên. Với mức ý nghĩa 0,05 hãy kết luận về chiến d ịch quảng cáo. Giải. Chọn nn 1 khách hàng sau quảng cáo và gọi X là số người dùng sp A chọn được. P(X=1) = p là tỉ lệ khách hàng dùng sp A sau quảng cáo 𝐻0:𝑝 = 0,6;𝐻1:𝑝 > 0,6 Suy ra miền bác bỏ: 𝑊𝛼 = 𝑢0,05 ; +∞ = (1,65; +∞) 𝐺𝑞𝑠 = 250 400 − 0,6 0,6(1 − 0,6) 400 = 0,258 ∉ 𝑊𝛼 2.4 KIỂM ĐỊNH GIẢ THUYẾT VỀ HAI TỈ LỆ CỦA HAI BIẾN NGẪU NHIÊN CÓ PHÂN PHỐI KHÔNG-MỘT. Giả sử ta xét một lúc hai tổng thể . Ở tổng thể thứ nhất ta xét biến ngẫu nhiên gốc 𝑋 tuân theo quy luật không-một với 𝑃 𝑋 = 1 = 𝑝1 ,𝑃 𝑋 = 0 = 1 − 𝑝1 = 𝑞1 ở tổng thể thứ hai ta xét biến ngẫu nhiên gốc 𝑌 tuân theo quy luật không-một với 𝑃 𝑌 = 1 = 𝑝2 ,𝑃 𝑋 = 0 = 1 − 𝑝2 = 𝑞2 Với 𝑝1 và 𝑝2 chưa biết. Nếu có cơ sở cho rằng chúng bằng nhau thì ta giả thuyết : 𝐻0:𝑝1 = 𝑝2 = 𝑝 2.4 KIỂM ĐỊNH GIẢ THUYẾT VỀ HAI TỈ LỆ CỦA HAI BIẾN NGẪU NHIÊN CÓ PHÂN PHỐI KHÔNG-MỘT. Từ hai tổng thể nói trên rút ra hai mẫu ngẫu nhiên độc lập có kích thước tương ứng 𝑛1 và 𝑛2: 𝑊𝑋 = (𝑋1 ,𝑋2 , ,𝑋𝑛1 ) 𝑊𝑌 = (𝑌1 ,𝑌2 , ,𝑌𝑛2 ) với 𝑋 = 1 𝑛1 𝑋𝑖 𝑛1 𝑖=1 = 𝑚1 𝑛1 = 𝑓1 , 𝑌 = 1 𝑛2 𝑌𝑖 𝑛2 𝑖=1 = 𝑚2 𝑛2 = 𝑓2 Ta chon thống kê 𝐺 = 𝑓1 − 𝑓2 − (𝑝1 − 𝑝2) 𝑝1𝑞1 𝑛1 + 𝑝2𝑞2 𝑛2 ~𝑁(0,1) 2.4 KIỂM ĐỊNH GIẢ THUYẾT VỀ HAI TỈ LỆ CỦA HAI BIẾN NGẪU NHIÊN CÓ PHÂN PHỐI KHÔNG-MỘT. Nếu 𝐻0 đúng thì: 𝐺 = 𝑈 = 𝑓1 − 𝑓2 𝑝𝑞 𝑛1 + 𝑝𝑞 𝑛2 = 𝑓1 − 𝑓2 𝑝𝑞 1 𝑛1 + 1 𝑛2 ~𝑁(0,1) Do p chưa biết nên khi n lớn thay nó bởi: 𝑝 ≈ 𝑓 = 𝑛1𝑓1 + 𝑛2𝑓2 𝑛1 + 𝑛2 = 𝑚1 + 𝑚2 𝑛1 + 𝑛2 Như vậy ta có tiêu chuẩn kiểm định 𝐺 = 𝑈 = 𝑓1 − 𝑓2 𝑓 (1 − 𝑓 ) 1 𝑛1 + 1 𝑛2 ~𝑁(0,1) Do vậy, áp dụng tương tự như trường hợp 2.1a ta có: 2.4 KIỂM ĐỊNH GIẢ THUYẾT VỀ HAI TỈ LỆ CỦA HAI BIẾN NGẪU NHIÊN CÓ PHÂN PHỐI KHÔNG-MỘT. Trường hơp 1: 𝐻0:𝑝1 = 𝑝2 ;𝐻1: 𝑝1 > 𝑝2 𝑃(𝐺 ∈ 𝑊𝛼 /𝐻0) = 𝑃 𝐺 > 𝑢𝛼 = 𝛼 Ta thu được miền bác bỏ bên phải là: 𝑊𝛼 = 𝐺 = 𝑓1 − 𝑓2 𝑓 (1 − 𝑓 ) 1 𝑛1 + 1 𝑛2 :𝐺 > 𝑢𝛼 = (𝑢𝛼 ; +∞) 2.4 KIỂM ĐỊNH GIẢ THUYẾT VỀ HAI TỈ LỆ CỦA HAI BIẾN NGẪU NHIÊN CÓ PHÂN PHỐI KHÔNG-MỘT. Trường hơp 2: 𝐻0:𝑝1 = 𝑝2 ;𝐻1: 𝑝1 < 𝑝2 𝑃(𝐺 ∈ 𝑊𝛼 /𝐻0) = 𝑃 𝐺 < 𝑢1−𝛼 = 𝑃 𝐺 < −𝑢𝛼 = 𝛼 Ta thu được miền bác bỏ bên trái là: 𝑊𝛼 = 𝐺 = 𝑓1 − 𝑓2 𝑓 (1 − 𝑓 ) 1 𝑛1 + 1 𝑛2 :𝐺 < −𝑢𝛼 = (−∞;−𝑢𝛼) 2.4 KIỂM ĐỊNH GIẢ THUYẾT VỀ HAI TỈ LỆ CỦA HAI BIẾN NGẪU NHIÊN CÓ PHÂN PHỐI KHÔNG-MỘT. Trường hơp 3: 𝐻0:𝑝1 = 𝑝2 ;𝐻1: 𝑝1 ≠ 𝑝2 𝑃(𝐺 ∈ 𝑊𝛼 /𝐻0) = 𝑃 𝐺 > 𝑢𝛼/2 = 𝛼 Ta có miền bác bỏ hai phía: 𝑊𝛼 = 𝐺 = 𝑓1 − 𝑓2 𝑓 (1 − 𝑓 ) 1 𝑛1 + 1 𝑛2 : 𝐺 > 𝑢𝛼/2 = (−∞;−𝑢𝛼/2) ∪ (𝑢𝛼/2; +∞) 2.4 KIỂM ĐỊNH GIẢ THUYẾT VỀ HAI TỈ LỆ CỦA HAI BIẾN NGẪU NHIÊN CÓ PHÂN PHỐI KHÔNG-MỘT. Từ các mẫu cụ thể 𝑤𝑋 = 𝑥1 ,𝑥2 , , 𝑥𝑛 ,𝑤𝑌 = (𝑦1 ,𝑦2 , ,𝑦𝑛) ta tính giá trị quan sát của tiêu chuẩn kiểm định: 𝐺𝑞𝑠 = 𝑓1 − 𝑓2 𝑓 (1 − 𝑓 ) 1 𝑛1 + 1 𝑛2 Và so sánh 𝐺𝑞𝑠 với 𝑊𝛼 để đưa ra kết luận: - Nếu 𝐺𝑞𝑠 ∈ 𝑊𝛼 thì bác bỏ 𝐻0 thừa nhận 𝐻1. - Nếu 𝐺𝑞𝑠 ∉ 𝑊𝛼 thì chưa có cơ sở bác bỏ 𝐻0. 2.4 KIỂM ĐỊNH GIẢ THUYẾT VỀ HAI TỈ LỆ CỦA HAI BIẾN NGẪU NHIÊN CÓ PHÂN PHỐI KHÔNG-MỘT. Ví dụ: Kiểm tra ngẫu nhiên các sản phẩm cùng loại do hai nhà máy sản suất thu được số liệu sau: Nhà máy Số sản phẩm đươch kiểm tra Số phế phẩm A 𝑛1 = 1000 𝑥1 = 20 B 𝑛2 = 900 𝑥2 = 30 Với mức ý nghĩa α = 0,05 có thể coi tỉ lệ phế phẩm của hai nhà máy là như nhau được hay không? 2.4 KIỂM ĐỊNH GIẢ THUYẾT VỀ HAI TỈ LỆ CỦA HAI BIẾN NGẪU NHIÊN CÓ PHÂN PHỐI KHÔNG-MỘT. Giải Chọn nn 1 sp của nhà máy A là gọi 𝑋 là số phế phẩm chọn được. 𝑋~𝐴(𝑝1) 𝑝1 là tỉ lệ phế phẩm của nhà máy A Chọn nn 1 sp của nhà máy B là gọi 𝑌 là số phế phẩm chọn được. 𝑌~𝐴(𝑝2) 𝑝2 là tỉ lệ phế phẩm của nhà máy B 𝐻0 : 𝑝1 = 𝑝2,𝐻1 : 𝑝1 ≠ 𝑝2 𝑊𝛼 = −∞;−𝑢𝛼 2 ∪ 𝑢𝛼 2 , +∞ = −∞;−1,96 ∪ (1,96; +∞) 2.4 KIỂM ĐỊNH GIẢ THUYẾT VỀ HAI TỈ LỆ CỦA HAI BIẾN NGẪU NHIÊN CÓ PHÂN PHỐI KHÔNG-MỘT. 𝑛1 = 1000,𝑚1 = 20,𝑛2 = 900,𝑚2 = 30, 𝑓1 = 20 1000 , 𝑓2 = 30 900 𝑓 = 20 + 30 1000 + 900 𝐺𝑞𝑠 = 𝑓1 − 𝑓2 𝑓 (1 − 𝑓 ) 1 𝑛1 + 1 𝑛2 Và so sánh 𝐺𝑞𝑠 với 𝑊𝛼 để đưa ra kết luận: - Nếu 𝐺𝑞𝑠 ∈ 𝑊𝛼 thì bác bỏ 𝐻0 thừa nhận 𝐻1. - Nếu 𝐺𝑞𝑠 ∉ 𝑊𝛼 thì chưa có cơ sở bác bỏ 𝐻0. 2.5 KIỂM ĐỊNH VỀ PHƯƠNG SAI CỦA BIẾN NGẪU NHIÊN PHÂN PHỐI CHUẨN. Giả sử trong tổng thể xét biến ngẫu nhiên gốc 𝑋~𝑁(𝜇,𝜎2) nhưng chưa biết phương sai 𝜎2 của nó nhưng có cơ sở cho rằng nó nhân giá trị bằng nào đó. Do vậy có thể đưa ra giả thuyết 𝐻0:𝜎 2 = 𝜎0 2 Để kiểm định, từ tổng thể ta lập mẫu: 𝑊 = (𝑋1 ,𝑋2 , ,𝑋𝑛) Chon thống kê 𝐺 = 𝜒2 = 𝑛 − 1 𝑆2 𝜎0 2 2.5 KIỂM ĐỊNH VỀ PHƯƠNG SAI CỦA BIẾN NGẪU NHIÊN PHÂN PHỐI CHUẨN. Nếu 𝐻0 đúng thì 𝐺 = 𝜒2 = 𝑛 − 1 𝑆2 𝜎0 2 = 𝑛 − 1 𝑆2 𝜎2 ~𝜒(𝑛−1) 2 Với 𝛼 cho trước có thể tìm được cặp giá trị 𝛼1 ,𝛼2 sao cho 𝛼1 + 𝛼2 = 𝛼 và từ đó tìm được hai giá trị tới hạn khi bình phương tương ứng là 𝜒1−𝛼1 2(𝑛−1) ,𝜒𝛼2 2(𝑛−1) thỏa mãn điều kiện 𝑃 𝐺 < 𝜒1−𝛼1 2 𝑛−1 = 𝛼1 𝑃 𝐺 > 𝜒𝛼2 2 𝑛−1 = 𝛼2 2.5 KIỂM ĐỊNH VỀ PHƯƠNG SAI CỦA BIẾN NGẪU NHIÊN PHÂN PHỐI CHUẨN. Trường hợp 1: 𝐻0:𝜎 2 = 𝜎0 2 ,𝐻1:𝜎 2 > 𝜎0 2 𝑃(𝐺 ∈ 𝑊𝛼 /𝐻0) = 𝑃 𝐺 > 𝜒𝛼 2 𝑛−1 = 𝛼 Nên ta có miền bác bỏ : 𝑊𝛼 = 𝐺 = 𝑛 − 1 𝑆2 𝜎0 2 :𝐺 > 𝜒𝛼 2 𝑛−1 = (𝜒𝛼 2 𝑛−1 ; +∞) 2.5 KIỂM ĐỊNH VỀ PHƯƠNG SAI CỦA BIẾN NGẪU NHIÊN PHÂN PHỐI CHUẨN. Trường hợp 2: 𝐻0:𝜎 2 = 𝜎0 2 ,𝐻1:𝜎 2 < 𝜎0 2 𝑃(𝐺 ∈ 𝑊𝛼 /𝐻0) = 𝑃 𝐺 < 𝜒𝛼 2 𝑛−1 = 𝛼 Nên ta có miền bác bỏ : 𝑊𝛼 = 𝐺 = 𝑛 − 1 𝑆2 𝜎0 2 :𝐺 < 𝜒1−𝛼 2 𝑛−1 = (0;𝜒1−𝛼 2 𝑛−1 ) 2.5 KIỂM ĐỊNH VỀ PHƯƠNG SAI CỦA BIẾN NGẪU NHIÊN PHÂN PHỐI CHUẨN. Trường hợp 3: 𝐻0:𝜎 2 = 𝜎0 2 ,𝐻1:𝜎 2 ≠ 𝜎0 2 𝑃(𝐺 ∈ 𝑊𝛼 /𝐻0) = 𝑃 (𝐺 < 𝜒1−𝛼2 2 𝑛−1 ) + ( 𝐺 > 𝜒𝛼 2 2 𝑛−1 ) = 𝛼 Nên ta có miền bác bỏ : 𝑊𝛼 = 𝐺 = 𝑛 − 1 𝑆2 𝜎0 2 :𝐺 < 𝜒1−𝛼2 2 𝑛−1 𝑜𝑟 𝐺 > 𝜒𝛼 2 2 𝑛−1 = 0;𝜒 1− 𝛼 2 2 𝑛−1 ∪ 𝜒𝛼 2 2 𝑛−1 ; +∞ 2.5 KIỂM ĐỊNH VỀ PHƯƠNG SAI CỦA BIẾN NGẪU NHIÊN PHÂN PHỐI CHUẨN. α Bác bỏThừa nhận 2.5 KIỂM ĐỊNH VỀ PHƯƠNG SAI CỦA BIẾN NGẪU NHIÊN PHÂN PHỐI CHUẨN. Bác bỏ Thừa nhận α 2.5 KIỂM ĐỊNH VỀ PHƯƠNG SAI CỦA BIẾN NGẪU NHIÊN PHÂN PHỐI CHUẨN. Bác bỏ Thừa nhận α/2 Bác bỏ α/2 2.5 KIỂM ĐỊNH VỀ PHƯƠNG SAI CỦA BIẾN NGẪU NHIÊN PHÂN PHỐI CHUẨN. Ví dụ: Để kiểm tra độ chính xác của một nhà máy người ta đo ngẫu nhiên kích thước của 15 chi tiết do máy đó sản xuất và tính được 𝑠2 = 14,6. Với mức ý nghĩa α = 0,01 hãy kết luận máy móc có hoạt động có bình thường không, biết rằng kích thước chi tiết là biến ngẫu nhiên phân phối chuẩn có dung sai theo thiết kế là 𝜎0 2 = 12.