Bài giảng Toán Kỹ Thuật - Chương 2 Tích phân Fourier & biến đổi Fourier (2)

Chương 2 Tích phân Fourier & biến đổi Fourier Bài giảng Toán Kỹ Thuật 2012  2.1 Tích phân Fourier  2.2 Phép biến đổi Fourier  2.3 Ứng dụng của tích phân Fourier và biến đổi Fourier  2.4 Các hàm bất thường và biến đổi Fourier của chúng 1 Bài giảng Toán Kỹ Thuật 2012 2 Tích phân Fourier dạng chuẩn 1( ) ( ) cos( )A f t t dtω ω π +∞ −∞ = ∫  Nếu định nghĩa Thì tích phân Fourier dạng chuẩn là 1( ) ( )sin( )B f t t dtω ω π +∞ −∞ = ∫ [ ] 0 ( ) ( ) cos( ) ( )sin( )f t A t B t dω ω ω ω ω +∞ = +∫ Bài giảng Toán Kỹ Thuật 2012 3 Tích phân Fourier mũ phức ωω ω +∞ −∞ = ∫( ) ( ) j tf t D e d ωω π +∞ − −∞ = ∫ 1( ) ( ) 2 j tD f t e dt Miền t: f(t) Miền ω: F(ω)   -1 ( ) 2 ( )F Dω π ω= 42.2 Biến đổi Fourier Bài giảng Toán Kỹ Thuật 2012  Cặp biến đổi Fourier  Biến đổi thuận  Biến đổi ngược { } ωω ω ω π +∞ − −∞ = = ∫ j tf t F F e d1 1( ) ( ) ( ) 2  { } ωω +∞ − −∞ = = ∫ j tF f t f t e dt( ) ( ) ( ) ( ) ( )f t F ω↔ Ví dụ Bài giảng Toán Kỹ Thuật 2012 5 Tìm biến đổi Fourier phức của hàm ate ( 0) f(t) 0 0 ( 0) t a t − > = > < Giải  Dùng định nghĩa: ( jω)t jωt ( jω)t 0 0 F(ω) f(t).e ( jω) a a edt e dt a ∞+∞ +∞ − + − − + −∞ = = = − +∫ ∫ 1F(ω) a jω = + Ví dụ tìm biến đổi Fourier Bài giảng Toán Kỹ Thuật 2012 6 2 2 2F(ω) aω a = + e ( 0) f(t) 0 e ( 0) at at t a t−   > 2 2 2F(ω) aω jω− = + -e ( 0) f(t) 0 e ( 0) at at t a t−   > t ( )f t 1 1− 1 2 2(1 cos )F(ω) ω ω− = Tính chất của phép biến đổi Fourier  Tính tuyến tính ◦ Nếu ◦ Thì  Tính đối xứng (đối ngẫu thời gian-tần số) Bài giảng Toán Kỹ Thuật 2012 7 1 1 2 2( ) ( ) ; ( ) ( )f t F f t Fω ω↔ ↔ 1 1 2 2 1 1 2 2( ) ( ) ( ) ( )a f t a f t a F a Fω ω+ ↔ + 1 2( , :a a caùc haèng soá) ( ) (( ) 2 () )f t F tF fω π ω⇒ ↔ −↔ 1 2( ) ( ) j tf t F e dωπ ω ω +∞ −∞ = ∫ 12( ) ( ) j tf t F e dωπ ω ω +∞ − −∞ ⇒ − = ∫ 2 ( ) ( ) j tf F t e dtωπ ω +∞ − −∞ ⇒ − = ∫  Đổi thang thời gian (co giãn, đồng dạng) Bài giảng Toán Kỹ Thuật 2012 8 Tính chất của phép biến đổi Fourier 0 :a > ( )1 1( ) ( ) ( )aj xj t a a af at e dt f x e dx F ωω ω +∞ +∞ −− −∞ −∞ = =∫ ∫ 0 :a < ( )1 1( ) ( ) ( )aj xj t a a af at e dt f x e dx F ωω ω +∞ −∞ −− −−∞ +∞ = =∫ ∫ ⇒ 1( )f at F a a ω ↔     Bài giảng Toán Kỹ Thuật 2012 9 t ( )f t 1 1− 1 2 2(1 cos )F(ω) ω ω− = t 1( )f t 2 1− 1 2 ( )f t 1 2− 2 1 2 4(1 cos )F (ω) ω ω− = 2 2 (1 cos 2 )F (ω) ω ω− = 1( ) 2 ( )f t f t= ( )2 2( ) tf t f= Tính chất của phép biến đổi Fourier  Dịch chuyển trong miền thời gian (dời thời gian) Bài giảng Toán Kỹ Thuật 2012 10 Tính chất của phép biến đổi Fourier 1 0( ) ( )f t f t t= − 1 1 0( ) ( ) ( ) j t j tF f t e dt f t t e dtω ωω +∞ +∞− − −∞ −∞ → = = −∫ ∫ 0 0 0( ) 1( ) ( ) ( ) ( ) j x t j t j tj xF f x e dx e f x e dx e Fω ω ωωω ω +∞ +∞− + − −− −∞ −∞ ⇔ = = =∫ ∫ 0 0( ) ( ) j tf t t e Fω ω−− ↔  Dịch chuyển trong miền tần số (dời tần số, điều chế AM) 0 1( ) ( ) j tf t f t e ω= 0( ) 1 1 0( ) ( ) ( ) ( ) j tj tF f t e dt f t e dt Fω ωωω ω ω +∞ +∞ − −− −∞ −∞ ⇒ = = = −∫ ∫ 0 0( ) ( ) j tf t e Fω ω ω↔ −  Đạo hàm trong miền t Bài giảng Toán Kỹ Thuật 2012 11 Tính chất của phép biến đổi Fourier ( )1 12 2 ( )( ) ( ) ( )j t j tdf tf t F e d j F e d dt ω ω π πω ω ω ω ω +∞ +∞ −∞ −∞ = ⇒ =∫ ∫ ( ) ( ) ( ) n n n d f t j F dt ω ω↔  Tích phân trong miền t ( )( ) (0) ( ) t Ff d F j ωτ τ π δ ω ω−∞ ↔ +∫  Đạo hàm trong miền ω ( )( ) n n n n d Ft f t j d ω ω ↔  Định lý Parseval  Tích chập (convolution) Bài giảng Toán Kỹ Thuật 2012 12 Tính chất của phép biến đổi Fourier 22 1( ) ( ) 2 f t dt F dω ω π +∞ +∞ −∞ −∞ ↔∫ ∫ ( ) ( ) ; ( ) ( )f t F g t Gω ω↔ ↔ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )f t g t f g t d F Gτ τ τ ω ω +∞ −∞ ∗ = − ↔∫ 1 1( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 f t g t F G F x G x dxω ω ω π π +∞ −∞ ↔ ∗ = −∫  Hàm Dirac δ(t) Bài giảng Toán Kỹ Thuật 2012 13 τ t 1 τ ( )tδ  0 ( ) lim ( )t t τ δ δ∆→=  1 0 ( ) 0 t t otherwise τ δ τ  < <=      0 ( ) 0 0 t t t δ ∞ = =  ≠ ( ) 1t dtδ +∞ −∞ ⇒ =∫ t ( )tδ Biến đổi Fourier của một số hàm thông dụng Biến đổi Fourier của một số hàm thông dụng Bài giảng Toán Kỹ Thuật 2012 14  f(t)=δ(t): ( ) ( ) ( ) 1j tF t e dt t dtωω δ δ +∞ +∞− −∞ −∞ = = =∫ ∫ ( ) 1tδ ↔⇒ ( )tδ t 0 ω 0 ↔ 1 Biến đổi Fourier của một số hàm thông dụng Bài giảng Toán Kỹ Thuật 2012 15 2 ( )πδ ω ω 0 ↔ t 0 1  f(t)=1: ( ) 2 ( )F ω πδ ω= 1( ) 2 ( ) 1 2 j tf t e dωπδ ω ω π +∞ −∞ ⇒ = =∫ ⇒ 1 2 ( )πδ ω↔ Bài giảng Toán Kỹ Thuật 2012 16  f(t) xung cổng đơn vị: ( )e tr ct τ = 0 / 2 1 / 2 t t τ τ > < / 2 / 2/ 2 / 2 0 1( ) ( ) j j j t j t j tt e eF rect e dt e dt e j j ωτ ωττω ω ω τ τ ω ω ω +∞ −+∞ − − −∞ − − = = = − =∫ ∫ ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 sin2sin ( ) sin j F c j ωτ ωτ ωτ ωτω τ τω ⇔ = = = ⇒ ( ) ( )2sinrect ct ωτττ ↔ Biến đổi Fourier của một số hàm thông dụng t trect τ       1 2 τ − 2 τ ( )0 0 02sin ( )c t rect ω ω ω ω π ↔  Hàm bước (nấc) đơn vị : u(t) Bài giảng Toán Kỹ Thuật 2012 17 Biến đổi Fourier của một số hàm thông dụng 0 0 ( ) 1 0 t u t t < =  > t ( )u t 1 1( ) ( )u t j πδ ω ω ↔ + Bài giảng Toán Kỹ Thuật 2012 18 ( )ate u t− ( )u t t 0 1 2 20 0 0 1( ) lim ( ) lim limat j t a a a a jF e u t e dt a j a ω ωω ω ω +∞ − − −∞→ → → − ⇒ = = =  + + ∫ 0 ( ) lim ( )at a u t e u t− → = 2 20 1( ) lim a aF a j ω ω ω→ ⇒ = + + Diện tích bằng π 1( ) ( )F j ω πδ ω ω ⇒ = + ( ) ( ) 1/u t jπδ ω ω↔ +  Hàm dấu Bài giảng Toán Kỹ Thuật 2012 19 Biến đổi Fourier của một số hàm thông dụng 1 0 sgn( ) 1 0 t t t > = − < t sgn( )t 1 1−sgn( ) 2 ( ) 1t u t= − 2sgn( ) 2 ( ) 2 ( )t j πδ ω πδ ω ω ↔ + − 2sgn( )t jω ↔ Các cặp biến đổi Fourier Bài giảng Toán Kỹ Thuật 2012 20 f(t) F(ω) ( )tδ 1 1 2 ( )πδ ω u(t) 1( ) j πδ ω ω + sgn(t) 2 jω ( ) & ( ) ( 0)at ate u t e u t a− − > 1 1& a j a jω ω+ − ( 0)a te a− > 2 2 2 1 1a a a j a jω ω ω = + + − + Bài giảng Toán Kỹ Thuật 2012 21 Các cặp biến đổi Fourier f(t) F(ω) ( ) ( 0)atte u t a− > 2 1 ( )a jω+ ( ) ( 0)n att e u t a− > 1 ! ( )n n a jω ++ 0j te ω 02 ( )πδ ω ω− 0cos( )tω [ ]0 0( ) ( )π δ ω ω δ ω ω+ + − 0sin( )tω [ ]0 0( ) ( )jπ δ ω ω δ ω ω+ − − Bài giảng Toán Kỹ Thuật 2012 22 Các cặp biến đổi Fourier f(t) F(ω) 0cos( ). ( )t u tω [ ]0 0 2 2 0 ( ) ( ) 2 jπ ωδ ω ω δ ω ω ω ω + + − + − 0sin( ). ( )t u tω [ ] 00 0 2 2 0 ( ) ( ) 2 j ωπ δ ω ω δ ω ω ω ω + − − + − 0cos( ). ( ) ( 0) ate t u t a ω− > 2 2 0( ) a j a j ω ω ω + + + 0sin( ). ( ) ( 0) ate t u t a ω− > 0 2 2 0( )a j ω ω ω+ + Khảo sát mạch điện có thông số phụ thuộc ω  h(t) đáp ứng xung: đáp ứng với ngõ vào là δ(t) Bài giảng Toán Kỹ Thuật 2012 23 ( )h t( )f t ( )y t ( ) ( ) ( ) ( ) ( )y t f t h t f h t dτ τ τ +∞ −∞ = ∗ = −∫ Tích chập ( )H ω ( )F ω ( )Y ω ( ) ( ) ( )Y F Hω ω ω=  -1