Bài giảng Toán cao cấp - Chương 3: Hàm số và giới hạn

10/13/2012 1 Ø Chương 3. Hàm số và giới hạn §1. Bổ túc về hàm số §2. Giới hạn của hàm số §3. Đại lượng vô cùng bé – vô cùng lớn §4. Hàm số liên tục . §1. BỔ TÚC VỀ HÀM SỐ 1.1. Khái niệm cơ bản 1.1.1. Định nghĩa hàm số • Cho ,X Y  ¡ khác rỗng. Ánh xạ :f X Y với ( )x y f xa là một hàm số. Khi đó: – Miền xác định (MXĐ) của f, ký hiệu Df, là tập X. – Miền giá trị (MGT) của f là:  ( )G y f x x X   . Ø Chương 3. Hàm số và giới hạn – Nếu 1 2 1 2( ) ( )f x f x x x   thì f là đơn ánh. – Nếu f(X) = Y thì f là toàn ánh. – Nếu f vừa đơn ánh vừa toàn ánh thì f là song ánh. VD 1. a) Hàm số :f ¡ ¡ thỏa ( ) 2xy f x  là đơn ánh. b) Hàm số : [0; )f  ¡ thỏa 2( )f x x là toàn ánh. c) Hsố : (0; )f   ¡ thỏa ( ) lnf x x là song ánh. • Hàm số ( )y f x được gọi là hàm chẵn nếu: ( ) ( ), .ff x f x x D    • Hàm số ( )y f x được gọi là hàm lẻ nếu: ( ) ( ), .ff x f x x D    Ø Chương 3. Hàm số và giới hạn Nhận xét – Đồ thị của hàm số chẵn đối xứng qua trục tung. – Đồ thị của hàm số lẻ đối xứng qua gốc tọa độ. 1.1.2. Hàm số hợp • Cho hai hàm số f và g thỏa điều kiện g fG D . Khi đó, hàm số ( ) ( )( ) [ ( )]h x f g x f g x o được gọi là hàm số hợp của f và g. Chú ý ( )( ) ( )( ).f g x g f xo o VD 2. Hàm số 2 2 22( 1) 1y x x    là hàm hợp của 2( ) 2f x x x  và 2( ) 1g x x  . Ø Chương 3. Hàm số và giới hạn 1.1.3. Hàm số ngược • Hàm số g được gọi là hàm số ngược của f, ký hiệu 1g f  , nếu ( ), fx g y y G   . Nhận xét – Đồ thị hàm số 1( )y f x đối xứng với đồ thị của hàm số ( )y f x qua đường thẳng y x . VD 3. Cho ( ) 2xf x  thì 1 2( ) logf x x   , mọi x > 0. Ø Chương 3. Hàm số và giới hạn 1.2. Hàm số lượng giác ngược 1.2.1. Hàm số y = arcsin x • Hàm số siny x có hàm ngược trên ; 2 2       là 1 : [ 1; 1] ; 2 2 f          arcsinx y xa . VD 4. arcsin 0 0 ; arcsin( 1) 2    ; 3arcsin 2 3   . Ø Chương 3. Hàm số và giới hạn Chú ý arcsin arccos , [ 1; 1]. 2 x x x       1.2.2. Hàm số y = arccos x • Hàm số cosy x có hàm ngược trên [0; ] là 1 : [ 1; 1] [0; ]f     arccosx y xa . VD 5. arccos0 2   ; arccos( 1)  ; 3arccos 2 6   ; 1 2arccos 2 3    . 10/13/2012 2 Ø Chương 3. Hàm số và giới hạn 1.2.3. Hàm số y = arctan x • Hàm số tany x có hàm ngược trên ; 2 2        là 1 : ; 2 2 f          ¡ arctanx y xa . VD 6. arctan 0 0 ; arctan( 1) 4    ; arctan 3 3   . Quy ước.    arctan , arctan . 2 2       Ø Chương 3. Hàm số và giới hạn 1.2.4. Hàm số y = arccot x • Hàm số coty x có hàm ngược trên (0; ) là 1 : (0; )f   ¡ cotx y arc xa . VD 7. cot0 2 arc   ; 3cot( 1) 4 arc    ; cot 3 6 arc   . Quy ước. cot( ) 0, cot( ) .arc arc     Ø Chương 3. Hàm số và giới hạn §2. GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ 2.1. Các định nghĩa Định nghĩa 1 • Cho hàm số f(x) xác định trên (a; b). Ta nói f(x) có giới hạn là L (hữu hạn) khi 0 [ ; ]x x a b  , ký hiệu 0 lim ( ) x x f x L   , nếu 0  cho trước ta tìm được 0  sao cho khi 00 x x    thì ( )f x L   . Định nghĩa 2 (định nghĩa theo dãy) • Cho hàm số f(x) xác định trên (a; b). Ta nói f(x) có giới hạn là L (hữu hạn) khi 0 [ ; ]x x a b  , ký hiệu 0 lim ( ) x x f x L   , nếu mọi dãy {xn} trong 0( ; ) \ { }a b x mà 0nx x thì lim ( )nn f x L   . Ø Chương 3. Hàm số và giới hạn Định nghĩa 3 (giới hạn tại vô cùng) • Ta nói f(x) có giới hạn là L (hữu hạn) khi x   , ký hiệu lim ( ) x f x L   , nếu 0  cho trước ta tìm được N > 0 đủ lớn sao cho khi x > N thì ( )f x L   . • Tương tự, ký hiệu lim ( ) x f x L   , nếu 0  cho trước ta tìm được N < 0 có trị tuyệt đối đủ lớn sao cho khi x < N thì ( )f x L   . Định nghĩa 4 (giới hạn vô cùng) • Ta nói f(x) có giới hạn là  khi 0x x , ký hiệu 0 lim ( ) x x f x    , nếu 0M  lớn tùy ý cho trước ta tìm được 0  sao cho khi 00 x x    thì ( )f x M . Ø Chương 3. Hàm số và giới hạn • Tương tự, ký hiệu 0 lim ( ) x x f x    , nếu 0M  có trị tuyệt đối lớn tùy ý cho trước ta tìm được 0  sao cho khi 00 x x    thì ( )f x M . Định nghĩa 5 (giới hạn 1 phía) • Nếu f(x) có giới hạn là L (có thể là vô cùng) khi 0x x với 0x x thì ta nói f(x) có giới hạn phải tại x0 (hữu hạn), ký hiệu 0 0 lim ( ) x x f x L    hoặc 0 lim ( ) x x f x L   . • Nếu f(x) có giới hạn là L (có thể là vô cùng) khi 0x x với 0x x thì ta nói f(x) có giới hạn trái tại x0 (hữu hạn), ký hiệu 0 0 lim ( ) x x f x L    hoặc 0 lim ( ) x x f x L   . Chú ý. 0 0 0 lim ( ) lim ( ) lim ( ) . x x x x x x f x L f x f x L         Ø Chương 3. Hàm số và giới hạn 2.2. Tính chất Cho 0 lim ( ) x x f x a   và 0 lim ( ) x x g x b   . Khi đó: 1) 0 lim [ . ( )] . x x C f x C a   (C là hằng số). 2) 0 lim [ ( ) ( )] x x f x g x a b     . 3) 0 lim [ ( ) ( )] x x f x g x ab   ; 4) 0 ( ) lim , 0 ( )x x f x a b g x b   ; 5) Nếu 0 0( ) ( ), ( ; )f x g x x x x       thì a b . 6) Nếu 0 0( ) ( ) ( ), ( ; )f x h x g x x x x        và 0 0 lim ( ) lim ( ) x x x x f x g x L     thì 0 lim ( ) x x h x L   . 10/13/2012 3 Ø Chương 3. Hàm số và giới hạn VD 1. Tìm giới hạn 2 12 lim 3 x x x x L x         . A. 9L  ; B. 4L  ; C. 1L  ; D. 0L  . Giải. Ta có: 2. 1 22lim 2 . 3 x x x x L B x          Định lý Nếu 0 0 lim ( ) 0, lim ( ) x x x x u x a v x b      thì: 0 ( )lim [ ( )] .v x b x x u x a   Ø Chương 3. Hàm số và giới hạn Các kết quả cần nhớ 1) 0 0 1 1 lim , lim x xx x    . 2) Xét 1 1 0 1 1 0 ... lim ... n n n n m mx m m a x a x a L b x b x b            , ta có: a) n n a L b  nếu n m ; b) 0L  nếu n m ; c) L  nếu n m . 3) 0 0 sin tan lim lim 1 x x x x x x          . Ø Chương 3. Hàm số và giới hạn VD 2. Tìm giới hạn 2 2 3 lim 1 2 1 x x x L x        . A. L ; B. 3L e ; C. 2L e ; D. 1L  . 4) Số e:   1 0 1 lim 1 lim 1 . x x x x x e x           Giải. 22 2 . 3 3 2 12 1 2 l 2 m 3 1 1 i x x x x x x L x x                    . Ø Chương 3. Hàm số và giới hạn Khi x   thì 2 2 3 3 0, 2 . 3 2 1 2 1 x x x x x     22 1 3 3 2 3 lim 1 2 1 x x x x e L e B x              . Ø Chương 3. Hàm số và giới hạn VD 3. Tìm giới hạn   1 2 4 0 lim 1 tan x x L x    . A. L ; B. 1L  ; C. 4L e ; D. L e . Giải.   2 21 . 1 tan t 4 0 an 2tanlim 1 x x x x L x               2 2 1 tan . 1 4 42 tan 0 lim 1 tan x x x x x e C                       . Ø Chương 3. Hàm số và giới hạn §3. ĐẠI LƯỢNG VÔ CÙNG BÉ – VÔ CÙNG LỚN 3.1. Đại lượng vô cùng bé a) Định nghĩa Hàm số ( )x được gọi là đại lượng vô cùng bé (VCB) khi 0x x nếu 0 lim ( ) 0 x x x    ( 0 x có thể là vô cùng). VD 1.  3( ) tan sin 1x x   là VCB khi 1x  ; 2 1 ( ) ln x x   là VCB khi x . 10/13/2012 4 Ø Chương 3. Hàm số và giới hạn b) Tính chất của VCB 1) Nếu ( ), ( )x x  là các VCB khi 0x x thì ( ) ( )x x   và ( ). ( )x x  là VCB khi 0x x . 2) Nếu ( )x là VCB và ( )x bị chận trong lân cận 0x thì ( ). ( )x x  là VCB khi 0x x . 3) 0 lim ( ) ( ) ( ) x x f x a f x a x      , trong đó ( )x là VCB khi 0x x . Ø Chương 3. Hàm số và giới hạn c) So sánh các VCB • Định nghĩa Cho ( ), ( )x x  là các VCB khi 0x x , 0 ( ) lim ( )x x x k x    . Khi đó: – Nếu 0k  , ta nói ( )x là VCB cấp cao hơn ( )x , ký hiệu ( ) 0( ( ))x x   . – Nếu k   , ta nói ( )x là VCB cấp thấp hơn ( )x . – Nếu 0 k  , ta nói ( )x và ( )x là các VCB cùng cấp. – Đặc biệt, nếu 1k  , ta nói ( )x và ( )x là các VCB tương đương, ký hiệu ( ) ( )x x : . Ø Chương 3. Hàm số và giới hạn VD 2. • 1 cosx là VCB cùng cấp với 2x khi 0x  vì: 2 2 20 0 2 sin1 cos 12lim lim 2 4 2 x x x x x x           . • 2 2sin 3( 1) 9( 1)x x : khi 1x  . Ø Chương 3. Hàm số và giới hạn • Tính chất của VCB tương đương khi x → x0 1) ( ) ( ) ( ) ( ) 0( ( )) 0( ( ))x x x x x x        : . 2) Nếu ( ) ( ), ( ) ( )x x x x   : : thì ( ) ( )x x : . 3) Nếu 1 1 2 2( ) ( ), ( ) ( )x x x x   : : thì 1 2 1 2( ) ( ) ( ) ( )x x x x   : . 4) Nếu ( ) 0( ( ))x x   thì ( ) ( ) ( )x x x   : . Ø Chương 3. Hàm số và giới hạn • Quy tắc ngắt bỏ VCB cấp cao Cho ( ), ( )x x  là tổng các VCB khác cấp khi 0x x thì 0 ( ) lim ( )x x x x   bằng giới hạn tỉ số hai VCB cấp thấp nhất của tử và mẫu. VD 3. Tìm giới hạn 3 4 20 cos 1 lim x x x L x x     . Giải. 0 2 3 4 (1 cos lim ) x x L x x x    20 1 cos 1 lim 2x x x    . Ø Chương 3. Hàm số và giới hạn • Các VCB tương đương cần nhớ khi x → 0 1) sin x x: ; 2) tanx x: ; 3) arcsin x x: ; 4) arctanx x: 5) 2 1 cos 2 x x : ; 6) 1xe x : ; 7) ln(1 )x x : ; 8) 1 1n xx n   : . Chú ý Nếu ( )u x là VCB khi 0x  thì ta có thể thay x bởi ( )u x trong 8 công thức trên. 10/13/2012 5 Ø Chương 3. Hàm số và giới hạn VD 4. Tính giới hạn 2 20 ln(1 2 sin ) lim sin .tanx x x L x x   . Giải. Khi 0x  , ta có: 2 2 2 2 2 2 ln(1 2 sin ) 2 sin 2 . 2 sin .tan . . x x x x x x x x x x x x    : : . Vậy 2L  . Ø Chương 3. Hàm số và giới hạn VD 5. Tính   2 2 30 sin 1 1 3 tan lim sin 2x x x x L x x       . Vậy 0 12lim 2 4x x L x   . Giải. Khi 0x  , ta có: 2 2tan x x: (cấp 2), 3 3sin x x: (cấp 3),  sin 1 1 1 1 2 x x x   : : (cấp 1). Ø Chương 3. Hàm số và giới hạn Chú ý Quy tắc VCB tương đương không áp dụng được cho hiệu hoặc tổng của các VCB nếu chúng làm triệt tiêu tử hoặc mẫu của phân thức. VD 6. 2 20 0 2 ( 1) ( 1) lim lim x x x x x x e e e e x x           20 ( ) lim 0 x x x x     (Sai!). 3 3 0 0 lim lim tanx x x x x x x x        (Sai!). Ø Chương 3. Hàm số và giới hạn VD 7. 3 cos 1 2 sin x x x   là VCL khi 0x  ; 3 2 1 cos 4 3 x x x x     là VCL khi x . Nhận xét. Hàm số ( )f x là VCL khi 0x x thì 1 ( )f x là VCB khi 0x x . 3.2. Đại lượng vô cùng lớn a) Định nghĩa Hàm số ( )f x được gọi là đại lượng vô cùng lớn (VCL) khi 0x x nếu 0 lim ( ) x x f x   ( 0 x có thể là vô cùng). Ø Chương 3. Hàm số và giới hạn b) So sánh các VCL • Định nghĩa Cho ( ), ( )f x g x là các VCL khi 0x x , 0 ( ) lim ( )x x f x k g x  . Khi đó: – Nếu 0k  , ta nói ( )f x là VCL cấp thấp hơn ( )g x . – Nếu k   , ta nói ( )f x là VCL cấp cao hơn ( )g x . – Nếu 0 k  , ta nói ( )f x và ( )g x là các VCL cùng cấp. – Đặc biệt, nếu 1k  , ta nói ( )f x và ( )g x là các VCL tương đương. Ký hiệu ( ) ( )f x g x: . Ø Chương 3. Hàm số và giới hạn VD 8. • 3 3 x là VCL khác cấp với 3 1 2x x khi 0x  vì: 3 3 3 3 30 0 0 3 1 2 lim : 3 lim 3 lim 2x x x x x x x x x x x              . • 3 32 1 2x x x  : khi x . 10/13/2012 6 Ø Chương 3. Hàm số và giới hạn • Quy tắc ngắt bỏ VCL cấp thấp Cho ( )f x và ( )g x là tổng các VCL khác cấp khi 0x x thì 0 ( ) lim ( )x x f x g x bằng giới hạn tỉ số hai VCL cấp cao nhất của tử và mẫu. Ø Chương 3. Hàm số và giới hạn Giải. 3 3 1 lim 33x x A x   . 3 7 1 lim lim 0 22x x x B xx     . VD 9. Tính các giới hạn: 3 3 cos 1 lim 3 2x x x A x x     ; 3 2 7 2 2 1 lim 2 sinx x x B x x     . Ø Chương 3. Hàm số và giới hạn §4. HÀM SỐ LIÊN TỤC 4.1. Định nghĩa • Số 0 fx D được gọi là điểm cô lập của f(x) nếu 0 0 00 : ( ; ) \ { }x x x x        thì fx D . • Hàm số ( )f x liên tục tại 0 x nếu 0 0lim ( ) ( )x x f x f x   . • Hàm số ( )f x liên tục trên tập X nếu ( )f x liên tục tại mọi điểm 0x X . Quy ước • Hàm số ( )f x liên tục tại mọi điểm cô lập của nó. Ø Chương 3. Hàm số và giới hạn 4.2. Định lý • Tổng, hiệu, tích và thương của các hàm số liên tục tại 0 x là hàm số liên tục tại 0 x . • Hàm số sơ cấp xác định ở đâu thì liên tục ở đó. • Hàm số liên tục trên một đoạn thì đạt giá trị lớn nhất và nhỏ nhất trên đoạn đó. Ø Chương 3. Hàm số và giới hạn • Định lý Hàm số ( )f x liên tục tại 0 x nếu 0 0 0lim ( ) lim ( ) ( ). x x x x f x f x f x      4.3. Hàm số liên tục một phía • Định nghĩa Hàm số ( )f x được gọi là liên tục trái (phải) tại 0 x nếu 0 0lim ( ) ( ) x x f x f x   ( 0 0lim ( ) ( ) x x f x f x   ). Ø Chương 3. Hàm số và giới hạn VD 1. Cho hàm số 2 23 tan sin , 0( ) 2 , 0 x x xf x x x       . Giá trị của  để hàm số liên tục tại 0x  là: A. 0  ; B. 1 2   ; C. 1  ; D. 3 2   . Giải. Ta có 0 lim ( ) (0) x f x f     . Mặt khác, khi 0x  ta có:   2 2 23 tan sin 1 2 2 2 xx x x x  : 10/13/2012 7 Ø Chương 3. Hàm số và giới hạn 0 1 lim ( ) . 2x f x    Hàm số ( )f x liên tục tại 0x  0 0 1 lim ( ) lim ( ) (0) 2x x f x f x f B           . Ø Chương 3. Hàm số và giới hạn VD 2. Cho hàm số 2 2 ln(cos ) , 0 ( ) arctan 2 2 3, 0 x x f x x x x        . Giá trị của  để hàm số liên tục tại 0x  là: A. 17 12   ; B. 17 12   ; C. 3 2   ; D. 3 2   . Giải. Khi 0x  , ta có: 2 2 2arctan 2 3x x x : ; 2 ln(cos ) ln[1 (cos 1)] cos 1 2 x x x x    : : Ø Chương 3. Hàm số và giới hạn Hàm số ( )f x liên tục tại 0x  0 1 lim ( ) (0) 2 3 6x f x f A         . 2 2 2 2 0 ln(cos ) 12 lim ( ) 6arctan 2 3 x x x f x x x x       : . Ø Chương 3. Hàm số và giới hạn 4.4. Phân loại điểm gián đoạn • Nếu hàm số ( )f x không liên tục tại 0 x thì 0 x được gọi là điểm gián đoạn của ( )f x . • Nếu tồn tại các giới hạn: 0 0lim ( ) ( ) x x f x f x     , 0 0lim ( ) ( ) x x f x f x     nhưng 0( )f x  , 0( )f x  và 0 ( )f x không đồng thời bằng nhau thì ta nói 0 x là điểm gián đoạn loại một. Ngược lại, 0 x là điểm gián đoạn loại hai.