Bài giảng Toán cao cấp - Chương 5: Tích phân

10/13/2012 1 Ø Chương 5. Phép tính tích phân hàm một biến số §1. Tích phân bất định §2. Tích phân xác định §3. Ứng dụng của tích phân xác định §4. Tích phân suy rộng §1. TÍCH PHÂN BẤT ĐỊNH 1.1. Định nghĩa • Hàm số ( )F x được gọi là một nguyên hàm của ( )f x trên khoảng ( ; )a b nếu ( ) ( ), ( ; )F x f x x a b    . Ký hiệu ( )f x dx (đọc là tích phân). Nhận xét • Nếu ( )F x là nguyên hàm của ( )f x thì ( )F x C cũng là nguyên hàm của ( )f x . Ø Chương 5. Phép tính tích phân hàm một biến số Tính chất 1) . ( ) ( ) ,k f x dx k f x dx k   ¡ 2) ( ) ( )f x dx f x C   3) ( ) ( )d f x dx f x dx  4) [ ( ) ( )] ( ) ( )f x g x dx f x dx g x dx     . Ø Chương 5. Phép tính tích phân hàm một biến số MỘT SỐ NGUYÊN HÀM CẦN NHỚ 1) . , aa dx ax C   ¡ 2) 1 , 1 1 x x dx C         3) lndx x C x   ; 4) 2 dx x C x   5) x xe dx e C  ; 6) ln x x aa dx C a   7) cos sinxdx x C  ; 8) sin cosxdx x C  9) 2 tan cos dx x C x   ; 10) 2 cotsin dx x C x    Ø Chương 5. Phép tính tích phân hàm một biến số 11) 2 2 1 arctan dx x C a ax a     12) 2 2 arcsin , 0 dx x C a aa x      13) 2 2 1 ln 2 dx x a C a x ax a      14) ln tan sin 2 dx x C x   15) ln tan cos 2 4 dx x C x        16) 2 2 ln dx x x a C x a       Ø Chương 5. Phép tính tích phân hàm một biến số VD 1. Tính 24 dx I x    . A. 1 2ln 4 2 x I C x     ; B. 1 2ln 4 2 x I C x     ; C. 1 2ln 2 2 x I C x     ; D. 1 2ln 2 2 x I C x     . Giải. 2 2 1 2 ln . 4 22 dx x I C A xx          Ø Chương 5. Phép tính tích phân hàm một biến số Giải. Biến đổi: 2 1 1 1 1 1 ( 2)( 3) 5 3 26 x x x xx x             . Vậy 1 1 1 5 3 2 I dx x x          1 1 3ln 3 ln 2 ln 5 5 2 x x x C C x          . VD 2. Tính 2 6 dx I x x     . 10/13/2012 2 Ø Chương 5. Phép tính tích phân hàm một biến số 1.2. Phương pháp đổi biến a) Định lý Nếu ( ) ( )f x dx F x C  với ( )t khả vi thì: ( ( )) ( ) ( ( )) .f t t dt F t C     VD 3. Tính ln 1 dx I x x    . Giải. Đặt ln 1 2 ln 1 dx t x dt x x      . Vậy 2 2 2 ln 1I dt t C x C      . Ø Chương 5. Phép tính tích phân hàm một biến số VD 4. Tính 23 ln dx I x x    . Giải. Đặt ln dxt x dt x    2 ln arcsin arcsin 3 33 dt t x I C C t         . VD 5. Tính 3( 3) dx I x x    . Giải. Biến đổi 2 3 3( 3) x dx I x x    . Ø Chương 5. Phép tính tích phân hàm một biến số Đặt 3 23t x dt x dx   1 1 1 1 3 ( 3) 9 3 dt I dt t t t t            3 3 1 1 ln ln 9 3 9 3 t x C C t x       . Ø Chương 5. Phép tính tích phân hàm một biến số 1.3. Phương pháp từng phần a) Công thức ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )u x v x dx u x v x u x v x dx    hay .udv uv vdu   VD 6. Tính lnI x xdx  . Giải. Đặt 2ln , 2 u x dx x du v dv xdx x       21 1ln 2 2 I x x xdx    2 2 1 1 ln . 2 4 x x x C   Ø Chương 5. Phép tính tích phân hàm một biến số VD 7. Tính 2x x I dx  . Giải. Biến đổi .2 xI x dx  . Đặt 2, 2 ln 2 x x u x du dx v dv dx          .2 1 2 ln 2 ln 2 x xxI dx      2 .2 2 ln 2 ln 2 x xx C      . Ø Chương 5. Phép tính tích phân hàm một biến số VD 8. Tính 3 sincos xI xe dx  . Giải. Biến đổi 2 sin(1 sin ) cosxI x e x dx  . Đặt 2sin (1 ) tt x I t e dt    . Đặt 2 21 tt du tdtu t v edv e dt             Chú ý Đối với nhiều tích phân khó thì ta phải đổi biến trước khi lấy từng phần. 10/13/2012 3 Ø Chương 5. Phép tính tích phân hàm một biến số 2(1 ) 2t tI e t te dt     2(1 ) 2 ( )t te t t de    2(1 ) 2 2t t te t te e dt     2 sin 2( 1) (sin 1)t xe t C e x C        . Ø Chương 5. Phép tính tích phân hàm một biến số b) Các dạng tích phân từng phần thường gặp • Đối với dạng tích phân ( ) xP x e dx , ta đặt: ( ), .xu P x dv e dx  • Đối với dạng tích phân ( )lnP x x dx , ta đặt: ln , ( ) .u x dv P x dx  Ø Chương 5. Phép tính tích phân hàm một biến số 0 1 1... n nx a x x x b      . Lấy điểm 1[ ; ]k k kx x  tùy ý ( 1,k n ). Lập tổng tích phân: 1 1 ( )( ) n k k k k f x x       . §2. TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH 2.1. Định nghĩa. Cho hàm số ( )f x xác định trên [ ; ]a b . Ta chia đoạn [ ; ]a b thành n đoạn nhỏ bởi các điểm chia Ký hiệu là ( ) . b a I f x dx  Giới hạn hữu hạn (nếu có) 1max( ) 0 lim k kk x x I     được gọi là tích phân xác định của ( )f x trên đoạn [ ; ]a b . Ø Chương 5. Phép tính tích phân hàm một biến số Tính chất 1) . ( ) ( ) , b b a a k f x dx k f x dx k   ¡ 2) [ ( ) ( )] ( ) ( ) b b b a a a f x g x dx f x dx g x dx     3) ( ) 0; ( ) ( ) a b a a a b f x dx f x dx f x dx     4) ( ) ( ) ( ) , [ ; ] b c b a a c f x dx f x dx f x dx c a b     5) ( ) 0, [ ; ] ( ) 0 b a f x x a b f x dx     Ø Chương 5. Phép tính tích phân hàm một biến số 6) ( ) ( ), [ ; ] ( ) ( ) b b a a f x g x x a b f x dx g x dx      7) ( ) ( ) b b a a a b f x dx f x dx    8) ( ) , [ ; ]m f x M x a b    ( ) ( ) ( ) b a m b a f x dx M b a     9) Nếu ( )f x liên tục trên đoạn [ ; ]a b thì [ ; ] : ( ) ( )( ) b a c a b f x dx f c b a    . Ø Chương 5. Phép tính tích phân hàm một biến số 2.2. Công thức Newton – Leibnitz Nếu ( )f x liên tục trên [ ; ]a b và ( )F x là một nguyên hàm tùy ý của ( )f x thì: ( ) ( ) ( ) ( ). b b a a f x dx F x F b F a   10/13/2012 4 Ø Chương 5. Phép tính tích phân hàm một biến số Nhận xét 1) Có hai phương pháp tính tích phân như §1. 2) Hàm số ( )f x liên tục và lẻ trên [ ; ]  thì: ( ) 0f x dx    . 3) Hàm số ( )f x liên tục và chẵn trên [ ; ]  thì: 0 ( ) 2 ( )f x dx f x dx      . Ø Chương 5. Phép tính tích phân hàm một biến số Đặc biệt ( ) ( ) b b a a f x dx f x dx  nếu ( ) 0, ( ; )f x x a b   . 4) Để tính ( ) b a f x dx ta dùng bảng xét dấu của ( )f x để tách ( )f x ra thành các hàm trên từng đoạn nhỏ. Ø Chương 5. Phép tính tích phân hàm một biến số VD 1. Tính 3 2 1 2 5 dx I x x     . Giải. Biến đổi 3 2 1 4 ( 1) dx I x     . Đặt 1t x dt dx    22 2 00 1 arctan 2 2 84 dt t I t        . Ø Chương 5. Phép tính tích phân hàm một biến số VD 2. Tính 0 cosI x x dx    . Giải. Đặt , sin cos u x du dx v x dv x dx       0 0 0 sin sin cos 2I x x x dx x         . VD 3. Tính 1 2 3 1 1.sinI x x dx    . Giải. Do hàm số 2 3( ) 1.sinf x x x  liên tục và lẻ trên đoạn [ 1; 1] nên 0I  . Ø Chương 5. Phép tính tích phân hàm một biến số §3. ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH 2 1( ) ( ) b a S f x f x dx     2 1( ) ( ) d c S g y g y dy     a) Biên hình phẳng cho bởi phương trình tổng quát 3.1. Tính diện tích S của hình phẳng S S Ø Chương 5. Phép tính tích phân hàm một biến số VD 1. Tính diện tích hình phẳng S giới hạn bởi các đường 2y x và 4y x . A. 1 15 S  ; B. 2 15 S  C. 4 15 S  ; D. 8 15 S  . Giải. Hoành độ giao điểm: 2 4 1, 0x x x x     0 1 2 4 2 4 1 0 4 ( ) ( ) . 15 S x x dx x x dx C          10/13/2012 5 Ø Chương 5. Phép tính tích phân hàm một biến số Cách khác Hoành độ giao điểm 2 4 1, 0x x x x     1 1 2 4 2 4 1 0 2S x x dx x x dx        1 2 4 0 4 2 ( ) . 15 x x dx C    Ø Chương 5. Phép tính tích phân hàm một biến số VD 2. Tính diện tích hình phẳng S giới hạn bởi các đường 2x y và 2y x  . Giải. Biến đổi: 2 2 2 2 x y x y y x x y             . Tung độ giao điểm: 2 2 1, 2y y y y     22 2 2 3 11 1 1 27 ( 2) 2 . 2 3 6 S y y dy y y y                   Ø Chương 5. Phép tính tích phân hàm một biến số VD 3. Tính diện tích hình phẳng S giới hạn bởi các đường 1xy e  , 2 3xy e  và 0x  . A. 1ln 4 2  ; B. ln 4 1 2  ; C. 1 ln 2 2  ; D. 1ln 2 2  Giải. Hoành độ giao điểm: 21 3x xe e   2 2 0 2 ln 2x x xe e e x        . ln 2ln 2 2 2 00 1 ( 2) 2 2 x x x xS e e dx e e x            1 1ln 4 ln 4 2 2 A     . Ø Chương 5. Phép tính tích phân hàm một biến số VD 4. Tính diện tích hình elip 2 2 2 2 : 1 x y S a b   . Giải. Phương trình tham số của elip là: cos , [0; 2 ] sin x a t t y b t      . b) Biên hình phẳng cho bởi phương trình tham số Hình phẳng giới hạn bởi đường cong có phương trình ( ), ( )x x t y y t  với [ ; ]t    thì: ( ). ( ) .S y t x t dt     Ø Chương 5. Phép tính tích phân hàm một biến số 2 2 2 0 0 sin .( sin ) sinS b t a t dt ab t dt       2 0 1 cos2 2 t ab dt ab      . Ø Chương 5. Phép tính tích phân hàm một biến số 3.2. Tính độ dài l của đường cong a) Đường cong có phương trình tổng quát Cho cung »AB có phương trình ( ), [ ; ]y f x x a b  thì: » 21 [ ( )] . b AB a l f x dx  VD 5. Tính độ dài cung parabol 2 2 x y  từ gốc tọa độ O(0; 0) đến điểm 11; 2 M       . 10/13/2012 6 Ø Chương 5. Phép tính tích phân hàm một biến số Giải. Ta có: 1 1 2 2 0 0 1 ( ) 1l y dx x dx     1 2 2 0 1 1 ln 1 2 x x x x              2 1 ln 1 22 2   . Ø Chương 5. Phép tính tích phân hàm một biến số Cho cung »AB có phương trình tham số ( ) , [ ; ] ( ) x x t t y y t       thì: » 2 2[ ( )] [ ( )] . AB l x t y t dt      b) Đường cong có phương trình tham số Ø Chương 5. Phép tính tích phân hàm một biến số VD 6. Tính độ dài cung C có phương trình: 2 2 1 , 0; 1 ln 1 x t t y t t                 . Giải. Ta có: 1 2 2 0 [ ( )] [ ( )]l x t y t dt   2 21 2 2 0 1 1 1 1 t dt t t                      . Ø Chương 5. Phép tính tích phân hàm một biến số VD 7. Tính thể tích V do hình phẳng S giới hạn bởi ln , 0y x y  , 1,x x e  quay xung quanh Ox. 3.3. Tính thể tích vật thể tròn xoay a) Vật thể quay quanh Ox Thể tích V của vật thể do miền phẳng S giới hạn bởi ( ), 0y f x y  , x a , x b quay quanh Ox là: 2[ ( )] . b a V f x dx  Giải. 1 1 ln ( ln ) e e V x dx x x x       . Ø Chương 5. Phép tính tích phân hàm một biến số VD 8. Tính V do 2 2 2 2 ( ) : 1 x y E a b   quay quanh Ox. Giải. Ta có:   2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 x y b y a x a b a      . Vậy   2 2 2 2 2 4 3 a a b V a x dx ab a       . Ø Chương 5. Phép tính tích phân hàm một biến số b) Vật thể quay quanh Oy Thể tích V của vật thể do miền phẳng S giới hạn bởi ( )x g y , 0x  , y c và y d quay quanh Oy là: 2[ ( )] . d c V g y dy  VD 9. Tính thể tích V do hình phẳng S giới hạn bởi 22 , 0y x x y   quay xung quanh Oy. 10/13/2012 7 Ø Chương 5. Phép tính tích phân hàm một biến số Giải. Parabol 22y x x  được viết lại: 2 22 ( 1) 1y x x x y      1 1 , 1 1 1 , 1 x y x x y x           . Vậy     1 2 2 0 1 1 1 1V y y dy               1 1 3 00 8 8 4 1 (1 ) 3 3 y dy y         . Ø Chương 5. Phép tính tích phân hàm một biến số VD 10. Dùng công thức (*) để giải lại VD 9. Chú ý Thể tích V của vật thể do miền phẳng S giới hạn bởi ( )y f x , 0y  , x a và x b quay xung quanh Oy còn được tính theo công thức: 2 ( ) (*). b a V xf x dx  Giải. 22 3 4 2 0 0 2 8 2 (2 ) 2 . 3 4 3 x x V x x x dx              Ø Chương 5. Phép tính tích phân hàm một biến số §4. TÍCH PHÂN SUY RỘNG • Khái niệm mở đầu Cho hàm số ( ) 0, [ ; ]f x x a b   . Khi đó, diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị ( )y f x và trục hoành là: ( ) b a S f x dx  . Ø Chương 5. Phép tính tích phân hàm một biến số §4. TÍCH PHÂN SUY RỘNG Cho hàm số ( ) 0, [ ; )f x x a    (b ). Khi đó, diện tích S có thể tính được cũng có thể không tính được. Trong trường hợp tính được hữu hạn thì: ( ) lim ( ) b b a a S f x dx f x dx      . Ø Chương 5. Phép tính tích phân hàm một biến số §4. TÍCH PHÂN SUY RỘNG 4.1. Tích phân suy rộng loại 1 4.1.1. Định nghĩa • Cho hàm số ( )f x xác định trên [ ; )a  , khả tích trên mọi đoạn [ ; ] ( )a b a b . Giới hạn (nếu có) của ( ) b a f x dx khi b  được gọi là tích phân suy rộng loại 1 của ( )f x trên [ ; )a  . Ký hiệu là: ( ) lim ( ) . b b a a f x dx f x dx     Ø Chương 5. Phép tính tích phân hàm một biến số • Định nghĩa tương tự: ( ) lim ( ) ; b b a a f x dx f x dx     ( ) lim ( ) . b b aa f x dx f x dx       • Nếu các giới hạn trên tồn tại hữu hạn thì ta nói tích phân hội tụ, ngược lại là tích phân phân kỳ. • Nghiên cứu về tích phân suy rộng (nói chung) là khảo sát sự hội tụ và tính giá trị hội tụ (thường là khó). 10/13/2012 8 Ø Chương 5. Phép tính tích phân hàm một biến số VD 1. Khảo sát sự hội tụ của tích phân 1 dx I x     . Giải • Trường hợp α = 1: 1 1 lim lim ln b b b b dx I x x         (phân kỳ). • Trường hợp α khác 1: 1 1 1 1 lim lim 1 b b b b dx I x x             1 1 , 11 lim 1 1 1 , 1.b b              Ø Chương 5. Phép tính tích phân hàm một biến số Vậy § Với 1  : 1 1 I    (hội tụ). § Với 1  : I   (phân kỳ). Ø Chương 5. Phép tính tích phân hàm một biến số VD 2. Tính tích phân 0 2(1 ) dx I x    . VD 3. Tính tích phân 21 dx I x      . Giải. 00 2 1 lim lim 1 1(1 )a a aa dx I xx              . Giải. 2 lim lim arctan 1 b b ab b aa a dx I x x              lim arctan lim arctan 2 2b a b a               . Ø Chương 5. Phép tính tích phân hàm một biến số Chú ý • Nếu tồn tại lim ( ) ( ) x F x F    , ta dùng công thức: ( ) ( ) . a a f x dx F x    • Nếu tồn tại lim ( ) ( ) x F x F    , ta dùng công thức: ( ) ( ) . b b f x dx F x    • Tương tự: ( ) ( ) .f x dx F x      Ø Chương 5. Phép tính tích phân hàm một biến số 4.1.2. Các tiêu chuẩn hội tụ a) Tiêu chuẩn 1 • Nếu 0 ( ) ( ), [ ; )f x g x x a     và ( ) a g x dx   hội tụ thì ( ) a f x dx   hội tụ. • Các trường hợp khác tương tự. Ø Chương 5. Phép tính tích phân hàm một biến số VD 4. Xét sự hội tụ của tích phân 10 1 xI e dx    . Giải. Với [1; )x   thì 10101 0 x xx x x e e       10 1 1 x xe dx e dx       . Mặt khác, 1 1 1x xe dx e e       (hội tụ). Vậy tích phân đã cho hội tụ. 10/13/2012 9 Ø Chương 5. Phép tính tích phân hàm một biến số VD 5. Xét sự hội tụ của tích phân 1 cos 3xI e x dx    . Giải. 1 1 cos 3x xe x dx e dx      (hội tụ) I hội tụ. b) Tiêu chuẩn 2 • Nếu ( ) a f x dx   hội tụ thì ( ) a f x dx   hội tụ (ngược lại không đúng). • Các trường hợp khác tương tự. Ø Chương 5. Phép tính tích phân hàm một biến số c) Tiêu chuẩn 3 • Cho ( ), ( )f x g x liên tục, luôn dương trên [ ; )a  và ( )lim ( )x f x k g x  . Khi đó: Ø Nếu 0 k  thì: ( ) a f x dx   và ( ) a g x dx   cùng hội tụ hoặc phân kỳ. Ø Nếu 0k  và ( ) a g x dx   hội tụ thì ( ) a f x dx   hội tụ. Ø Chương 5. Phép tính tích phân hàm một biến số Ø Nếu ( ) a k g x dx      phaân kyø thì ( ) a f x dx   phân kỳ. • Các trường hợp khác tương tự. VD 6. Xét sự hội tụ của tích phân 2 3 1 1 2 dx I x x      . Giải. Đặt 2 3 1 ( ) 1 2 f x x x    , 3 1 ( )g x x  ta có: 3 2 3 ( ) 1 ( ) 21 2 f x x g x x x     và 3 1 dx x   hội tụ I hội tụ. Ø Chương 5. Phép tính tích phân hàm một biến số VD 7. Xét sự hội tụ của tích phân 1 1 sin dx I x x     . Giải. Ta có: 1 1 ( ) 1 sin x x x x    : và 1 dx x   phân kỳ. Vậy I phân kỳ. Chú ý Nếu ( ) ( ) ( )f x g x x : thì ( ) a f x dx   và ( ) a g x dx   có cùng tính chất. Ø Chương 5. Phép tính tích phân hàm một biến số VD 8. Điều kiện của  để 3 1 . ln 1 dx I x x      hội tụ là: A. 3  ; B. 3 2   ; C. 2  ; D. 1 2   . Giải. Đặt lnt x 1 3 3 3 0 0 11 1 1 dt dt dt I t t t                . • 1 3 0 1 dt t   là tích phân thông thường nên hội tụ. Ø Chương 5. Phép tính tích phân hàm một biến số • Do 3 3 1 1 1t t   : nên: I hội tụ 3 1 1 dt t      hội tụ 1 3 3 A        . 10/13/2012 10 Ø Chương 5. Phép tính tích phân hàm một biến số VD 9. Điều kiện của  để 2 4 1 ( 1) 2 3 x dx I x x        hội tụ? Giải • Với 4  : 2 4 2 1 1 ( 1) 2 3 x dx dx I x x x         : hội tụ. • Với 4  : 2 1 2 dx I x  : hội tụ I hội tụ   ¡ . Ø Chương 5. Phép tính tích phân hàm một biến số 4.2. Tích phân suy rộng loại 2 4.2.1. Định nghĩa • Cho hàm số ( )f x xác định trên [ ; )a b và không xác định tại b , khả tích trên mọi đoạn [ ; ] ( 0)a b     . Giới hạn (nếu có) của ( ) b a f x dx   khi 0  được gọi là tích phân suy rộng loại 2 của ( )f x trên [ ; )a b . Ký hiệu: 0 ( ) lim ( ) . b b a a f x dx f x dx     Ø Chương 5. Phép tính tích phân hàm một biến số • Định nghĩa tương tự: 0 ( ) lim ( ) a b b a f x dx f x dx     (suy rộng tại a ); 0 ( ) lim ( ) b b a a f x dx f x dx      (suy rộng tại a , b ). • Nếu các giới hạn trên tồn tại hữu hạn thì ta nói tích phân hội tụ, ngược lại là tích phân phân kỳ. Ø Chương 5. Phép tính tích phân hàm một biến số VD 10. Khảo sát sự hội tụ của 0 , 0 b dx I b x   . Giải • Trường hợp α = 1: 0 0 0 lim lim ln ln lim ln b bdx I x b x                . • Trường hợp α khác 1: 1 0 0 0 1 lim lim lim 1 b b bdx I x dx x x                   Ø Chương 5. Phép tính tích phân hàm một biến số   1 1 1 0 1 , 1lim 11 , 1. b b                 Vậy § Với 1  : 1 1 b I    (hội tụ). § Với 1  : I   (phân kỳ). Ø Chương 5. Phép tính tích phân hàm một biến số VD 11. Tính tích phân 1 3 2 1 6 3 1 9 dx I x    . A. 3 I    ; B. 3 I   ; C. 6 I   ; D. I  . Giải. 1 1 3 3 12 1 6 6 (3 ) arcsin 3 31 (3 ) d x I x B x        . 10/13/2012 11 Ø Chương 5. Phép tính tích phân hàm một biến số VD 12. Tính tích phân 3 2 1 . ln e dx I x x   . Giải. Đặt lnt x 21 1 1 33 3 2 0 0 0 3 3 dt I t dt t t        . Ø Chương 5. Phép tính tích phân hàm một biến số VD 13. Tính tích phân 2 2 1 dx I x x    . Giải. Ta có: 2 2 1 1 1 1 ( 1) 1 dx I dx x x x x           2 0 1 1 1 lim 1 dx x x         2 0 1 1 lim ln x x          . Ø Chương 5. Phép tính tích phân hàm một biến số VD 14. Tích phân suy rộng 1 0 ( 1)(2 ) x dx I x x x      hội tụ khi và chỉ khi: A. 1  ; B. 1 2   ; C. 1 2   ; D.   ¡ . 4.1.2. Các tiêu chuẩn hội tụ Các tiêu chuẩn hội tụ như tích phân suy rộng loại 1. Chú ý Nếu ( ) ( ) ( )f x g x x b: thì ( ) b a f x dx và ( ) b a g x dx có cùng tính chất (với b là cận suy rộng). Ø Chương 5. Phép tính tích phân hàm một biến số Giải. Khi 0x  thì 1 2 1 1 . ( 1)(2 ) 2 2 x x x x x x x       : I hội tụ 1 1 0 2 1 2 dx x    hội tụ 1 11 2 2 C       . Ø Chương 5. Phép tính tích phân hàm một biến số Giải. 1 1 2 2 0 0( 1)sin ( 1)sin x dx dx I x x x x        . VD 15. Tích phân suy rộng 1 2 0 1 ( 1)sin x I dx x x      phân kỳ khi và chỉ khi: A. 1  ; B. 1 2   ; C. 1 2   ; D.   ¡ . Ø Chương 5. Phép tính tích phân hàm một biến số I phân kỳ 1 2 0 ( 1)sin x dx x x     phân kỳ. Do 1 1 1 12 0 0 0 2( 1)sin dx dx dx xx x x     : hội tụ nên Vậy I phân kỳ 1 11 2 2 B       . Mặt khác, 1 1 1 12 0 0 0 2( 1)sin x dx x dx dx xx x x        : . 10/13/2012 12 Ø Chương 5. Phép tính tích phân hàm một biến số Chú ý • Cho 1 2I I I  với 1 2, ,I I I là các tích phân suy rộng ta có: 1) 1I và 2I hội tụ I hội tụ. 2) 1 2 ( ) 0 I I    phaân kyø hoặc 1 2 ( ) 0 I I     phaân kyø thì I phân kỳ. 3) 1 2 ( ) 0 I I    phaân kyø hoặc 1 2 ( ) 0 I I     phaân kyø thì chưa thể kết luận I phân kỳ. Ø Chương 5. Phép tính tích phân hàm một biến số VD 16. 1 2 0 1 sin x I dx x x     phân kỳ khi và chỉ khi: A. 1 4   ; B. 1 4   ; C. 1 2   ; D.   ¡ . Giải. Ta có: 1 1 1 22 2 0 0sin sin x dx dx I I I x x x x       . Ø Chương 5. Phép tính tích phân hàm một biến số Mặt khác: 1) 1 1 1 2 32 3 0 0 0 2sin dx dx dx I x x x x      : . 2) 1 1 2 0 0 sin x dx I x x    . Vậy 1 2I I I  phân kỳ với mọi D  ¡ .