Bài giảng Toán Kỹ Thuật - Chương 1 Chuỗi Fourier (1)

Phần 1: Giải tích Fourier Bài giảng Toán Kỹ Thuật 2012  Chương 0 : Ôn tập số phức  Chương 1 : Chuỗi Fourier  Chương 2 : Tích phân Fourier và biến đổi Fourier 1 Chương 1 Chuỗi Fourier Bài giảng Toán Kỹ Thuật 2012  1.1 Hàm tuần hoàn  1.2 Chuỗi Fourier của hàm tuần hoàn  1.3 Các công thức khác để tính các hệ số Fourier  1.4 Khai triển bán kỳ  1.5 Các dạng khác của chuỗi Fourier  1.6 Ứng dụng của chuỗi Fourier 2 1.1 Hàm tuần hoàn Bài giảng Toán Kỹ Thuật 2012  Định nghĩa 1.1 hàm f(t) gọi là tuần hoàn nếu và chỉ nếu tồn tại số dương T sao cho f(t+T) = f(t) với mọi t trong miền xác định của f(t)  T gọi là chu kỳ (chu kỳ cơ bàn )  Phân loại:  f(t) tuần hoàn sin  f(t) tuần hoàn không sin 3 Ví dụ Bài giảng Toán Kỹ Thuật 2012 4 Bài giảng Toán Kỹ Thuật 2012 5 1.2 Chuỗi Fourier của hàm tuần hoàn 0 0 0 1 ( ) ( cos sin ) 2 n nn af t a n t b n tω ω +∞ = = + +∑ Vôùi : n = 1,2 ω0 = 2π/T = taàn soá cô baûn a0, an , bn = caùc heä soá khai trieån chuỗi Fourier .  Chuỗi Fourier của haøm tuaàn hoaøn f(t) chu kyø T laø :  Giaù trò caùc tích phaân xaùc ñònh 2 2 0 0 2 2 2 0 0 2 2 0 0 2 2 0 0 2 cos( ) sin( ) 0 , cos( )sin( ) 0 , 0 cos( )cos( ) 2 0 sin( )sin( ) 2 T T T T T T T T T T m t n t dt m n m t n t dt m n m n m t n t dt T m n m n m t n t dt T m n ω ω ω ω ω ω ω ω − − − − − = = ∀ = ∀ ≠ =  = ≠ =  = ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ Caùc heä soá khai trieån Fourier Bài giảng Toán Kỹ Thuật 2012 6 20 2 2 ( ) T T a f t dt T − = ∫ 2 2 0 0 2 2 cos( ) sin( ) 0 , T T T T m t n t dt m nω ω − − = = ∀∫ ∫ Caùc heä soá khai trieån Fourier Bài giảng Toán Kỹ Thuật 2012 7 0 0 0 1 ( ) ( cos sin ) 2 n nn af t a n t b n tω ω +∞ = = + +∑ 20 2 2 ( ) cos( ) T n T a f t n t dt T ω − = ∫ Caùc heä soá khai trieån Fourier Bài giảng Toán Kỹ Thuật 2012 8 0 0 0 1 ( ) ( cos sin ) 2 n nn af t a n t b n tω ω +∞ = = + +∑ 2 0 0 2 2 0 0 2 cos( )sin( ) 0 , 0 cos( )cos( ) 2 T T T T m t n t dt m n m n m t n t dt T m n ω ω ω ω − − = ∀ ≠ =  = ∫ ∫ 20 2 2 ( )sin( ) T n T b f t n t dt T ω − = ∫ Caùc heä soá khai trieån Fourier Bài giảng Toán Kỹ Thuật 2012 9 0 0 0 1 ( ) ( cos sin ) 2 n nn af t a n t b n tω ω +∞ = = + +∑ 2 0 0 2 2 0 0 2 cos( )sin( ) 0 , 0 sin( )sin( ) 2 T T T T m t n t dt m n m n m t n t dt T m n ω ω ω ω − − = ∀ ≠ =  = ∫ ∫ Điều kiện tồn tại Bài giảng Toán Kỹ Thuật 2012 10  Định nghĩa 1.2: Một hàm f thỏa điều kiện Dirichlet trên một khoảng I nếu và chỉ nếu f bị chặn và cùng lắm là có một số hữu hạn điểm cực đại và cực tiểu và một số hữu hạn điểm gián đoạn trên I. a bt2t1 f(a+) f(t1-) f(t1+) f(t2-) f(t2+) f(b-) t f(t) ● nếu f liên tục tại t. ● nếu f gián đoạn tại t. Điều kiện tồn tại Bài giảng Toán Kỹ Thuật 2012 11  Định lý 1.1: (Định lý Dirichlet) Nếu hàm f tuần hoàn chu kỳ T và thỏa điều kiện Dirichlet trên một khoảng I Thì chuỗi Fourier của f hội tụ về : ( )f t 1 ( ) ( ) 2 k k f t f t+ − +  Ví dụ tìm chuỗi Fourier Bài giảng Toán Kỹ Thuật 2012 12 a) Xác định chuổi Fourier ? b) Kiểm lại dùng MATLAB ? Giải Chu kỳ và tần số cơ bản: Các hệ số chuổi Fourier: a0 = 2, Bài giảng Toán Kỹ Thuật 2012 13 pi = 3.14159; N = 100; T = 3; a0 = 1; w0 = 2*pi/T; t = linspace(0,2*T,600); for n=1:N a(n)= (3/(n*pi))*sin(4*n*pi/3); b(n)= (3/(n*pi))*(1 - cos(4*n*pi/3)); end for i=1:length(t) f(i) = a0; for n=1:length(a) f(i) = f(i) + a(n)*cos(n*w0*t(i)) + b(n)*sin(n*w0*t(i)); end end plot(t,f,'black'); xlabel('t(s)'); ylabel('f(t)'); Ví dụ tìm chuỗi Fourier Ví dụ tìm chuỗi Fourier Bài giảng Toán Kỹ Thuật 2012 14  Tìm chuỗi Fourier của các hàm sau 2 0 0 ) ( ) ; 2 sin 0 ) ( ) 4 2 2 ; 4 t a f t T t t b f t t t T π π π − ≤ ≤ = = ≤ ≤ = − − ≤ ≤ = 2 1 1 2 2 1 1 sin 2 cos 2) ( ) 2 4 1 8 16 ( 1)) ( ) cos 3 2 n n n t nta f t n n tb f t n π π π π +∞ = ++∞ = = + − − − = + ∑ ∑  Kết quả 1.3 Các công thức khác để tính các hệ số Fourier  Nếu f(t) gián đoạn tại tk thì Jk ≠ 0  Nếu f(t) liên tục tại tk thì Jk = 0 Bài giảng Toán Kỹ Thuật 2012 15 Bước nhảy của một hàm:  Định nghĩa : Bước nhảy của một hàm f tại tk là: Jk = f(tk +) – f(tk-) a bt2t1 f(a+) f(t1-) f(t1+) f(t2-) f(t2+) f(b-) t f(t) Hai công thức lặp để tính các hệ số Fourier Bài giảng Toán Kỹ Thuật 2012 16 Định lý 1.2: Nếu f là hàm tuần hoàn chu kỳ T, thỏa điều kiện Dirichlet va ̀ có m bước nhảy J1, J2, , Jm tại m điểm gián đoạn t1 < t2 < < tm trong một khoảng chu kỳ nửa hở [a, a + T) thì: ( n = 1, 2, ) ( bn’ = hệ sô ́ chuỗi Fourier của hàm f’) ' 0 10 1 1 sin( ) m n n k k k a b J n t n n ω ω π = − = − ∑ Hai công thức lặp để tính các hệ số Fourier Bài giảng Toán Kỹ Thuật 2012 17 Định lý 1.3: Nếu f là hàm tuần hoàn chu kỳ T, thỏa điều kiện Dirichlet va ̀ có m bước nhảy J1, J2, , Jm tại m điểm gián đoạn t1 < t2 < < tm trong một khoảng chu kỳ nửa hở [a, a + T) thì: ( n = 1, 2, ) ( an’ = hệ sô ́ chuỗi Fourier của hàm f’) ' 0 10 1 1 cos( ) m n n k k k b a J n t n n ω ω π = = + ∑ Ví dụ tìm khai triển Fourier dùng công thức lặp Bài giảng Toán Kỹ Thuật 2012 18 Xác định các hệ số chuỗi Fourier của hàm tuần hoàn mà định nghĩa trong 1 chu kỳ là 1 2 1 0 1 0 ( ) 1 0 1 0 1 2 t t f t t t − − < <  − < <=  < <  < < -2 -1 0 1 2 1 -1 f(t) t Ví dụ tìm khai triển Fourier dùng công thức lặp  Bảng các điểm gián đoạn tk và bước nhảy Jk Bài giảng Toán Kỹ Thuật 2012 19 -2 -1 0 1 2 1 -1 f(t) t -2 -1 0 1 2 f'(t) t k 1 2 3 4 tk -2 -1 0 1 Jk -1 1 1 -1  f’(t) = 0 ⇒ an’ =bn’=0 Ví dụ tìm khai triển Fourier dùng công thức lặp Bài giảng Toán Kỹ Thuật 2012 20 k 1 2 3 4 tk -2 -1 0 1 Jk -1 1 1 -1 ' 0 10 ' 0 10 ' ' 1 1 sin( ) 1 1 cos( ) 2 1 ( 2) ( 1) (0) (1)( 1)sin (1)sin (1)sin ( 1)sin 2 2 2 2 2 1 ( 2) ( 1) (0)( 1)cos (1)cos (1)cos ( 1)cos 2 2 2 m n n k k k m n n k k k n n n n a b J n t n n b a J n t n n n n n na b n n n n nb a n n ω ω π ω ω π π π π π π π π π π π π = = − = − = + − − − = − − + + + −   − − = + − + + + − ∑ ∑ (1) 2 nπ     Ví dụ tìm khai triển Fourier dùng công thức lặp Bài giảng Toán Kỹ Thuật 2012 21 2 sin ( 2 1) 2 2 ( 2 1) n n na n k n b n k n π π π = = + = = + Đối với a0 ta tính trực tiếp 1 1 0 2 0 1 ( 1) (1) 0 2 a dt dt − −   = − + =    ∫ ∫ Chuỗi Fourier của f(t) là : 1 2 1 2 1( ) sin cos sin 2 2 2n n k n n t n tf t n π π π π +∞ = = +  = +   ∑ Ví dụ tìm khai triển Fourier dùng công thức lặp Bài giảng Toán Kỹ Thuật 2012 22  Xác định f’(t), tk và Jk: Xác định các hệ số chuỗi Fourier dùng công thức lặp ? Giải 0 10 π 2π f(t) 0 T π 2π f’(t) 0 T t1 10 π 2π t2 f(t) tk t2 = πt1 = 0 Jk 10 – 10 Ví dụ tìm khai triển Fourier dùng công thức lặp Bài giảng Toán Kỹ Thuật 2012 23 Xác định các hệ số chuỗi Fourier dùng công thức lặp ? Giải 0 10 π 2π f(t)  Xác định các hệ số chuỗi Fourier: 0 0 1 ( ) 5 2 Ta f t dt T = =∫ 1 n nπa [10.sin(0) 10sin( )] 0nπ= − − = 1 20 (n:odd)n nπ nπb [10.cos(0) 10cos( )]nπ= − = Tốc độ tiến về 0 của các hệ số Fourier Bài giảng Toán Kỹ Thuật 2012 24  Định lý 1.4: 1. Khi n → ∞, các hệ số an và bn trong chuổi Fourier của hàm tuần hoàn f thỏa điều kiện Dirichlet tiến đến 0 ít nhất cũng nhanh như c/n, với c = hằng số không phụ thuộc n. 2. Nếu trong 1), f gián đoạn trong [a, a + T) thì an hoặc bn, và thường là cả hai, không thể → 0 nhanh hơn c/n. 3. Nếu f, f’, , f(k) thỏa điều kiện Dirichlet và liên tục khắp nơi thì an và bn → 0 ít nhất cũng nhanh như c/nk+2. 4. Nếu trong 3), f gián đoạn trong [a, a + T) thì an hoặc bn, và thường là cả hai, không thể → 0 nhanh hơn c/nk+2. Hàm càng trơn thì tốc độ hội tụ càng nhanh Đạo hàm và tích phân của chuỗi Fourier Bài giảng Toán Kỹ Thuật 2012 25  Định lý 1.5: Tích phân của một hàm f thỏa điều kiện Dirichlet có thể tìm bằng cách lấy tích phân của từng số hạng chuỗi Fourier của nó.  Định lý 1.6: Cho một hàm f tuần hoàn thỏa điều kiện Dirichlet và liên tục khắp nơi; nếu f’ cũng thỏa điều kiện Dirichlet; và nếu f’(t) tồn tại thì nó có thể tìm bằng cách lấy đạo hàm từng số hạng chuỗi Fourier của hàm f.